高考数学专题之基本不等式选择题

2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)一、单选题(共13题；共65分)1．（5分）若a >0，b >0，则“a +b =1”是“1a +1b≥4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）已知直线ax +by −1=0(ab >0)过圆(x −1)2+(y −2)2=2022的圆心，则1a +1b的最小值为（ ） A ．3+2√2B ．3−2√2C ．6D ．93．（5分）已知正实数a 、b 满足a +b =2，则4b +1a的最小值是（ ）A ．72B ．92C ．5D ．94．（5分）已知m >0，n >0，命题p ：2m +n =mn ，命题q ：m +n ≥3+2√2，则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为 a ，从乙地到甲地的平均速度为 b(a >b >0) ，他往返甲乙两地的平均速度为 v ，则（ ） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab6．（5分）设 a >0 ， b >0 ，则“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1b≥1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +1y的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．（5分）已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，则1c +4a的最小值为（ ） A ．-4B ．4C ．8D ．-89．（5分）已知直线ax+by+c−1=0(b，c>0)经过圆x2+(y−1)2=6的圆心，则4b+1c的最小值是（）A．2B．8C．4D．910．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A−3sin2B，则tanB的最大值为（）A．√53B．√52C．11√520D．3√5511．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA=−√3，△ABC的面积为√3a，则bc的最小值为（）A．16B．16√3C．48D．24√312．（5分）若a>0，b>0，且ln(2a)+lnb≥a2+b2−1，则a+b=（）A．√2B．√3C．3√22D．5√3213．（5分）已知正实数a，b满足a2+2ab+4b2=6，则a+2b的最大值为（）A．2√5B．2√2C．√5D．2二、多选题(共5题；共25分)14．（5分）已知a，b∈R，a>0，b>0，且a+b=2，则下列说法正确的为（）A．ab的最小值为1B．log2a+log2b≤0C．2a+2b≥4D．1a+2b≥2+√215．（5分）已知a，b∈R，则使“ a+b>1”成立的一个必要不充分条件是（）A．a2+b2>1B．|a|+|b|>1C．2a+2b>1D．4a+b+1b>1016．（5分）若−1<a<b<0，则（）A．1a>1bB．a2+b2>2ab C．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b17．（5分）已知2a=3b=6，则a，b满足（）A．a<b B．1a+1b<1C．ab>4D．a+b>418．（5分）已知正数a，b满足a2+b2=1，则（）A．a+b的最大值是√2B．ab的最大值是12C．a-b的最小值是−1D．ab−2的最小值为−√3 3三、填空题(共5题；共30分)19．（10分）如图，在 △ABC 中， ∠BAC =π3 ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D 点重合），若 △ABC 的面积为 4√3 ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m ＝ ， |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 ．20．（5分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a +c =4 ，且 sinA ，sinB ， sinC 成等差数列，则 △ABC 的面积的最大值为 ．21．（5分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，若 AD =√2 ， CD =2 ， ∠D =34π ， cosB =34，则 △ABC 的面积的最大值为 ．22．（5分）已知a ，b 为正实数，且 a +b =6+1a +9b，则 a +b 的最小值为 ． 23．（5分）△ABC 中，∠BAC =120°，AO 为BC 边上的中线，AO =√3，则AB −2AC 的取值范围是 ．四、解答题(共3题；共30分)24．（10分）ΔABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若已知 asinA+C2=bsinA ． （1）（5分）求角B 的大小；（2）（5分）若 b =2√3 ，求 ΔABC 的面积的最大值．25．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(tanA −sinC)(tanB −sinC)=sin 2C ．（1）（5分）求证：c 2=ab ；（2）（5分）若a +b =3，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．26．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC=2a+ c．（1）（5分）求∠B；（2）（5分）若a+c=6，求BD的最小值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：当a+b=1时，1 a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+b a+a b≥2+2√b a⋅a b=4，当且仅当ba=ab，即a=b=12时，取等号，所以1a+1b≥4，当a=b=13时，1a+1b=6≥4，此时a+b=23≠1，所以“a+b=1”是“1a+1b≥4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由a>0，b>0，a+b=1可得1a+1b=2+b a+a b，根据基本不等式得1a+1b≥4，反之代入特殊值即可得到答案.2．【答案】A【解析】【解答】由圆的方程知：圆心(1，2)；∵直线ax+by−1=0(ab>0)过圆的圆心，∴a+2b=1(ab>0)；∴1a+1b=(a+2b)(1a+1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab⋅2ba=3+2√2（当且仅当ab=2b a，即a=√2b时取等号），∴1a+1b的最小值为3+2√2.故答案为：A.【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得∴a+2b=1(ab>0)，由∴1a +1b=(a+2b)(1a+1b)，利用基本不等式可求得结果.3．【答案】B【解析】【解答】4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)≥12(4+5)=92，当且仅当4a b=b a时等号成立.故答案为：B.【分析】根据题意可得4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)，再利用基本不等式求出4b+1a的最小值。

