高中数学 初高中衔接教材 第35课时 幂函数(1)学案(无答案)苏教版

《幂函数》教学设计常州市第二中学蒋理一、教学需求分析1、适用对象分析适用于高一已经学习了函数的概念和图象以及指数函数，对数函数这两大类函数的学生，由学习上述两类函数的经验，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这5个相同的角度来自我学习一类新的函数，从而化解了学习的难度。

2、学习内容分析参照指、对函数的学习经验，通过ece，几何画板作图从五个角度直观分析函数，找出三类幂函数的异同，并且利用总结出的性质比较幂函数的大小关系。

3、教学目标分析（1）三维教学目标分析A、过程目标：通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会数形结合的思想。

B、知识技能目标：了解幂函数的概念，会画幂函数2132,1y=x=y==-,的图象，并能结合这几个x=,x,,yxxyy幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。

C、情感目标：通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

（2）教学重难点分析教学重点：幂函数的概念和性质。

教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。

4、教学教法分析（1）教法分析利用软件绘制幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，类比指数函数，对数函数的研究方法，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这五个角度来学习一类新的函数。

（2）学法分析通过软件绘制的幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，直观感知五类常见的幂函数，回忆指数函数，对数函数的学法，类比总结幂函数的性质。

（3）教学用具分析利用ece 软件和几何画板作图让学生直观感知幂函数的图象。

二．教学设计。

★教学设计★幂函数（一）教材分析本节课选自新课程苏教版必修1第二章第4节，幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。

通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待231,,y x y x y x y x====，等以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

（二）学情分析学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

（三）设计思想由于幂函数的性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。

（四）教学目标 1.知识目标（1）了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； （3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2.能力目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3. 情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

（五）教学重点常见的幂函数的图象和性质 （六）教学难点幂函数的图象和性质的总结 （七）教学用具多媒体平台，几何画板课件（八）教学过程 【创设情境】（多媒体投影）问题1.某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p （元）和购买的蔬菜的量（千克）w 之间的有何关系？2.正方形的面积S 和它的边长a 之间有何关系？3.正方体的边长V 和它的边长a 之间有何关系？4.问题2中，边长a 是S 的函数吗？5.问题3中，边长a 是V 的函数吗？6.某人在t 秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v 为多少？ 学生很容易回答出这六个关系式（都是函数关系式）分别是：1123132,,,,,p w S a V a a S a Vv t -======【提出问题 启发建构】问：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x 表示自变量，用y 表示函数值，上述函数式变成：1123132,,,,,y x y x y x y x y xy x -======，便于看出特征它们都是形如y x α=的函数。

幂函数教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。

情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。

教学重点：重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。

难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。

教学关键：揭示出幂函数y x α=的图象的规律。

教学准备：多媒体课件，几何画板。

教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。

学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。

教学程序与环节设计：教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创设情境创设情境阅读幻灯片中的具体实例〔1〕~〔5〕，思考以下问题：1、它们的函数解析式分别是什么？2、以上问题中的函数有什么共同特征？〔答案〕1、〔1〕xy=；〔2〕2xy=；〔3〕3xy=；〔4〕21xy=；〔5〕1-=xy．2、上述问题中涉及到的函数，都是形如αxy=的函数，其中x是自变量，是α常数。

生：独立思考完成引例。

师：引导学生分析，归纳概括得出结论。

师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同。

组织探究材料一：幂函数定义及其图象。

一般地，形如αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数。

例1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？〔1〕y =1x2〔2〕y=2x2 〔3〕y=x2 + x〔4〕y = 2x 〔5〕y=1下面我们举例学习这类函数的一些性质。

利用几何画板作出以下函数的图象：〔1〕xy=；〔2〕21xy=；〔3〕2xy=；〔4〕1-=xy；〔5〕3xy=．师：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义〞的函数，其特征可归纳为“两个1〞，即：系数为1，只有1项。

