上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第十讲球的体积及球面距离

第1讲 乘法原理和加法原理考点定位精讲讲练一、乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有nm 种不同的方法．那末完成这件事共有12nN m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．二、加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有nm 种不同的方法．那末完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．三、加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那末计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那末计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．考点一：乘法原理例1．（2022·上海·高三专题练习）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出遨游，约定每【注意】 应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那末甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A．29B．23C．14D．12例2．（2022·上海·高三专题练习）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）A．14条 B．12条 C．9条 D．7条例3．（2022·上海·高二专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1535种 D．767种例4.．（2022·上海市七宝中学高二期中）在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每一个项目都有人报名，则共有__________种不同的报名方法．例5．（2022·上海市建平中学高二期中）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是________（结果用数字作答）例6．（2022·上海·复旦附中高二期中）甲､乙､丙三个人玩“剪刀､石头､布”游戏一次游戏中可以浮现的不同结果数为___________种.例7．（2022·上海·复旦附中高二期中）360的正约数共有___________个.例8．（2022·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）270的不同正约数共有___________个.例9．（2022·上海·复旦附中高二期中）2n个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.例10.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．例11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那末函数解析式为2y x=-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个例12.关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【巩固训练】1．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那末不同的安排方法共有种．2．高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一位男生和一位女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．3．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ； （3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序罗列 ． 4．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种．5．远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或者三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．6．六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？7．三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一位男歌手,则共有出场方案 种．8．从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x ym n+=中的m和n，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x=<，，且||9}y<内的椭圆个数为（ ）A．43B．72C．86D．909．从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）A．10B．32C．110D．22010．某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）A．90个 B．99个 C．100个 D．112个考点二：加法原理例1．（2022·上海·高三专题练习）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那末可以表示的三位数的个数为（ ）A．46B．44C．42D．40例2．（2022·上海·高二专题练习）如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不浮现立体交叉形式，则不同的连接方式有（ ）.A．24种 B．20种 C．16种 D．12种例3.（2022·上海·复旦附中高二期中）学校组织春游活动，每一个学生可以选择去四个地方：崇明､朱家角､南汇和嘉定，有四位同学恰好分别来自这四个地方，若他们不去家乡，且分别去了不同地方，则四位同学去向的所有可能结果数为___________.例4．（2022·上海交大附中高二期中）已知在矩形ABCD 中，72AB =，56AD =，若将AB 边72等分，过每一个等分点分别作AD 的平行线，若将AD 边56等分，过每一个等分点分别作AB 的平行线，则这些平行线把整个矩形分成为了边长为1的7256⨯个小正方形，于是，被对角线AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC 上的点）共有______个．例5．（2022·上海徐汇·高二期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________例6.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm等于（ ）A.0B.41C.21D.43例7.用100元钱购买2元、4元或者8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?例8.袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有____种可能．【巩固训练】1．从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？2．高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一位学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．3．一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序挨次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着挨次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A．324B．328C．360D．6485．用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．6．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 ．7．1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?8．2022的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?考点三：综合应用例1.用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）例2.若自然数n使得作竖式加法(1)(2)++++均不产生进位现象．则称n为“可连n n n数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因++产生进位现象．那末，小于1000的“可连数”的个数为（ ）232425A．27B．36C．39D．48例3.由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？例4.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或者“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）A．2000B．4096C．5904D．8320例5.如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A．96 B．84 C．60 D．48例6.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）例7.分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．例8.某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）例9.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，， 的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．A．72B．108C．144D．192【巩固训练】1．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有 种不同的送书方法．2．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A.12种B. 24种C. 36种D. 48种3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那末不同的插法种数为（ ） A．504 B．210 C．336 D．1204．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那末一个队打14场共得19分的情况有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种5．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市遨游，要求每一个城市有一人遨游，每人只遨游一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎遨游，则不同的选择方案共有（ ）A．300种 B．240种 C．144种 D．96种9876543216．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部份（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部份栽种一种且相邻部份不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）7．如图所示,问从A到D每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)8．球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？一、单选题1．（2022·上海·高二专题练习）从集合{}1,2,3,4,,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个A．98 B．56 C．84 D．492．（2022·上海·高三专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1536种 D．1535种3．从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）A .208B .204 C.200D.196二、填空题4．（2022·上海·高二专题练习）一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个．5．（2022·上海·高二专题练习）请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______. 6．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有_______种. 7．（2022·上海·高二专题练习）在所有的两位数中，个位上的数字小于十位上的数字的两位数有________个.8．（2022·上海交大附中高三开学考试）如图，将网格中的三条线段沿网格线上、下或者左、右平移，组成一个首尾相连的三角形，若最小的正方形边长为1格，则三条线段一共至少需要挪移__________格.9．（2022·上海·高二专题练习）乘积（a 1+a 2+a 3）（b 1+b 2+b 3+b 4）（c 1+c 2+c 3+c 4+c 5）展开后共有_____项．10．（2022·上海中学高二阶段练习）将1，2，3填入33 的方格中，要求每行､每列都没有重复数字，如图是其中一种填法，则不同的填写方法共有___________种.11．（2022·上海宝山·高二期末）640的不同正约数共有______个12．（2022·上海·高三专题练习）一个三位数，个位､十位､百位上的数字挨次为x y z ､､，当且仅当y x >且y z >时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合{}1,2,3,4,5中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答）14．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种． 三、解答题15．（2022·上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每一个年级选一位组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？16．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？17．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？⑤④③②①。

