2019-2020年中考数学思想方法分类讨论思想资料

中考数学专题复习之五：数学的分类讨论思想一、知识要点：1.分类讨论思想方法的意义：分类讨论思想方法就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2.分类讨论思想方法的作用：分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，克服思维的片面性，防止漏解.要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏.要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。

3.分类讨论思想方法的基本类型：在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答：比如：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的；（点、直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类）②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

④对符合题意的图形，按图形的性质作出不同的形状、不同的位置关系等。

（等腰三角形的顶角顶点不确定、直角三角形的直角不确定、相似三角形的对应关系不确定等。

）在中考中，许多题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。

4.分类讨论一般步骤:（1）确定分类对象；（2）进行合理分类；（理清分类的“界限”，选择分类的标准，并做到不重复、不遗漏）（3）逐类进行讨论求解；（4）归纳作出结论。

（综上所述） 二、典例解析：例1 （1）当m= 时，y 关于x 的函数72)3(y --=m x m 是二次函数？（2）代数式2-x 1x +有意义，则x 的取值范围为 .命题意图：本题主要考查二次函数的定义及二次项系数不为0，分式与二次根式的意义. 知识依托：解一元二次方程与不等式的能力.错解分析：（1）错解3m ±=，没有舍去m=3的值，考虑不全面.（2）错解x>-1,没有考虑分母不为0，或解不等式出错.技巧与方法：本题属于概念性的题目，属于中考热点题，难度不大，但容易错.例2. 函数y=ax 2-ax+3x+1与x 轴只有一个交点，求a 的值与交点坐标。

中考数学思想及解题方法小集合
1.中考数学解题方法：
（1）代入法：代入法就是指先求出两个未知数的关系，再用其中一个代入另一个
例：A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2个小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分，求飞机的平均速度与风速
解：设飞机在无风状态时速度为X,风速为Y
1200/2.5=X+Y;;;1200/(10/3)=X-Y
X+Y=480;;;;X=360+Y
代入得360+Y+Y=480
Y=60
X=420
风速为60KM/小时
飞机平均速度=1200*2/(2.5+10/3)=2400/(35/6)=411.43
【注】这些思想及方法在学习过程中自然会运用到，在这里只是归纳一下而已。

（2）消元法：分为加减消元法和代入消元法两种。

降次法：
因式分解法：
换元法：
配方法:
待定系数法：
图解法：
图像法：
2.中考基本数学思想：
用字母表示数思想：
函数与方程思想：
转化化归思想：
属性结合思想：
分类讨论思想：
数学建模思想：
整体思想：
运动变化思想：
统计思想：
以上思想只需要灵活运用，中考数学便胜券在握。

中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。

这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。

在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。

而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。

二、例题导解：1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③ 解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5 ②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=4 2、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为____________。

解：①如图1，当△ABC 是锐角三角形时，∠BCA=90°-25°=65°①如图2，当△ABC 是钝角三角形时，∠BCA=90°+25°=115°图1 图23、如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=o，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．（1）Q 在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==o ，， 210AC BC ∴==．AE BC Q ∥，APE CPB ∴△∽△．::3:1PA PC AE BC ∴==．:3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．Q 在Rt ABE △中，AB =15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=o ． 又30PAB ∠=o Q ，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=o o ，， BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，，所以r的变化范围为5r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R的变化范围为1510R <<+4、直角坐标系中，已知点P （－2，－1），点T （t ，0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；C Ｄ 图1 图2(2) 当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2，1）.（2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧. 当51='=O P O T 时，△TO P '是等腰三角形.∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时，△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T . ② 当O P O T '=3时，△TO P '是等腰三角形.得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时，△TO P '是等腰三角形.得：点)0,4(4T .综上所述，符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）直线AB 解析式为：y=33-x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23． ∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．。

中考数学思想分类总结中考数学思想分类总结数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，是一门重要的学科，也是中考的重点考察内容之一。

