专题01 解三角形导学案-2017-2018学年下学期期中复习备考高一数学黄金讲练必修5 含解析 精品

()()()CB AC B A CB A tan tan cos cos sin sin -=+-=+=+ 解三角形的常见题型导学案 班级： 姓名：练习3、(范围问题）、已知函数().cos 22sin 312x x x f +-=()()()()的取值范围。

求，且的对边分别为，，的角设集合；时的的最大值及取得最大值求c b A f a c b a x x f +==∆,01,,,C B A ABC 21三、易错分析、及简便算法的形状为（）求中，已知在三角形ABC ,cos sin 2)sin()(sin ABC .2∆=-++A A A B A BA. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.直角或等腰三角形 四、小结（1）出现“在△ABC 中”字样，一般都是解三角形问题，必定结合正弦定理或者余弦定理解题； （2）一个等式中同时出现A 、B 、C 三个角，必用π=++C B A 来转化，形式如下： （3）一般情况下，已知条件中边多用余弦定理，角多用正弦定理； （4）三角形解的个数：可通过“大边对大角，小边对小角”来取舍； （5）三角形中的常用结论：○若sin2A ＝sin2B ，则三角形为等腰三角形或直角三角形； ○若sinA ＝sinB ，则三角形为等腰三角形； ○若sinA ＝cosB,则 作业：完成此卷 课后作业：1、已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b=sin （A+C ），cos （A ﹣C ）+cosB=c ．（1）求角A 的大小；（2）求b+c 的取值范围．注意：此题辨析应该用解范围为题的哪种方法？ 2、（2014全国Ⅰ）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角为60=∠MAN ，C 点的仰角45=∠CAB ，以及75=∠MAC ，从C 点测得60=∠MCA 已知山高BC=100m ，则山高MN=3、.若====C ,6,3,3则πA b a4、设===∆B 6A ,tan ,,,,,，求若的对边分别为的内角πA b a c b a CB A ABC====∆A 3,3,1,,C B A .1则，若的对边为，，的内角πC c a c b a ABC 656.ππ或D 3.πC 65.πB 6.πA BB A -2A 2ππ=+=或45-ABC中，若2b c。

（新）⼈教版⾼中数学必修5第⼀章《解三⾓形》导学案（全套）学案 1 正弦定理（1）教学⽬标：1、掌握正弦定理及其推导过程；2、能利⽤正弦定理解三⾓形及判断三⾓形解的个数．教学重点：利⽤正弦定理解三⾓形．教学难点：正弦定理的证明．教学过程：⼀、问题情境：1．复习：在Rt ΔABC 中，∠C=90 ，试判定A a sin ，B b sin 与Cc sin 之间的⼤⼩关系？ 2．猜想：对任意三⾓形ABC 上述关系是否成⽴？如何证明?⼆、讲授新课：1．正弦定理：_________________________________．2．利⽤正弦定理，可解决两类三⾓形问题：（1）已知两⾓与⼀边，求另两边与另⼀⾓；（2）已知两边和其中⼀边的对⾓，求其他边⾓．3．三⾓形的元素与解三⾓形：（1）把三⾓形的_________________和它们的_________________叫做三⾓形的元素．（2）已知三⾓形的_________________求其他____________的过程叫做解三⾓形.三、知识运⽤：例1．在ΔABC 中已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,.例2．在ΔA BC 中，已知060,67,14===B b a ，解ABC ?.例3．在ΔABC 中，已知045,332,2===B b c ，解ABC ?.探究：对于例2、例3能否从图形来分析为什么解的个数不⼀样，分析类型（２）产⽣多解的原因.四、课堂练习：1.在ABC ?中，⼀定成⽴的是（）A.B b A a sin sin =B.B b A a cos cos =C.A b B a sin sin =D.A b B a cos cos =2.在ABC ?中，45A = ,60B = ,10a =,则b =（）A. C.3 D.3.在ABC ?中,?=60A ,24,34==b a ，则B 等于（）A.?45或?135B.?135C.?45D.以上都不对4.在ABC ?中，45,75AB A C =?=?，则=BC （）A ．33-B ．2C ．2D ．33+5．不解三⾓形，下列判断正确的是（）A.7a =,14b =,30A = ,有两解B.30a =,25b =,150A = ,有⼀解C.6a =,9b =,45A = ,有两解D.9b =,10c =,60B = ,⽆解6．在ΔABC 中，已知060,32,2===B b a ，解三⾓形ABC .学案 2 正弦定理（2）教学⽬标：1、掌握公式的变式及三⾓形⾯积公式；2、能灵活运⽤正弦定理解决三⾓形相关问题，⽐如判断三⾓形的形状.教学过程：⼀、回顾练习：（1）在ABC ?中，已知B=60°，2=a ，3=b ，求A .（2）在ABC ?中，已知A =15°，B=120°，12=b ，求a 和c .⼆、正弦定理的变形及⾯积公式：1．正弦定理的变形①__________________________________________________②__________________________________________________③__________________________________________________2．三⾓形的⾯积公式：__________________________________________________三、例题分析：例1．在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,.例2．在ΔABC 中， 30B = ，AB =2AC =，求三⾓形的⾯积.例3．①在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. ②在ΔABC 中，已知B b A a cos cos =，试判断ΔABC 的形状.四、课堂练习：1．在ABC ?中,?=30A ,3=a ，则ABC ?的外接圆半径为（）A ．23B ．3C ．33D ．62．在ΔABC 中，若,3,600==a A 则CB A c b a sin sin sin ++++等于___________. 3．在ΔABC 中，若3:2:1::=C B A ，则_____________::=c b a .4．在ΔABC 中，已知2sin b c B =，求⾓Ｃ.5．根据下列条件，判断ΔABC 的形状：① C B A 222sin sin sin =+；② cC b B a A cos cos sin ==学案 3 余弦定理教学⽬标：1．掌握余弦定理的两种表⽰形式；2．证明余弦定理的向量⽅法；3．运⽤余弦定理解决两类基本的解三⾓形问题．教学过程：⼀、问题探究：问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵AC = ，∴AC AC ?=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．⼆、讲授新知：1．余弦定理：_________________________________；_________________________________；_________________________________．推论：_________________________________；_________________________________；_________________________________．2．利⽤余弦定理，可解决两类三⾓形问题：（1）已知三边，求三⾓；（2）已知两边和它们的夹⾓，求第三边和其他两个⾓．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B= ，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c，求A．三、典型例题：例1．在△ABC中，已知a=b=45B= ，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2．在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c=变式：在?ABC 中，若222a b c bc =++，求⾓A ．四、课堂练习：1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（）2. 已知三⾓形的三边长分别为3、5、7，则最⼤⾓为（）A ．60B ．75C ．120D ．1503.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满⾜222b a c ab +-=，则∠C 等于．4. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最⼤⾓的余弦值．5. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ? 的值.学案 4 正、余弦定理在三⾓形中的应⽤（1）题型⼀利⽤正、余弦定理求边、⾓例1 已知ABC ?中， 6b =，c =30B =，求边a 的值.题型⼆判定三⾓形的形状例2 在ABC ?中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=，试判断三⾓形的形状.。