《幂函数》教案《幂函数》教案《幂函数》教案1教学目标1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念．教学难点：函数单调性的判定．教学过程设计一、引入新课师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：第二组：生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）二、对概念的分析（板书课题：）师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．（学生朗读．）师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x 的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f （x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．（指图说明．）师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数．师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索．）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？生：不能．因为此时函数值是一个数．师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．师：你答的很对．能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）师：“属于”是什么意思？生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以．师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f （x1）都大于f（x2）．师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻．）生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．师：那么如何来说明“都有”呢？生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f （x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f （x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）三、概念的应用例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f （x）是增函数还是减函数？（用投影幻灯给出图象．）生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然．例2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．（指出用定义证明的必要性．）师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b 就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，所以f（x）是增函数．师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）调函数吗？并用定义证明你的结论．师：你的结论是什么呢？上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．上是减函数．（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1．要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤．五、作业1．课本P53练习第1，2，3，4题．数．=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．课堂教学设计说明是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．《幂函数》教案2教学目标1、使学生掌握的概念，图象和性质。

幂函数一．三维目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知阅读教材P 90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方（4）求算术平方根 （5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？。

一、自学准备:问题1：边长为的正方形的面积是____________问题2：边长为的正方形的体积是____________问题3：面积为的正方形的边长是____________问题4：某人秒行走了1公里的平均速度是____________思考：以上4个函数有哪些共同的特点二、学习交流与问题研讨：1幂函数的概念：一般地，我们将形如________________的函数称为幂函数，其中α为常数．练习1①下列函数中，是幂函数的是____________1 12y x = 20y x = 30.5x y = 4y x = 522y x = 62(2)y x =-②已知幂函数的图象过点2，则()f x =_________ ③已知幂函数2221(1)m m y m m x --=--是定义域为R 幂函数，则m 的值为__________④求下列函数的定义域及奇偶性：15()f x x = 256()f x x = 345()f x x-= 432()f x x -=2幂函数的图象和性质：引入:在同一坐标系中作出幂函数11231232,,,,,y x y x y x y x y x y x --======的图象，并探索函数y x α=图象的规律．总结：幂函数y x α=的图象特征①幂函数在第一象限的图象为：1a >时__________；01a <<时____________；0a <时____________； ②在画好第一象限的图象后，在根据幂函数的定义域和是否具有奇偶性，确定它在其它象限的图象． ③特别地：当0α=时，图象为_______________；当1α=时，图象为_______________．④所有幂函数的图象都过点______________．3幂函数的应用：1、比较下列各组中两个数的大小(1) 33551.5__1.7； 2 1.5 1.50.7__0.6；3 2233( 1.2)__( 1.25)---- 2、已知幂函数223()a a f x x +-=的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞单调递减，则整数a 的值为____________．3、已知函数223()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <，则m 的值为____，()f x 的解析式为___________4、（1）关于a 的不等式3355(1)(32)a a +<-的解集为___________（2）关于a 的不等式2233(1)(32)a a --+<-的解集为___________ （3）关于a 的不等式33(1)(32)a a --+<-的解集为___________4课堂小结1幂函数的概念2幂函数的图象和性质。

?幂函数?教学设计一、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学〔必修1〕第二章第四节的内容。

该教学内容在人教版试验修订本〔必修〕中已被删去。

标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。

?标准?将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。

其中，学生在初中已经学习了=、=2、=-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。

现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。

学生已经了解了函数的根本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了根本思路和方法。

因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。

该内容安排一课时。

二、教学目标鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标：⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。

⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

⑶加深学生对研究函数性质的根本方法和流程的经验。

⑷培养学生观察、分析、归纳能力。

了解类比法在研究问题中的作用。

三、教学方法和教具的选择基于对课程理念的理解和对教材的分析，运用问题情境可以使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，进行数学建构，并能运用数学知识解决问题，让学生有运用数学成功的体验。

本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，表达以学生为主体，教师主导作用的教学思想。

教具：多媒体。

制作多媒体课件以提高教学效率。

四、教学重点和难点重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。

难点是引导学生概括出幂函数性质。

五、教学流程基于新课程理念在教学过程中的表达，教学流程的基线为：1考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的根本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。

