数学思想方法在高等代数教学中的渗透

高等代数课程思政教学案例摘要：1.高等代数课程思政教学的重要性2.挖掘高等代数中的思政元素3.融合思政元素的教学方法4.高等代数课程思政教学的实践与探索5.结论正文：高等代数作为一门理论性较强的学科，在培养学生严谨的学术态度和逻辑思维能力方面具有重要意义。

然而，仅仅局限于理论知识的学习，容易使学生产生枯燥、厌学的情绪。

将思政教育融入高等代数教学中，不仅能够提升课程的趣味性，还能引导学生树立正确的价值观，实现知识传授与价值引领的有机统一。

一、高等代数课程思政教学的重要性1.提高学术水平和创新能力：通过马克思主义基本原理指导教学，运用辩证唯物主义方法阐释高等代数理论知识与研究方法，有助于学生深入理解学科内涵，提高学术水平和创新能力。

2.实现思想引领和价值引导：以历史唯物主义观点理解高等代数发展，有助于引导学生正确认识历史，树立正确的价值观，实现思想引领和价值引导。

3.培养全面发展的人才：将思政教育与专业知识教育相结合，注重培养学生的人格品质、社会责任感和创新精神，助力学生的全面发展。

二、挖掘高等代数中的思政元素1.借助古代数学家的成就：深入挖掘中国古代数学家的辉煌成就，以及他们在数学领域为人类做出的贡献，激发学生的民族自豪感和使命感。

2.融合数学史与思政教育：通过讲解数学发展史，使学生了解数学知识的产生、发展和完善过程，引导学生从中汲取思政教育元素。

3.关注数学家的精神品质：通过介绍数学家的生平事迹，强调他们严谨治学、勇攀科学高峰的精神品质，激发学生追求真理、勇攀科学高峰的热情。

三、融合思政元素的教学方法1.案例教学：结合高等代数教学内容，设计具有实际意义和思政教育价值的案例，引导学生通过分析、讨论和实践，深入理解思政教育理念。

2.探究式教学：鼓励学生通过自主学习、小组讨论等方式，探索高等代数中的思政教育元素，培养学生的独立思考能力和团队协作精神。

3.反思与评价：在教学过程中，教师要及时引导学生进行自我反思，评价自己在思政教育方面的表现，促进学生不断成长。

高等代数课程思政
高等代数课程思政是一个将高等代数课程与思想政治教育相结合的教学模式。

这种教学模式旨在将数学知识与思想政治教育的理念和方法相结合，使学生在学习数学知识的同时，提高思想政治素质。

在高等代数课程思政中，教师可以通过以下方式将数学知识与思想政治教育相结合：
1. 介绍数学史和数学文化：教师可以通过介绍数学史和数学文化，引导学生了解数学的发展历程和数学文化的内涵，培养学生的数学素养和爱国情感。

2. 强调数学的应用价值：教师可以通过强调数学的应用价值，引导学生认识到数学在各个领域的重要性，培养学生的实践能力和创新精神。

3. 挖掘数学中的哲学思想：教师可以通过挖掘数学中的哲学思想，引导学生思考数学的本质和意义，培养学生的思辨能力和批判精神。

4. 融入社会主义核心价值观：教师可以在教学中融入社会主义核心价值观，引导学生树立正确的价值观和道德观，培养学生的社会责任感和公民意识。

总之，高等代数课程思政是一种将数学知识与思想政治教育相结合的教学模式，旨在提高学生的数学素养和思想政治素质。

数分与高代相互渗透浅析姓名 史瑞东 指导教师 马金亭（太原师范学院吕梁办学点数学系0301班 山西.离石 033000）摘要 数分高代是大学数学专业两门独立的基础课，在大一初接触这两门课时，总感觉这两门课程的思想方法有很大区别，可随着专业课程的深入，特别是到了泛函、拓朴、数理统计、概率论等课程的展开，数分与高代中所体现的思想方法的交叉渗透越来越多。