§1.2应用举例—①测量距离课型：新授课编写人：黄胜娣审核人：【学习目标和重点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题知识点一基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高．知识点二有关的几个术语(1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角．如图所示的θ1、θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是[0°，360°)．(2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.思考上两图中的两个方向，用方位角应表示为30°(左图)，240°(右图)．(3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角．知识点三解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．(3)主要类型【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？二、新课导学例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边..例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：如上图若在河岸选取相距40米的C、D两点，∠BCA=60°，∠ACD=30°∠CDB=45°，∠BDA=60°求AB.练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？【学习小结】1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A ，B 间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据组为( )A ．α，aB ．β，aC ．a ，b ，γD ．β，b2．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离是( ) A ．a km B.2a km C.3a km D ．2a km3．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC 的长度为4米，A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12米B ．8米C ．3 3 米D ．4 3 米4．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( ) A. 3B ．2 3C ．23或 3D ．3 35．甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．6 km B ．3 3 km C. 3 2 km D ．3 km【课后作业】 基础部分1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45 的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得P A =5cm ，则球的半径等于（）. A ．5cmB ．C ．1)cmD ．6cm2.台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时3.在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+， 则ABC ∆的形状（）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是．5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为km ．提高部分1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离.2. 某船在海面A 处测得灯塔C 与A 相距海里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B 与A相距75︒方向. 船由A 向正北方向航行到D 处，测得灯塔B 在南偏西60︒方向. 这时灯塔C 与D 相距多少海里？§1.2应用举例—②测量高度课型：新授课编写人：黄胜娣审核人：【学习目标和重点、难点】1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称.【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1：在∆ABC中，cos5cos3A bB a==，则∆ABC的形状是怎样？复习2：在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::a b c=1:1:3，求A:B:C 的值.二、新课导学新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在ACE∆中，可测得角，关键求AC在ACD∆中，可测得角，线段，又有α故可求得AC三、课堂巩固例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'︒，在塔底C处测得A处的俯角β=501'︒. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.问题1：欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在∆BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测1．在某测量中，设A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的( ) A ．北偏西34°27′ B ．北偏东55°33′ C ．北偏西55°33′D ．南偏西34°27′2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m 高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d 1，d 2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( ) A ．d 1>d 2 B ．d 1<d 2 C ．d 1>20 mD ．d 2<20 m3．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东5°B ．北偏西10°C ．南偏东5°D ．南偏西10°4．如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从D ，C 两点测得A 点仰角分别为α，β(α<β)，则点A 离地面的高度AB 等于( )A.a sin αsin βsin (β－α)B.a sin αsin βcos (β－α)C.a cos αcos βsin (β－α)D.a cos αsin βcos (β－α)5．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )A.32B. 3C.3－1D.2－1【课后作业 基础部分1. 在∆ABC 中，下列关系中一定成立的是（）. A ．sin a b A > B ．sin a b A = C ．sin a b A < D ．sin a b A ≥2. 在∆ABC 中，AB =3，BC AC =4，则边AC 上的高为（）.A B C ．32D ． 3. D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30和45，则A 点离地面的高AB 等于（）米．A ．100B ．C ．501)D ．501) 4. 在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ．5. 在∆ABC 中，b =2a =，且三角形有两解，则A 的取值范围是． 提高部分1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南偏西15°距离300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高.§1.2应用举例—③测量角度课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 【学习内容和学习过程】 一、新课导入复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 32ab C =，求a b ，.二、新课导学例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile) 分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ， 然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB .例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？手试试练1. 甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南偏东60°的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.练2. 某渔轮在A 处测得在北偏东45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南偏东75°的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？【学习小结】1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.拓展已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？ 因为5C πθ=-，由余弦定理知222cos 2a b c C ab+-=为有理数， 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测2．一艘船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )海里/小时． A ．8(6＋2) B ．8(6－2) C ．16(6＋2) D ．16(6－2)3．2012年10月29日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________ m.4．我舰在岛A 南偏西50°相距12海里的B 处发现敌舰正从岛A 沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/小时．【课后作业】 基础部分1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（）. A ．α>β B ．α=βC ．α+β=90D ．α+β=1802. 已知两线段2a =，b =若以a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（）.A ．(,)63ππB ．(0,]6πC ．(0,)2πD ．(0,]4π3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根，且A 、B 、C 是∆ABC 的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（）. A ．b ac = B ．a bc = C ．c ab = D ．2b ac =4. △ABC 中，已知a :b :c .5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法: (1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在 (2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90° (4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解 其中正确说法的序号是. 提高部分1. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？§1.2应用举例—④解三角形课型：新授课编写人：黄胜娣审核人：【学习目标和重点、难点】1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式． 【学习内容和学习过程】 复习1：在∆ABC 中（1）若1,120a b B ===︒，则A 等于．（2）若a =2b =，150C =︒，则c = _____．复习2：在ABC ∆中，a =2b =，150C =︒，则高BD =，三角形面积=．二、新课导学探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？h a =b sin C =c sin B根据以前学过的三角形面积公式S =12ah ，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12ab sin C ，或S =，同理S =．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．三、课堂巩固例1. 在∆ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）：（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5︒；（2）已知B=62.7︒，C=65.8︒，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例2. 在∆ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=；（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※动手试试练1. 在∆ABC中，已知28a cm=，33c cm=，45B=，则∆ABC的面积是．练2. 在∆ABC 中，求证：22(cos cos )c a B b A a b -=-．【学习小结】1. 三角形面积公式：S =12ab sin C ==． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．识拓展三角形面积S =这里1()2p a b c =++，这就是著名的海伦公式．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )2－c 2＝4，C ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A.33 B.232C. 3 D ．2 3 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆直径为( ) A ．4 3 B ．60 C ．5 2 D ．6 23．设A 是△ABC 中最小的内角，则sin A ＋cos A 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．[－2， 2 ] C ．(1，2)D ．(1， 2 ]4．在△ABC 中，已知B ＝π4，D 是BC 边上一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为________． 【课后作业】 基础部分1. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（）.A. B.C. D.322.三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（）三角形． A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角4.ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是．6. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c a 及∆ABC 的面积S ．提高部分1. 在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．3．在△ABC 中，c ＝22，a >b ，tan A ＋tan B ＝5，tan A ·tan B ＝6，试求a ，b 及△ABC 的面积．。