在数学学习过程中，我们接触到了各种不同的数学思想和方法。

对这些数学思想进行分类总结有助于我们更好地理解和掌握数学的本质和精髓。

本文将对中考数学思想进行分类总结，并进行详细的解释和举例说明。

一、代数思想代数思想是数学中一个重要的思想体系，它研究关于数、量、运算和变量之间的关系。

在中考数学中，我们经常会有关于代数等式、方程和函数的题目。

1. 代数等式：代数等式是指一个等于另一个的代数式，一般包括多项式或者分式。

通过代数等式，我们可以求解未知数的值，进行各种数值运算和代数变换。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过移项和化简的方法，得到x = 2。

2. 代数方程：代数方程是一个包含未知数的等式，常见的代数方程有一元一次方程、一元二次方程等。

通过代数方程，我们可以求解未知数的值，并研究方程在数轴上的解的位置。

例如，对于一元一次方程2x + 3 = 7，我们可以通过移项和化简的方法，得到x = 2；对于一元二次方程x² + 3x + 2 = 0，我们可以通过配方法或者求根公式得到x = -1，-2。

3. 代数函数：代数函数是指一个数和其它数之间的一对一的对应关系。

函数在数学中具有重要的地位，涉及到函数的定义、性质、图像和应用等方面。

在中考数学中，我们经常会用到一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

例如，对于一次函数y = 2x + 3，当x取不同的值时，y会有不同的值，这种一对一的对应关系可以用来研究物体的运动、人口的增长等问题。

二、几何思想几何思想是数学中另一个重要的思想体系，它研究关于点、直线、平面、角等几何对象之间的关系。

在中考数学中，我们经常会有关于平面几何和立体几何等题目。

1. 平面几何：平面几何是指研究二维空间内的几何对象及其性质。

在中考数学中，我们常见的平面几何包括直线的性质、角的性质、三角形的性质等。

中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。

这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。

在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。

而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。

二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形 的外接圆半径等于21╳ 8=4 2、（北京市中考题）在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且，则∠BCA 的度数为____________。

解：①如图1，当△ABC 是锐角三角形时， ∠BCA=90°-25°=65°①如图2，当△ABC 是钝角三角形时， ∠BCA=90°+25°=115°图1 图23、（济南市中考题）如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围． （1）在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，， 210AC BC ∴==． AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，AB =15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，， BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，，所以r的变化范围为5r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R的变化范围为1510R <<+C Ｄ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中，已知点P （－2，－1）， 点T （t，0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标； (2) 当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2，1）（2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时，△TO P '∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时，△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时，△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时，△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述，符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD 求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）直线AB 解析式为：y=33-x+3． （2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1．∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．方法二：设Ｐ（x ，33-x+3），得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABO=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （43，433）． ④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P （43，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）．当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3，33），2P （1，3），3P （43，433），4P （43，43）．。

数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

专题01 数学思想方法【要点提炼】一、【分类讨论的思想方法】有些问题包含的对象比较复杂，很难用一种情况概括它的全貌，这时往往按照一种标准把问题分成几类，分别进行讨论，再综合起来进行说明，这种思想方法称为分类讨论思想。

二、【数形结合思想】数形结合思想就是数学问题的题设与结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决。

在进行二次根式的化简时，可以利用数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简。

三、【整体思想】整体思想是一种重要的思想方法，它把研究对象的一部分(或全部)视为整体，在解题时，则把注意力和着眼点放在问题整体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的计算，使问题得以简化。