专题七 不等式7.1 不等式及其解法一、选择题1.(2022届四川绵阳诊断,2)若0<a<b,则下列结论正确的是( )A.ln a>ln bB.b 2<a 2C.1a <1bD.(12)a >(12)b答案 D 对于A,函数f(x)=ln x 在(0,+∞)上单调递增,又0<a<b,则f(a)<f(b),即ln a<ln b,故A 错误;对于B,函数f(x)=x 2在(0,+∞)上单调递增,又0<a<b,则f(a)<f(b),即a 2<b 2,故B 错误;对于C,0<a<b,由不等式的性质可得1a >1b ,故C 错误;对于D,函数f(x)=(12)x 在(0,+∞)上单调递减,又0<a<b,则f(a)>f(b),即(12)a >(12)b ,故D 正确.故选D. 2.(2021新疆第二次适应性检测,3)若关于x 的不等式cosx -2x 2-mx -n>0的解集为(-2,3),则mn=( ) A.5 B.-5 C.6 D.-6答案 C 因为cos x-2<0,cosx -2x 2-mx -n>0的解集为(-2,3), 所以x 2-mx-n<0的解集为(-2,3),故-2+3=m,-2×3=-n,所以m=1,n=6,则mn=6.故选C. 3.(2022届新疆模拟,3)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a>b>0,则下列结论错误．．的是( ) A.1a <1bB.log 2(a-b)>0C.a 12>b 12D.3a >3b 答案 B ∵a>b>0,∴1a <1b,故A 正确;∵a>b>0,∴a -b>0,当0<a-b<1时,log 2(a-b)<0,故B 错误;∵a>b>0,∴由幂函数的性质可知,a 12>b 12,故C 正确;∵a>b>0,∴由指数函数的性质可知,3a >3b ,故D 正确.故选B. 4.(2022届新疆模拟,3)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a>b>0,则下列结论错误．．的是( ) A.1a <1bB.log 2(a-b)>0C.a 12>b 12D.3a >3b答案 B ∵a>b>0,∴1a <1b,故A 正确;∵a>b>0,∴a -b>0,当0<a-b<1时,log 2(a-b)<0,故B 错误;∵a>b>0,∴由幂函数的性质可知,a 12>b 12,故C 正确;∵a>b>0,∴由指数函数的性质可知,3a >3b ,故D 正确.故选B. 5.(2021河北唐山模拟,5)已知x>0,y>0,M=x 2x+2y ,N=4(x -y)5,则M 和N 的大小关系为( ) A.M>N B.M<NC.M=ND.以上都有可能答案 A ∵x>0,y>0,∴M -N=x 2x+2y -4(x -y)5=x 2+8y 2-4xy 5(x+2y)=x 2+4y 2-4xy+4y 25(x+2y)=(x -2y)2+4y 25(x+2y)>0,∴M>N. 思路分析 利用作差法即可比较大小.6.(2021安徽宣城二模,6)设m=log 45,n=log 315,则( ) A.m+n<0<mn B.mn<0<m+nC.m+n<mn<0D.mn<m+n<0答案 D∵n=log 315=-log 35<0,m=log 45>log 44=1,∴mn<0,∵1m +1n =log 54-log 53=log 543>0,∴1>m+n mn>0,∴m+n<0,m+n>mn.故选D.7.(2022届安徽芜湖模拟,10)已知a,b 为实数且a>b>0,则下列所给4个不等式中一定成立的是( ) ①1a -1<1b -1;②2 022a-2 021>2 022b-2 021;③a+b+2>2√a +2√b ;④1a +1b >4a+b . A.②④ B.①③C.②③④D.①②③④答案 C 对于①,当a=1时,1a -1无意义,故①错误.对于②,∵a>b,∴a -2 021>b-2 021.又∵y=2 022x 在R 上为增函数,∴2 022a-2 021>2 022b-2 021,故②正确.对于③,∵a>b>0,∴a+b+2-2√a -2√b =a-2√a +1+b-2√b +1=(√a -1)2+(√b -1)2>0,故③正确.对于④,∵a>b>0,∴1a +1b >2√1ab =2√ab .又∵4a+b <42√ab =2√ab ,∴1a +1b >4a+b,故④正确.故选C. 8.(2022届四川乐山期中,7)不等式x 2+ax+4<0的解集为空集,则a 的取值范围是( )A.[-4,4]B.(-4,4)C.(-∞,-4)∪[4,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)答案A∵不等式x2+ax+4<0的解集为空集,∴Δ=a2-16≤0恒成立,解得-4≤a≤4.故选A.9.(2021东北三省模拟,7)关于x的不等式ax-b>0的解集是(-1,+∞),则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)答案C∵关于x的不等式ax-b>0,即ax>b的解集是(-1,+∞),∴b a=-1,且a>0,即a=-b>0.则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0,即(-ax+a)(x-3)>0,也即a(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3.故选C.10.(2022届江西上饶月考,9)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是()A.[-2,-1)∪(3,4]B.(-2,-1)∪(3,4)C.(3,4]D.(3,4)答案A x2-(a+1)x+a<0即(x-1)(x-a)<0,当a>1时,解得1<x<a;当a<1时,解得a<x<1.∵不等式的解集中恰有两个整数,∴3<a≤4或-2≤a<-1,∴a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4].故选A.11.(2022届湖南联考,9)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)答案C因为对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,由1=a2,解得a=2.又因为函数f(x)的图象开口向下,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增,而f(x)>0恒成立,所以f(x)min=f(-1)=b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.故选C.12.(2020安徽舒城模拟,7)若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是()A.[-1,3]B.(-∞,-1]C.[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)答案 D 原不等式化为x 2+px-4x-p+3>0在0≤p ≤4时恒成立,令g(p)=(x-1)p+(x 2-4x+3),则问题等价于g(p)>0在p ∈[0,4]上恒成立,∴{g(0)>0,g(4)>0,即{x 2-4x +3>0,4(x -1)+(x 2-4x +3)>0,解得x>3或x<-1. 二、填空题13.(2022届上海二模,7)不等式2x -a x+a>0的解集为M,且2∉M,则实数a 的取值范围是 . 答案 (-∞,-2]∪[4,+∞)解析 由题意可知,4-a 2+a ≤0或2+a=0,解得a ≥4或a ≤-2. 三、解答题14.(2022届湖北九师联盟11月质量检测,17)已知f(x)=ax 2+b(4-b)x-3.(1)若不等式f(x)>0的解集为(1,3),求实数a,b 的值;(2)解关于b 的不等式f(1)-ab<0(a ∈R).解析 (1)因为ax 2+b(4-b)x-3>0的解集为(1,3), 所以1,3是关于x 的方程ax 2+b(4-b)x-3=0的两根,且a<0, 所以{1+3=-b(4-b)a ,1×3=-3a ,解得{a =-1,b =2. (2)由题意知f(1)-ab=a+b(4-b)-3-ab<0,所以b 2+(a-4)b+3-a>0, 方程b 2+(a-4)b+3-a=0的两根分别为1,3-a. ①当1=3-a,即a=2时,解得b ≠1,故f(1)-ab<0的解集为{b|b ≠1};②当1>3-a,即a>2时,解得b>1或b<3-a,故f(1)-ab<0的解集为{b|b<3-a 或b>1};③当1<3-a,即a<2时,解得b>3-a 或b<1,故f(1)-ab<0的解集为{b|b<1或b>3-a}.15.(2022届山东潍坊安丘等三县10月测试,17)已知函数f(x)=ax 2+bx+2,关于x 的不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}.(1)求实数a,b 的值;(2)若关于x 的不等式ax 2+2x-3b>0的解集为A,关于x 的不等式3ax+bm<0的解集为B,且A ⊆B,求实数m 的取值范围.解析 (1)由题意知,-2,1是关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以{-2+1=-b a ,(-2)×1=2a, 所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x 2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B={x|x >-m 3},因为A ⊆B,所以-m 3≤-1,解得m ≥3.故m 的取值范围为{m|m ≥3}.。

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题23基本不等式（学生版）一.选择题（共10小题）1. （2015・湖南）若实h 满足、+七=向,则汕的最小值为（）a hA・ J5 B. 2 C. 2>/2 D. 42. （2O15・上海）已知“>O・ /?>O,若“ + b = 4.则（ ）A. u2+b 2^最小值B.应有最小值C. 1+1有最大值D. L 】L 有最大值3. （2O15・福建）若直线- + ^ = i G/>o.fr>O ）过点（1J ）.则“ +人的最小值等于（a bA. 2 B・ 3 C. 4 D. 54. （2014f 重庆）若 log 4（3a + 4Z^） = log 2 yfah , WO a + b 的最小值是（）A. 6 + 2a /5B. 7 4-2>/3C. 6 + 4>/3D. 7 + 4^35.（2013•山东）设正实数x, y, z 满足f 一3° + 4尸-1 = 0・则当打取得最大值时,+1--的最大值为（V z 76.7.8.9. A. 0(2O13・福建)A. [0. 2](2O12・浙江)A.癸5（2010-四川）A. 2（2010* 四川）A. 1B. 1若2l +2v =l,则x+y 的取值范围是（B. |一2, 0] C. [-2, +x)D・3D. (-x, -21若正数x , y 满足x + 3y = 5a / ,则3x + 4y 的最小值是（设">b>c>0,则2疽 +二 +B. 4C. 5D. 6ab a(a — b )- 10s・ + 25b 的最小值是（D・5H u>h>Q 9 则 u z + ——+------ab u — b )的最小值是（B. 2 C. 3 D.4B ?10. （2010*重庆）己知x>0, y>0,工+ 2）・+ 2个・=8,则x + 2），的最小值是（9 2H 2A.3B.4C.D.二.填空题（共10小题）IL（2019•上海）12・（2019・天津）ye/T,且！+2）・=3,则土的最大值为_.•X设x>0,）>0, x+2y=4,贝I］土旭m的最小值为_,13・（2018・天津）己知a,beR.且〃一％+6=0,则2"+—的最小值为____.O14.（2017•山东）若直线-+-=l（t/>0^>0）过点（1,2）,则M+b的最小值为a b15.（2014*上海）若实数工，y满足.口=1，则x2+2/的最小值为16.（2013•上海）设常数〃>0,若9x+—^1+1对一切正实数a•成立，则a的取值范国x为■17.（2O13-四川）已知函数/（x）=4x+-（x>0a/>0）在人=3时取得最小值，则。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案学习目标：1。

