通州市高三数学第二次综合测试_4

2020届江苏省南通市通州区高三第二次调研抽测数学试题一、填空题1．己知复数z 满足(12)34z i i +=+ (i 为虚数单位)，则z =__________【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：由(12)34z i i +=+，得34(34)(12)11212(12)(12)55i i i z i i i i ++-===-++-，z ∴=【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2．己知集合{1A =，2a ，4}，{2B a =，0}，若A B ⋂≠∅，则实数a 的值为_______.【答案】12【解析】根据题意对2a 的值分情况讨论，分别检验是否符合题意，即可求出a 的值． 【详解】解：A B ⋂≠∅Q ，且元素之间互异，0a ∴≠，①当21a =时：12a =，此时集合{1A =，14，4}，集合{1B =，0}，符合题意， ②当24a =时：2a =，此时集合{1A =，4，4}，集合{4B =，0}，不符合元素的互异性，故舍去，③当22a a =时：0a =或2，此时不符合元素的互异性，故舍去， 综上所求：12a =， 故答案为12．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，做题时注意集合元素的互异性，是基础题．3．如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______．【答案】85【解析】写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分．【详解】解：所有的数为：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9个数，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7个数，平均分为78828484868893857++++++=，故答案为85．【点睛】本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．【答案】11【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；【考点】1.程序框图；2.循环结构；5．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.【答案】1 36．函数2()lg1f xx=-_____________.【答案】1|05x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭7．已知双曲线221412x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为___________. 【答案】328．已知高为3 的圆柱内接于一个直径为5的球内，则该圆柱的体积为_______. 【答案】12π【解析】画出图形，求出圆柱的底面半径，然后求解体积． 【详解】解：高为3的圆柱内接于一个直径为5的球内，如图： 可得222253()()()2222h r R =-=-=，则该圆柱的体积为：22312ππ⨯⨯=． 故答案为12π．【点睛】本题考查球的内接体，圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____. 【答案】210．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1C x y +-=，圆22:(23)6C x y '++=．直线:3l y kx =+与圆C 相切，且与圆C '相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________ 15【解析】利用直线与圆相切求出斜率k ，得到直线的方程，几何法求出||AB 【详解】解：直线:3l y kx =+与圆C 相切，C 圆心为(0,1)1=，得k =当3y =+时，C '到直线的距离92d ==，不成立，当3y =+时，l 与圆C '相交于A ，B 两点，C '到直线的距离32d ==，||AB ==【点睛】考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题．11．己知函数||()(21)x f x x =-，若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-„对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]4,0-12．在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．若a ，b ，c 成等比数列，且22()()3b c b c a ac +-=-，则11tan tan A C+的值为____________【解析】运用等比数列的中项性质和正弦定理、余弦定理，结合同角的商数关系、平方关系，两角和的正弦公式，化简可得所求值． 【详解】解：a ，b ，c 成等比数列，可得2b ac =，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =， 22()()3b c b c a ac +-=-，即为22223c a b ac +-=，可得2221cos 23c a b B ac +-==，故B 为锐角，sin 3B ==则211cos cos sin cos cos sin sin()sin 1tan tan sin sin sin sin sin sin sin 4A C C A C A A CB AC A C A C A C sin B B +++=+=====．故答案为4． 13．如图，己知半圆O 的直径8AB =，点P 是弦AC （包含端点A ，C ）上的动点，点Q 在弧»BC上．若OAC ∆是等边三角形，且满足0OQ OP =u u u r u u u r g ，则OP BQ u u u r u u u rg 的最小值为___________.【答案】8【解析】建系，设AP m =，表示出P 点坐标，则()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，根据m 的范围得出答案．【详解】解：以O 为原点建立平面坐标系如图所示：则(4,0)A -，(4,0)B ，(2C -，23)， 设(04)AP m m =剟，则1(42P m -，3)m ， ∴1(42OP m =-u u u r ，3)m ，(4,0)OB =u u u r ，Q 0OQ OP =u u u r u u u rg ，∴()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ，显然当m 取得最大值4时，OP BQ u u u r u u u rg 取得最小值8． 故答案为8．14．已知函数2()(,f x x ax b a b R =++∈）在区间(]0,1上有零点0x ，则0011()493x ab x +-的最大值是________. 【答案】1144【解析】由00f x =（）得200b x ax =--， 23220000000[]?44x x ab ax a x x a x a x ∴=--=--≤=（）．（当且仅当a =-x 0-a 即x 0=-2a 时取等号）432000001114934439x x x x ab x ∴+-≤-+（）（），令4320000439x x x g x =-+（），则320000000212)(933x g x x x x x x '=-+=--（）（）， ∴g （x 0）在（0，13）上单调递增，在（13，23）上单调递减，在（23，1）上单调递增，又g （13）=1324，g （1）=14-13+19=136，∴g （x 0）的最大值为136．