大一高数期末试卷

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。

A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续，则以下哪项正确？（）A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中，收敛的是（）。

A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为（）。

A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为（）。

A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。

7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。

8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。

9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。

10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy，y(0) = 0的通解为 y = _______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。

12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数，并计算在区间[0,1]上的定积分值。

13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。

大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。

A) 2 B) 7 C) 9 D) 11答案：B) 72. 函数f(x) = 3x + 4 和 g(x) = 2x - 1，求f(x)与g(x)的交点横坐标。

A) -3/5 B) 0 C) 5/7 D) 1/2答案：A) -3/53. 设a为非零实数，若函数f(x) = x^2 + ax + a 的图像经过点(-1, 4)，求a的值。

A) -1 B) 1 C) 2 D) -2答案：C) 24. 设方程x^2 - kx + 1 = 0只有一个实根，求k的取值范围。

A) (-∞, 1) B) (0, 1] C) [0, ∞) D) [1/4, ∞)答案：D) [1/4, ∞)5. 函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点(1, 3)，且在x = 2处取得最小值0.求a、b、c的值。

A) a = 1, b = 2, c = 0 B) a = 2, b = -3, c = 2 C) a = 1, b = -2, c = 3 D) a = -1, b = 2, c = 3答案：C) a = 1, b = -2, c = 3二、计算题1. 求不定积分∫(sinx + cosx)dx。

答案： -cosx + sinx + C（C为常数）2. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的极值点。

答案：极小值点为x = 1，极大值点为x = 33. 设函数y = ln(3x + 1)，求其反函数。

答案：y = e^x / 3 - 1/34. 已知曲线y = e^x的斜率为1/2，求曲线上点的坐标。

答案：(ln2, 2)5. 设函数f(x) = √(2x + 1)，求f'(1)的值。

答案：1/2三、证明题1. 证明函数y = x^3 - 3x + 2在x = 1处有一个零点。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。

2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。

3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。

4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。

5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。

6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。

7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。

8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。

9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。

10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰0123()1(1)x xd e x dx--=-+--⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一高数期末考试试题一、选择题1. 高数的定义是（）a) 都是高等级别的数学知识b) 是大学中的一门数学课程c) 是研究数的概念和性质的数学分支d) 都不正确2. 以下哪个不是高等数学的分支（）a) 微积分b) 线性代数c) 概率统计d) 逻辑学3. 极限的代数定义是（）a) 若对于任意正数ε，都存在一个正数δ，对于所有满足0＜|x-a|＜δ的x，有|f(x)-A|＜ε。

b) 若存在正数δ，满足对于所有满足0＜|x-a|＜δ的x，有|f(x)-A|＜ε。

c) 若存在正数δ1，满足对于所有满足0＜|x-a|＜δ1的x，有|f(x)-A|＜ε。

d) 若对于任意正数ε1，都存在一个正数δ1，对于所有满足0＜|x-a|＜δ1的x，有|f(x)-A|＜ε。

4. 函数在某一点可导，则一定在该点（）a) 不连续b) 连续c) 不存在极限d) 导数不存在5. 定积分的本质是求（）a) 一元函数的面积b) 函数的导数c) 面积与某一直线之间的夹角d) 曲线的弧长二、解答题1. 求函数$y=3x^2+2x+1$的导函数。

解：首先，对于多项式函数，我们可以使用求导法则进行求导。

对于$x^n$，其导数为$n \cdot x^{n-1}$，因此：$y' = (3 \cdot 2)x^{2-1} + (2 \cdot 1)x^{1-1} + 0 = 6x + 2$因此，函数$y=3x^2+2x+1$的导函数为$y' = 6x + 2$。

2. 计算定积分$\int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) dx$。

解：对于多项式函数，定积分的计算是将函数表达式中的$x$替换成$x$的上下限，并按照求不定积分的法则进行计算。

对于$x^n$的不定积分，其结果为$\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中$C$为常数。

根据上述法则，我们有：$\int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) dx = (\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x) \Bigg|_{0}^{1} = (\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1) - (0 + 0 + 0) =\frac{13}{6}$因此，定积分$\int_{0}^{1} (2x^2 + 3x + 1) dx$的结果为$\frac{13}{6}$。