了解基本不等式的证明过程。

2.用基本不等式求解X的简单大(小)值问题。

(3)如果x，(0，)和2x 8-x=0，求x的最小值。

变体迁移2被称为x0，0，z0。

转型3 (2011广州月考)为了获得更多的市场份额，一家国际化妆品制造商计划在2012年伦敦奥运会期间开展一系列促销活动。

据市场调研计算，化妆品年销量为1万件，年推广费1万元与3-x、t 1成反比。

如果不进行促销活动，化妆品的年销量只能是1万件。

据了解，2012年化妆品生产设备折旧维护固定成本为3万元，每万件化妆品需要32万元的生产成本。

如果把每件化妆品的售价定为其生产成本的150%和每件平均促销成本的一半之和，当年生产的化妆品正好可以销售一空。

一、选择题(每题5分，共25分)案例36基本不等式及其应用自梳理1.(1)a0，b0 (2)a=b 2。

(1)2ab (2)2 (4)3.两个正数A B2AB的算术平均值不小于它们的几何平均值4。

(1) X=较小的2p (2) X=较大的p24自测1.A 2。

A 34.大-22-1 5。

[15, )教室活动区例1解题引导基本不等式的作用在于“和与积”的相互转化。

用基本不等式计算X的值时，给定的形式可能并不直接适用于基本不等式，但往往需要进行分、加项或匹配因子(一般和或积的形式是固定值)来构造基本不等式的形式，然后求解。

基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，以及“三相等”意味着它必须被验证。

解(1)x0，0，1x 9=1，x+=(x+)1x+9=x+9x+106+10=16。

当只有x=9x时，上述等式成立，1x 9=1，当x=4，=12时，(x ) in=16。

(2)x54,5-4x0.=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2 5-4x15-4x+3=1，当只有5-4x=15-4x时，即当x=1时，上述方程成立，所以当x=1时，ax=1。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ ） A (-1,1)∪(2,3) B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ ） A b 3>b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ ） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x <b 或x >b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。

2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习7 基本不等式一、 选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 二、1． 函数2(2)y x x =-2． （其中02x <<）的最大值是（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】因为02x <<，可得022x <-<， 所以222(2)2()22x x y x x +-=-≤⨯= ，当且仅当2x x =-时，即1x =时，等号成立，所以函数2(2)y x x =-的最大值是2．故选：D.3． 已知0a >4． ，0b >，且2ab =，那么（）A ．4a b +≥B ．4a b +≤C ．224a b +≥D ．224a b +≤【答案】C【解析】因为0a >，0b >，由基本不等式可得a b +≥=2224a b ab +≥=，上述两个不等式当且仅当a b ==ABD 选项错误，C 选项正确.故选：C.3．设0<x <1，则4x ＋11x -的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．272【答案】B【解析】01x <<，10x ∴->，()4141111x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅+⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭()4141552291x xx x -=+++≥+=+⨯=-当且仅当()411x xx x -=-，即23x =时，等号成立．411x x∴+-的最小值为9．故选：B5． 已知a >1，b >1，记M ＝11a b+ 6． ，N，则M 与N 的大小关系为（） A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．不确定【答案】A【解析】因为1,1a b >>，所以11a b M a b ab +=+=≥，当且仅当11a b=取等号，N=>=， 故选：A ．5．已知函数()411y x x x =+>-，则函数的最小值等于（）A ．B ．1C ．5D ．9 【答案】C【解析】因为1x >，所以44(1)11511y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立.故选：C.7． 已知实数a ＞0，b ＞0，且满足ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，则（a +1）（b +2）的最小值为（）8．A ．24B ．13 C ．13D ．25【答案】D【解析】因为ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，所以b 22a a +=-，又a ＞0，b ＞0，所以22a a +-＞0，解得a ＞2，又b 22a a +==-142a+-，所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4＝3a122 a++-7＝3（a﹣2）122a++-131325≥=，当且仅当3（a﹣2）122a=-即a＝4时等号成立，即（a+1）（b+2）的最小值为25．故选：D．7．已知x≥5 2，则y＝24524x xx-+-有（）A．最大值54B．最小值54C．最大值1 D．最小值1【答案】D【解析】y＝245 24 x xx-+-＝2(2)12(2)x x -+-＝11[(2)]22x x -+-，因为x ≥52，所以x －2＞0，所以111[(2)]222x x -+≥⋅-当且仅当x －2＝12x -，即x ＝3时取等号．故y 的最小值为1，没有最大值.故选：D9． 已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m10． ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是（）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】B【解析】依题意有x ＋y 11m n m n =+++111()m n m n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3n mm n =++当且仅当12m n ==时取等号． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列说法正确的是（）A ．()10x xx +>的最小值是2B 2C 22D ．423x x--的最小值是2-【答案】AB【解析】当0x >时，12x x +≥=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号），A 正确； 2=20x ≥2≥B 正确； 222==≥=，即23x =-时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当1x =时，42323452x x--=--=-<-D 错误. 故选:AB.10．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（） A ．当40x =时，y 取得最小值B ．当45x =时，y 取得最小值C ．min 320y =D ．min 360y =【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x =⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立， 所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =.故选：AC .11．设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法中正确的是（）A ．124m n ->B ．mn 的最大值为1C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为2 【答案】ABD【解析】对于A 选项，因为正实数m 、n 满足2m n +=，则02m <<，()()2222,2m n m m m -=--=-∈-，故21224m n -->=，A 对； 对于B 选项，由基本不等式可得212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，B 对；对于C 选项，由基本不等式可得()222m n m n =+++=，02，当且仅当1m n ==时，等号成立，C 错；对于D 选项，()()()()222222222224m n m n m n m n mn m n +=+++≥++=+=， 可得222m n +≥，当且仅当1m n ==时，等号成立，D 对.故选：ABD.12．下列推导过程，正确的为（）A ．因为a ､b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为x ∈R ，所以2111x >+C ．因为0a <，所以44a a +≥D ．因为x ､y R ∈，0xy <，所以2x y x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦当且仅当x y =时，等号成立..【答案】AD 【解析】对于A 选项，因为a ､b 为正实数，则b a ､a b为正实数，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，211x +≥，所以，21011x <≤+，B 选项错误；对于C 选项，当0a <时，()444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当且仅当2a =-时，等号成立，C 选项错误；对于D 选项，因为x ､y R ∈，0xy <，则y x ､x y 均为负数，由基本不等式可得2x y x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当x y =时，等号成立，D 选项正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题．13．已知对任意(),0,x y ∈+∞，且23x y +=，11221t x y ≤+++恒成立，则t 的取值范围_______________ 【答案】23t ≤ 【解析】因为,(0,)x y ∈+∞，23x y +=，则2216x y +++=，[]111111212()(2)(21)(11)22162216221y x x y x y x y x y +++=++++=+++++++++12(263≥+=， 当且仅当221122x y y x =++++，即1x y ==时，等号成立； 因此为使11221t x y ≤+++恒成立，只需23t ≤， 故答案为：23t ≤ 14．若0mn >，143m n +=，则m n +的最小值为______ 【答案】3【解析】因为0mn >，143m n+=，所以0m >，0n >， 所以()11531434n m m n m n m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()115523233⎛≥+=+= ⨯⎝， 当且仅当4143n m m n m n⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即12m n =⎧⎨=⎩时等号成立， 所以m n +的最小值为3．故答案为：3.15．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50<x ≤80时，每天售出的件数P ＝5210(40)x -，若想每天获得的利润最多，则销售价格每件应定为________元． 【答案】60【解析】解析设销售价格定为每件x (50<x ≤80)元，每天获得利润为y 元，则y ＝(x －50)·P ＝5210(50)(40)x x --， 设x －50＝t ，则0<t ≤30，所以y ＝5210(10)t t +＝521020100t t t ++＝31010020t t ++5＝2500， 当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2500．故答案为：60．16．已知0a b >>，那么当代数式()24a b a b +-取最小值时，点(),P a b 的坐标为______ 【答案】(2,1)【解析】解：由0a b >>，得0a b ->， 所以22()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当b a b =-，即2a b =时取等号， 所以()22241616a a b a b a+≥+≥-，其中第一个不等式等号成立的条件为2a b =，第二个不等式等号成立的条件为2216a a =， 所以当()24a b a b +-取最小值时，221620a a a b a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩ 所以点(),P a b 的坐标为(2,1)，故答案为：(2,1)四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，0b >，且121a b+=，当ab 取最小值时，求a ，b 的值. 【答案】2a =，4b =【解析】由题意知0a >，0b >，由基本不等式，得12a b +≥.因为121a b +=，所以1≥，故8ab ≥. 当且仅当12a b=，即2a =，4b =时等号成立. 因此，ab 取最小值8时，2a =，4b =.18．（1）若正实数x ，y 满足26x y xy ++=，求xy 的最小值；（2）若实数x ，y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.【答案】（1）18；（2【解析】（1）因为266xy x y =++≥，()0t t >，即26t ≥+，即(0t t -+≥，所以t ≥18xy ≥，当且仅当2x y =且26x y xy ++=，即3x =，6y =时等号成立.所以xy 的最小值为18.（2）()()()22223124x y x y xy x y x y +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，所以()243x y ≥+，所以x y +≤，当且仅当0x y =>且221x y xy ++=，即x y ==时等号成立.所以x y +19．已知,a b 为正数，求证：)221142a ba b +≥+.【答案】见解析【解析】证明：因为0,0a b >>，所以2148(2)()6662(1b a a b a b a b ++=++≥+=+当且仅当8b a a b=，即b =时，等号成立，因为20a b +>，所以)221142a ba b +≥+. 20．（1）设302x <<，求4x (3－2x )的最大值； （2）已知a >b >c ，求()11()a c a b b c -+--的最小值． 【答案】（1）92；（2）4． 【解析】（1）∵302x <<，∴3－2x >0， ∴4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤()22329222x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当且仅当2x ＝3－2x ，即34x =时，等号成立． ∴4x (3－2x )的最大值为92. （2）()()()1111()()a c a b b c a b b c a b b c ⎡⎤-+=-+-+⎣⎦---- 2b c a b a b b c--=++-- ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，∴2b c a b b c a b -++≥---， 当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号，∴()11()a c a b b c-+--的最小值为4. 21．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40；（2）a 至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.【解析】（1）设每件定价为t 元,依题意得2580.22581t t -⎛⎫-⨯≥⨯ ⎪⎝⎭,整理得26510000t t -+≤,解得：25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.（2）依题意知：当x >25时,不等式()2112585060065ax x x ≥⨯++-+有解，等价于 x >25时,1501165a x x ≥++有解.由于15016x x +≥,当且仅当1501=6x x ,即x =30时等号成立,所以a ≥10.2. 当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.22．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等.求证：.bc ac ab a b c a b c++>++ 【答案】证明见解析.【解析】证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴2bc ac c a b +≥，2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥. 当且仅当a=b=c 时上式等号均成立， 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立. 故三个式子相加，得()22.bc ac ab a b c ab c ⎛⎫++>++ ⎪⎝⎭ ∴.bc ac ab a b c a b c++>++.。