四、【转化的思想方法】如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a ＞0)，那么x=a或-a.【专题训练】一、单选题（共10小题）1.将一元二次方程x2+4x+2＝0配方后可得到方程（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝6 D．（x+2）2＝6【答案】B【解答】解：x2+4x+2＝0，x2+4x＝﹣2，x2+4x+4＝2，（x+2）2＝2．故选：B．【知识点】解一元二次方程-配方法2.若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（）A．a＜0 B．a＞4 C．a＜0或a＞4 D．0＜a＜4【答案】D【解答】解：令y=x2+ax+a，这个函数开口向上，式子的值恒大于0的条件是：△=a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜4．故选：D．【知识点】配方法的应用3.已知a，b，c为有理数，当a+b+c＝0，abc＜0，求的值为（）A．1或﹣3 B．1，﹣1或﹣3 C．﹣1或3 D．1，﹣1，3或﹣3【答案】A【解答】解：∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a、a+c＝﹣b、a+b＝﹣c，∵abc＜0，∴a、b、c三数中有2个正数、1个负数，则原式＝+﹣＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3或1﹣1+1＝1或﹣1+1+1＝1．故选：A．【知识点】绝对值、代数式求值4.若a﹣b＝3，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．3 B．4 C．9 D．12【答案】C【解答】解：a3b﹣2a3b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2将a﹣b＝3，ab＝1代入，原式＝1×32＝9，故选：C．【知识点】整式的混合运算—化简求值5.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b【答案】A【解答】解：由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2故选：A．【知识点】二次根式的性质与化简、实数与数轴6.若一个正比例函数的图象经过点A（1，﹣2），B（m，4）两点，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【答案】B【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），将A（1，﹣2）代入y＝kx，得：﹣2＝k，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x．当y＝4时，﹣2m＝4，解得：m＝﹣2．故选：B．【知识点】待定系数法求正比例函数解析式7.下列分式方程无解的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵方程A去分母，得2x＝3（x﹣3），解得x＝9，当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以原方程的解为x＝9；方程B去分母，得x2﹣1＝2x﹣2，解得x＝1，当x＝1时，（x﹣1）（x2﹣1）＝0，所以原方程无解；方程C去分母，得x+3﹣4x＝0，解得x＝1，当x＝1时，2x（x+3）≠0，所以原方程的解为x＝1；方程D去分母，得3x＝2x+3x+3，解得x＝﹣，当x＝﹣时，3x+3≠0，所以原方程的解为x＝﹣．故选：B．【知识点】分式方程的解8.当时，x+y的值为（）A．2 B．5 C．D．【答案】D【解答】解：∵+＝﹣，∴两边平方得出x+y+2＝8﹣2，∵＝﹣，∴两边同乘2，得2＝2﹣2，∴x+y+2﹣2＝8﹣2，则x+y＝8﹣4+2．故选：D．【知识点】二次根式的化简求值9.已知变量y与x的关系满足下表，那么能反映y与x之间的函数关系的解析式是（）x…﹣2 ﹣10 1 2 …y…4 3 2 1 0…A．y＝﹣2x B．y＝x+4 C．y＝﹣x+2 D．y＝2x﹣2【答案】C【解答】解：设y与x之间的函数关系的解析式是y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，y与x之间的函数关系的解析式是y＝﹣x+2．故选：C．【知识点】待定系数法求一次函数解析式10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣9，7），B（﹣3，0），点P在x轴的正半轴上运动，将线段AB沿直线AP翻折到AC，当点C恰好落在y轴上时，直线AP对应的函数表达式可以是（）A．y＝x+8 B．y＝﹣C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x+4【答案】B【解答】解：连接BC，交P A于Q，由题意可知，P A垂直平分BC，设直线P A的解析式为y＝kx+b，把A（﹣9，7）代入得，7＝﹣9k+b，∴b＝9k+7，∴直线P A的解析式为y＝kx+9k+7，设直线BC的解析式为y＝﹣x+n，把B（﹣3，0）代入得0＝+n，∴n＝﹣，∴C（0，﹣），∴Q（﹣，﹣），∵Q在直线P A上，∴﹣＝﹣k+9k+7，整理得，15k2+14k+3＝0，解得k1＝﹣，k2＝﹣，∴直线P A的解析式为y＝﹣x+，或y＝﹣x+4，故选：B．【知识点】待定系数法求一次函数解析式二、填空题（共8小题）11.用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为﹣．【答案】（x-1）2=7【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，配方得：x2﹣2x+1＝7，即（x﹣1）2＝7．故答案为：（x﹣1）2＝7．【知识点】解一元二次方程-配方法12.如图，字母b的取值如图所示，化简：|b﹣1|+＝．【答案】4【解答】解：由数轴得2＜b＜5，所以原式＝|b﹣1|+＝|b﹣1|+|b﹣5|＝b﹣1+5﹣b＝4．故答案为4．【知识点】实数与数轴、二次根式的性质与化简13.若关于x的方程﹣1＝有无解，则m＝﹣﹣．【解答】解：去分母得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，整理得：（2m+1）x＝﹣6，当2m+1＝0，即m＝﹣时，整式方程无解，即分式方程无解；当2m+1≠0，即m≠﹣时，x＝﹣，由分式方程无解，得到x＝0或x＝3，把x＝0代入整式方程无解；把x＝3代入整式方程得：m＝﹣，综上，m＝﹣或﹣，故答案为：﹣或﹣【知识点】分式方程的解14.如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．【解答】解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD，∵BC＝3，∴CD+2CD＝3，∴CD＝，∴DB＝2，故答案为：2．【知识点】勾股定理、含30度角的直角三角形16.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b均为常数）与正比例函数y＝k2x（k2为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为．【答案】x＜3【解答】解：两条直线的交点坐标为（3，﹣1），且当x＜3时，直线y＝k2x在直线y＝k1x+b的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＜3．故答案为x＜3．【知识点】一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象17.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．