0011493x ab x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭的最大值为14×136=1144．二、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，且AOP α∠=，将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q (a ， b )， 其中β∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）若点P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，4πβ=时，求ab 的值； （2）若6πα=，求b 2 -a 2的取值范围.【答案】（1）750ab =-；（2）221,12b a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，可得3cos 5α=，4sin 5α=，且cos()4a πα=+，sin()4b πα=+，再利用二倍角公式求得ab 的值．（2）由题意可得cos()6a πβ=+，sin()6b πβ=+，可得22b a -的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得22b a -的范围． 【详解】（1） cos ,sin 44a b ππαα⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11cos sin sin 2cos 244222ab πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5α=，所以()2117cos 22cos 12250ab αα==-=- （2） cos ,sin 66a b ππββ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2222sin cos cos 2663b a πππβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为2,63ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以252,333πππβ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦：所以1cos 21,32πβ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以221,12b a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AD ，E ， F 分别是棱AB ， PC 的中点.求证：（1） EF //平面PAD ； （2）平面PCE ⊥平面PCD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取PD 的中点G 构造平行四边形AEFG ，得到//EF AG ，从而证出//EF 平面PAD ；（2）先证EF ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理得到平面PCD ⊥平面PCE ． 【详解】证明：（1）如图，取PD 的中点G ，连接AG ，FG ，E Q 是棱AB 的中点，底面ABCD 是矩形， //AE CD ∴，且12AE CD =，又F Q ，G 分别是棱PC ，PD 的中点，//FG CD ∴，且12FG AC =， //AE FG ∴，且AE FG =， ∴四边形AEFG 为平行四边形，//EF AG ∴，又EF ⊂/Q 平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD ；（2）PA AD =Q ，点G 是棱PD 的中点，AG PD ∴⊥，又//EF AG Q ，EF PD ∴⊥，PA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， PA CD ∴⊥，Q 底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，PA ⊂Q 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，且PA AD A =I ，CD \^平面PAD ，又AG ⊂Q 平面PAD ，CD AG ∴⊥， //FE AG Q ，CD EF ∴⊥，又CD ⊂Q 平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，且CD PD D =I ，EF ∴⊥平面PCD ，又EF ⊂Q 平面PCE ，∴平面PCD ⊥平面PCE ．17．中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t （单位：分钟）满足*525,t t N ≤≤∈，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t 相关：当2025t ≤≤时高铁为满载状态，载客量为1000人；当520t?时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与()220t -成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t 分钟时，高铁载客量为()P t .()1求()P t 的表达式；()2若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益()()24065020004t Q t P t t t =-+-（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益()Q t t最大？ 【答案】（1）2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t N P t t t N ⎧--≤<∈=⎨≤≤∈⎩（2）发车时间间隔为10分钟时，()Q t t最大 【解析】（1）分520t?和2025t ≤<两段求函数()P t 的解析式，当520t?时，2()1000(20)P t k t =--，当5t =时，()100P t =，求k ；（2）根据（1）的结果，分段求函数()Q t ，利用导数求函数的最大值. 【详解】 解：（1）当520t ?时，不妨设2()1000(20)P t k t =--，因为(5)100P =，所以解得4k =.因此2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t N P t t t N ⎧--≤<∈=⎨≤≤∈⎩.（2）①当520t ?时，23()()40650200050020004tQ t P t t t t t =-+-=-+- 因此2()2000()500Q t y t t t t==--+，520t?.因为()y t ¢=32220002(1000)2t t t t---+=，当510t ?时，()0y t ¢>，()y t 单增；当1020t <<时，()0y t ¢<，()y t 单减.所以max ()(10)200y t y ==. ②当2025t ≤≤时，2()409002000Q t t t =-+- 因此()50()90040()Q t y t t t t==-+，2025t ≤≤. 因为()y t ¢=2240(50)0t t--<，此时()y t 单减.所以max ()(20)0y t y ==， 综上，发车时间间隔为10分钟时，()Q t t最大. 【点睛】本题考查了分段函数求解析式，以及利用导数解实际问题的最值，本题的关键是正确表达()P t 和()Q t .18．