21物质波及统计解释

§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：()λ-νπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：〔欧拉公式：〕 （16.2.4）根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.6）这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.（16.2.2） （16.2.3）（16.2.12） （16.2.13）（二）物质波波函数的统计解释物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．（三）物质波波函数ψ的条件（1）波函数的标准条件在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．（2）波函数的归一化条件在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v（16.2.14）此式亦可推广于（16.2.8）式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。

北师大 结构化学 课后习题 第一章 量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？ 参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。

第一章思考题和习题1 什么是物质波和它的统计解释？2 如何理解合格波函数的基本条件？3 如何理解态叠加原理？4 测不准原理的根源是什么？5 铝的逸出功是4.2eV ，用2000Å的光照射时，问（a ）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？6 波函数e -x (0≤x ≤∞)是否是合格波函数，它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。

7 一个量子数为n ，宽度为l 的一维势箱中的粒子，①在0~1/4 区域内的几率是多少？②n 取何值时几率最大？③当n →∞时，这个几率的极限是多少？ 8 函数x ll x l l x ππψ2sin 22sin 23)(+=是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？ 9 在算符∑，错误！未定义书签。

, exp, 错误！未定义书签。

中，那些是线性算符？10 下列函数, 那些是错误！未定义书签。

的本征函数? 并求出相应的本征值。

(a) e imx (b) sin x (c) x 2+ y 2 (d) (a -x )e -x11 有算符,ˆ,ˆX X dx d D== 求D X X D ˆˆˆˆ-。

参考答案1 象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。

物质波与德布罗意假说物质波与德布罗意假说是量子力学的重要基础理论之一。

它由法国物理学家德布罗意于1924年提出，为后来的量子力学的发展奠定了基础。

本文将介绍物质波的概念、德布罗意假说的内容以及其在量子力学中的应用。

一、物质波的概念物质波是指物质粒子具有波动性质的现象。

在经典物理学中，物质被认为是由粒子组成的，其运动遵循牛顿力学的规律。

然而，德布罗意假说的提出改变了这一观念。

根据德布罗意假说，不仅电磁波具有粒子性质，物质粒子也具有波动性质。

德布罗意假说的核心思想是，对于具有动量p的物质粒子，存在一个与其相关的波长λ，即德布罗意波长。

这个波长与物质粒子的动量之间存在着简单的关系，即λ=h/p，其中h为普朗克常数。

这意味着物质粒子的波动性质与其动量密切相关。

二、德布罗意假说的内容德布罗意假说的提出，为量子力学的发展提供了重要的理论基础。

根据德布罗意假说，物质粒子的波动性质可以通过波函数来描述。

波函数是一个数学函数，它描述了物质波的性质，包括波的振幅、相位等信息。

德布罗意假说还提出了波函数的演化方程，即薛定谔方程。

薛定谔方程描述了物质波的演化规律，可以用来计算物质波在空间中的分布和变化。

通过求解薛定谔方程，可以得到物质波的波函数，从而得到物质粒子的波动性质。

德布罗意假说还指出，物质波的波函数的平方值，即波函数的模方，可以解释为物质粒子在空间中的概率分布。

这意味着物质粒子的位置、动量等物理量不再具有确定的值，而是具有一定的概率分布。

这与经典物理学中的确定性观念有所不同，体现了量子力学的概率性质。

三、物质波的应用物质波的概念和德布罗意假说的内容在量子力学中有广泛的应用。

首先，物质波的波函数可以用来描述粒子在空间中的运动和行为。

通过求解薛定谔方程，可以得到物质波的波函数，从而得到粒子的波动性质。

其次，物质波的波函数的模方可以解释为粒子在空间中的概率分布。

这意味着我们可以通过物质波的波函数来计算粒子在不同位置、不同动量下的概率分布，从而得到粒子的统计性质。

北师大 结构化学 课后习题 第一章 量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？ 参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。

德布罗意物质波和玻恩对波函数的统计解释摘要德布罗意物质波概念的提出看似充满了大胆的假设色彩，但其背后却包含了物理研究过程中重要的类比思想，同时，对波函数的解释颠覆了以往人们对经典波动理论的理解，开创了量子力学的时代。

关键词物质波；波函数；几率德布罗意在爱因斯坦的光子学说的启示下，通过对几何光学和经典力学的对比，大胆的提出了物质波的假设，促进了物理学的发展。

1 德布罗意物质波假设20世纪20年代前后，有关原子结构和量子理论的研究引起了当时很多物理学家的关注。

爱因斯坦的光量子理论通过密立根、康普顿等人的研究得到了证实，德布罗意对此发生了很大的兴趣，他认为在对光的研究过程中，同时引进了粒子概念和周期性概念，光本身必须同时考虑粒子性和波动性。

他进一步研究了几何光学和经典力学的对应性，几何光学中的费马原理和经典力学中的莫培丢变分原理类似，他大胆设想，不仅光具有粒子性和波动性两种性质，而且一般的物质也具有这两种性质。

德布罗意认为：既然粒子概念在波的领域里成功的解释了令人困惑的光电效应，那么，波动概念也应该能解释在粒子领域中令人困惑的定态问题。

1923年~1924年期间，德布罗意陆续发表了《波和粒子》、《光量子，衍射和干涉》等论文，提出了物质波的概念，他认为一个能量为E ，动量为P 的粒子与频率为，波长为的波相对应。

仿照爱因斯坦关系，粒子的能量、动量与相应的频率、波长之间的关系为：这个关系我们称之为德布罗意关系。

在此基础上，他用物质波概念分析了玻尔量子化条件的物理基础。

氢原子中电子波绕原子核的圆周轨道传播一周后应光滑的连接在一起，否则将会由于干涉相互抵消，不能形成稳定轨道。

这就要求轨道的周长应是波长的整数倍，即满足：式中r是电子绕核的轨道半径，是电子波的波长。

利用德布罗意关系，可以得出玻尔量子化条件：德布罗意的物质波假设在当时并没有引起很大的注意，原因为：首先，这个假设只是对玻尔的量子化条件提供了一个解释方案，并没有得出新的结论。

北师大 结构化学 课后习题第一章 量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为12=ψ⎰τd 。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。