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刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第13章 能量方法【圣才出品】

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刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲应力)【圣才出品】

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲应力)【圣才出品】
W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
对于圆形截面
W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
对于环形截面
W D3 1 4 32
式中，α＝d/D，d为内径，D为外径。
2．弯曲正应力强度条件 σmax＝Mmax/W≤[σ] 强度条件的应用： ①强度校核 Mmax/W≤[σ] ②截面设计 W≥Mmax/[σ] ③确定许可载荷 Mmax≤W[σ]
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图 5-1-5 2．选择合理的截面（提高抗弯截面系数） （1）合理的截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面系数 W 较大，常见截面的 W/A 值如表 5-1-2 所示。
FS I z b0
bh2 8
bh02 8
（3）翼缘主要承担了作用于工字形截面梁上的弯矩，通常不计算翼缘上的切应力。
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3．圆形截面梁 （1）切应力分布特点 边缘各点的切应力与圆周相切；y 轴上各点的切应力沿 y 轴，如图 5-1-3 所示。 （2）计算假设 AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量 y 相 等。

（1）变形几何关系：服从平面假设 应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。 （2）物理关系：满足胡克定律 应力分布规律：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。 （3）静力关系 纯弯曲时，梁轴线变形后的曲率 1/ρ＝M/（EIz）。由于曲率 1/ρ 与 EIz 成反比，因此称 EIz 为梁的抗弯刚度。联立胡克定律：σ＝Ey/ρ 可得纯弯曲时正应力计算公式 σ＝My/Iz 式中，M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面应力计算点到中性轴的距离；Iz为梁横截 面对中性轴的惯性矩。 适用范围：①适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况；②公 式由等直梁得到，对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
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ql3/6，D＝－ql4/24。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(应力和应变分析强度理论)【圣才出品】

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平面的外法线方向。
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三、三向应力状态分析 1．三向应力圆 如图 7-1-4 所示，以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂直的平面分别作应力圆， 将三个平面的应力圆绘在同一平面上得到三向应力状态下的应力圆，如图 7-1-5 所示。与 每一主应力所对应的应力圆可由与该主平面相正交的其余面上的应力作出。 注意：作三向应力圆应至少知道一个主应力的大小和方向。
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实例：在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态，可以作为三向应力状态的实例。 二、二向应力状态分析 1．解析法 如图 7-1-1（a）所示，一单元体 abcd 处于平面应力状态，采用截面法取左边部分单 元体 eaf 为研究对象，如图 7-1-1（b）所示。
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图 7-1-3（a）
图 7-1-3（b） ③求主应力数值和主平面位置 a．求主应力数值的方法 如图 7-1-3（b）所示，点 A1 和点 B1 分别为代表最大主应力和最小主应力，其大小为
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第 7 章 应力和应变分析强度理论
7.1 复习笔记
一、应力状态 一点的应力状态：过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态的研究对象是单元体，其特征为：①单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀 分布；②任意一对平行平面上的应力相等。 主单元体是指各侧面上切应力均为零的单元体。其中，单元体上切应力为零的面称为主 平面，主平面上的正应力称为主应力。 说明：一点处必定存在一个单元体，使得三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直 的主应力分别记为 σ1、σ2、σ3，且规定按代数值大小的顺序来排列，即 σ1≥σ2≥σ3。 应力状态分类及实例 （1）单向应力状态：也称为简单应力状态，三个主应力 σ1、σ2、σ3 中只有一个不等 于零。 实例：简单的拉伸或压缩。 （2）平面（二向）应力状态：三个主应力 σ1、σ2、σ3 中有两个不等于零。 实例：薄壁圆筒横截面上的点和圆形容器包含直径的任意横截面上的点。 （3）空间（三向）应力状态：和平面应力状态统称为复杂应力状态，三个主应力 σ1、 σ2、σ3，均不等于零。