专题03 不等式一、单选题1．（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式10x x->成立的一个充分条件是（ ） A ．1x <- B ．1x >- C ．10x -<< D ．01x <<【答案】C 【分析】 首先解不等式10x x->得到1x >或10x -<<，再根据充分条件定理求解即可. 【详解】()()211001101x x x x x x x x-->⇒>⇒+->⇒>或10x -<<， 因为{}{|01x x x x ≠<<⊂或}10x -<<， 所以不等式10x x->成立的一个充分条件是01x <<. 故选：C2．（2022·江苏如皋·高三期末）已知a b ＝3－ln4，c ＝32，则下列选项正确的是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】C 【分析】由e 2.718,ln 20.69≈≈及不等式性质，进行计算即可得出结果. 【详解】 229e, 2.254a c ===，∴22a c >,即a c >， 2222(3ln 4) 1.62 2.6244b a =-==<，∴a b >，331e 1193ln 4 1.52ln 2ln ln 02216216b =--=-=>>，∴b c >，∴a b c >>，故选：C3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知11a b >+> 则下列不等式一定成立的是（ ） A ．b ab B ．11a b a b+>+ C ．1e 1ln bb a a+<- D ．ln ln a b b a +<+【答案】C 【分析】错误的三个选项ABD 可以借助特殊值法进行排除，C 可以利用求导得出证明. 【详解】取10,8a b ==，则b a b ，故A 选项错误；取3a =，13b =，11a b a b+=+，则B 选项错误； 取3a =，1b =，则ln 3a b ，2ln 1ln31ln 3b a e ，即ln ln a b b a +>+，故D 选项错误；关于C 选项，先证明一个不等式：e 1x x ≥+，令e 1x y x =--，e 1xy '=-， 于是0x >时0y '>，y 递增；0x <时0y '<，y 递减； 所以0x =时，y 有极小值，也是最小值0e 010--=， 于是e 10x y x =--≥，当且仅当0x =取得等号，由e 1x x ≥+，当1x >-时，同时取对数可得，ln(1)x x ≥+， 再用1x -替换x ，得到1ln x x -≥，当且仅当1x =取得等号， 由于11a b >+>，得到e 1bb ，ln 1a a <-，111ln e b a b a ，即1e 1ln bb a a+<-， C 选项正确. 故选：C.4．（2022·湖南郴州·高三期末）已知函数()()0,0,1,1x xf x m n m n m n =+>>≠≠是偶函数，则2m n +的最小值是（ ） A．6 B ．C ．8 D ．【答案】D 【分析】有()()f x f x =-可得m 、n 的关系，再用均值不等式即可. 【详解】因为函数()()0,0,1,1x xf x m n m n m n =+>>≠≠是偶函数，所以()()f x f x =-，xxxxm n m n --+=+，x xxxx xm n m n m n ++=因为0,0,1,1m n m n >>≠≠，所以1x x m n =，即1mn =，2m n +≥m n =. 故选:D.5．（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a ，b 满足28log 3log 6a =+，6810a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2a b >> D ．2b a >>【答案】C 【分析】根据对数和指数的单调性可判断2a >，2b >；在构造函数()6810x x xf x =+-，2x >，再根据换元法和不等式放缩，可证明当2x >时，()68100x x xf x =+-<，由此即可判断,a b 的大小.【详解】因为()28221log 3log 6log 3log 233a =+=+⨯2241414317log 3log 233333233=+>=⨯+=>，所以2a >； 由6810a a b +=且2a >，所以683664100a a +>+=，所以2b >，令()6810x x xf x =+-，2x >，令20t x =-> ，则2x t =+，则()6810x x x f x =+-，2x >等价于()36664810010t t tg t =⨯+⨯-⨯，0t >；又()366648100101008100100t t t t tg t =⨯+⨯-⨯<⨯-⨯<，所以当2x >时，()68100x x xf x =+-<，故681010a a b a +=<，所以2a b >>． 故选：C ．6．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x ，y 满足115x y x y+++=，则x y +的最小值与最大值的和为（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】利用基本不等式进行变形得4x y xy x y+≥+，然后将115x y x y +++=进行代换得45x y x y++≤+，继而解不等式可得答案. 【详解】 因为0,0x y >>,所以x y +≥，即2()2x y xy +≤ ， 所以214()xy x y ≥+，即4x y xy x y+≥+， 又因为115x yx y x y x y xy++++=++=， 所以45x y x y++≤+，即2()5()40x y x y +-++≤ ， 解得14x y ≤+≤ ，故x y +的最小值与最大值的和为5， 故选：B7．（2022·山东青岛·高三期末）已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．a <c <b D ．c <a <b【答案】D 【分析】先通过简单的放缩比较c 和a 的大小，再通过构造函数,利用图像特征比较b 和a 的大小，由此可得答案. 【详解】 293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a ∴<3132π2a π==⨯， 设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯= ()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点 ∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x x π> 10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a > ∴c a b <<故选：D.8．（2022·山东枣庄·高三期末）已知1x >，则11x x +-的最小值是（ ）． A ．6 B ．5 C ．4D ．3【答案】D 【分析】 由于1x >，把11x x +-转化为11++11x x --，再利用基本不等式求出最小值即可得到答案. 【详解】1x >，故110,01x x ->>-，111121=31x x ∴-++≥=+-，当且仅当1121x x x -=⇒=-时，等号成立，故11x x +-的最小值是3. 故选：D.9．（2022·河北张家口·高三期末）已知102,105x y ==，则（ ） A ．1x y +< B ．14xy >C ．2212x y +> D ．25y x ->【答案】C 【分析】结合指数运算、基本不等式、对数运算、比较大小等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】因为10101010x y x y +⋅==，所以1x y +=，所以A 错误；又102,105x y ==，所以0,0x y >>，又,1x y x y ≠+=>，所以14xy <，所以B 错误； 因为222()12x y x y xy +==++，所以2212x y xy +=-，又14xy <，所以2212x y +>，故C 正确； 因为lg5,lg2y x ==，所以2552lg ,lg1025y x -==，故只要比较52和2510的大小即可，又55255312510010232⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52lg 25y x -=<，故D 错误.故选: C二、多选题10．（2022·江苏无锡·高三期末）已知e e 1b a <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b aa b+>C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab <【答案】ABD 【分析】先根据函数单调性，得到0b a <<，AC 选项用作差法比较大小；B 选项用基本不等式求取值范围；D 选项，先用作差法，再结合函数单调性比大小. 【详解】e e 1b a <<，则0b a <<，因为22()()0a b a b a b -=-+<，所以22a b <，A 选项正确；因为0b a <<，所以0,0b a a b >>，由基本不等式得：2a b b a +>=，B 选项正确； 2()0ab b b a b -=-<，2ab b ∴<，C 选项错误；2()0a ab a a b -=-<，2a ab ∴<，2lg lg a ab ∴<，D 选项正确，故选：ABD11．（2022·广东·铁一中学高三期末）若0,0a b >>．且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B 2< C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+ 【答案】CD 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立， 则2442ab ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭或222422a b+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则222211112,8,48a b ab a b ≥≤+≥≤+， 即AB 错误，D 正确.对于C 选项，1141414a b a ab ab b ++==≥⨯=，C 选项正确. 故选：CD12．（2022·广东汕尾·高三期末）已知a ，b 都是不等于1的正实数，且a >b ，0<c <1，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a b c c > B ．c c a b >C ．log log c c a b >D ．11()()4a b ab++>【答案】BD 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合题意，可判断A 、B 、C 的正误，根据基本不等式，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】函数x y c =，因为01c <<，所以x y c =是减函数， 因为a >b ，所以a b c c <，故A 错．函数c y x =，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞是增函数， 因为a >b ，所以c c a b >，故B 正确．函数log c y x =，因为01c <<，所以log c y x =在(0,)+∞是减函数， 因为a >b ，所以log log c c a b <，故C 错．11()1124a b a b a b b a ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，又a b >，所以11()4a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD13．（2022·湖南常德·高三期末）若0a >，0b >，111a b+=，则（ ）A ．4ab ≤B ．4a b +≥C ．228a b +≤D ．22log log 2a b +≥【答案】BD 【分析】利用基本不等式及指对数函数的性质逐项分析即得. 