第13课时幂函数(1)教学过程一、问题情境经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:价格/元0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9需求量/t 139.6135.4131.6128.2125.1122.2119.5根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y=114.82x-0.38.这个关系式与函数y=x-0.38是相关联的.那么,函数y=x-0.38是指数函数吗?二、数学建构(一)生成概念一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. (二)理解概念问题1幂函数有什么性质?解一般地,幂函数y=xα有下列性质:(1)幂函数的图象都过点(1, 1);(2)当α>0时,幂函数在[0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减;(3)当α=-2, 2时,幂函数是偶函数;当α=-1, 1, 3,时,幂函数是奇函数;(4)任何幂函数的图象都不过第四象限;(5)当α>0时,幂函数的图象过点(0, 0),(1, 1).问题2幂函数的图象在第一象限内有何分布规律?[1]解(1)当α>0时,在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限延伸,α越大,图象上升得越快;(2)当α<0时,在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;过点(1, 1)后,|α|越大,图象下落的速度越快;(3)幂指数的分母为偶数时,图象只在第一象限内;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、二象限内且关于y轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、三象限内且关于原点对称.三、数学运用【例1】(教材P88例1)写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性:(1)y=x3;(2)y=;(3)y=x-2.(见学生用书课堂本P57)[处理建议]引导学生将负指数幂转化为分式形式,将分数指数幂转化为根式的形式.[规范板书]解(1)函数y=x3的定义域是R,它是奇函数.(2)函数y=可化为y=,其定义域是[0,+∞),它既不是奇函数也不是偶函数.(3)函数y=x-2可化为y=,其定义域是(-∞, 0)∪(0,+∞),它是偶函数.[题后反思]①研究y=(p,q为互质的整数)的定义域,一般将它改写为根式后,再求出它的定义域.②如何确定幂函数的奇偶性?若指数为整数,可直接判断;若为分数,先把它改写为根式,一看定义域,二看f(-x)与f(x)的关系.变式写出函数y=的定义域,并指出它的奇偶性.[规范板书]解y=可化为y=,其定义域为R.由于f(-x)===f(x),所以函数y=是偶函数.【例2】比较下列各组数的大小:(1),;(2),,;(3),,;(4) 0.80.5, 0.90.4.(见学生用书课堂本P58)[处理建议]利用幂函数的单调性比较两数的大小.[规范板书]解(1)∵y=是偶函数,=.∵-<0,∴函数y=在(0,+∞)上为单调减函数,而1.2<1.3,∴ 1.<1.,即<.(2)=.∵>0,∴函数y=在[0,+∞)上为单调增函数.∵2.1<4,∴>>0.而<0,∴<<.(3)∵>=1,<=1,<0,∴>>.(4)选择中间数0.90.5.∵幂函数y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,且0.8<0.9,∴0.80.5<0.90.5.又∵指数函数y=0.9x在(-∞,+∞)上单调递减,且0.5>0.4,∴0.90.5<0.90.4.∴0.80.5<0.90.4.[题后反思]熟练地利用函数的单调性比较两个实数的大小关系.当比较的数多于两个时,一般采用从整体到局部的思维方法:先与0比较,分出正数与负数(如果都是正数,再与1比较;如果都是负数,再与-1比较),最后转化为只有两个数的大小比较问题.重要的是寻求它们与中间数的大小比较,如第(4)题.一般比较大小有四种方法:①作差比较法;②作商比较法;③中间值法;④利用函数的单调性比较大小.变式求下列各式中实数a的取值范围:(1)>;(2)>.[处理建议]已知指数相同的两个幂的大小,可以利用幂函数的单调性来确定底数的大小.[规范板书]解(1)∵>,∴a≥0.又函数y=在[0,+∞)上为单调增函数,∴a>0.5.(2)=.①当2a+4≥0时,由函数y=在[0,+∞)上为单调增函数知2>2a+4≥0,即-2≤a<-1;②当2a+4<0时,由函数y=在(-∞,0]上为单调减函数知-2<2a+4<0,即-3<a<-2.综上所述,a的取值范围是(-3,-1).*【例3】已知幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值.[处理建议]通过常见的幂函数的图象和性质进行分析,体会数形结合的思想.[规范板书]解由题意可得m2-2m-2≤0,∴ 1-≤m≤1+.又∵m∈Z,∴m=0, 1, 2.又∵该幂函数的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,∴该幂函数为偶函数,∴m=0或2.[题后反思]对于常见幂函数的图象,要记清其大致形状,对其性质要清晰.变式已知幂函数y=x m-6(m∈Z)和y=x2-m(m∈Z)的图象都与x轴、y轴无交点,且函数y=x2-m(m∈Z)的图象关于y轴对称,求实数m的值.[规范板书]解因为已知两个幂函数的图象都与x轴、y轴无交点,所以解得2<m<6.又因为函数y=x2-m(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以2-m为偶数,即得m=4.四、课堂练习1.写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性和单调性:(1)y=x4;(2)y=;(3)y=x-3;(4)y=;(5)y=.解(1)定义域为R,该函数为偶函数,在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.(2)定义域为[0,+∞),该函数为非奇非偶函数,在[0,+∞)上单调递增.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),该函数为奇函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0, +∞)上单调递减.(4)定义域为R,该函数为奇函数,在R上单调递增.(5)定义域为R,该函数为偶函数,在(-∞, 0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.2.比较下列各组数的大小:(1),;(2) 0.26-1, 0.27-1;(3)(-0.72)3,(-0.75)3.解(1)<;(2) 0.26-1>0.27-1;(3)(-0.72)3>(-0.75)3.五、课堂小结1.α≠0, 1时,幂函数y=xα的图象在第一象限内的特征:(1)当α>1时,图象过点(0, 0),(1, 1),且下凸递增;(2)当0<α<1时,图象过点(0, 0),(1, 1),且上凸递增;(3)当α<0时,图象过点(1, 1),且单调递减,以两坐标轴为渐近线.2.由定义域与奇偶性可知幂函数在第四象限内无图象.。