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(压杆稳定)【圣才出品】

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(压杆稳定)【圣才出品】

所示。
表 9-1-2
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（2）关于欧拉公式的讨论 ①相当长度 μl 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度 μl，它是各种支承条件下， 细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。 ②横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩；杆端 在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力，I 为其相应中性轴的惯性矩。 三、欧拉公式的适用范围及临界应力总图 1．相关概念
图 9-1-1
选取坐标系如图 9-1-1 所示，距原点为 x 的任意截面的挠度为 w，则弯矩 M＝－Fw。
根据压杆变形后的平衡状态，得到杆的挠曲线近似微分方程
d2w dx2
M EI
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通过对该方程的求解可得到使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力，即两端铰支细长压杆 临界力为
π 2 EI Fcr l 2
上述计算公式称为两端铰支压杆的欧拉公式。
2．欧拉公式的普遍形式
Fcr
π 2 EI
l 2
式中，μl 为相当长度；μ 为长度因数，与压杆的约束情况有关；I 为横截面对某一形心
主惯性轴的惯性矩。
（1）各种支承情况下等截面细长压杆的长度因数及临界压力的欧拉公式，如表 9-1-2
对比项目 平衡状态
应力 平衡方程 极限承载能力
强度问题 直线平衡状态不变
达到限值 变形前的形状、尺寸
实验确定
稳定问题 平衡形式发生变化
可能小于限值 变形后的形状、尺寸

刘鸿文《材料力学》考研复习笔记

刘鸿文《材料力学》考研复习笔记

绪论一、材料力学的发展材料力学源于人们的生产经验，是生产经验的提炼和浓缩，同时形成理论后又应用于指导生产实践和工程设计。

公元前2250年，古巴比伦王汉谟拉比法典公元1103年，宋代李诫《营造法式》1638年，伽利略，梁的强度试验和计算理论1678年，英国科学家R.Hooke的胡克定律二、材料力学的任务在构件能安全工作的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适当的材料，为构件的设计提供必要的理论基础和计算方法。

构件安全工作的条件有以下三条：（1）具有必要的强度，指构件抵抗破坏的能力。

构件在外力作用下不会发生破坏或意外的断裂。

（2）具有必要的刚度，指构件抵抗弹性变形的能力。

构件在规定的使用条件下不会产生过份的变形。

（3）具有必要的稳定性，指构件保持原始平衡构形的能力。

构件在规定的使用条件下，不会发生失稳现象。

三、材料力学的研究对象材料力学主要研究对象是构件中的杆以及由若干杆组成的简单杆系等。

杆件的形状与尺寸由其轴线和横截面确定。

轴线通过横截面的形心，横截面与轴线正交。

根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。

四、材料力学基本假设材料力学中，构成构件的材料皆视为可变形固体。

（1）均匀、连续假设：构件内任意一点的材料力学性能与该点位置无关，且毫无空隙地充满构件所占据的空间。

（2）各向同性假设：构件材料的力学性能没有方向性。

（3）小变形假设：本课主要研究弹性范围内的小变形。

小变形假设可使问题得到如下的简化：a).忽略构件变形对结构整体形状及荷载的影响；b).构件的复杂变形可处理为若干基本变形的叠加。

（4）大多数场合局限于线性弹性当以上条件部分不能满足时，须采用其他力学理论如结构力学（杆系）、弹性力学（研究对象的差异）、塑性力学、断裂力学、损伤力学、连续介质力学以及随着计算机技术的发展而越来越受到重视的计算力学等等。

本课程材料力学是基础。

五、杆件的基本受力形式杆件受外力作用后发生的变形是多种多样的，但最基本的变形是以下四种：拉伸(或压缩)（第1章）固体；对材料所作的基本假设为均匀连续、各向同性、小变形且大多数情况为线弹性；材料力学研究的对象是杆件；杆件的基本受力形式是拉伸(或压缩)、剪切、扭转、弯曲。