三角形的证明【知识梳理】一、等腰三角形1．等腰三角形的定义：____________的三角形是等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角____________；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：____________；(3)等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边____________，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边____________．4.等边三角形的性质等边三角形的各角都____________，并且每—个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．5.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.二、直角三角形1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角________；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的____________ ；【例题精讲】考点一、等腰三角形的性质例1若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm考点二、等腰三角形的有关角的计算例2如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°考点三、等腰三角形中的分类讨论问题例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7考点四、等边三角形的性质例4如图，已知△ABC为等边三角形，高AH＝5cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为_________cm.考点五、角平分线的性质与判定例5如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．（提示：过P 作PE⊥直线BA）考点六、线段的垂直平分线例6如图，在锐角中，，．尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、保留作图痕迹，不要求写作法；在的条件下，连结BD，求的周长．【达标测试】一、单选题（本题共10小题，每题3分，满分30分）1．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )A. 1∶1∶2B. 1∶3∶4C. 9∶25∶36D. 25∶144∶1692．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E．则∠EDC的大小是（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°3．如图，△ABC的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A. 1:1:1 B. 1:2:3 C. 2:3:4 D. 3:4:54．等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（）A. 40° 40°B. 80° 20°C. 50° 50°D. 50° 50°或80° 20°5．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD:∠BAD=5:2，则∠BAC=（）A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°6．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D 为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A. 6B. 8C. 9D. 107．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋ l，那么这个三角形是（）；A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8．如图，是三个等边三角形（注：等边三角形的三个内角都相等）随意摆放的图形，则∠1+2∠+∠3等于（）A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°9．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（）A. 10B. 12C. 24D. 4810．在等边三角形ABC中，D ，E 分别是BC，AC 的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）．A. A点处B. D点处C. AD的中点处D. △ABC三条高线的交点处二、填空题（本题共10小题，每题3分，满分30分）11．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．12．一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是________.13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为_________．14．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB=4，△ADF的周长为7，则AC的长为__________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若∠B=35°，则∠CAD=________°.16．如图所示，BD⊥AC于点D ，DE∥AB ，EF⊥AC于点F ，若BD平分∠ABC ，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是________.17．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________时，△AOP为等腰三角形．18．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连结BD．若AD=12cm，则BC的长为__________ ．19．如图，△ABC中，∠ABC=120°，BD平分∠ABC,点P是BD上一点，PE⊥AB于E,线段BP的垂直平分线FH 交B C于F，垂足为H.若BF=2，则PE的长为 .20．如图 , 等边△A1C1C2的周长为 1, 作C1D1⊥A1C2于D1, 在C1C2 的延长线上取点C3, 使D1C3=D1C1, 连接D1C3, 以C2C3为边作等边△A2C2C3; 作C2D2⊥A2C3于D2, 在C2C3的延长线上取点C4, 使D2C4=D2C2, 连接D2C4,以C3C4为边作等边△A3C3C4;…且点A1,A2,A3,…都在直线C1C2同侧 , 如此下去 , 则△A1C1C2,△A2C2C3,△A3C3C4,…,△A n C n C n+1的周长和为_______．（n≥2，且n为整数）.(面积之和？)三、解答题（本题共7小题，满分60分）21．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，BC=8．求△AEG周长．22．两个大小不同的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接CD.求证：CD⊥BE.23．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．（1）求证：△ABE为等腰三角形；（2）已知AC=11，AB=6，求BD长．24．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且∠B＝∠ADB，过点C作CM垂直于AD的延长线，垂足为M.(1)若∠DCM＝α，试用α表示∠BAD；(2)求证：AB＋AC＝2AM.25．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．（1）若∠COE=20°，则∠BOD=；若∠COE=α，则∠BOD=（用含α的代数式表示）（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．26．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是__________，△AEF的周长是__________；（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．27．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，∠A=40°.（1）求∠NMB的大小.（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.（3）你认为存在什么样的规律？试用一句话说明.（请同学们自己画图）（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？。

