多目标规划建模

400x1  600x 2  20000 3 x  2 x  90 2  1  9 x1  4 x 2  240  4 x1  5 x 2  200 3 x1  10x 2  300    x1 , x 2  0

由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X )  70x1  120x 2 用单纯形法求得其最优解为

按以下公式作无量纲的标准化处理

aij 
其中：

99  ( f ij  f j * *) f j *  f j **
i

1

f j *  max f ij

f j * *  min f ij
i

变换后的指标值矩阵为：

aij A1 A2 A3 A4
则

f1 1 100 1 40.6

f2 1 100 42.25 25.75

对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X )  400x1  600x2  20000 f 3 ( X )  3x1  2 x2  90
数学建模
主讲 薛长虹

E-mail 地址: xuechanghong@home.swjt u.edu.cn
QQ: 315165

多目标规划模型
基本内容：
1、多目标规划的基本概念 2、多目标规划的问题的特征 3、多目标规划的求解方法 4、目标规划模型 5、应用实例模型.

一、多目标的基本概念
多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往 有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高 利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题. 。 又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目 标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则 来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些 准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问 题. 应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这 类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经 济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域 都有重要的应用价值。

在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数ωi，作线性加权和 评价函数 p

U ( X )   i f i ( X )
i 1

则多目标问题化为如下的单目标问题
maxU ( X )    i f i ( X )
i 1 p
x1  12.5, x2  26.25, f1 ( x)  4025 , f 2 ( x)  20750 , f 3 ( x)  90

（5）线性加权和目标规划
optF( X )  ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X )  0 hj (X )  0
X  ( x1 , x2 ,....,xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：

绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X)
有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)

2、多目标优选问题的模型结构

可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数：
U ( x)  U ( f1 , f 2 ,..., f p )

并设

aij  f i ( x j )

且各个方案的效用函数分别为

U ( x j )  U (a1 j , a2 j ,...,a pj )
则多目标优选模型的结构可表示如下：

ordU( X )  (U ( X 1 ),U ( X 2 ),....,U ( X p ))T s.t. g i ( X )  0 hj (X )  0
j 1 6

故最优方案为选购A3型卡车

U ( X 3 )    j a3 j  57.925
j 1 6

U ( X 4 )    j a 4 j  40.27
j 1

U *  maxU  U ( X 3 )  57.925

（6）分层序列法：
1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 f1 ( x),, f p ( x) 按其重要程度排序。 依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f1 , f 2 ,, f p min f1 ( x ) 先求解 ( P1 )  * *   S S  x f ( x )  f s.t. x  S f 1 1 1 得最优值 ，记 1 再解 ( P )min f 2 ( x) * * 2    S1 S  x f ( x )  f f s . t . x  S 2 2 2 1 得最优值  ， 2  依次进行，直到 min f p ( x) ( Pp ) * f  p s.t. x  S p 1 得最优值

多目标规划问题的求解
(1)线性加权法: 取

0  ai  1 (i  1,, p)

a1  a2    a p  1

对p个目标函数作线性加权化为单目标问题

min F ( x)  a1 f1 ( x)  a2 f 2 ( x)    a p f p ( x)

多目标规划问题的求解



值域中的一个理想点。 将多目标问题转化为目标函数
f ( x)

与 f



之间的最小“距离”的单目标问题：


min U ( x)  f ( x)  f

多目标规划问题的求解
(3)极大极小法：基本思想是在最不利的情况下求最 有利的策略。即求多目标中最大目标函数值最小。于 是可化为如下单目标问题：

min U ( x)  max ( f j ( x))

f3 67 1 100 67

f4 50.5 100 1 25.75

f5 34 1 67 100
6 j 1 6

f6 50.5 1 100 1

设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),

U ( X 1 )    j a1 j  34 U ( X 2 )    j a 2 j  40.6

f2
1 2

5 3
4

6

7 8 f

二、模型结构
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。 在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。

多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。

1、多目标规划问题的模型结构

optF( X )  ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X )  0 hj (X )  0
(2)理想点法:对每一个目标 给出一个目标理想值
即f j  min f j ( x),

f j ( x)

f ,
为多目标函数

 j

则称 f



 f , f , , f

f ( x)   f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x)



 1

j

j  1,2,, p
 Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱp
T

 2

资源A单位消耗 资源B单位消耗 资源C单位消耗 单位产品的价格 单位产品的利润 单位产品的污染

解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X )  70x1  120x 2 max f 2 ( X )  400x1  600x 2 max( f 3 ( X ))  3 x1  2 x 2 9 x1  4 x 2  240 4 x  5 x  200  1 2  3 x1  10x 2  300   x1 , x 2  0

例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位 消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和 所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每 期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染 最小？
甲 9 4 3 400 70 3 乙 4 5 10 600 120 2 资源限量 240 200 300

多目标规划问题的求解
 化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个 单目标问题,关键是如何转化.  下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标 法、线性加权和法、字典序法、步骤法。

多目标规划问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变 量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案 所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优 谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有 两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两 个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解， 因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而 方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一 个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。

二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多目 标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个 目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优 选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或 多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排 序.

三、多目标规划问题的求解
 多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此 有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问 题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越 受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法. 一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为 求解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问 题,然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的 最优解,以此作为多目标问题的解.

g i ( X )  0 s.t. h j ( X )  0

例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。 fij A1 A2 A3 f1 2.0 2.5 2.0 f2 1500 2700 2000 f3 4 3.6 4.2 f4 55 65 45 f5 一般 低 高 f6 高 一般 很高
1 j  p

也可以给每个

f j ( x)

配上权系数

aj

，即考虑：
1 j  p

min U ( x)  max (a j f j ( x))

多目标规划问题的求解
（4）主要目标法 在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程 度往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关 键的目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为 T optF ( X )  ( f ( X ), f ( X ),...., f ( X )) 1 2 p 非主要目标。
s.t. g i ( X )  0 hj (X )  0

例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 max f1 ( X ) 其余的目标满足一定的条件，即
 g i ( X )  0, i  1,2,...,n  s.t.h j ( X )  0, j  1,2,...,m   f k ( X )   k , k  1,2,..., p  1

A4

2.2

1800

4

50

很高

一般

首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。 先将定性指标定量化：

效益型指标

很低 低 1 3 很高 高

一般 高 很高 5 7 9 一般 低 很低 成本型指标

可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下
可靠性 灵敏性 一般 5 高 7 低 3 一般 5 高 7 很高 9 很高 9 一般 5