武汉理工大学材料力学第13章(能量方法复习)-06

武汉理工大学材料力学第13章(能量方法复习)-06
A
a B l
q
C
解：
C 1 [1 M1 2 M 2 3 M 3 ]
EI
1 [( 1 Fa a )1 EI 2
ql2 8
3 1 2
Fa 1
C
M1 M2 M 3
1 2 ( Fa l ) 2 3 ql 2 ( l ) 1 ] 8 2
3 ql ( 1 l ) EI 2 3a 24 EI
2 ( x )dx M 弯曲： Vε 2 EI
二、 变能的普遍表达式
W 1 F1 1 1 F2 2 1 F3 3 2 2 2
2l FN T 2 ( x) M 2 ( x) Vε L dx L dx 2 EA 2GI P 2 EI
三、 位移互等定理 F1
第十三章 能量方法
§13–1 概述 §13–2 杆件应变能的计算 §13–3 应变能的普遍表达式
§13–4 互等定理
§13–7 单位载荷法 莫尔积分 §13–8 计算莫尔积分的图乘法
一、杆件基本变形的变形能计算公式
2l FN i i 拉压： Vε i 1 2 Ei Ai n
T 2 ( x ) dx 扭转： Vε 2G Ip
③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。
④ M ( x )与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 ⑤莫尔积分必须遍及整个结构。
六、 计算莫尔积分的图乘法
M ( x)M ( x) d x 对于梁： L EI
MC EI
[例13-15] 已知：梁的抗弯刚度为EI，载荷F，求A点的转角。 F
Fa 2
1
[例] 等截面刚架，EI为已知。试求截面C的垂直位移。 Me

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第11~13章【圣才出品】


（d）已知 则应力幅： 平均应力： 故斜率： 对应点如图 11-10 所示。
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图 11-8
解：（1）校核 1-1 截面
该截面的弨矩：
则该截面最大正应力：
根据题意，1-1 截面： D 133 1.23, R 20 0.185
d 108
d 108
由此查表得弨曲时的有效应力集中系数：
二、交变应力的循环特征、应力幅和平均应力
图 11-1
如图 11-1 所示，按正弦曲线变化的应力 ζ 不时间 t 的关系，在一个周期 T 内完成一个
应力循环，该交变应力的最大应力和最小应力分别记作 σmax 和 σmin，则该交变应力有：
循环特征（应力比）：
；
应力幅：
；
平均应力：
。
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②查教材图 11-8（c）， b 920 MPa ，插值得扭转时的有效应力集中因数 K 1.26 ； 查教材表 11.1，得扭转时的尺寸因数 0.81。
11.5 货车轮轴两端载荷 F＝110 kN，材料为车轴钢，σb＝500 MPa，σ-1＝240 MPa。 规定安全因数 n＝1.5。试校核 1-1 和 2-2 截面的弫度。
解：根据题意，最大应力：
最小应力： 则平均应力： 应力幅：
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循环特征：
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曲线如图 11-4 所示。
图 11-4
11.3 某阀门弪簧如图 11-5 所示。当阀门关闭时，最小工作载荷 Fmin＝200 N；当阀
门顶开时，最大工作载荷 Fmax ＝500 N。设簧丝的直徂 d＝5 mm，弪簧外徂 D1＝36 mm，