§1.2应用举例—解三角形 学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式．学习过程一、课前准备复习1：在∆ABC 中（1）若1,3,120a b B ===︒，则A 等于 ．（2）若33a =，2b =，150C =︒，则c = _____．复习2：在ABC ∆中，33a =，2b =，150C =︒，则高BD = ，三角形面积= ．二、新课导学※ 学习探究探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？h a =b sin C =c sin B根据以前学过的三角形面积公式S =12ah ， 代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12ab sin C ，或S = ，同理S = ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）：（1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5︒；（2）已知B =62.7︒，C =65.8︒，b =3.16cm ；（3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ，c =38.7cm ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例2. 在∆ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=；（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※动手试试练1. 在∆ABC中，已知28a cm=，33c cm=，45B=，则∆ABC的面积是．练2. 在∆ABC中，求证：22(cos cos)c a B b A a b-=-．三、总结提升※学习小结1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 知识拓展 三角形面积()()()S p p a p b p c =---， 这里1()2p a b c =++，这就是著名的海伦公式． 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，2,3,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.A. 23B. 32C. 3D.322. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．课后作业2. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c =63，求a 及∆ABC 的面积S ．2. 在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.§1.2应用举例（练习）学习目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；2．三角形的面积及有关恒等式．学习过程一、课前准备复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．复习2：基本解题思路是：①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；④进行作答，并注意近似计算的要求．二、新课导学※典型例题例1. 某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C 处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．例3. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC =60°，AC =7，AD =6，S △ADC =1532，求AB 的长．※ 动手试试 练1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？练2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？三、总结提升※ 学习小结1. 解三角形应用题的基本思路，方法； 600 2 1 A D B C2．应用举例中测量问题的强化. ※知识拓展秦九韶“三斜求积”公式：222222142c a bS c a⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，则x等于（）.A．3B．23C．3或23D．32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60，则塔高为（）米．A．2003B．20033C．4003D．400333. 在∆ABC中，60A∠=︒，16AC=，面积为2203，那么BC的长度为（）.A．25B．51C．493D．494. 从200米高的山顶A处测得地面上某两个景点B、C的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B、C之间的距离．5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度．课后作业1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（3,1-），n＝（cos A，sin A）. 若m⊥n，且a cos B+b cos A=c sin C，求角B.第一章 解三角形（复习）学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．学习过程一、课前准备复习1： 正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．二、新课导学※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．例2. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？例3. 在∆ABC中，设tan2,tanA c bB b-=求A的值．北2010AB••C※ 动手试试练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．60°30°60°A BC P 北※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是 ()()()abcR p p a p b p c =---学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.A ．9B ．18C ．9D ．1832.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的4. 在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3C =，则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.课后作业1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求A ；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．2. 在△ABC 中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，22285bc a c b -=-，a =3， △ABC 的面积为6，（1）求角A 的正弦值； （2）求边b 、c .。

§1.1.1正弦定理一、学习目标：1、通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2、会利用正弦定理解决两类数学问题：⑴、已知两角和任意一边，求其他两边和一角；⑵、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）二、知识归纳：阅读课本，完成下列题目：⑴、正弦定理：在一个三角形中，各___和它所对的角的____的____相等,即_____=______=_____.⑵、三角的元素:______________________.⑶、解三角形：_______________________.⑷、正弦定理在解三角形中的作用：________________________________________________.三、引入新课：1、(复习回顾)如右图，Rt∆ABC中的边角关系：ASinA=______.SinB=______.BSinC=______.边c=_______=______=_______.2、任意∆ABC的边角关系是否也可以如此？如何证明？A§1.1.2余弦定理：一、学习目标：1、掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；2、通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的关系；3、熟记余弦定理及其变形形式；4、会利用余弦定理解决两类解三角形问题：⑴、已知三边，求三角；⑵、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角二、知识归纳：阅读课本，完成下列题目：1、余弦定理：⑴、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于________________________________________.⑵、公式表达:a2=________________.b2=________________.c2=________________.⑶推论：cos A=________________.cos B=________________.cos C=________________.2、运用余弦定理可以解决两类解三角形问题：⑴、_________________________________________.⑵、___________________________________________.3、勾股定理是余弦定理的___________,余弦定理可以看作是勾股定理的______.三、新课讲解：1、复习回顾a⃗.b⃗⃗=___________.2、新课讲解：思考一：在RT∆ABC中，三边关系有勾股定理c2=a2+b2成立，在任意∆ABC中，有什么样的结论成立？B B思考二、已知两边和这两边的夹角，如何解三角形呢？Ab cC a B3、余弦定理：__________________________________.4、由余弦定理的公式可以看出余弦定理可以解决什么样的数学问题：⑴、______________________________.⑵、____________________________________5、余弦定理的推论：6、典型例题：⑴、在∆ABC中，a=3√3,c=2 ,B=150°,求b .⑵、在∆ABC中，a=2,b=√2 ,c=√3+1,求A.归纳小结：。

解三角形高考复习【第一课时】导学案 禄劝一中 孙显才一、 【考纲要求】：1.掌握正、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够应用正、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