本文就从一些很基础的方面以及一些常见的例题入手，浅析一下数分与高代之间的相互交叉。

关键词 正交矩阵 正定矩阵 正交补 高阶无穷小 广义积分 向量函数 黑赛矩阵一、高代在数分中的应用随着科技的发展，代数学的内容都在不断地充实和更新。

在大学里开设的，高等代 数课大致涉及了这么三块：多项式、线性代数、样环域理论、高等代数在数分里的应用主要体现了以下两点：a 在某些定义的给出或定理的证明上采用了行列式矩阵的书写形式，以寻求简明。

这一点主要体现在多元函数微分学和隐函数组定理及应用这两章中。

比如象多元函数 极值问题；隐函数组定理、反函数组定理的给出和证明；空间曲线切线与法平面的表达 式；条件极值等问题。

这里只对多元函数极值问题中的二元函数极值充分条件定理的表述及证明列如下：为了给出二元函数f 在点()000,y x P 取得极值的充分条件，我们假定f 具有二阶连续偏导数，并记⎢⎣⎡=)()()(000P f P f P H yx xx f ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤yx xx yy xy f f P f P f )()(00 0P yy xy f f ⎥⎦⎤ 它称为f 在0P 点的黑赛（Hesse ）矩阵．定理1（极值充分条件） 设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P Y 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点。

则当)(0P H f 是正定矩阵时，f 在0P 取得极小值；当)(0P H f 是负定矩阵时，f 在0P 取得极大值；当)(0P H f 是不定矩阵时，f 在0P 不取极值． 证 由f 在0P 的二阶泰勒公式，并注意到条件,0)()(00==P f P f y x ，有().,),)((),(21),(),(22000y x o y x P H y x y x f y x f Tf ∆∆+∆∆∆∆=-由于)(0P H f 正定，所以对任何()0,0),(≠∆∆y x ，恒使二次型.0),)((),(),(0>∆∆∆∆=∆∆Tf y x P H y x y x Q ．因此存在一个与y x ∆∆,无关的正数ｑ，使得).,(2),(22y x q y x Q ∆∆≥∆∆从而对于充分小的)(0P U ，只要)(),(0P U y x ∈就有()()()()()()()01,2222220,0≥+∆+∆=∆+∆+∆+∆≥-q yx yxo y x q y x f y x f即f 在点),(00y x 取得极小值．同理可证)(0P H f 为负定矩阵时，f 在0P 取得极大值．最后，当)(0P H f 不定时，f 在0P 不取极值．这是因为倘若f 取极值（例如取极大值），则沿任何过0P 的直线()t y t y x t x f y x f y t y y x t x x ϕ=∆+∆+=∆+=∆+=),(),(,,0000，在0=t 亦取极大值．由一元函数取极值的充分条件0)0(">ϕ是不可能的（否则ϕ在0=t 将取极小值），故.0)0("≤ϕ而()().)()0(",2)(",)('022Tf yy xy xx y x y x P H y x y f y x f x f t y f x f t ∆∆∆∆=∆+∆∆+∆=∆+∆=ϕϕϕ这表明)(0P H f 必须是负半定的。

高等代数思想高等代数是数学专业的一门重要的专业基础课，是深入研究数学以及从事高等数学相关工作的必要保障，高等代数内容丰富体系庞杂，高等代数的学习历来是数学专业学生的难点；主要表现在解决高等代数问题时感觉束手无策，无从下手，最终原因归根结底是学生对数学思1引言1.1研究高等代数数学思想的目的及意义首先高等代数课程是数学专业以及其他一些理工科专业所必修的基础课程,也是后续课程和近代数学的基础，此外高等代数的学习对于学生数学思维的培养至关重要，通过高等代数的学习对学生的抽象思维和逻辑推理有很大帮助，并对数学创新思维以及科研潜力的发展具有重要意义.而学好高等代数这门基础课程就离不开对数学思想方法的研究；此外从数学的发展历史分析，不难发现其实数学的重要发展和重大创新都体现着一定的数学思想方法，数学思想方法在数学领域内随处可见，没有数学思想方法的数学就不是真正的数学；比如早在16世纪之前，关于方程求解的问题中，期初数学家们很容易得到了一次、二次方程的根式解，然后类似地找到了三次、四次以及某些特殊的五次代数方程的根式解法，事实上，在这个艰辛的求解历程中，而且这些解法中都有类比的方法，也有同构、分类讨论、函数与方程的数学思想，此后也有许多数学家探究一般五次方程的解得存在性问题，包括当时著名数学家卡当、伟达、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等，他们都是利用各种各样的数学思想方法，虽然经过了无数次的失败，但最终是阿贝尔等人从逆问题出发，严格证明了五次及五次以上的代数方程不存在根式解法，还有许许多多实例，都在说明着数学思想方法在数学发展中的积极推动作用，所以说数学思想方法对于数学的发展至关重要.1.2高等代数数学思想方法的研究现状由于高等代数数学思想方法的重要意义，近年来关于数学思想方法的研究层出不穷，有关数学思想方法的名称和应用的文献举不胜举，这些有关高等代数数学思想方法的研究在一定程度上推动着高等代数教学研究的发展和完善，对高等代数的学习以及数学其他分支的学习具有重要的指导意义和参考价值；其中比较典型的比如布合力且木·阿不都热合木在文献[1]中主要结合高等代数在解决相关问题以及发展思维工具方面的功能进行了探究，充分展示了高等代数的数学思想的丰富、深刻，以及其理论内容的严密和抽象。