【详解】∵0a >，0b >，111a b +=≥∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号，故A 错误；由()1124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即2a b ==时取等号，故B 正确；因为228a b ≥=+，当且仅当2a b ==时取等号，故C 错误； 因为()2222log log log log 42a b ab +=≥=，当且仅当2a b ==时取等号，故D 正确. 故选：BD.14．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知()lg f x x =，当a b <时，()()f a f b =，则（ ） A ．01a <<，1b >B ．10ab =C ．2114b a -<D ．224a b +>【答案】ACD 【分析】利用()()f a f b =，可得lg lg a b -=，从而得到1ab =，再对每一个选项进行分析即可. 【详解】因为()()f a f b =，且a b <，可得lg lg lg lg 0a b a b -=⇒+=，从而得到1ab =， 因为0a b <<，所以01a b <<<，所以2221111()244b b b b a -=-+=--+<，而12a b b b +=+>，（1b >，等号不成立）所以422a b >==+. 从而可知选项ACD 正确. 故选：ACD15．（2022·山东泰安·高三期末）若,,0a b R a b ∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．11a b a>- B ．11a b > C ．2a bb a+>D ．a b >【答案】BCD【分析】以求差法判断选项AB ；以均值定理判断选项C ；以绝对值的几何意义判断选项D. 【详解】 选项A ：()()11()a a b b a b a a b a a b a ---==---，由0a b <<，可知0a <，0b <，0a b -<，则()0ba b a <-，即11a b a<-.选项A 判断错误；选项B ：11b a a b ab --=，由0a b <<，可知0a <，0b <，0b a ->，则0b aab ->，即11a b>.选项B 判断正确；选项C ：当0a b <<时，2a b b a +>=.选项C 判断正确；选项D ：当0a b <<时，a b >.选项D 判断正确. 故选：BCD16．（2022·山东德州·高三期末）已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是（ ） A．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16C D ．lg lg a b +的最小值为3lg 2【答案】ACD 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式判断AD C ，由对数的运算结合基本不等式判断B. 【详解】由2a b ab +=可得，211b a +=，212()3322a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭（当且仅当2b =等号），故A 正确；214(2)44248a b ab a b b a b a ⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭（当且仅当24b a ==时，取等号），即lg lg lg lg83lg 2a b ab +=≥=，故D 正确；222a b ab +≥（当且仅当3b a ==时，取等号），8ab （当且仅当24b a ==时，取等号），即2216a b +>，故B 错误；2212112b a b =+++=≤1212a b ==时，取等号），故C 正确； 故选：ACD17．（2022·山东烟台·高三期末）已知0a >，0b >，则下列命题成立的有（ ） A ．若1ab =，则222a b +≥ B ．若1ab =，则112a b +≥C ．若1a b +=，则2212a b +≤ D ．若1a b +=，则114a b+≥【答案】ABD 【分析】利用基本不等式逐项判断. 【详解】A.若1ab =，则2222a b ab +≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；B.若1ab =，则112a b +≥当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；C.若1a b +=，则()2221122=+≥+a b a b ，当且仅当1a b ==时，等号成立，故错误； D.若1a b +=，则2111421a b ab a b ab a b +==≥++⎛⎫⎪⎝⎭=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确； 故选：ABD18．（2022·山东济南·高三期末）已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（ ）A ．()()11a c abc a <--B ．b bc a a c+<+ C ．2ab c ac bc +>+ D ．()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为4【答案】BC 【分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于BC ，作差判断即可，对于D ，利用基本不等式判断 【详解】对于A ，因为0a b c >>>，所以11a b <，10c a<-，所以()()11a c a b c a >--，所以A 错误， 对于B ，因为0a b c >>>，所以()0,()0c a b a a c ->+>， 所以()()()0()()()b c b a b c b a c ab ac ab bc c a b a c a a a c a a c a a c ++-++----===>++++，所以b b ca a c+<+，所以B 正确， 对于C ，因为0a b c >>>，所以0,0a c b c ->->，所以2()()()()()0ab c ac bc a b c c b c a c b c +-+=---=-->，所以2ab c ac bc +>+，所以C 正确，对于D ，因为0,0a b >>，所以()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，因为a b >，所以取不到等号，所以()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值不为4，所以D 错误，故选：BC三、填空题19．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则23x y xy++的最小值为__________．【答案】9+ 【分析】利用基本不等式来求得最小值. 【详解】 由题意可知，23x y xy ++＝233x y x y xy +++＝45x y xy +＝4y ＋5x ＝（4y ＋5x）（x ＋y ）＝4＋5＋4x y ＋5y x ≥9＋9+，当且仅当4x y ＝5yx，2x =时取等号， 此时54x y =-=，故23x y xy++的最小值为9+故答案为：9+20．（2022·广东罗湖·高三期末）已知存在实数(),0,1x y ∈，使得不等式21121y yt x x-+<+-成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(3,)+∞ 【分析】根据基本不等式求得111x x+-的最小值为4，将问题转化为只需存在实数(0,1)y ∈，使得224y y t -+>成立即可，即242y yt ->-，再根据二次函数和指数函数的性质可求得答案.【详解】解：∵11111(1)()224111x x x x x x x x x x -+=+-+=++≥+=---，当且仅当11x x x x -=-，即()01x =，时取等号， ∴111x x+-的最小值为4， ∴只需存在实数(0,1)y ∈，使得224yyt -+>成立即可，即242yyt ->-，又当01y <<时，20y y -<，所以20221y y -<=，∴2423y y -->，∴3t >，∴实数t 的取值范围为(3,)+∞， 故答案为：(3,)+∞.21．（2022·湖南娄底·高三期末）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6 【分析】利用已知化简可得24224222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式计算即可. 【详解】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号． 故答案为：6.22．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设0x >，0y >，且2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1x y +取最小值时，221x y +=______. 【答案】12 【分析】当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最小值，变形可得21416=x y x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由基本不等式和等号成立的条件可得答案． 【详解】解析：∵0x >，0y >，∴当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值，∵222112x x x y y y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴221216x y x y y x +=+，∴21416x y x y y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭16≥=， ∴14x y+≥，当且仅当416x y y x=，即2x y =时取等号， ∴当1x y +取最小值时，2x y =，221216x x y y++=， ∴2212216y x y y ⋅++=，∴22116412x y +=-=. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题． 23．（2022·山东日照·高三期末）已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为_______.【答案】7 【分析】 由54x >，得450x ->，构造导数关系，利用基本不等式即可得到. 【详解】 法一：54x >，450x ∴->， 114(45)52574545y x x x x =+=-++≥+=--， 当且仅当14545x x -=-，即32x =时等号成立，故答案为：7. 法二：54x >，令2440(45)y x '=-=-得1x =或32x =， 当5342x <<时'0y <函数单调递减， 当32x >时'0y >函数单调递增， 所以当32x =时函数取得最小值为：314732452⨯+=⨯-， 故答案为：7. 【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.24．（2022·河北深州市中学高三期末）已知正实数a ，b 满足321a b +=，则6a +1b 的最小值为______． 【答案】32 【分析】利用“1"的代换，将6a +1b 转化为6a +1b =(6a +1b )(3a +2b)，然后化简整理，利用均值不等式即可求出结果. 【详解】由0a >，0b >且321a b +=，得 6a+1b =(6a +1b )(3a +2b)=18+12b a+3a b+2≥20+2√12b a⋅3a b=32，当且仅当12b a =3a b ，即2a b =时，取等号，此时{a =14b =18，则6a +1b 的最小值为32．故答案为：32.25．（2022·河北保定·高三期末）22244x x x+++的最小值为___________.【答案】9 【分析】由222224445x x x x x+++=++结合基本不等式得出答案.【详解】因为22222444559x x x x x +++=++≥=，当且仅当224x x =，即22x =时，等号成立，所以22244x x x+++的最小值为9. 故答案为：9。