二、 知识点复习1、正弦定理及其变形__________________sin ===Aa ()A R a sin 2.1=，______=b ，______=c (边化角公式）()R a A 2sin .2=，_______sin =B ，_______sin =C (角化边公式） ()_______________::.3=c b a（5）___________2sin sin sin ====R Cc B b A a 2、余弦定理及其推论_________cos _________cos _________cos _____2cos ____cos 2_______2222222===⇒-+=-+=-=C B A ab b a c B c a b A bc a3、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）RB a A b ab S ABC 4sin ____21sin ____21_____21====∆（两边夹一角）； （3）()()为内切圆的半径r c b a r S ABC ++=∆214、三角形中常用结论ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+三、例题讲解题型1 边角互化[例1 ]在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为题型2 面积问题[例2]（2013新课标Ⅱ）ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．四、课堂练习（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．五、课堂总结解三角形的实质？1. 解三角形问题的特点？2.恒等式化解的关键是？3.恒等式化解的实质？4. .三角形的最值问题的解决方法有哪些？六、课后练习1.（2014全国卷）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .2.ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 周长的最大值．。

解三角形班级姓名学号一．复习要点1．正弦定理:2sin sin sin abcR A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B acb ac C ab⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C ABC+++===.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

二．例题分析例1、在ABC 中，已知5,8,30b c B ===︒，求,,C A a 。

例2、在四边形ABCD 中，120A ∠=，90B D ∠=∠=，5,8BC CD ==，求四边形ABCD 的面积S 。

例3、在ABC 中，已知22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，试判断ABC 的形状 例4、隔河看两目标A 和Bkm 的C 和D 两点，同时，测得75ACB ∠=，45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（,,,A B C D 在同一个平面），求两目标,A B 之间的距离。

三角函数及解三角形导学案4.1任意角和弧度制复习目标：⒈了解任意角的概念及分类；⒉理解终边相同的角、象限角及区间角；⒊理解弧度制的意义，能正确进行角度与弧度的换算；⒋掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。

学习重点：⒈会表示终边相同的角、象限角及区间角；⒉能熟练地进行角度与弧度的换算；会用弧长公式和扇形面积公式解决某些实际问题。

学习难点：终边相同的角、象限角及区间角，用弧长公式和扇形面积公式解决某些实际问题。

学习过程：一、自学导读：阅读教材必修④P2 —P8并完成下面的填空。

⒈按方向旋转所形成的角叫正角；按方向旋转所形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个。

⒉在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与重合，角的始边与重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为。

⒊所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：。

终边相同的角相等，但相等的角终边相同，终边相同的角有多个，它们相差的整数倍。

⒋把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做的角。

角度制和弧度制都是角的方法。

⒌如果角α是一个负角，那么它的弧度数是一个；零角的弧度数是；正角的弧度数是一个。

角α的弧度数的绝对值是|α|＝（其中l 是角α所对的弧长，r是圆的半径）。

⒍弧长公式和扇形面积公式在弧度制下的表示是l＝；S＝＝（R 为圆的半径，|α|为弧度数）。

二、自主练习：⒈⑴终边落在χ轴非负半轴上的角的集合为；⑵终边落在y轴上的角的集合为；⑶终边落在第二象限的角的集合为；⒉ ⑴360°＝ rad ； ⑵π＝ 度； ⑶1°≈ rad ； ⑷1rad ≈ 度。

⒊ ⑴30°＝ rad ； ⑵45°＝ rad ； ⑶60°＝ rad ； ⑷90°＝ rad ； ⑸120°＝ rad ； ⑹135°＝ rad ； ⑺150°＝ rad ； ⑻210°＝ rad 。

一、课前复习 1、诱导公式()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．2、角三角函数的基本关系()221sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．3、两角和差公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sinsin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；4、二倍角公式及降幂公式⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式21221222α-=αα+=αcos sin cos cos ， ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．5、特殊角的函数值解三角形一、正弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有外接圆半径）（ΔABCRRsinCcsinBbsinAa为2===变式：RsinCcsinB,RbRsinA,a222===RcCsinRbBsinRasinA222===，，推论：等角对等边，等边对等角；大角对大边，等边对等角.二、余弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有，变式：Bcosaccab⋅-+=2222，变式：acbcacosB2222-+=Ccosbabac⋅-+=2222,，变式：bacbaCcos2222-+=三、三角形的解的数目、形状判断在△ABC中，已知a、b、A（两边及其中一边所对的角）A为锐角A为钝角或直角a <b sin A a = b sin A b sin A < a < b a ≥ b a >b A ≤ b无解一解两解一解一解无解2.判断形状：一看是否有解，二看最大的角，三看是否等腰、等边。

必修五第一章解三角形复习学案一、知识梳理： 解斜三角形时可用的定理和公式适用类型 备注余弦定理222a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩①已知三边；②已知两边及其夹角；类型①②有解时只有一个正弦定理：sin ac B===③已知两角和一边； ④已知两边及其中一边的对角； 类型③有解时只有一个，类型④可有解、一解或无解 三角形面积公式：S ⎧⎪=⎨⎪⎩⑤已知两边及其夹角（1）余弦定理变形：cos A = ；cos B = ；cos C = .（2）正弦定理变形：C B A c b a sin :sin :sin ::= ………………………适用边角互化。