３５　浅谈数学分析思想在高等代数解题中的应用■钱文华　（重庆师范大学数学科学学院　沙坪坝　４０１３３１）【摘　要】在大学不同学科的学习中，学生会较容易养成对某个学科的题目就从该学科的角度去思考。

本文将讨论在一些情况下数学分析技巧在高等代数解题解题中的应用，可以给刚进入大学的学生们一个学科交叉的初步概念。

【关键词】惯性指数；中值定理；多项式；极限；行列式【中图分类号】Ｇ６４２ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）２３－００３５－０１ 一、引言大学数学的学习过程中，很多学生会依照比较死板的印象将所学的东西分成很多学科或者方向，尤其是刚刚进入大学的学生，会将数学分析与高等代数看做两个完全不同的学科来学习，本文将讨论一些在高代解题中数学分析方法的应用，在教学过程中让学生体验学科交叉的应用。

二、利用数学分析思想解决高等代数问题本节我们主要将以例题的方式来观察一些数学分析的思想在高等代数问题中的应用。

根据［１］我们可知，每个实对称矩阵都可以合同于一个对角上只有１，－１和０的矩阵，其中１的个数ｐ称为Ａ的正惯性指数，－１的个数ｑ称为Ａ的负惯性指数，而正惯性指数与负惯性指数之差ｐ－ｑ称为符号差。

注意到ｒ＝ｐ＋ｑ为Ａ的秩。

例题２．１：假设Ａ是ｎ阶实对称矩阵。

如果存在两个ｎ维实向量Ｘ１，Ｘ２使得Ｘｔ１ＡＸ１＜０，Ｘｔ２ＡＸ２＞０，则存在非零的ｎ维实向量Ｘ０使得Ｘｔ０ＡＸ０＝０。

（从高等代数角度，我们可以通过已知条件来证明矩阵Ａ的正惯性与负惯性指数都不为０，从而可以找到可逆矩阵Ｃ使得ＣｔＡＣ为对角矩阵，且对角上至少有一个１和一个－１，因此我们可以构造出满足要求条件的ｎ维实向量Ｘ０。

）以下我们从数学分析角度给出一个证明：证明：首先我们注意到Ｘ１，Ｘ２显然是非零向量且它们线性无关。

因为如果Ｘ２＝ｓＸ１，则有Ｘｔ２ＡＸ２＝ｓ２Ｘｔ１ＡＸ１，与Ｘｔ１ＡＸ１＜０，Ｘｔ２ＡＸ２＞０矛盾。

对任意ｓ∈［０，１］，令Ｙｓ＝（１－ｓ）Ｘ１＋ｓＸ２。

浅谈高等代数中的等价思想及其应用蒋红梅高等代数是数学专业学生必修的一门基础课程，该课程概念多，定理多，教学内容抽象。

对于大学一年级学生来说，基本上是介绍新的代数理论，利用新的定义、定理、方法解决代数问题，缺少数学模型，学生总感到难学，遇到新的问题就不知如何下手。

究其原因在于学生不了解高等代数与初等代数的区别，用中学生的思想观念和学习方法来学习，未领会高等代数中蕴含的数学方法和思想，对概念和定理的理解不足，缺少对数学方法的理解和总结。