考点29基本不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3）63)a -≤≤的最大值为() A.9B.29C.3D.223 【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解析】选B.当6-=a 或3=a 时,0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2.（2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A.0B.1C.94D.3【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212xyz+-，进而再利用基本不等式求出212xyz+-的最值.【解析】选B.由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =z xy .xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3.（2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（） A.0B.98C.2D.94【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值.【解析】选C.由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.【解析】选D.≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题5.（2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。

高考数学不等式练习题及答案解析：一、选择题1.已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x) f (x 4) ，且当 x 2 时， f (x) 单调递增，如果 x1 x2 4 且 (x1 2)(x2 2) 0 ，则 f (x1) f (x2 ) 的值 （）A、恒大于 0 B、恒小于 0 C、可能为 0 D、可正可负2.已知函数 f (x) x x3 , x1 、 x2 、 x3 R ,且 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 ，则 f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) 的值（）A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有 3.设 M x, y y x2 2bx 1 ， P x, y y 2ax b， S a,bM P ，则 S 的面积是 （ ）A. 1B. C. 4D. 44.设f (x) 是 (x2 1 )6 2x 展开式的中间项，若 f (x) mx 在区间 2, 2数 m 的取值范围是（） 2 上恒成立，则实A． 0, B． 5 4, C． 5 4,5D． 5, 5.若不等式x2logmx0在 0,1 2 内恒成立,则实数m的取值范围是1 m1 A. 160m 1B.160m 1C.4m 1 D. 16()6.已知实数 x，y 满足 3x2+2y2=6x，则 x2+y2 的最大值是( )9 A、 2B、4C、5D、27.若 0 < a，b，c < 1，并且 a + b + c = 2，则 a 2 + b 2 + c 2 的取值范围是（ ）4 （A）[ 3 ，+ ∞ )4 （B）[ 3 ，2 ]4 （C）[ 3 ，2 )4 （D）( 3 ，2 )8.不等式 1 log2 x > 1 – log 2 x 的解是（（A）x ≥ 2（B）x > 1） （C）1 < x < 8（D）x > 2sin cossin 29.设 a = f (2)，b = f ( sin cos )，c = f ( sin cos )，其中 f ( x ) = log sin θ x， θ∈( 0， 2 )，那么（ （A）a ≤ c ≤ b） （B）b ≤ c ≤ a（C）c ≤ b ≤ a（D）a ≤ b ≤ c11110.S = 1 + 2 + 3 + … + 1000000 ，则 S 的整数部分是（ ）（A）1997（B）1998（C）1999（D）200011n 11.设 a > b > c，n∈N，且 a b + b c ≥ a c 恒成立，则 n 的最大值为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）51 12.使不等式 2 x – a > arccos x 的解是– 2 < x ≤ 1 的实数 a 的值是（ ） （A）1 – 22 2 （B） 2 – 32 5 （C） 2 – 61 （D） 2 – π13.若不等式 a b m4 a2 b2 对所有正实数 a，b 都成立，则 m 的最小值是（ ）33A. 2 B. 2 2 C. 2 4 D. 45 xi R, xi 0(i 1,2,3,4,5)14.设 xii 11 ，则 ma xx1 x2 , x2 x3 , x3 x4, x4 x5的最小值等于（）1 A． 41 B． 31 C． 61 D． 415.已知 x, y, z 满足方程 x2 ( y 2)2 (z 2)2 2 ，则 x2 y2 z2 的最大值是A．4 2B．2 3C． 3 2D． 216. 若 直 线 y kx 1 与 圆 x2 y 2 kx my 4 0 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 关 于 直 线kkxx y2 my 00x y 0 对称,动点 P a,b 在不等式组 y 0表示的平面区域内部及边界上运动，则w b2 a 1 的取值范围是（）A．[2,) B． (,2] C．[2,2] D． (,2] [2,)17.已知x0,y0，且2 x1 y1，若x2ym22m 恒成立，则实数 m的取值范围是( )A． m 4或 m 2 B． m 2或 m 4 C． 2 m 4 D． 4 m 218.关于 x 的不等式 cos x lg(9 x2) cos x lg(9 x2) 的解集为（）A． (3, 2 2) (2 2,3)(2 2, ) ( , 2 2)B．22C． (2 2, 2 2)D． (3,3)19. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，其中 、 分别表示不大于 、的最大整数，例如 （），， 则 与 的关系A．B.C.D.20. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，（其中 、 分别表示不大于 、的最大整数），则点一定在（）A．直线左上方的区域内B．直线上C．直线右下方的区域内D．直线左下方的区域内0 21.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则北S 可以用不等式组表示为（0 x 20 A. 0 y 20x2 y2 400 x0 y0C.）x2 y2 400 B. x y 20x y 20 x 20 y 20D.yP. (x, y)东Ox(m)0 22.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则 S 的面积（单位：平方米）等于（ ）A. 100B. 100 200C. 400 100D. 200北yP. (x, y)东Ox(m)23.定义：若存在常数 ，使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数 ， 均有成立，则称函数在定义域 D 上满足利普希茨条件．对于函数满足利普希茨条件、则常数 k 的最小值应是A．2 B．1 C． D．24.如果直线 y＝kx＋1 与圆交于 M、N 两点，且 M、N 关于直线x＋y＝0 对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ ）A．B．25. 给出下列四个命题：①若C．1 ；D．2②“a<2”是函数“无零点”的充分不必要条件；③若向量 p=e1+e2，其中 e1，e2 是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；④命题“若 lgx>lgy，则 x>y”的逆命题.其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．③④D．①②③26.已知点（x, y）构成的平面区域如图（阴影部分）所示， 区域内取得最大值优解有无数多个，则 m 的值为A．B．C．D．（m 为常数），在平面27. 若 A．228.2C．4B．3 D．229. 如果正数满足A、，且等号成立时B、，且等号成立时C、，且等号成立时的最大值为C．4D．5，那么 的取值唯一 的取值唯一 的取值不唯一（）D、，且等号成立时的取值不唯一30. 设 变 量 （）最小值为A.9B.431.设两个向量C.3 和D.2其中为实数.若则的取值范围是()A.B.C.D.32.某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料和原料 分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总 额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（A） 33.若（B） 且（C） ，则（D） 的最小值是（A）（B）3 （C）2 （D）34.若且则的最小值为（ ）（A）（B）35. 对任意实数 x,不等式（C）（D）恒成立，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题36.已知函数 y f x是定义在 R 上的偶函数，当 x ＜0 时， f x 是单调递增的，则不等式 f x 1 ＞ f 1 2x 的解集是_________________________. 37.已知集合 A x x2 ax x a ，集合 B x1 log2 x 1 2 ，若 A B ，则实数a 的取值范围是________________________.38.设 A {x 1 x 2}, B {x f (x) m 3}，若 f (x) x2 1, A B ，则 m 的取值范围是_____39.已知 x 0, y 0 ，且 x y xy ，则 u x 4 y 的取值范围是_____________. xy02x y 2 y040.若不等式组 x y a 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 a 的取值范围是． 41.不等式 loga x2 2x 3 1 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是_________________.42. 下 列 四 个 命 题 中 : ① a b 2ab②sin2x4 sin2x4③设x, y都是正整数,若1 x9 y1 ,则 x y的最小值为12④若x2,y2,则xy 2其中所有真命题的序号是___________________.a b 1 43.已知 x, y 是正数, a, b 是正常数,且 x y , x y 的最小值为______________.44.已知 a,b, a b 成等差数列, a,b, ab 成等比数列,且 0 logm ab 1,则 m 的取值范围是______.45.已知 a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则 ax+by+cz 的最大值为 三、解答题 46.（本小题满分 12 分）已知数列{an }和{bn }中， a1 t(t 0), a2 t 2 .当x t时, 函数 f (x) 1 3(an1an )x3(anan1 )x(n2)取得极值。