（3）22a b +<2c 则角C 为 角 22a b +＞2c 则角C 为 角。

二、试题训练：选择填空试题（每小题5分共计60分）1、在ABC ∆中，已知2=a ，2=c ，︒=30A ，那么B 等于（ ）A ．︒15B ．︒15或︒105C ．︒45D ．︒45或︒1352、 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2393、在ABC ∆中，下列关系式不一定成立的是（ ） A ．sin sin a B b A =B ．cos cos a bC c B =+C ．2222cos a b c ab C +-=D ． sin sin b c A a C =+4、在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5、已知ABC ∆的三边长3=a ，5=b ，6=c ，则ABC ∆的面积是（ ） A ．14 B ．142 C ．15 D ．152 6、在ABC ∆中，若cCb B a A sin cos cos ==，则ABC ∆是（ ） A ．有一内角为︒30的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为︒30的等腰三角形 D ．等边三角形7、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定8、如图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B 、C 的俯角分别为α、β，如果这时气球的高度是h ，则桥梁BC 的长度为（ ） A.sin()sin sin h αβαβ- B. sin sin sin()h αβαβ-C. sin sin sin()h αβαβ-D. sin sin sin()h βααβ-9、如果ABC ∆中，222c bc b a ++=，那么A 等于__________。

1.1.1 正弦定理1.掌握正弦定理及基本应用.(重点)2.会判断三角形的形状.(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 正弦定理阅读教材P 3～P 4例1以上内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于钝角三角形.( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立.( )(3)在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则三角形是等腰三角形.( ) 【解析】 (1)×.正弦定理适用于任意三角形. (2)√.由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B . (3)√.由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，即a ＝b ，所以三角形为等腰三角形.【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 解三角形阅读教材P 4例1～P 5例2，完成下列问题.1.一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 【解析】 由正弦定理得：32sin 60°＝ACsin 45°，所以AC ＝32·sin 45°sin 60°＝2 3.【答案】 2 32.在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C ＝________.【解析】 由正弦定理得：3sinπ3＝3sin B ， 所以sin B ＝12.又a >b ，所以∠A >∠B ， 所以∠B ＝π6，所以∠C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π2.【答案】π23.在△ABC 中，∠A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于________. 【解析】 AC 边上的高为AB sin A ＝c sin A＝2sin 45°＝ 2. 【答案】2[小组合作型]A.322B.324 C.32D.62(2)在△ABC 中，已知BC ＝12，∠A ＝60°，∠B ＝45°，则AC ＝________.【导学号：18082000】【精彩点拨】 (1)可先由角A 、B 求出角C ，然后利用正弦定理求b ； (2)直接利用正弦定理求解.【自主解答】 (1)因为∠A ＝75°，∠B ＝60°，所以∠C ＝180°－75°－60°＝45°. 因为c ＝3，根据正弦定理得b sin B ＝csin C， 所以b ＝c sin Bsin C ＝3×3222＝322.(2)由正弦定理知：AC sin B ＝BCsin A ，则ACsin 45°＝12sin 60°，解得AC ＝4 6.【答案】 (1)A (2)46解决已知两角及一边类型的三角形解题方法：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边[再练一题]1.在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.【解析】 ∠C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.【答案】 2b ＝42，则∠B ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，∠A ＝30°，求∠B ，∠C 和c .【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点，直接求解.注意三角形解的个数问题. (2)先利用正弦定理求角B ，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c . 【自主解答】 (1)由正弦定理，得asin A＝bsin B.把∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，代入，解得sin B ＝22，∴B ＝45°或135°，∵b ＜a ，∴∠B ＜∠A ，又∵∠A ＝60°，∴0°＜∠B ＜60°，∴∠B ＝45°.【答案】 45° (2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又a ＝23，b ＝6，a <b ， ∴B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. 综上，B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时的方法：首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论[再练一题]2.在△ABC 中，c ＝6，∠C ＝π3，a ＝2，求∠A ，∠B ，b .【导学号：18082001】【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝22， ∴∠A ＝π4或34π.又∵c >a ，∴∠C >∠A ，∴∠A ＝π4，∴∠B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.[探究共研型]. 【提示】 如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°， ∠BAC ＝∠BDC ，在Rt△BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，csin C＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 探究2 根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？ 【提示】 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形； (2)已知两角和其中一角的对边解三角形. 探究3 由a sin A ＝b sin B ＝csin C可以得到a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？【提示】 (1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C.(2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC的形状.【精彩点拨】 解决本题的关键是利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 把sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角A ，然后再利用sin A ＝2sin B cos C 求解.【自主解答】 法一：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A 是直角，∠B ＋∠C ＝90°，∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1，∴sin B ＝22. ∵0°<∠B <90°，∴∠B ＝45°，∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形. 法二：根据正弦定理， 得a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴∠A 是直角.∵∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<∠B －∠C <90°， ∴∠B －∠C ＝0，∴∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形.1.判断三角形的形状应看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.2.已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三边之间的关系，再给出判断.[再练一题]3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，试判断△ABC 的形状.【解】 ∵b ＝a cos C ， 由正弦定理，得 sin B ＝sin A cos C . (*)∵∠B ＝π－(∠A ＋∠C )，∴sin B ＝sin(A ＋C )，从而(*)式变为 sin(A ＋C )＝sin A cos C ， ∴cos A sin C ＝0. 又∵∠A ，∠C ∈(0，π)， ∴cos A ＝0，∠A ＝π2，即△ABC 是直角三角形.1.在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则∠A 与∠B 的大小关系为( ) A.∠A ＞∠B B.∠A ＜∠BC.∠A ≥∠BD.∠A ，∠B 的大小关系不能确定【解析】 因为a sin A ＝bsin B ，所以a b ＝sin Asin B.因为在△ABC 中，sin A >0，sin B >0，sin A ＞sin B ， 所以a b ＝sin Asin B>1，所以a >b ，由a ＞b 知∠A ＞∠B . 【答案】 A2.在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不等边三角形【解析】 由正弦定理知c ＝2R sin C ，a ＝2R sin A ， 故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin A cos B ＝cos A sin B ， 即sin(A －B )＝0，所以∠A ＝∠B . 故△ABC 为等腰三角形. 【答案】 B3.在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则BC ＝_____.【导学号：18082002】【解析】 利用正弦定理BC sin A ＝ABsin C， 而∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝75°， 故BC ＝AB sin A sin C ＝3sin 45°sin 75°＝3－ 3. 【答案】 3－ 34.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝60°，则cos B ＝________.【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得15sin 60°＝10sin B，∴sin B ＝33，∵b <a ，∴∠B <∠A . 故角B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫33 2＝63. 【答案】63。