若劣弧的长为，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：连接OA，如图，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵劣弧的长为，∴＝，解得OC＝2，∵∠D＝30°，∠DOA＝60°，∴∠OAD＝90°，∴AD＝OA＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△AOD﹣S扇形AOC＝×2×2﹣＝2﹣π．故答案为2﹣π．【知识点】弧长的计算、扇形面积的计算、圆周角定理18.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为直线x＝﹣1．则该抛物线的解析式为﹣﹣．【答案】y=-x2-2x+3【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴A点坐标为（﹣3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1），解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3．故答案为y＝﹣x2﹣2x+3．【知识点】抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质三、解答题（共8小题）19.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【解答】解；解不等式x+1＜2，得：x＜1，解不等式2（1﹣x）≤6，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【知识点】在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组20.（1）解方程：．（2）关于x的分式方程无解，求a的值．【解答】解：（1）方程整理得：+＝+，即＝，当2x+8＝0，即x＝﹣4时，方程成立；当2x+8≠0，即x≠﹣4时，方程无解，经检验x＝﹣4是分式方程的解；（2）去分母得：x2﹣ax﹣3x+3＝x2﹣x，即﹣ax﹣3x+3＝﹣x，由分式方程无解，得到x＝0或x﹣1＝0，解得：x＝0或x＝1，把x＝0代入整式方程得：无解；把x＝1代入整式方程得：a＝0，则a的值为1．【知识点】分式方程的解、解分式方程21.某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为168m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长．（2）养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你用配方法求出；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x 米，则x（40﹣2x）=168，整理得：x2﹣20x+84=0，解得：x1=14，x2=6，∵墙长25m，∴0≤BC≤25，即0≤40﹣2x≤25，解得：7.5≤x≤20，∴x=14．答：鸡场垂直于墙的一边AB的长为14米．（2）围成养鸡场面积为S，则S=x（40﹣2x）=﹣2x2+40x=﹣2（x2﹣20x）=﹣2（x2﹣20x+102）+2×102=﹣2（x﹣10）2+200，∵﹣2（x﹣10）2≤0，∴当x=10时，S有最大值200．即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积最大，最大值200米2．【知识点】一元二次方程的应用、二次函数的应用、配方法的应用22.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝5cm，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）平行四边形ABCD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分），∵△AOB是等边三角形（已知），∴OA＝OB＝OC＝OD（等量代换），∴AC＝BD（等量代换），∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；（2）因为AB＝5，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝10，则BC＝＝5，所以平行四边形ABCD的面积S＝5×5＝25（cm2）．【知识点】等边三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质23.如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝8，点D、E分别在边AB、BC上（不与顶点重合），且∠CDE＝∠A＝∠B，CE＝5，设AD＝x，BD＝y．（1）求y关于x的函数关系式（不用写x的取值范围）；（2）当AB＝10时，求AD的值．【解答】解：（1）∵CB＝8，CE＝5，∴BE＝CB﹣CE＝3，∵∠ADB是△ADC的一个外角，∴∠BAE+∠CDE＝∠A+∠ACD，∵∠CDE＝∠A，∴∠ACD＝∠BDE，∵∠A＝∠B，∴△ACD∽△BDE，∴＝，即＝，整理得，y＝；（2）当AB＝10，即x+y＝10时，10﹣x＝，整理得，x2﹣10x+24＝0，解得，x1＝4，x2＝6，则AD的值为4或6．【知识点】等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质24.四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．【解答】解：（1）∵BC＝CD，∴＝，∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝35°；（2）连接BD，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵OC∥AB，∴∠BAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ACO＝30°．【知识点】圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质、圆周角定理25.如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵AB⊥OD，∴∠OCB＝90°，AC＝BC＝AB＝，∵点C为OD的中点，∴OC＝OB，∵cos∠COB＝＝，∴∠COB＝60°，∴OC＝BC＝×＝1，∴OB＝2OC＝2，∴OD＝OB＝2；（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB＝﹣××1＝π﹣．【知识点】勾股定理、垂径定理、扇形面积的计算26.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．已知B（1，0），C（0，﹣3）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AP，AP的垂直平分线交直线PE于点M，则线段EM 的长为．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（0，﹣3），代入得：，解得：，∴抛物线表达式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）∵直线PE为抛物线对称轴，∴E（﹣1，0），∵B（1，0），∴A（﹣3，0），∴AP＝＝，∵MN垂直平分AP，∴AN＝NP＝，∠PNM＝90°，∵∠APE＝∠MPN，∴△PMN∽△P AE，∴，即，解得：PM＝，∴EM＝PE﹣PM＝4﹣＝，故答案为：．【知识点】二次函数图象与系数的关系、线段垂直平分线的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征。