高考数学考前复习资料-不等式部分易做易错题选一、选择题：1．（如中）设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．（如中）设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．（如中）不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或 错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4．（如中）某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。

正确答案为B 。

5．（如中）已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

6．（石庄中学）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

基本不等式课堂巩固1.设M=)11)(11)(11(---c b a , 且a+b+c=1(其中a 、b 、c ∈R +), 则M 的取值范围是（ ） A ．)81,0[ B ．)0,81[ C ．)8,1[ D ．),8[+∞ 2.已知实数x, y 满足 ， 若x>0，则x 的最小值为（ ）A. 2B.4C.6D.83.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ） A ．2B ．22C ．4D ．5 4.如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( )A ．3B ．51 C ．4 D ．5 5.设,x y R +∈ 且191x y +=,则x y +的最小值为________.课后检测一、选择题1.若不等式22a b ＋＋22b c ＋＋22c a ＋≥k （a ＋b ＋c ）对任意正数a ，b ，c 均成立，则k 的最大值为A ．2B ．2C ．3D ．32.下列命题中正确的是 ( )A 、 x x y 1+=的最小值是2B 、 2322++=x x y 的最小值是2 C 、 4522++=x x y 的最小值是25 D 、 x x y 432--=的最大值是342-3.已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．44.若a ＞1 ,则a+ 11-a 的最小值是（ ） A 、 2 B 、 a C 、12-a a D 、 3 二、填空题5.已知40,23x x x>--则的最大值是 . 6.已知正数a,b 满足3ab+a+b=1,则ab 的最大值是7.当实数,x y 满足条件||||1x y +<时，变量2244x x y μ=+++的取值范围是 ． 8.设0,0.a b >>若3是a 3与b3的等比中项，则b a 11+的最小值为_______． 三、解答题9.已知a 、b 为正常数,x 、y 为正数,且1=+yb x a ,求y x +的最小值。