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ .3. （3分） 201lim sin x x x→= .4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++Q 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t tdt e dt t -=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++ 1分21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分cos y xy e '=-Q 1分cos sin 1xx =- 1分cos sin 1xdy dx x ∴=- 2分6 解 1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰2分21sin(23)2x C =++ 4分7 解 原式=23323lim 12nn n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 4分 =32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴=Q 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222cos x V xdx πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π= 2分 3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分 (1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x =1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分 五、证明()()()()()()b b a ax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分 [2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分 ()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。

大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1.（3分）若/3= 2XXV0,为连续函数,则d的值为（）.a+ x,x>0（A）I （B） 2 （C）3 （D）-I2.（3分）已知厂⑶=2,则Ii y "7⑶的值为（）.λ→0 2hOOl （B） 3 （C）-I （D）I23.（3分）定积分∫>Λ∕1-COS23Xdx的值为（）•■⑷ 0 （B）-2 （C）I （D） 24.（3分）若/⑴在“勺处不连续,则/3在该点处（）・（A）必不可导（B）—定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1.（3分）平面上过点（0,1）,且在任意一点（Λ∙,y）处的切线斜率为3疋的曲线方程为_________________________ .2.（ 3 分）∫ ι（x2+x4 Sin XyIX = _______ 1-3.（3 分）IilnX2 Sin丄= ・.r→υX4.（3分）y = 2√ -3√的极大值为________________ —2 （6分）设尸冕,求*JT + 1三、计算题（共42分）1.（6 分）求Iim史S.∙*→υ Sin 3x^3.（6分）求不定积分JXIn（I+十）厶.x .v<ι4.（6 分）求J /（X-1）JΛ∖其中/（x）= < l + cosχ,e' +l,x> 1.5.（6分）设函数y = f（x）由方程JO e,M + ［cos∕d∕ = 0所确定,求dy.6.（ 6 分）设 f f{x）dx = Sin + C,求j + 3）dx.7.（6 分）求极限IinJI÷-Γn→30k 2/7 7四、解答题（共28分）1.（7 分）设,Γ（lnx） = l+x,且/（0） = 1,求32.（7分）求由曲线y = cosx［-^-<x<^及X轴所围成图形绕着X轴旋I 2 2）转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线y = x3-3√÷24x-19在拐点处的切线方程•4.（7分）求函数y = x + √∏7在［-5,1］上的最小值和最大值.五、证明题（6分）设厂（X）在区间［“］上连续,证明i a f^dx = ¥ ［/（“） + f（b）］+1 ［（X - a）（x - b）fj）dx.（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1.设函数/（χ）= 2χ2~1 ,则"1是心）的第_________ 类间断点.X -3x + 23.=∙v→∞V X)4・ 曲线 V 在点(扣)处的切线方程 为 ・5 .函数J = 2X 3-3X 2在［-1,4］上的最大值 _________________ ,最小值 __________ .二、 单项选择题(每小题4分，共20分)1.数列&”｝有界是它收敛的( )•(A)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； 2.下列各式正确的是((B)充分但非必要条件; (D)无关条件.)・(A) je-χdx=e"x+C i(B) J In X(IX = _ + C ; (C)JI 2∕x=2hl (l 2x)+C ；(D) f —5—JX = Inlllx+ C ・' ,J XInX3-设/(x)在RM 上，广(x)>O 且厂(x)>0,则曲线y = f(x)在［“问上•6.∣∙arctanx J l +x 2(IX(小沿X轴正向上升且为凹(B)沿兀轴正向下降且为凹的；的；(D)沿X轴正向下降且为凸(C)沿兀轴正向上升且为凸的；的.则/(x)在兀=0处的导? :( )•4. 设/(*)=XInX ’⑷等于1;（C）等于O ；（D）不存在•5.