沪教版数学高二下春季班第二讲课题 复数的方根与实系数一元二次方程单元第十三章 学科数学年级十一学习 目标1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值；2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 教学安排版块 时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根 设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 图1图2三、常见几何图形的复数表达式 复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）615212(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028223(22)112313i i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭． 例题解析【注意】 （1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； （2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； （3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz 得实系数一元二次方程；（不作要求） （4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效； 如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值． 【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -=-+ ． 【难度】★ 【答案】（1）122-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，211022z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++Λ的值.【难度】★★【答案】122i ω=-+时，原式=15-；122ω=--时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x ±=．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=， ∴240t t -+=，∴122t i =±，即1212z z =．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤． 当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根； （2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且022=++y xy x ，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞； 当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =，min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。

第10讲随机现象与样本空间【知识梳理】1．随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．2．随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．3．样本空间与事件定义1：一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间，用Ω表示，其中的元素称为基本事件或者样本点。

定义2：一个事件是指满足所述条件的所有基本事件全体。

如果其中某个基本事件发生，就说这个事件发生。

因为样本空间是基本事件的全体，所以事件是样本空间的一个子集。

4．随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母,,A B C…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.5．必然事件，不可能事件在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．【例题解析】知识点一：随机现象例1．（2019·河北石家庄市·鹿泉区第一中学高二开学考试）下列说法正确的是A．在一次抽奖活动中，“中奖概率是1100”表示抽奖100次就一定会中奖B．随机掷一枚硬币，落地后正面一定朝上C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和一定为6D．在一副没有大、小王的52张扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是1 13【答案】D【分析】根据古典概型有关的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，中奖是随机事件，不代表抽100次就一定会中奖，故A选项错误.对于B选项，正面朝上是随机事件，故B选项错误.对于C选项，朝上点数和可以是212中的一个数字，故C选项错误.对于D选项，根据古典概型概率计算公式可得：所求概率为415213=，故D选项正确.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查古典概型有关知识，考查随机事件，属于基础题.例2．（2020·北京高二期中）以下现象是随机现象的是A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a b⨯C．走到十字路口，遇到红灯D．三角形内角和为180°【答案】C【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a b⨯，是必然事件；C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；D. 三角形内角和为180°，是必然事件.故选C【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.知识点二：样本空间例1．先后抛掷2枚质地均匀的一角､五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（）A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”【答案】A【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”、“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”3个样本点，故A 正确；“只有一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故B错误；“两枚硬币都是正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C错误；“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故D错误.故选：A.知识点三：随机事件、必然事件，不可能事件例1．（2020·鸡泽县第一中学高二月考）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（）A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市有天将有70%的时间降雨C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨【答案】C【分析】根据概率的意义,可判断各选项.【详解】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C 正确.故选:C.【点睛】本题考查了概率的概念和意义,属于基础题.例2．（2020·全国高二）已知某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（）A ．合格产品少于90件B ．合格产品多于90件C ．合格产品正好是90件D ．合格产品可能是90件【答案】D 【分析】根据概率的定义与性质，直接可求解.【详解】某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出100件产品检查， 在A 中，合格产品可能不少于90件，故A 错误；在B 中，合格产品可能不多于90件，故B 错误；在C 中，合格产品可能不是90件，故C 错误；在D 中，合格产品可能是90件，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查概率的定义与性质的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.例3．（2020·全国）下列叙述正确的是（ ）A ．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B ．若事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤C ．频率是稳定的，概率是随机的D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小【答案】B【分析】由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.【详解】解：对于A ，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A 错误；对于B ，事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤，即B 正确；对于C ，概率是稳定的，频率是随机的，即C 错误；对于D ，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为15，即D 错误， 即叙述正确的是选项B ，故选：B. 