高等代数涉及的数学思想有很多，比如等价、类比、化归、结构、分类等思想，了解和应用这些数学思想可以更好地了解和掌握高代中的数学知识。

等价思想是高等代数中比较重要的一种思想方法，是学生从计算解题到学习代数结构的结合点，为后续课程的学习起到了铺垫的作用。

在教学中，教师应深刻理解和把握课程内容，澄清教学体系，学科思想，把握重点，化解难点，解决疑点，达到帮助学生更好地学习和掌握高等代数知识的目的，也有助于我系高等代数精品课程的建设。

本文就高等代数中的等价思想及其应用作了一些探究。

1、高等代数中的等价关系1.1关于矩阵的等价关系高等代数中关于矩阵的等价关系有矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同，弄清它们的联系与区别是十分必要的。

首先，这三者的研究对象不同，矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的研究对象分 别是mn A ，n A ，n A ；其次，满足的条件不一样，但n 阶实对称矩阵既相似又合同，相似或 合同的矩阵是等价的，等价矩阵不一定相似或合同。

在()F M mn 中矩阵等价是等价关系，由于初等变换法不改变矩阵的秩，因此矩阵的秩 是等价关系的完全不变量，每一类的代表元是⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rI ，r 为矩阵的秩，按等价关系可以分为{}1,m in +n m 类。

用消元法求解线性方程组时，运用矩阵的初等变换法将线性方程组化为同解线性方程组的问题转化为增广矩阵的等价问题。

在()F M n 中矩阵的相似是等价关系，由于相似矩阵有相同的行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形，因而行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形是()F M n 上矩阵相似的完全不变量，而特征多项式、秩、迹只是矩阵相似的不变量。

数学与计算机学院数学专业（师范类）毕业论文参考题目二○一一年十一月第一部分第二部分1、浅谈建构主义与数学教育2、试论中学数学习题课教学(可结合一个年级)3、中学数学中的探究式学习4、浅谈高中数学课程中的××专题教学5、Banach空间中压缩映射原理的推广及应用.6、Desargues 定理的几种证明方法7、奥数中的构造方法8、不等式证明的常用方法和技巧9、选谈高中数学课程的数列与差分专题教学10 抽屉原则在数学竞赛中的应用.11、初等几何中的面积法和体积法。

12、初等数学教学中的数学文化及数学人文。

13、创设疑问开展一题多解激发学习兴趣14、大数定理及其在随机理论中的应用15、对高中数学课程设计改革的思考16、对偶原理在二次曲线的应用17、对数学课堂教学中创新能力培养的认识18、对中学数学教育实习中若干问题的思考19、多媒体教学在中学数学教学中的地位和作用、怎样开展多媒体教学、20、二阶曲线上的对合及其应用21、二维异素射影变换及其应用22、发展学生数学应用意识的研究23、反例在高等教学中的作用。

24、反证法及反证思想在中学数学中的应用25、非初等函数的表示方法26、分配问题中事件概率的计算的讨论27、概率论在数学中的某些应用28、概率统计在经济中的应用。

29、高等几何对初等几何指导的研究。

30、高中导数教学中所蕴含的数学思想和应用31、高中导数教学中所蕴含的数学思想方法32、高中数学思想方法及运用33、高中数学探究性学习的探讨34、高中数学中的数学建模及数学实验教学探讨35、高中微积分初步中的数学文化及数学人文36 古典概型恒等式的证明37、古典概型解题规律探讨.38、古典概型在现实生活中的应用39、古典概型中样本空间的选取的研讨40、关于二阶曲线切点切线的方法探讨41、关于高楼层的疏散与控制42、关于函数最值问题43、关于立体几何中如何培养空间想象力的探讨.44、关于中学生学习数学兴趣的研究45 关于诸点共线与诸线共点的证明方法探讨46 级数敛散性判定法研究(归结已有的各科判别法，阐述之间的关系47 几何变换在几何作图中的应用。