已知Ihn/（x）= 2,以下结论正确的是（）•G）函数在工=1处有定义且/（1）=2 ; （B）函数在；V = I处的某去心邻域内有定义；（C）函数在2 1处的左侧某邻域内有定义；（D）函数在21处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1.求极限:HlnX2 sinx→0X2.已知y = ln（l + χ2）,求几3.求函数J = >0）的导数.5.J X COS XdX ・丄 16.方程y x =X y确定函数y = f（x）f求八四、（H）分）已知/为/（X）的一个原函数，求∫x2∕（x}∕x.五、（6分）求曲线,=壮7的拐点及凹凸区间.六、（10 分）设J广（√∑）/X = X（e、' +1）+C ,求/（X）・（三）填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）・±J_(1)⅛(COSX)r = ________ 石________ .(2)曲线A = Xlnx上及直线X-y + l= °平行的切线方程为y =x-∖(3 )已知f f(e x) = xe~x,且/(D = O ,则大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解/(X)= _________ /Cv)= 2(In X)________ .X 211(4)曲线V =3777的斜渐近线方程为 _______ V= 3Λ^9,二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)・(1)下列积分结果正确的是(D )(2)函数/W 在［恥］内有定义，其导数广⑴的图形如图1-1所示, 则(D ) •(A)刁宀都是极值点.⑻ g ，/3))，(£，/(£))都是拐点.(C) F 是极值点.，U 是拐点. (D) WJy))是拐点，勺是极值点.(3) 函数y = qe v ÷C 2e-÷A -e'满足的一个微分方程是(D ).(A) /-y-2>∙ = 3xe t . (B) /-y-2y = 3e v . (C) / + y-2y = 3Λ∙e c .(D) / + y~2y = 3e r .lim∕(⅞)-∕(⅞~z0 (4) 设/W 在％处可导，则I h 为(A ) •⑷ 广仇). (B) -f ,M.(C) O. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是((A) (J* /(x)"∙χ)'Z=/W-(C) 町 /(χ)"χ]=/W -) 微分方程= (V+1)-的通解为三、计算J (本 共4小题，每小题6分，共24分).y =3 _5 "3 O(或令 √Γ+χ = r)四、解答题（本题共4小题，共29分）•1. （本题6分）解微分方程r-5∕÷6j = xe -.解：特征方程r 2-5r + 6 = 0 ------------- 1分 特征解斤=2,r 2 =3. ------------ 1分 3x大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解 恤（丄—丄）1∙求极限j X-I In —X 11. xlnx-x+1Iim (—— _ ——)IIm ---------In XIUn I XTl x-1 I---- + In xh ∖x Iim x →,X -1 + xln1.1 + In X 1 IUn -------- =— j 1 + In X +1 2Λ = In Sin t2.方程尸COSWSinf 确定V 为X 的函数,dy y ,(f)-=-一 =∕sm∕, 解 JX 十⑴求dx 及Jx 2 .（3分） (6分)arctan JX3. 4.计算不定积分J石(1+『. arctanA∕√7—— (i + χ)=21 arctan √7t∕ arctan y ∕x ——解 Hatan 仇=2 J √x(l + x)=(arctan2+C ——「一 dx4.计算定积分如+曲.'3χ(l -VTTX) 0解 分）oT7⅛7_ V dx = 一J(：(I-、/i+x)〃X（6分）LL i∖l4/1 «\ ? r V 八2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ,水的比重为乙计算桶的一端面上所受的压力.解：建立坐标系如图3.(本题8分)设/B在S】上有连续的导数，f(u) = f(b) = θ9且∫O∕2(X)JΛ =1^试求∫>∕ω∕解:J：Xf(X)f∖x)dx = £ Xf(X)df(x) 2 分= -∫n^^W ------------ 2 分=IV 2(Λ-)⅛-|£72(X)厶一一2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线＞, = h^的切线，该切线及曲线y =lnx及X轴围成平面图形D.⑴(3) 求D的面积A;⑵(4) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1)设切点的横坐标为"，则曲线y = In Λ在点(⅞Jn ⅞)处的切线方程y = Inx0 + —(X-X0).氐__I分由该切线过原点知山心-1 = 0,从而心=匕所以该切线的方程为1y = -X.平面图形D的面积1V = -X(2)切线"及X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转V I = -7te1所得的圆锥体积为,3 2分曲线尸IZ及X轴及直线所围成的图形绕直线Xe旋转所得的旋转体体积为V2=(oπ(e-e>)2dy9】分因此所求旋转体的体积为V=V l-V2=-^2-e y)2dy = -(5e2-∖2e + 3).五、证明题(本题共1小题，共7分)•1.证明对于任意的实数Y , eJl + x.e x = l + x + —Λ2≥l + x2解法二设fM = e x-x~^则/(0) = 0.因为f f M = e x-∖. 1 分当Xno时，f,M≥o.f(χ)单调增加，/(χ)≥∕(θ)=o.当x≤0时，∕,ω≤0.∕(Λ∙)单调增加，/(X)≥/(0) =0. 所以对于任意的实数X, ∕3≥°∙即e'≥l + I 解法三：由微分中值定理得，R -1 = “ -60 =^(X-O) = ^Xt 其中§位于0 到X 之一1分2分A = V -ey)dy = ~e~^∙解法一:2分2分1分2分间。