【点睛】本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.例4．（2020·邵东市第一中学高二月考）下列说法错误的是（ ）A ．任一事件的概率总在[]0,1内B ．不可能事件的概率一定为0C ．必然事件的概率一定为1D ．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】D 【分析】结合概率的定义和性质一一判断选项即可．【详解】解：任一事件的概率总在[]0,1内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．故选：D ．【点睛】本题主要考查概率的定义与性质，属于基础题．例5．（2020·襄阳市第一中学高二月考）袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X ，则表示“放入袋中4回小球”的事件为（ ）A ．4X =B ．5X =C ．6X =D ．4X ≤【答案】B【分析】“放入袋中4回小球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得X 的值.【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所以“放入袋中4回小球”也即是前4次都是抽到黑球，第5次抽到了红球，故5X =.故选：B.【点睛】本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查抽样方法的理解，属于基础题.例6．（2020·全国高二）给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x 为某一实数时可使20x <”是不可能事件③“明天全天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡（6个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判断②正确，利用随机事件的概念判断④正确.【详解】对于①，三个球分为两组，有两种情况，12+和30+，所以①是正确的命题；对于②，任意实数x都有20x，所以②是正确的命题；对于③，“明天全天要下雨”是偶然事件，所以③是错误的命题；对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”，发生与否是随机的，所以④是正确的命题．故选：D．【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件的概念，考查不可能事件的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.例7．（2020·四川乐山市·高二期末（文））有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为11000，则买1000张这种彩票一定能中奖.其中必然事件是（）A．②B．③C．①②③D．②③【答案】A【分析】根据事件是否必然发生判断选择.【详解】因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾；所以①不是必然事件；因为实数的绝对值不小于零；所以②是必然事件；因为某彩票中奖的概率为11000，仅代表可能性，所以买1000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件；故选：A【点睛】本题考查必然事件，考查基本分析判断能力，属基础题.例8．（2020·湖北十堰市·车城高中高二月考（理））6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的件数C ．取到正品的概率D ．取到次品的概率【答案】B 【分析】由随机变量的概念，逐一分析选项即可得答案.【详解】因为随机变量为一个变量，对于A ：取到产品是必然事件，故A 不正确；对于B ：取到正品件数是随机事件，故B 正确；对于C 、D ：概率是数值，不是随机变量，故C 、D 不正确.故选：B【点睛】本题考查随机变量的概念，考查学生对基础概念的掌握程度，属基础题.例9．（2020·安徽省颍上第二中学高二期中（理））下列叙述错误的是（ ）．A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则0()1P A ≤≤B ．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同【答案】C【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项A 正确；根据对立事件是互斥事件的子集判定选项B 正确；根据概率具有确定性，是不依赖于试验次数的理论值判断C 错误；根据抽签有先后，对每位抽签者是公平的判断D 正确.【详解】根据概率的定义可得若事件A 发生的概率为()P A ，则0()1P A ≤≤，故A 正确；根据互斥事件和对立事件的定义可得，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，且两个对立事件的概率之和为1，故B 正确；某事件发生的概率不会随着试验次数的变化而变化，故C 错误；5张奖券中有一张有奖，先抽，后抽中奖的可能性相同，与次序无关，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查概率及互斥事件概念辨析，解题的关键是掌握互斥与对立事件的关系、概率的概念及随机事件发生的概率等，属于基础题.例10．（2020·全国高二）质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（）A．点数都是偶数B．点数的和是奇数C．点数的和小于13 D．点数的和小于2【答案】C【分析】分别求出所给选项对应事件的概率即可.【详解】由已知，投掷两次骰子共有66=36⨯种不同的结果，点数是偶数包含的基本事件有(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)共9个，所以点数都是偶数的概率为91364=；点数的和是奇数包含的基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)共18个，所以点数的和是奇数的概率为181362=；点数的和小于13是必然事件，其概率为1；点数的和小于2是不可能事件，其概率为0.故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率计算，本题采用列举法，在列举时要注意不重不漏，当然也可以用排列组合的知识来计算，是一道容易题.例11．（2020·湖北荆州市·荆州中学高二月考）分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“1点或正面向上”的概率为（）A．512B．12C．712D．23【答案】C【分析】列出所有的基本事件，再结果中含有“1点或正面向上”的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求得.【详解】分别独立的扔一枚骰子和硬币,所以的基本事件是：1正面向上，1反面向上，2正面向上，2反面向上，3正面向上，3反面向上，4正面向上，4反面向上，5正面向上，5反面向上，6正面向上，6反面向上.共12个基本事件.含有“1点或正面向上”有1正面向上，1反面向上，2正面向上，3正面向上，4正面向上，5正面向上，6正面向上，共7个基本事件，结果中含有“1点或正面向上”的概率为：7 12.故选：C.【点睛】本题主要考查的是随机事件概率的求解，古典概型的概率求解，利用列举法求解是解题的关键，是基础题.例12．（2018·上海交大附中高二期末）若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．【答案】1【解析】分析：根据每年有365天，可判断400名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果.详解：假设每一天只有一个人生日，则还有35人，所以至少两个人同日生为必然事件，所以至少有两人生日在同一天的概率为1，故答案为1.点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.例13．（2019·于都县第二中学（文））7名学生，其中3名男生4名女生.现用抽签法从中抽一人，则抽到的是男生的概率为____.【答案】3 7【分析】根据概率定义，用可能发生的基本事件个数除以事件总数，即可求解.【详解】由题意7名学生，其中3名男生4名女生.抽到一人是男生的概率是37p .故答案为：3 7【点睛】本题考查概率定义，属于基础题.例14．（2020·全国高二）下列事件中，是随机事件的为_________（填所有正确的序号）①实数a ，b 都不为0，则220a b +=；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；③汽车排放尾气会污染环境；④明天早晨不会有雾．【答案】②④【分析】在一定条件下，事件按发生的可能性大小来分类，分为：不可能事件、随机事件、必然事件，根据它们的定义，即可对本题求解.【详解】解：逐一考查所给的事件：①实数a ，b 都不为0，则220a b +=是不可能事件；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面是随机事件；③汽车排放尾气会污染环境是必然事件；④明天早晨不会有雾是随机事件．综上可得，随机事件包括：②④．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查事件分类的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.例15．（2020·张家口市第一中学高二期中）有以下说法:①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是1365;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是___.【答案】①③【解析】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1 000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为1?000n ; 昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.