高一数学幂函数一【学习目标】 1过程目标：（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

（2）使学生体会数形结合的思想。

2知识技能目标：（1）了解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-, 的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。

（2）了解几个常见的幂函数的性质。

3情感目标：（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

（2）利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

教学重点：常见幂函数的概念和性质。

教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。

【学前准备】作出 x x y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛==21,2的图象，你还能作出 212,x y x y ==的 图象吗？【探究活动】一、创设情境：前面我们学了指数函数)10(≠>=a a a y x且 ，若底数与真数颠倒位置，我们又如何探究？ 问题1：如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=2a ，这里S 是a 的函数。

问题2：如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=3a ，这里S 是a 的函数。

问题3：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长 a=S 21，这里a 是S 的函数。

问题4：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度s /km t V 1-=，这里v 是t 的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）二、活动尝试： （一）幂函数的概念如果设变量为x ,函数值为y ，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？ 这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？ 这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？幂函数的定义：一般地，我们把形如α=x y 的函数称为幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数。

幂函数教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。

情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。

教学重点：重点从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。

难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。

=的图象的规律。

教学关键：揭示出幂函数y xα教学准备：多媒体课件，几何画板。

教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。

学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。

教学程序与环节设计：幂函数1、幂函数的定义例2 例42、幂函数的图象与性质教案说明：（1）本节课的教学内容，课本中虽然只有3页，但内容丰富。

课本通过几个特殊幂函数的图象类比归纳，得到图象都通过点(1,1)。

（2）本节是新课标新增加的内容，教材不仅仅学习有关幂函数图象与性质的问题，还包含着教会学生通过观察和思考，得到有关幂函数的一些知识的问题。

（3）有意识地将新知识的学习和研究方法渗透到教学过程之中，通过教学过程的设计，将这部分内容适当展开，重新组合，使知识的传授和能力的培养有机地结合到一起。

（4）利用几何画板方便地研究出幂函数的图象，充分展示由幂指数的变化引起幂函数图象的变化的内部规律。

这样学生就容易从所举函数的个性中归纳出共性来，从而在整体上对幂函数的图象与性质有较深刻的了解。

幂函数（1）一、问题情境经调查，一种商品的价格和需求如下表所根据此表，我们可以把价格x 与需求量y之间近似地满足关系：38.082.114-=x y函数38..0-=x y 是指数函数吗？二、建构数学 1、幂函数的定义练习：1、下列函数中，是幂函数的是（ ）A 、x y 2=B 、2x y -=C 、x y 2log =D 、21-=xy2、下列各图中，只画出函数图象的一半，你能画出它们的另一半吗？2、幂函数的图象与性质例1、写出下列函数的定义域，判断其奇偶性，并作出它们的图象 （1）2x y = （2）3x y = （3）21x y = （4）31x y =（5）1-=x y （6）2-=x y幂函数的性质三、随堂练习1、（1）12+=x y （2）32-=x y （3）121-=xy （4）22x y -=；上述函数中，是幂函数的有_____________。