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x→+2. （6分）设2,1y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++ 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t t dt e dt t -=+++⎰⎰ 1分 210[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-1分 cos sin 1x x =- 1分 cos sin 1x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2x C =++ 4分7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分 =32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分 (0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222cos x V xdx πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π= 2分3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分(1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分 4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x = 1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分五、证明()()()()()()bba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. f(x) = √(x - 2)B. f(x) = |x|C. f(x) = 1/xD. f(x) = x^2 - 12. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. -1D. -33. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，若f(x)在x=1处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 5D. 74. 下列级数中，收敛的是：A. ∑(n=1 to ∞) 1/n^2B. ∑(n=1 to ∞) nC. ∑(n=1 to ∞) (-1)^nD. ∑(n=1 to ∞) e^n5. 设向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，则向量a与向量b的点积为：A. 11B. 13C. 15D. 17二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 3x + 2在x=1处的切线斜率为k，则k=______。

2. 若数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，则数列{an}的前n项和Sn =______。

3. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的叉积为______。

4. 若级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n n^2是收敛的，则其收敛半径R = ______。

5. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式|A| = ______。

三、解答题（每题20分，共80分）1. （20分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

2. （20分）证明：若数列{an}满足an = (1/a_{n-1}) + (1/a_{n-2})，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}是收敛的。

3. （20分）设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的夹角θ。

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1.)(0),sin (cos )( 　=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. 133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 　（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.=+→xx x sin 2)31(lim.6.,)(cos x f xx=⋅⎰x x x x f d cos )(　.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ.8.=-+⎰21212211arcsin dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10..d )1(177x x x x ⎰+-　11.　⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17.设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.c x x +2cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10.解：767u x x dx du== 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰ 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰030()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 3214e π=--12.解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一上高数期末考试题大一上高数期末考试题一、单选题：（每题2分，共10题，总分20分）1. 设函数f(x)在区间（a,b）上连续，则下列哪个条件成立？A. 函数f(x)在（a,b）内有最大值和最小值B. 函数f(x)在（a,b）内存在间断点C. 函数f(x)在（a,b）内必有导数D. 函数f(x)在（a,b）内单调递增2. 设曲线y=f(x)在点（a,f(a)）处可导，则下列哪个条件成立？A. y=f(x)在点（a,f(a)）处连续B. y=f(x)在点（a,f(a)）处无间断点C. y=f(x)在点（a,f(a)）处无导数D. y=f(x)在点（a,f(a)）处具有极值3. 设f(x)为连续函数，若对于任意x∈[a,b]，恒有f(x)≤0，则下列哪个陈述成立？A. f(x)在[a,b]上一定有最大值B. f(x)在[a,b]上一定恒小于等于0C. f(x)在[a,b]上一定恒等于0D. 无法确定4. 设函数y=f(x)的图像在点(x₀,y₀)处存在弧微分，则下列哪个条件成立？A. 弧微分必为正值B. 弧微分必为负值C. 弧微分可为正值或负值D. 弧微分必为零5. 设曲线C的方程为y=f(x)，则下列哪个条件成立？A. 曲线C是一条直线B. 曲线C是一个椭圆C. 曲线C是一个圆D. 曲线C是一个抛物线二、计算题：（共4题，总分80分）1. 求函数f(x)=x³在区间[1,2]上的定积分。