刘鸿文材料力学习题册

材料力学A习题册学院专业学号教师学生姓名练习1 绪论及基本概念1-1 是非题（1）材料力学是研究构件承载能力的一门学科。

（）（2）可变形固体的变形必须满足几何相容条件，即变形后的固体既不可以引起“空隙”，也不产生“挤入”现象。

（）（3）构件在载荷作用下发生的变形，包括构件尺寸的改变和形状的改变。

（）（4）应力是内力分布集度。

（）（5）材料力学主要研究构件弹性范围内的小变形问题。

（）（6）若物体产生位移，则必定同时产生变形。

（）（7）各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的变形。

（）（8）均匀性假设认为，材料内部各点的力学性质是相同的。

（）（9）根据连续性假设，杆件截面上的内力是连续分布的，分布内力系的合力必定是一个力。

（）（10）因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。

（）1-2 填空题（1）根据材料的主要性质对材料作如下三个基本假设：、、。

（2）工程中的，是指构件抵抗破坏的能力；，是指构件抵抗变形的能力。

（3）保证构件正常或安全工作的基本要求包括，，和三个方面。

（4）图示构件中，杆1发生变形，杆2发生变形，杆3发生变形。

（5）认为固体在其整个几何空间内无间隙地充满了物质，这样的假设称为。

根据这一假设构件的应力，应变和位移就可以用坐标的函数来表示。

（6）图示结构中，杆1发生变形，构件2发生变形，杆件3发生变形。

（7）解除外力后，能完全消失的变形称为，不能消失而残余的的那部分变形称为。

（8）根据条件，可以认为构件的变形远其原始尺寸。

1-3 选择题（1）材料力学中对构件的受力和变形等问题可用连续函数来描述；通过试件所测得的材料的力学性能，可用于构件内部的任何部位。

这是因为对可变形固体采用了（）假设。

（A）连续均匀性；（B）各向同性；（C）小变形；（D）平面。

（2）研究构件或其一部分的平衡问题时，采用构件变形前的原始尺寸进行计算，这是因为采用了（）假设。

（A）平面；（B）连续均匀性；（C）小变形；（D）各向同性。

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲变形)【圣才出品】

3．积分法的原则 以图 6-1-3 所示简支梁为例说明积分法的原则：
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图 6-1-3
（1）对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的，
所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程，只增加了（x－a）的项；
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图 6-1-1
2．挠曲线微分方程
（1）由纯弯曲变形和横力弯曲变形忽略剪切应力的情况下，弯矩与曲率间的关系式
1
x
M x
EI
并根据数学计算得挠曲线的微分方程
d2w
dx2
3
1
dw dx
2
2
M x
确定的挠度和转角，在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯一的。
三、用叠加法求弯曲变形
1．叠加原理
梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项载荷（可以是集中力，集中力偶
或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一载荷单独作用下该截面的挠度和转角
的叠加。当每一项载荷所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向），其转角是在同一平面
（2）对（x－a）的项作积分时，应该将（x－a）项作为积分变量，从而简化了确定积
分常数的工作；
（3）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（4）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（5）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应
作为分段点；
（6）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一
内（如均在 xy 平面内）时，则叠加就是代数和，即

刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第3~4章【圣才出品】

Me 2 r 2
2．切应力互等定理
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单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面 的交线，方向则共同挃向或共同背离这一交线。
3．剪切胡克定律
（1）纯剪切
若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例枀限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
ν
1
2
2
2G
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
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三、囿轴扭转时的应力和变形 1．囿轴扭转时的应力 （1）应力计算公式 推导囿轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。 ①变形几何关系：囿轴扭转的平面假设； ②物理关系：剪切胡克定律； ③静力关系：横截面上的内力系对囿心的力矩合成为扭矩。 如图 3-1-2 所示，横截面上任一点的切应力为 τρ＝Tρ/Ip 囿截面边缘的最大切应力 τmax＝TR/Ip＝T/Wt 式中，ρ 为应力点到囿心的距离；Ip 为横截面的枀惯性矩；Wt 为扭转截面系数。
4c 1 4c 4
0.615 c
8FD πd 3
k
8FD πd 3
式中，c 为弹簧挃数，c＝D/d；k 为曲度系数
k 4c 1 0.615 4c 4 c
（3）强度条件
τmax≤[τ]
2．弹簧的变形计算
在作用点在弹簧圀中心的力 F 的作用下，沿力的作用方向的位秱
8FD3n 64FR3n F
图 3-1-2 对于直徂为 D 实心囿形截面 Ip＝πD4/32，Wt＝πD3/16 对于内徂为 d，外徂为 D 的空心囿截面
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第13章 能量方法