2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想一、分类思想：是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。

分类要做到不遗漏，不重复。

分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。

分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。

二、引起分类讨论的原因主要有：1．涉及的数学概念是分类进行的2．涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的3．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论4．某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等三、分类讨论的步骤：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准，合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论。

四、主要分类有：1.数与代数中的分类2.几何中图形位置关系不确定的分类。

3.动点引起的分类（一）.数与代数中的分类1.概念中的分类例.1.|m-n| =n-m,且|m| =4,|n| =3,则(m+n)²=（）解∵|m| =4,|n| =3,所以 m=±4,n=±3,又∵|m-n| =n-m,所以 n-m ≥0,n ≥m. 当 n=3时,m 可能取的值为-4, (m+n)²＝1; 当 n=-3 时,m 可能取值为-4,则(m+n)²＝49, 所以(m+n)²的值是 49 或 1.小结：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的,正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误.练习．（1）已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则______（2）已知a ，b 为有理数，且ab>0，则 的值为( )2..(2009 年钦州)当 b ≠0 时,比较1+b 与1 的大小; 解∵b ≠0 时, ∴ b>0 或 b<0. 当 b>0 时,1+b>1; 当 b<0 时,1+b<1.小结：用分类讨论可以判断大小。

中考数学：数学思想全梳理3—分类讨论思想模块三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．角度1：分类讨论在数轴方面的运用1．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？【分析】从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负．那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题．【解析】设甲数为x，乙数为y，由题意得：|x|＝3|y|，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x＜0，y＞0，故y+x＝8，即y+3y＝8，则4y＝8，所以y＝2，x＝﹣6，若x在原点右侧，y在原点左侧，即x＞0，y＜0，则﹣4y＝8，所以y＝﹣2，x＝6；（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x＜0，y＜0，则﹣2y＝8，所以y＝﹣4，x＝﹣12，若x、y在原点右侧，即x＞0，y＞0，则2y＝8，所以y＝4，x＝12．角度2：分类讨论思想在绝对值方面的运用2．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的2倍，两数在数轴上对应两点之间的距离为6，这两数的积为72，﹣8．【分析】根据绝对值的定义和正负数的意义，利用分类讨论的思想：同在原点的右侧，设乙为x，则甲为2x，由题意可得2x﹣x＝6，可得甲数和乙数；若同在原点的左侧，设乙为x，则甲为2x，x﹣2x＝6，可得甲数和乙数；在原点的两侧，设乙为x，则甲为﹣2x，由题意可得x+2x＝6，可得甲数和乙数；若原点的两侧，设乙为﹣x，则甲为2x，﹣x+2x＝6，可得甲数和乙数．再写出即可求解．【解析】①同在原点的右侧，设乙为x，则甲为2x，由题意可得2x﹣x＝6，解得x＝6，2x＝12，xy＝6×12＝72；②若同在原点的左侧，设乙为x，则甲为2x，由题意可得x﹣2x＝6，解得x＝﹣6，﹣2x＝﹣12，xy＝（﹣6）×（﹣12）＝72；③在原点的两侧，设乙为x，则甲为﹣2x，由题意可得x+2x＝6，解得x＝2，﹣2x＝﹣4，xy＝2×（﹣4）＝﹣8；④若原点的两侧，设乙为﹣x，则甲为2x，由题意可得﹣x﹣2x＝6，解得x＝﹣2，﹣2x＝4，xy＝﹣2×4＝﹣8；故这两数的积为72，﹣8．角度3：分类讨论思想在有理数混合运算方面的运用3．（1）若a2＝16，|b|＝3，且ab＜0，求a+b的值；（2）已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是5，求m2﹣（﹣1）+2015 2016（a+b）﹣cd的值．