2. 求函数y=e^x在点x=0处的切线方程。

3. 设直线L：y=kx+1与曲线C：y=x²交于点P和点Q，若直线L的斜率k=2，则求点P和点Q的坐标。

4. 求函数y=ln(x)在x=1处的导数。

三、证明题（总分100分）证明：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ+1)=f(ξ)。

参考答案：一、单选题1. A2. A3. A4. C5. D二、计算题1. ∫[1,2]x³dx = [1/4*x⁴]₁² = (2⁴)/4 - (1⁴)/4 = 16/4 - 1/4 = 15/42. 设切线方程为y=mx+n，过点（0,1），x=0时y=1，则m=dy/dx|₀，n=y-mx，代入函数y=e^x得到n=1。

大学一年级《高等数学》期末测试卷一、选择题（每题4分，共16分）1．101lim(1)lim sinxx x x x x -→→∞++=（ ）。

A 、e ；B 、1e -；C 、1e +；D 、11e -+2．设()ln f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x =（ ）。

A 、0；B 、e ；C 、1；D 、2e 。

3．若sin 2x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰（ ）。

A 、sin 2cos2x x x C ++；B 、sin 2cos2x x xC -+；C 、1sin 2cos 22x x x C -+；D 、1sin 2cos 22x x x C++。

4．已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则（ ）。

A 、3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极小值点；B 、0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极小值点；C 、3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极大值点；D 、0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极大值点。

二、填空题（每题5分，共20分）1． 0limx xx xe e -→=- 。

2．x =⎰。

3．3222sin (cos )1x x dx x ππ-+=+⎰ 。

4．设,,,αβδγ为向量，k 为实数。

若||||1,||||1αβ==，α⊥β，2,k γαβδαβ=+=+，γ⊥δ，则k = 。

三、计算下列各题（每题9分，共45分）1．求极限0lim xx x →+。

2．函数()y y x =由方程0x y e e xy --=确定，求202|x d ydx =。

3．求定积分1dx。

4．求过点(3,1,2)且与平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程。

5．设1sin , 0()20, x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，求0()()xx f t dt Φ=⎰。

大一高数期末试题
一、填空(每小题3分，满分15分)
1、
2、设，则
3、曲线在处切线方程的斜率为
4、已知连续可导，且，
5、已知，则
二、单项选择(每小题3分，满分15分)
1、函数，则 ( )
A、当时为无穷大
B、当时有极限
C、在内无界
D、在内有界
2、已知，则在处的导数( )
A、等于0
B、等于1
C、等于e
D、不存在
3、曲线的拐点是( )
A、 B、 C、 D、4、下列广义积分中发散的是( )
A、 B、 C、 D、5、若
与在内可导，，则必有( )
A、 B、C、 D、
三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程
1、求
2、求
3、设由确定，求。

4、求函数的单调区间。

5、，求
6、求
7、求
8、在曲线上求一点，使该点切线被两坐标轴所截的线段最短。

四、应用题(满分8分) 答题要求：写出详细计算过程
一个圆锥形的容器，顶朝上，底边半径1米，高2米，盛满水，要将水全部抽出底面需要做多少功？
五、(本题满分6分) 设是上非负连续的偶函数，且当时，
单调增加。

(1)对任意给定的常数，求常数，使得(2)证明(1)中所得的是惟一的。

答题要求：写出详细过程。