1．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递增区间．2．已知函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx，x∈[，π]．（1）若sinx=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若△ABC的面积为，求b的值．4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．5．在△ABC中，边a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos（A﹣B）=2sinAsinB．（1）判断△ABC的形状；（2）若a=3，c=6，CD为角C的角平分线，求CD的长．6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．（1）求C的大小；（2）求的值．7．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．8．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bsinA=c，D为AC边上一点．=，求DC的长；（1）若c=2b=4，S△ABC（2）若D是AC的中点，且A=，BD=，求△ABC的最短边的边长．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小（2）若△ABC的三个顶点都在单位圆上，且b2+c2=4，求△ABC的面积．10．已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．xf（x）020﹣20（Ⅰ）请写出函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的取值范围．11．已知，若f（x）图象向左平移个单位后图象与y=3cosωx图象重合．（1）求ω的最小值；（2）在条件（1）下将下表数据补充完整，并用“五点法”作出f（x）在一个周期内的图象．0π2πxf（x）12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知2c=2acosB+b．（1）求∠A的大小；（2）若c=2b，求证：∠C=3∠B．14．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．15．如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）16．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号．在遇险地点A南偏西45°方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近．已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里．（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在△ABC中，求角B的正弦值．2017年05月02日373412510的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．（2017•朝阳区一模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在x∈[0，π]上增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵===，∴函数f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）令，求得，所以，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z．又∵x∈[0，π]，∴函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递增区间是和．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．2．（2017•河东区一模）已知函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx，x∈[，π]．（1）若sinx=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据x∈[，π]时sinx的值求出f（x）的值；（2）根据f（x）的解析式求出x∈[，π]时的值域，求出f（x）在x∈[，π]内对称轴是x=．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx=2sinxcos+2cosxsin﹣2cosx=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），由x∈[，π]，且sinx=，∴cosx=﹣=﹣；∴函数f（x）=sinx﹣cosx=×﹣（﹣）=；（2）由函数f（x）=2sin（x﹣），x∈[，π]，∴x﹣∈[，]，∴sin（x﹣）∈[，1]，∴f（x）在x∈[，π]的值域是[1，2]；且f（x）=2sin（x﹣）对称轴是x=kπ+，k∈Z，x∈[，π]，∴对称轴是x=．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．3．（2016秋•五华区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若△ABC的面积为，求b的值．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A为钝角，即可得解．（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24．又，进而可求b的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：由正弦定理：，∴sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC，∴sinA+sinB+sin（A+B）=3sinC．又∵sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，a=2b，所以，所以，所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形．…（6分）（2）解：因为，∴．又，∴，∴bc=24．又，所以，∴b=4．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（2017•深圳一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA ﹣acosC．（1）求C；（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C ﹣）=1，结合C的范围，可得C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC 面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a=csinA﹣acosC，∴由正弦定理可得：2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC，…2分∵sinA≠0，∴可得：2=sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），∴C﹣=，可得：C=．…6分（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a 时取等号）…8分=absinC=ab≤，可得△ABC面积的最大值为．…12分∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．5．（2017•湖北模拟）在△ABC中，边a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos（A﹣B）=2sinAsinB．（1）判断△ABC的形状；（2）若a=3，c=6，CD为角C的角平分线，求CD的长．【分析】（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求C=，即可判定三角形的形状．（2）由已知利用勾股定理可求b，利用三角形内角和定理可求∠ADC，由正弦定理可求CD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由cos（A﹣B）=2sinAsinB，得cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB，…（2分）∴cosAcosB﹣sinAsinB=0，∴cos（A+B）=0，∴C=．…（6分）故△ABC为直角三角形．（2）由（Ⅰ）知C=90°，又a=3，c=6．∴b==3，A=30°，∠ADC=180°﹣30°﹣45°=105°，…（8分）由正弦定理得，∴CD=×sin30°=×=．…（12分）【点评】本题主要考查了两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，勾股定理，三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．（2017•抚顺一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．（1）求C的大小；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，可求sinC=，结合C为锐角，可求C的值．（2）由余弦定理即可解得的值．【解答】解：（1）由已知，asinA=bsinBsinC，利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，由于：sinC=，C为锐角，解得：C=．（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=3a2﹣2a×=3a2﹣a2，故解得：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7．（2017•太原一模）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．【分析】（1）由正弦定理和正弦函数的性质，即可证明A=2B成立；（2）由余弦定理和正弦、余弦函数的性质，化简求值即可．