2、（1）x y =（2）xy -=2（3）121-=xy （4）2-=x y ；上述函数中，在()+∞,0上是减函数的是_____________________。

3、函数21-=xy 的定义域是4、函数31x y =的图象关于 对称5、函数1-=x y 在)0,(-∞上是 函数（填“增”或“减”） 6、3x y =的图象与31x y =的图象关于_____对称。

四、回顾小结幂函数的定义，会画幂函数的图象，从幂函数的图象了解幂函数的性质课后作业班级：高一（ ）班 姓名__________ 一、基础题：1、下列函数中，定义域为),0(+∞的是（ ）1-=x y A 、21-=xy B 、21x y C =、31-=x y D 、2、下列函数中是偶函数的是（ ）xy A 3-=、]3,3(,2-∈=x x y B 、 32-=x y C 、 1)1(22+-=x y D 、3、下列函数中，在)0,(-∞上单调递减的是（ ）3x y A =、21x y B =、2-=x y C 、2x y D =、4、若一个幂函数)(x f 的图象过点)41,2(，则)(x f 的解析式为5、画出函数32x y =的图象，并指出其奇偶性，单调性。

幂函数教学目标：知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。

情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。

教学重点：重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。

难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。

教学关键：揭示出幂函数y x α=的图象的规律。

教学准备：多媒体课件，几何画板。

教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。

学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。

教学程序与环节设计：的函数，其中x是自变量，是α常数。

函数与指数函数的异同。

组织探究材料一：幂函数定义及其图象。

一般地，形如αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数。

例1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y =1x2（2）y=2x2 （3）y=x2 + x（4）y = 2x （5）y=1下面我们举例学习这类函数的一些性质。

利用几何画板作出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．师：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，其特征可归纳为“两个1”，即：系数为1，只有1项。

引导学生注意辨析。

生：观察所图象，体会幂函数的变化规律。

归纳概材料二：幂函数的图象变化规律归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都经过点（1，1）；（2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在第一象限图象逐渐上升；当0<α时，幂函数的图象在第一象限逐渐下降。

在第一象限内，当x从右边趋向原点时，师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律和性质。

引入复习1、有理指数幂的意义及其运算性质2、指数函数、对数函数的概念、图象及性质（1,0≠>a a ）过定点 单调性3、幂函数的图象与性质4、课前练习⑴、求值： nnan n a )( 625lg 20lg 2lg 50lg 5lg -⋅-⋅⑵、已知31=+-aa ，求22-+aa ，33-+aa，2121-+aa,2121--aa的值。

例题剖析 例1、⑴、比较大小：2133231)43(,)32(,2,)34(-比较大小：9.0log ,7.0log ,7.0log2.032比较大小：9.0log ,1.2,3.0log ,32312.031⑵、函数)1,0(312≠>-=-a a a y x 的图象必经过定点_________；函数)1,0(3)12(log ≠>--=a a x y a的图象必经过定点_________； 函数)21(312≠-=-a x y a 的图象必经过定点_________；⑶、若指数函数xa y )12(-=在R 上是单调增函数,则a 的取值范围是________若对数函数x y a )12(log +=在),0(+∞上是单调减函数，则a 的取值范围是_____若幂函数12+=a x y 在定义域上是单调减函数,则a 的取值范围是_____例2、求函数的定义域⑴、118-=x y ⑵、x y )31(1-=⑶、521log 2--=x x y ⑷、4321)3()1(--+-=x x y例3、求函数的值域 ⑴、1216-=x y ⑵、1762)21(+-=x x y ⑶、)8(log25+-=x y例4、已知函数)(322Z n x y n n ∈=--的图象与两坐标轴均无交点，且其图象关于y 轴对称。

⑴、求出n 的值； ⑵、画出函数图象的示意图。

课后作业班级：高一( ）班 姓名__________一、基础题 1、化简：⑴、65212121132)(ba bab a ⋅⋅⋅⋅--- ⑵、4223ba ab b a2、计算：⑴、1412121)32(10)427()23(10)3001(---⨯-⨯⨯+⑵、)21)(21)(21)(21)(21(214181161321-----+++++3、已知322=+-x x，求x x -+44，x x -+88，x x )22()2(+，x x 33)22()2(+的值。