故答案为①③．例16．（2020·安徽高二学业考试）在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为____________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）.【答案】随机.【分析】任意取一球是随机事件.【详解】解：由于是任意取一球，所以是随机事件，故答案为：随机.【点睛】考查随机事件的判断，基础题.【过关检测】一、单选题1．（2020·全国高二）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是A．3件都是正品B．3件都是次品C．至少有1件次品D．至少有1件正品【答案】D【分析】根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义对选项中的事件逐一判断即可. 【详解】从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件A:3件都是正品是随机事件，B：3件都是次品不可能事件,C:至少有1件次品是随机事件,D：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D .【点睛】本题主要考查了随机事件、不可能事件、必然事件的定义与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.2．（2020·全国高二）下列事件中，随机事件的个数为（1）明年1月1日郑州市下雪；（2）明年NBA总决赛将在马刺队与湖人队之间展开；（3）在标准大气压下，水在80摄氏度时沸腾．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】对选项逐个分析，（3）为不可能事件，（1）（2）为随机事件，满足题意．【详解】（1）（2）对应的事件可能发生，也可能不发生，为随机事件，（3）在标准大气压下时，水达到100摄氏度沸腾，达到80摄氏度不可能沸腾，故为不可能事件，故答案为C.【点睛】本题考查了随机事件的判断，考查了学生对概念的掌握情况，属于基础题．3．（2020·全国高二）在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为80%”，这是指（ ）A ．明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水B ．明天该地区降水的可能性为80%C ．气象台的专家中有80%的人认为会降水，另外有20%的专家认为不降水D ．明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水【答案】B【分析】降水概率指的是降水的可能性，根据概率的意义作出判断即可.【详解】“明天降水的概率为80%”指的是“明天该地区降水的可能性是80%”，且明天下雨的可能性比较大，故选：B.【点睛】本题主要考查了概率的意义，掌握概率是反映出现的可能性大小的量是解题的关键，属于基础题.4．（2020·全国高二）下列事件是随机事件的是（ ）.①当10x ≥时，lg 1x ；②当x ∈R 时，210x -=有解；③当a R ∈时，关于x 的方程20x a +=在实数集内有解；④当 sin sin αβ>时，αβ>.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【答案】C【分析】根据随机事件的概念进行判断．【详解】①当10x ≥时，lg 1x ，属于必然事件；②当x ∈R 时，²10x -=有解，属于必然事件； ③当a ∈R 时，关于x 的方程²0x a +=需要根据a 的值确定在实数集内是否有解，属于随机事件；④当sin sin αβ>时，可能有αβ>，属于随机事件.故选C.【点睛】本题考查事件的概念．掌握必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题基础．5．（2020·安徽高二月考）从4名男生，2名女生中随机抽取3人，则下列事件中的必然事件是（ ）A ．至少有2名男生B ．至少有1名男生C ．3人都是男生D ．有2名女生 【答案】B【分析】从4名男生，2名女生中随机抽取3人，显然必有1名男生，根据这个事实对四个选项逐一判断.【详解】从4名男生，2名女生中随机抽取3人，有可能2名女生1名男生，选项A 、C 错误；也有可能3人全是男生，选项D 错误，只要选项B 是必然事件.故选:B【点睛】本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.6．（2020·四川乐山市·高二期中（理））下列说法正确的是（ ）A ．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是12，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况 B ．某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，这说明明天本地有80%的区域下雨C ．概率是客观存在的，与试验次数无关D ．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A ，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B ，这是一个随机事件，明天本地降水概率为80%表示明天有80%的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误. 故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.7．（2020·进贤县第二中学高二月考）某种彩中奖的概率为310000.若购买该种彩票10000张，则下列说法正确的是（）A．一定有1张中奖B．一定有3张中奖C．可能0张中奖D．不可能3张中奖【答案】C【分析】根据概率定义直接判断选择.【详解】因为概率代表可能性，所以购买该种彩票10000张可能0张中奖，也可能有3张中奖，所以A,B,D错误，故选：C【点睛】本题考查概率含义，考查基本分析判断能力，属基础题.8．（2020·南昌县莲塘第三中学高二月考）下列事件中是随机事件的个数有①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据随机事件就是在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断，得到答案.【详解】由题意，随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点可能发生，也可能不发生，所以是随机事件，②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定发生的事件，不是随机事件；③某人买彩票中奖，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾，此事一定不发生，不是随机事件.故选C.【点睛】本题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念及判断，其中熟记随机事件的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．（2020·全国高二）从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品【答案】D【分析】利用必然事件、随机事件、不可能事件的定义直接求解．【详解】从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，选项A：3件都是正品是随机事件，A错误；选项B：至少有1件次品是随机事件，B错误；选项C：3件都是次品是不可能事件，C错误；选项D：至少有1件正品是必然事件，D正确，故选D．【点睛】本题考查必然事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意必然事件、随机事件、不可能事件的定义的合理运用．10．（2020·沈阳实验中学高二期中（理））掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（）A．12019B．12C．12020D．20192020【答案】B【分析】根据概率的性质直接得到答案.【详解】根据概率的性质知：每次正面向上的概率为12.故选：B.【点睛】本题考查了概率的性质，属于简单题.11．（2020·全国高二）下列事件是随机事件的是（ ）①当x >10时，lg 1x ≥； ②当x ∈R ，x 2+x ＝0有解③当a ∈R 关于x 的方程x 2+a ＝0在实数集内有解； ④当sin α>sin β时，α>β（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】C【分析】根据随机事件的定义，结合对数的单调性、一元二次方程根的判别式、正弦函数的性质进行判断即可.【详解】① ：lg 110x x ≥⇒≥，因为当x >10时，一定有lg 1x ≥成立，是必然事件，故本选项不符合题意；② ：x 2+x ＝0 0x ⇒=或1x =-，因此当x ∈R ，x 2+x ＝0一定有解，因此是必然事件，故本选项不符合题意；③ ：只有当0a ≤时，方程20x a +=在实数集内有解，因此是随机事件，故本选项符合题意；④ ：当0,181αβ︒︒==时，显然sin α>sin β成立，但是α>β不成立，因此是随机事件，故本选项符合题意.故选：C【点睛】本题考查了随机事件的判断，考查了对数不等式的解法，考查了三角不等式，属于基础题.12．（2019·江门市第二中学高二月考）有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数.上述事件中为随机事件的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C【分析】根据事件的定义求解.【详解】①足球运动员点球命中，是随机的，故是随机事件；②在自然数集中任取一个数为偶数，是随机的，故是随机事件；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；是必然的，故是必然事件；④在洪水到来时，河流水位下降，是不可能的，故是不可能事件；。