高考数学不等式与不等式组选择题1. 选择题：设不等式\(2x-3<5\)，求解\(x\)的取值范围。

2. 选择题：已知\(a<b\)，\(c>d\)，求下列不等式组的解集：\(a+c<b+d\)。

3. 选择题：解不等式\(x^2-4x+3>0\)，并画出其解集在数轴上的表示。

4. 选择题：已知\(a>b\)，求下列不等式组的解集：\(a^2<b^2\)。

5. 选择题：解不等式\(3x+2>4\)，并画出其解集在数轴上的表示。

6. 选择题：解不等式\(x^2-2x-3<0\)，并画出其解集在数轴上的表示。

7. 选择题：已知\(a>b\)，求下列不等式组的解集：\(a^2-b^2>0\)。

8. 选择题：解不等式\(2x-5<3\)，并画出其解集在数轴上的表示。

9. 选择题：已知\(a<b\)，求下列不等式组的解集：\(a^2-b^2<0\)。

10. 选择题：解不等式\(x^2-4x+3<0\)，并画出其解集在数轴上的表示。

11. 选择题：已知\(a>b\)，求下列不等式组的解集：\(a^2>b^2\)。

12. 选择题：解不等式\(3x+2<4\)，并画出其解集在数轴上的表示。

13. 选择题：解不等式\(x^2-2x-3>0\)，并画出其解集在数轴上的表示。

14. 选择题：已知\(a<b\)，求下列不等式组的解集：\(a^2>b^2\)。

15. 选择题：解不等式\(2x-5>3\)，并画出其解集在数轴上的表示。

16. 选择题：已知\(a>b\)，求下列不等式组的解集：\(a^2<b^2\)。

17. 选择题：解不等式\(x^2-4x+3<0\)，并画出其解集在数轴上的表示。

18. 选择题：已知\(a<b\)，求下列不等式组的解集：\(a^2>b^2\)。

核心素养提升练三十五基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A.a+b≥2B.+>C.+≥2D.a2+b2>2ab【解析】选C.因为ab>0，所以>0，>0，所以+≥2=2，当且仅当a=b时取等号.2.若2x+2y=1，则x+y的取值范围是( )A.[0，2]B.[-2，0]C.[-2，+∞)D.(-∞，-2]【解析】选D.因为1=2x+2y≥2=2，所以≤，所以2x+y≤，得x+y≤-2.3.(2019·深圳模拟)已知f(x)=(x∈N*)，则f(x)在定义域上的最小值为( ) A. B. C. D.2【解析】选B.f(x)==x+，因为x∈N*，所以x+≥2 =2，当且仅当x=，即x=时取等号.但x∈N*，故x=5或x=6时，f(x)取最小值，当x=5时，f(x)=，当x=6时，f(x)=，故f(x)在定义域上的最小值为.4.已知f(x)=x+-2(x<0)，则f(x)有( )A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4【解析】选C.因为x<0，所以f(x)=--2≤-2-2=-4，当且仅当-x=，即x=-1时，取等号.5.若a≥0，b≥0，且a(a+2b)=4，则a+b的最小值为( )A. B.4 C.2 D.2【解析】选C.因为a≥0，b≥0，所以a+2b≥0，又因为a(a+2b)=4，所以4=a(a+2b)≤，当且仅当a=a+2b=2时等号成立.所以(a+b)2≥4，所以a+b≥2.6.已知x>0，y>0，且4xy-x-2y=4，则xy的最小值为( )A. B.2 C. D.2【解析】选D.因为x>0，y>0，x+2y≥2，所以4xy-(x+2y)≤4xy-2，所以4≤4xy-2，即(-2)(+1)≥0，所以≥2，所以xy≥2.7.(2018·衡水模拟)若a>0，b>0，lg a+lg b=lg(a+b)，则a+b的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2【解析】选C.由a>0，b>0，lg a+lg b=lg(a+b)，得lg(ab)=lg(a+b)，即ab=a+b，则有+=1，所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=2时等号成立，所以a+b的最小值为4. 二、填空题(每小题5分，共15分)8.设P(x，y)是函数y=(x>0)图象上的点，则x+y的最小值为________.【解析】因为x>0，所以y>0，且xy=2.由基本不等式得x+y≥2=2，当且仅当x=y时等号成立. 答案:29.已知x，y为正实数，则+的最小值为________.【解析】因为x，y为正实数，则+=++1=++1，令t=，则t>0，所以+=+t+1=+t++≥2+=，当且仅当t=时取等号.所以+的最小值为.答案:10.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x=________.【解析】设横断面的高为h，由题意得AD=BC+2·=BC+x，h=x，所以9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x，故BC=-，由得2≤x<6，所以y=BC+2x=+(2≤x<6)，从而y=+≥2 =6，当且仅当=(2≤x<6)，即x=2时等号成立.答案:2(20分钟40分)1.(5分)当0<m<时，若+≥k2-2k恒成立，则实数k的取值范围为( )A.[-2，0)∪(0，4]B.[-4，0)∪(0，2]C.[-4，2]D.[-2，4]【解析】选D.因为0<m<，所以×2m×(1-2m)≤×=，当且仅当2m=1-2m，即m=时取等号，所以+=≥8，又+≥k2-2k恒成立，所以k2-2k-8≤0，所以-2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[-2，4].2.(5分)(2018·石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2，则t=a取得最大值时a的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为圆心到直线的距离d=，则直线被圆截得的弦长L=2=2=2，所以4a2+b2=4，则t=a=·(2a)·≤××[(2a)2+()2]=·[8a2+1+2(4-4a2)]=，当且仅当时等号成立，此时a=.3.(5分)(2019·邯郸模拟)设x>0，y>0，且=，则当x+取最小值时，x2+=________. 【解析】因为x>0，y>0，所以当x+取最小值时，取得最小值，因为=x2++，又=，所以x2+=+，所以=+≥2 =16，所以x+≥4，当且仅当=，即x=2y时取等号，所以当x+取最小值时，x=2y，x2++=16，所以x2++=16，所以x2+=16-4=12.答案:124.(12分)已知x，y∈(0，+∞)，x2+y2=x+y.(1)求+的最小值.(2)是否存在x，y满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由.【解析】(1)因为+==≥=2，当且仅当x=y=1时，等号成立，所以+的最小值为2.(2)不存在.理由如下:因为x2+y2≥2xy，所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).又x，y∈(0，+∞)，所以x+y≤2.从而有(x+1)(y+1)≤≤4，因此不存在x，y满足(x+1)(y+1)=5.5.(13分)某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数.(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?【解析】(1)由题意知，当m=0时，x=1(万件)，所以1=3-k⇒k=2，所以x=3-，每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以2018年的利润y=1.5x×-8-16x-m=-+29(m≥0).(2)因为m≥0时，+(m+1)≥2=8，所以y≤-8+29=21，当且仅当=m+1，即m=3(万元)时，y max=21(万元).故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元.关闭Word文档返回原板块。