13.1 复习笔记
一、应变能的普遍表达式
1．杆件应变能的计算
（1）轴向拉伸或压缩
线弹性范围内，轴力沿轴线变化的杆件，总的应变能为

2
d2NlFxx

VEA

2
2

22NFlEA(l)VWEAl



轴向拉伸应变能密度为
2
1

22νE




（2）纯剪切
线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：
2
1

22ετντγG


杆件总的应变能为：
dVVνV

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（3）扭转

线弹性范围内，在扭矩T作用下，杆件总的应变能为：

2
d2lpTxx

VGI

（4）弯曲
线弹性范围内，全梁的应变能为：

2
d2lMxx

VEI

2．普遍表达式
Vε＝Fδ/2
式中，δ为F作用点沿F方向因F作用而引起的位移。

图13-1-1
克拉贝依隆原理：受多个外力作用的线弹性体，其总应变能等于各外力单独作用产生的
应变能之和，即
Vε＝W＝F1δ1/2＋F2δ2/2＋F3δ3/2＋…
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如图13-1-1所示，在组合变形作用下，整个杆件的应变能

222
ddd222NlllpFxxMxxTxx

VEAEIGI


二、互等定理
如图13-1-2所示，依次在构件上作用两组力F1、F2和F3、F4，可得到构件的应变能

图13-1-2
1112233441122
1111
2222
VFFFFFF

在线弹性范围内，应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关，更换两组力
的作用次序得

1334411223344
1111
2222
VFFFFFF

1．功的互等定理
第一组力F1、F2在第二组力F3、F4引起的位移上所作的功，等于第二组力F3、F4在第
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一组力F1、F2引起的位移上所作的功，可表示为

F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4

2．位移的互等定理
若只有F1和F3作用且F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移，等于F3作用点沿
F3方向因作用F1而引起的位移，可表示为
δ′1＝δ′3

三、卡氏定理
若将结构的应变能表达为载荷Fi（i＝1，2，3，…）的函数，则应变能对任一载荷F
i

的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移δi，可表示为

i
i

VF

此处卡式定理具体是指卡式第二定理，只适用于线弹性结构。
卡式第一定理（适用于线性、非线性弹性结构）：若结构应变能用位移δi（i＝1，2，3，…）
的函数来表述，那么应变能对任一位移δi的偏导数就等于该位移方向上的荷载Fi，可表示
为

1,2,,,iiiVF


四、莫尔定理与图乘法
1．莫尔定理
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虚功原理：外力所做的虚功等于内力在相应虚位移上所做的功，也等于杆件的虚应变能。

虚功原理与材料性能无关，适用于线弹性材料和非线性弹性材料；力和位移呈非线性关系的
结构也可使用虚功原理。
单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位移，在该点作用一单位力，在单位力单独作
用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为F＿N（x）、M＿（x）和T＿（x），并将已知外力作
用下的位移作为虚位移，利用虚功原理求解。
若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：
（1）对于抗弯为主的杆件，点的位移：

dlMxMxx

EI


（2）对有n根杆的杆系，点的位移：

1nNiNiiiiFFlEA


（3）对于受扭杆件某一截面的转角有：

dlpTxTxx

GI


2．图乘法
利用图乘法可简化对莫尔积分的运算，莫尔积分中有

dClMxMxxM

其中，M＿C为M＿（x）图中与M（x）图的形心C对应的坐标。
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对于计算过程中常用图形的面积和形心C位置的计算公式如图13-1-3所示。

图13-1-3
13.2 课后习题详解
说明：在以下习题中，如无特别说明，都假定材料是线弹性的。
13.1 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图13-2-1所示，其中一根为等截面杆，另
一根为变截面杆。试比较两根杆件的应变能。