高一上第一章集合与命题一集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三充分条件与必要条件1.5 充分条件、必要条件1.6 子集与推出关系第二章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用*2.5 不等式的证明第三章函数的基本性质3.1 函数的概念高中数学教材（沪教版）目录3.2 函数关系的建立3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1 幂函数的性质与图像二指数函数4.2 指数函数的性质与图像*4.3 借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4 对数的概念及其运算四反函数4.5 反函数的概念五对数函数4.6 对数函数的性质与图像六指数方程和对数方程4.7 简单的指数方程4.8 简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比二三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的正弦、余弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像及性质6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2 正切函数的图像与性质6.3 函数 y A sin x的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4 反三角函数6.5 最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1 数列7.2 等差数列7.3 等比数列二数学归纳法7.4 数学归纳法7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳—猜想—证明三数列的极限7.7 数列的极限7.8 无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及其运算8.2 向量的数量积8.3 平面向量的分解定理8.4 向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1 矩阵的概念9.2 矩阵的运算二行列式9.3 二阶行列式9.4 三阶行列式第十章算法初步13.3 复数的加法和减法10.1 算法的概念13.4 复数的乘法和除法10.2 程序框图13.5 复数的平方根和立方根*10.3 计算机语句和算法程序13.6 实系数的一元二次方程高二下高三上第十一章坐标平面上的直线第十四章空间直线与平面11.1 直线的方程14.1 平面及其基本性质11.2 直线的倾斜角和斜率14.2 空间直线与直线的位置关系11.3 两条直线的位置关系14.3 空间直线与平面的位置关系11.4 点到直线的距离14.4 空间平面与平面的位置关系第十二章圆锥曲线第十五章简单集合体12.1 曲线和方程一多面体12.2 圆的方程15.1 多面体的概念12.3 椭圆的标准方程15.2 多面体的直观图12.4 椭圆的性质二旋转体12.5 双曲线的标准方程15.3 旋转体的概念12.6 双曲线的性质三几何体的表面积、体积和球面距离12.7 抛物线的标准方程15.4 几何体的表面积12.8 抛物线的性质15.5 几何体的体积15.6 球面距离第十三章复数13.1 复试的概念第十六章排列组合与二项式定理13.2 复数的坐标表示16.1 计数原理Ⅰ——乘法原理16.2 排列16.3 计数原理Ⅱ——加法原理16.4 组合16.5 二项式定理高三下第十七章概率论初步17.1 古典概型17.2 频率与概率第十八章基本统计方法18.1 总体和样本18.2 抽样技术18.3 统计估计18.4 实例分析*18.5 概率统计实验。