【分析】（1）根据a2＝16，|b|＝3，且ab＜0，可以得到a、b的值，从而可以求得a+b的值；（2）根据a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是5，可以得到a+b、cd、m2的值，从而可以求得所求式子的值．【解析】（1）∵a2＝16，|b|＝3，∴a＝±4，b＝±3，又∵ab＜0，∴a＝4，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝3，当a＝4，b＝﹣3时，a+b＝4+（﹣3）＝1，当a＝﹣4，b＝3时，a+b＝（﹣4）+3＝﹣1；（2）∵a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是5，∴a+b＝0，cd＝1，m2＝25，∴m2﹣（﹣1）+20152016（a+b）﹣cd＝25+1+20152016×0−1＝25+1+0﹣1＝25．角度4：分类讨论思想在实际方面的应用4．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，她购买商品的价格为多少元时，两个方案所付金额相同？（3）购买商品的价格＞1120时，采用方案一更合算．【分析】（1）根据实际支付费用＝商品价格×折扣率即可算出结果；（2）假设她购买商品的价格为x元时，两个方案所付金额相同，根据两种方案所付金额相同即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设她购买商品的价格为y元时，采用方案一更合算，根据方案一所付金额小于方案为所付金额即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解析】（1）120×9.510=114（元）．答：实际应支付114元．（2）设她购买商品的价格为x元时，两个方案所付金额相同，根据题意得：168+810x=9.510x，解得：x＝1120．答：她购买商品的价格为1120元时，两个方案所付金额相同．（3）设她购买商品的价格为y元时，采用方案一更合算，根据题意得：168+810y＜9.510y，解得：y＞1120．故答案为：＞1120．角度5：分类讨论思想在动点函数图象方面的运用5．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD ﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P 可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．【解析】由题意可得BQ＝x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，则△BPQ的面积=12BP•BQ，解y=12•3x•x=32x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQ•BC，解y=12•x•3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9﹣3x，则△BPQ的面积=12AP•BQ，解y=12•（9﹣3x）•x=92x−32x2；故D选项错误，选C．角度6：分类讨论思想在抛物线与x轴交点问题方面的运用6．已知m为实数，如果函数y＝2mx2+（m+2）x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么m的值为．【分析】分类讨论：当2m＝0时，即m＝0，函数为一次函数，其图象与x轴有且只有一个交点；当2m≠0，即m≠0时，函数为二次函数，根据抛物线与x轴的交点问题，当△＝（m+2）2﹣4•2m＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，然后解关于m的一元二次方程．【解析】当2m＝0时，即m＝0，函数解析式变形为y＝2x+1，此函数为一次函数，其图象与x轴有且只有一个交点；当2m≠0，即m≠0时，函数图象为抛物线，当△＝（m+2）2﹣4•2m＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，解得m＝2，所以当m＝0或2时，函数y＝2mx2+（m+2）x+1的图象与x轴有且只有一个交点．故答案为0或27．已知关于x的二次函数y＝（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1的图象与x轴总有交点，求m的取值范围．【分析】因为题中条件要求该函数为关于x的二次函数，所以只用根据二次函数与x轴交点的个数的判定，即b2﹣4ac与0的等量关系即可．【解析】关于x的二次函数y＝（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1的图象与x轴总有交点，所以4（m﹣1）2﹣4（m+6）（m+1）≥0，解得m≤−5 9，又因为该函数是关于x的二次函数，所以m+6≠0，所以m≠﹣6，所以m的取值范围是：m≤−59且m≠−6．角度7：分类讨论思想在几何中的运用8．如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么该三角形的周长为【分析】题目给出等腰三角形有两条边长分别为23cm和10cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】当腰为23cm时，周长＝23+23+10＝56cm；当腰长为10cm时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为23cm，这个三角形的周长是56cm．故答案为：56cm．。

