高考压轴大题突破练 (二)直线与圆锥曲线(2)
1.已知B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一点，F 是椭圆右焦点，且BF ⊥x
轴，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设A 1和A 2是长轴的两个端点，直线l 垂直于A 1A 2的延长线于点D ，|OD |＝4，P 是l 上异于点D 的任意一点．直线A 1P 交椭圆E 于M (不同于A 1，A 2)，设λ＝A 2M →·A 2P →
，求λ的取值范围．
2．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，点(2，2)在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
3．已知椭圆C经过点P(3，1
2
)，两焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A(0，－1)，直线l与椭圆C交于M，N两点．若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程．
4．(2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是2
2
，过点P (0,1)的动直线l
与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆E 的方程；
(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝
|PA |
|PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案精析
(二)直线与圆锥曲线(2)
1．解 (1)依题意得半焦距c ＝1，设左焦点为F ′， ∴|FF ′|＝2c ＝2， 又∵|BF |＝3
2，BF ⊥x 轴，
∴在Rt △BFF ′中，|BF ′| ＝BF 2＋FF ′2
＝52
，
∵2a ＝|BF |＋|BF ′|＝4，∴a ＝2. ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝22
－12
＝3. 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)．设M (x 0，y 0)． ∵M 在椭圆E 上，∴y 20＝3
4(4－x 20)．
由P ，M ，A 1三点共线可得P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
4，
6y 0x 0＋2. ∴A 2M →＝(x 0－2，y 0)，A 2P →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2.
∴A 2M →·A 2P →
＝2(x 0－2)＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)，
∵－2∈(0,10)．
2．解 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2
b
2＝1，
解得a 2
＝8，b 2
＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 2
8
＋y 2
4
＝1， 得(2k 2
＋1)x 2
＋4kbx ＋2b 2
－8＝0. 故x M ＝
x 1＋x 2
2＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b
2k 2＋1
.
于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－1
2k
，
即k OM ·k ＝－1
2
.
所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
3．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
依题意，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝
12＋14
＋
1
4
＝4， 所以a ＝2.
又c ＝3，所以b 2
＝a 2
－c 2
＝1. 于是椭圆C 的标准方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)依题意，显然直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，
得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2
－4＝0.
由Δ＝64k 2m 2
－4(4k 2＋1)(4m 2
－4)>0， 得4k 2
－m 2
＋1>0.(*)
设M (x 1
，y 1
)，N (x 2
，y 2
)，线段MN 的中点为Q (x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝－8km
4k ＋1
，x 1x 2
＝4m 2
－4
4k 2
＋1，
于是x 0＝－4km 4k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝m
4k 2＋1.
因为|AM |＝|AN |，线段MN 的中点为Q ， 所以AQ ⊥MN .
①当x 0≠0，即k ≠0且m ≠0时，
y 0＋1
x 0
k ＝－1，整理得3m ＝4k 2＋1.(**) 因为AM ⊥AN ，AM →＝(x 1，y 1＋1)，AN →
＝(x 2，y 2＋1)，
所以AM →·AN →＝x 1x 2＋(y 1＋1)(y 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (m ＋1)(x 1＋x 2)＋m 2
＋2m ＋1＝(1＋