《高等代数》课程简介一、课程概述《高等代数》是高等院校‎数学专业的‎一门重要的‎基础课，其主要任务‎是使学生获‎得数学的基‎本思想方法‎和多项式理‎论、行列式、线性方程组‎、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间和‎酉空间、二次型、群，环和域简介‎等方面的系‎统知识。

它一方面为‎后继课程（如近世代数‎、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所‎需的基础理‎论和知识。

尤其在本世‎纪，计算机技术‎、通讯信息技‎术和现代生‎物工程技术‎已成为最热‎门的学科领‎域，这些学科均‎需要代数学‎的发展。

《高等代数》是中学代数‎的继续和提‎高。

通过这一课‎程的教学，应使学生掌‎握为进一步‎提高专业知‎识水平所必‎需的代数基‎础理论和基‎本方法，且对初等代‎数内容有比‎较深入的了‎解，并能居高临‎下地处理中‎学数学的有‎关教材，培养学生独‎立思考、科学抽象思‎维、正确的逻辑‎推断能力和‎迅速准确的‎运算能力，对开发学生‎智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生‎创造能力、树立辩证唯‎物论观点等‎有重要的作‎用。

二、本课程的教‎学目的及要‎求1、使学生掌握‎多项式理论‎、线性代数理‎论的基础知‎识和基本理‎论，着重培养学‎生解决问题‎的基本技能‎。

2、使学生熟悉‎和掌握本课‎程所涉及的‎现代数学中‎的重要思想‎方法，提高其抽象‎思维、逻辑推理和‎代数运算的‎能力。

3、使学生进一‎步掌握具体‎与抽象、特殊与一般‎、有限与无限‎等辩证关系‎，培养其辩证‎唯物主义观‎点。

4、逐步培养学‎生的对知识‎的发现和创‎新的能力，训练其对特‎殊实例（正例和反例‎）的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和‎探索性推理‎的能力。

5、使学生对中‎学数学有关‎内容从理论‎上有更深刻‎的认识，以便能够居‎高临下地掌‎握和处理中‎学数学教材‎，进一步提高‎中学数学教‎学质量。

6、根据教学的‎实际内容的‎需要，对课程标准‎中所列各章‎内容，分别提出了‎具体的教学‎内容与内容‎要求，教学时必须‎着重抓住重‎点内容进行‎教学。

《高等代数》学习要求高等代数是数学有关专业的一门重要基础课，大部分内容均属基础理论和基本知识，这些理论和知识对学生今后学习数学专业的后继课，以及数学素质，思维品质的提高都是十分重要的。

因此一定要让学生学好这门课。

除了教师在教学中要注意分析概念的来龙去脉，讲清定理的证明思路，在教学上多下功夫之外，也要求学生能认真听讲，开动脑筋，认真做好以下几方面的要求。

1、在掌握知识方面通过本门课程的学习，要求学生：（1）掌握一元多项式理论和线性代数的基础知识，基本理论和基本技能；（2）初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法；（3）理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系；（4）提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力；（5）加深对中学数学的理解，为进一步学习及今后从事中学数学教学打好基础；（6）对有志考研的学生，要为考研作好准备，打好基础。

2、学习方法方面的要求（1）、弄清定义、概念的内涵和外延，善于抓住问题的本质；（2）、掌握思想方法，理解公理化方法，培养逻辑推理能力（学习内容可以随时间的推移而淡忘但思想方法却可以永留心中）；（3）、学会小结，做好知识的梳理和整合工作；（4）、注意高代中许多内容与中学的联系，学会用更高的观点来看待中学数学学过的相关知识，能解决中学数学教学中遇到的疑难问题。

将来还要注意高代与近代的联系（纵向联系）；（5）注意学科间的联系和沟通，注意用高代来解决解几（横向联系）和数分中遇到的问题，也可用解几、数分中的知识解决高代中的问题。

3、学习过程方面的要求（1）、听课；要求先预习，认真听讲，积极思维，做好必要的笔记（重点、纲要、补充内容）；（2）、作业：独立完成，字迹工整，条理分明，页面干净，养成良好习惯；（3）、考试：认真复习，弄清前后关系，考出好成绩。