数学思想方法复习专题常用的数学思想（数学中的四大思想）：1、函数与方程的思想 2、数形结合思想 3、分类讨论思想 4、等价转化思想常用的数学方法：主要有换元法、配方法和待定系数法三种。

一、函数与方程的思想（整体思想）1、已知x 1、x 2是方程2x 2－2x ＋3m －1=0的两实根，且x 1、x 2满足不等式142121<-+x x x x ,则实数m 的取值范围是 ；2、已知a 是方程x 2－4x ＋1=0两根的比例中项，且a 为正值，负数b 是方程x 2＋10x ＋4=0两根的比例中项，则a －b= ；3、（04东城区）解方程（组）： （1）3(1)21x x +-=+ （2）117121112x y xy +==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4、某城市有一条长18千米的环形的环城公路( 如图), 甲骑自行车以每分钟300米的速度从A 点出发, 沿环城公路行驶。

设甲出发x 分钟后, 乙骑自行车以每分钟500米的速度从A 点出发, 按甲行驶的路线去给甲送一份加急电报。

又设乙需要用y 分钟才能把电报送到甲的手中,（1）写出y 与x 的函数关系式, 并求出自变量x 的取值范围。

（2）乙将如何选择行驶路线, 才能用最短时间把电报送到甲的手中?5、（05长沙）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之问存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？6、已知：如图，⊙O 的直径AB=12㎝，AM 、BN 是⊙O 的切线，在AM 上取一点D(D 与A 不重合)，DE 切⊙O 于E ，且DE 的延长线与BN 交于C 点，设AD=x ，BC=y 。

2019年中考数学复习：常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。

数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。

在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。

如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。

3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。

为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。

5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。

配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。

换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然，则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。

这种思维过程通常称为“执果寻因”8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果”9、演绎法：由一般到特殊的推理方法。