【解答】解：（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，由，得sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜A，B＜π，∴sinA=sin2B＞0，∴0＜2B＜π，∴A=2B或A+2B=π，若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠π；∴A=2B；（2）∵a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得cosB=sinC，∵0＜B，C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（1）得A=2B，∴，∴．【点评】本题考查了正弦、余弦定理和正弦、余弦函数的应用问题，是基础题．8．（2017•淮北二模）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bsinA=c，D为AC边上一点．（1）若c=2b=4，S=，求DC的长；△ABC（2）若D是AC的中点，且A=，BD=，求△ABC的最短边的边长．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinC=2sinB，，解得sinA 的值，利用三角形面积公式可求AC的值，进而可求CD的值．（2）由已知可求，，进而解得b，c的值，利用余弦定理即可得解a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c=2b，∴sinC=2sinB，∵，∴，∴，∵，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）在△ABD中，，3bsinA=c则，，解得．在△ABC中，，解得∴△ABC的最短边的边长．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（2017•广西一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小（2）若△ABC的三个顶点都在单位圆上，且b2+c2=4，求△ABC的面积．【分析】（1）利用余弦定理以及特殊角的三角函数值，即可求出角A的值；（2）由正弦定理求出a的值，再根据题意求出bc的值，从而求出三角形的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵△ABC中，b2+c2=a2+bc，∴b2+c2﹣a2=bc，…（2分）∴cosA===；…（4分）又∵0＜A＜π，∴A=；…（6分）（2）∵=2R，R为△ABC外接圆的半径，∴a=2RsinA=2×1×=；…（8分）又∵b2+c2=a2+bc且b2+c2=4，∴4=（）2+bc，解得bc=1；…（10分）=bcsinA==．…（12分）∴S△ABC【点评】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值应用问题，是基础题目．10．（2017春•广陵区校级月考）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．xf（x）020﹣20（Ⅰ）请写出函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据列表可知A=2，求解周期可得ω，选取一个坐标即可求解φ，可得解析式．将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范围．【解答】解：（I）由题意，可得A=2周期，即，∴ω=2．又A=2，可得f（x）=2sin（2x+φ），图象过点（，2），将代入f（x），有，即．∵|φ|＜π，∴，因此，即．故．∵函数y=sinx的单调区间为，∴令，即，解得，∴f（x）的增区间为（II）∵，∴有，∴当时，函数f（x）取得最大值为2，当时，函数f（x）取得最小值，故得函数f（x）在上的取值范围为．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据列表求出三角函数的解析式式关键，是基础题．11．（2017春•庐山区校级月考）已知，若f（x）图象向左平移个单位后图象与y=3cosωx图象重合．（1）求ω的最小值；（2）在条件（1）下将下表数据补充完整，并用“五点法”作出f（x）在一个周期内的图象．0π2πxf（x）【分析】（1）把f（x）图象向左平移个单位后，得到y=3sin[ω（x+）+]=3sin （ωx+ω+）的图象，再根据所得到的图象与函数y=3cosωx的图象重合，即可求ω的最小值；（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．【解答】解：（1）把f（x）图象向左平移个单位后，得到y=3sin[ω（x+）+]=3sin（ωx+ω+）的图象，再根据所得到的图象与函数y=3cosωx的图象重合，可得sin（ωx+ω+）=co sωx，故ω+=2kπ+，k∈Z，即ω=12k+2，∵ω＞0，∴ω的最小值2；（2）列表：2x+0π2πx﹣f（x）030﹣30描点，连线，作图如下：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质，用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）在一个周期上的简图，属于基础题．12．（2016•郴州三模）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（ωx+），由此根据周期为π求得ω的值．根据五点法，求出对应的五点，即可画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∴T==π，解得：ω=2，∴f（x）=sin（2x+），列表：x﹣2x+0π2πsin（2x+）010﹣10描点得图象：（Ⅱ）把y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再把所得图象上的点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（2x+）的图象．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于基础题．13．（2016•萍乡二模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知2c=2acosB+b．（1）求∠A的大小；（2）若c=2b，求证：∠C=3∠B．【分析】（1）利用利用余弦定理化简条件式得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosA；（2）由正弦定理可知sinC=2sinB=2sin（），解出C和B，得出B，C的倍数关系．【解答】（1）解：在△ABC中，∵2c=2acosB+b，cosB=，∴2c=+b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==．∴A=．（2）证明：∵B+C=π﹣A=．∴C=．∵c=2b，∴sinC=2sinB=2sin（）=cosC+sinC．∴cosC=0，故C=．∴B==．∴∠C=3∠B．【点评】本题考查了正余弦定理，解三角形，属于基础题．14．（2016•广西模拟）如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．【分析】（Ⅰ）由题意分别在RT△ABC和RT△ADE由三角函数定义∠DAE和∠CAB 的正余弦值，由和差角的三角函数公式可得；（Ⅱ）由中位线可得DF=EF=BC=，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得在四边形BCDE为边长为1的正方形，在RT△ABC中sin∠CAB==，cos∠CAB==，同理RT△ADE中sin∠DAE=cos∠CAB=∴sin∠CAD=sin（∠DAE﹣∠CAB）=×﹣×=；（Ⅱ）由题意可得DF=EF=BC=，∴△ADF的面积S=×DF×AE=××1=【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式和三角形的面积，属基础题．15．（2017•徐汇区二模）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C 点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）【分析】（1）利用正弦定理，即可求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，由余弦定理求无人机到丙船的距离．【解答】解：（1）在△APB中，由正弦定理，得，，在△BPC中，由正弦定理，得，又，sin∠ABP=sin∠CBP，故．即无人机到甲、丙两船的距离之比为．（2）由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，由（1），可设AP=2x，则CP=3x，在△APC中，由余弦定理，得160000=（2x）2+（3x）2﹣2（2x）（3x）cos120°，解得，即无人机到丙船的距离为≈275米．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．16．（2017春•武侯区校级月考）一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号．在遇险地点A南偏西45°方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近．已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里．（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在△ABC中，求角B的正弦值．【分析】（1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，可得t的方程，即可得出结论；（2）利用正弦定理，即可得出结论．【解答】解：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．在△ABC中，∠BAC=45°+75°=120°，AB=10，AC=9t，BC=21t．由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，所以，化简得36t2﹣9t﹣10=0，解得或（舍去）．所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时．（2）由，．在△ABC中，由正弦定理得．所以角B的正弦值为．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查特殊角的三角函数．准确找出题中的方向角是解题的关键之处．。