生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
高考压轴大题突破练 (二)直线与圆锥曲线(2)
1.已知B是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的一点，F是椭圆右焦点，且BF⊥
x
轴，B1，32.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A1和A2是长轴的两个端点，直线l垂直于A1A2的延长线于点D，|OD|＝4，P是l上异于
点D的任意一点．直线A1P交椭圆E于M(不同于A1，A2)，设λ＝A2M→·A2P→，求λ的取值范围．
2．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点(2，2)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
3．已知椭圆C经过点P(3，12)，两焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A(0，－1)，直线l与椭圆C交于M，N两点．若△AMN是以A为直角顶点的等腰直
角三角形，试求直线l的方程．
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
4．(2015·四川)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是22，过点P(0,1)的动直线
l
与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.
(1)求椭圆E的方程；
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|＝
|PA|
|PB|
恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
答案精析
(二)直线与圆锥曲线(2)
1．解 (1)依题意得半焦距c＝1，设左焦点为F′，
∴|FF′|＝2c＝2，
又∵|BF|＝32，BF⊥x轴，
∴在Rt△BFF′中，|BF′|
＝BF2＋FF′2＝52，
∵2a＝|BF|＋|BF′|＝4，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝22－12＝3.
所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.
(2)由(1)知，A1(－2,0)，A2(2,0)．设M(x0，y0)．
∵M在椭圆E上，∴y20＝34(4－x20)．
由P，M，A1三点共线可得P4，6y0x0＋2.
∴A2M→＝(x0－2，y0)，A2P→＝2，6y0x0＋2.
∴A2M→·A2P→＝2(x0－2)＋6y20x0＋2＝52(2－x0)，
∵－2
解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为x28＋y24＝1.
(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入
x
2
8
＋y24＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝x1＋x22＝－2kb2k2＋1，yM＝k·xM＋b＝b2k2＋1.
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，
即kOM·k＝－12.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
3．解 (1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．
依题意，得2a＝|PF1|＋|PF2|
＝ 12＋14＋14＝4，
所以a＝2.
又c＝3，所以b2＝a2－c2＝1.
于是椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.
(2)依题意，显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx＋m，
由 x24＋y2＝1，y＝kx＋m，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，
得4k2－m2＋1>0.(*)
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x0，y0)，则 x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1，
于是x0＝－4km4k2＋1，y0＝kx0＋m＝m4k2＋1.
因为|AM|＝|AN|，线段MN的中点为Q，
所以AQ⊥MN.
①当x0≠0，即k≠0且m≠0时，
y
0
＋1
x
0
k＝－1，整理得3m＝4k
2
＋1.(**)
因为AM⊥AN，AM→＝(x1，y1＋1)，AN→＝(x2，y2＋1)，
所以AM→·AN→＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(m＋1)(x1＋x2)＋m2＋2m＋1＝(1＋
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
k
2
)4m2－44k2＋1＋
k(m＋1)(－8km4k2＋1)＋m2＋2m
＋1＝0，
整理得5m2＋2m－3＝0，
解得m＝35或m＝－1.
当m＝－1时，由(**)，知不合题意舍去．
由(*)(**)，知m＝35时，k＝±55.
此时直线l的方程为5x－5y＋3＝0或5x＋5y－3＝0.
②当x0＝0时．
(ⅰ)当k＝0时，直线l的方程为y＝m，代入椭圆方程中得x＝±21－m2.
设M(－21－m2，m)，N(21－m2，m)，依题意，若△AMN为等腰直角三角形，
则|QN|＝|AQ|，
即21－m2＝|1＋m|，
解得m＝－1(舍去)或m＝35，
故此时直线l的方程为y＝35.
(ⅱ)当k≠0且m＝0时，即直线l过原点．由椭圆的对称性有Q(0,0)，则依题意不能有AQ⊥
MN，即此时不满足△AMN
为等腰直角三角形．
综上，直线l的方程为y＝35或5x－5y＋3＝0或5x＋5y－3＝0.
4．解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E上，
因此 2a2＋1b2＝1，a2－b2＝c2，ca＝22，解得a＝2，b＝2，
所以椭圆E的方程为x24＋y22＝1.
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，
如果存在定点Q满足条件，
则有|QC||QD|＝|PC||PD|＝1，
即|QC|＝|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，2)，
(0，－2)，
由|QM||QN|＝|PM||PN|，有|y0－2||y0＋2|＝2－12＋1，
解得y0＝1，或y0＝2，
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2)，
下面证明：对任意直线l，均有|QA||QB|＝|PA||PB|，
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，
y
2
)，
联立 x24＋y22＝1，y＝kx＋1，
得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，
所以x1＋x2
＝－4k2k2＋1，
x1x
2
＝
－22k2＋1，
因此1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2k，
易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持
又kQA＝y1－2x1＝kx1－1x1＝k－1x1，
kQB′＝y2－2－x2＝kx2－1－x2＝－k＋1x2＝k
－1x1，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，
所以|QA||QB|＝|QA||QB′|＝|x1||x2|＝|PA||PB|，
故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立．