地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.二、教学目标设计1、 知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.2、 在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、 在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径为6371千米的球.（理想模型）2、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.经线:经过北南极的半大圆,称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计量经度，称为东经和西经,从0度到180度.经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面角的度数.参见右图.赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为北纬,位于赤道之南的称为南纬.纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度到90度.参见上图.3、 球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧解释如下：如图所示，A 、B 是球面上两点，圆O '是经过A 、B 的任一小圆（纬线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=,(0,),αθπ∈地球半径为,OA OB R ==小圆半径为,O A O B r ''==则A 、B 两地所在的大圆劣弧长为1,s R θ=小圆的劣弧长为2,s r α=下面只要说明12s s <即可。

高二数学下册知识点梳理第11章坐标平面上的直线1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。

点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。

2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。

熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。

根据两个独立条件求出直线方程。

熟练运用待定系数法。

（4）两直线的位置关系：).2,1(:=+=i b x k y l i i i（5）点到直线的距离公式2200ba c by ax d +++=（6）两直线的夹角公式222221212121cos b a b a b b a a +++=α（7）直线的倾斜角α的范围是α≤0<π,当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为.2π第12章 圆锥曲线1、 内容要目：直角坐标系中，曲线C 是方程F （x,y ）=0的曲线及方程F （x,y ）=0是曲线C 的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的性质。

2、 基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是否在曲线上及求曲线的交点。

掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这些曲线方程的基本方法。

求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。

利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析法解决相应的几何问题。

3、 重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究几何的方法，掌握把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几何问题。

4、 椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格第13章 复数1、 内容要目：⑴复数的有关概念：复数，虚数，纯虚数，复数的实部和虚部，复数的相等，复数的共轭。