在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a>b>0)的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的方程;（2）过点F 作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C 交于M ， N 两点，设点5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭. ①若AMN V 的面积为35，求直线l 方程；②过点M 作与)轴垂直的直线l "和直线NA 交于点P ，求证：点P 在一条定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）①1)y x =-，②见解析 【解析】（1）由椭圆离心率的定义，右焦点与右准线的距离求得椭圆方程； （2）用设而不求的求直线方程，用三角形面积得直线方程，分类讨论可得． 【详解】 解：（1）由题意：2222123c a a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22143x y +=（2）①当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，此时331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意;当直线l 斜率存在时，设方程为(1)y k x =-.由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,M x y N x y .由题意，>0∆， 且221212228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++ 所以()1212||y y k x x k -=-== 因为5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭， AMN ∆所以12151225y y ⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，即212||345k k=+，解得k =，所以直线l 的方程为1)y x =-.②当直线l 的斜率不存在时，直线NA 的方程为：2250x y --=.令32y =，得4x =， 所以直线NA 与l '的交点坐标3(4,)2．当直线l 的斜率存在时，由①知，221212228412,3434k k x x x x k k -+=⋅=++ 由直线NA 的方程为：225522y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭- 令1y y =，得()()()121222255511522221y x k x x k x x y k x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=- ()()()121222544121kx x x x k k x k x -+++-=-()()33222241258441342341k k k k k x k k k x --⋅++-++=- ()()()()33222222412584414134234411k k k k k x k x k k k x k x --⋅++--++===--所以直线NA 与l '的交点P 的坐标为1(4,)P y ， 综上所述，点P 在一条定直线4x =上， 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，属于难题． 19．已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+-. （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小;（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <． 【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析【解析】（1）①把1a =-代入函数解析式，求出函数的导函数得到()1f '，再求出()1f ，利用直线方程的点斜式求函数()f x 在点A 处的切线方程；②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m =-=---=-+，利用导数研究函数的单调性，可得当01m <<时，1()()f m f m >；当1m =时，1()()f m f m =；当1m >时，1()()f m f m<．（2）由题意，21240x lnx ax +--…，()g x '在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．利用导数可得当0(1,)x x ∈时，()g x 在0(1,)x 上单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增，得到0()()min g x g x =．由()0g x …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，可得00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，得200000212(2)0x lnx x x x +---=，即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--，再由0()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，得0()h x 在(1,)+∞上单调递减，进一步得到0011()2a x x =-在(1,2)上单调递增，由此可得34a <． 【详解】解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，()11f '=-， 又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=； ②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<， ()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．又()10h =，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m =；当1m >时，()0h m <，即1()()f m f m<．证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--…，而222(21)()24x ax g x x a x x--'=--=，令()0g x '=，解得x a =±0a >Q ，∴1a +>，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增． 0()()min g x g x ∴=．()0g x Q …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩，消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=， 即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--， 0()0h x '<Q 在(1,)+∞上恒成立， 0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又()120h =>， ()22210h ln =--<， 012x ∴<<．0011()2a x x =-Q 在(1,2)上单调递增， 34a ∴<． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题． 20．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，满足()(1)*23n n n T n N -=∈. 数列{}nb 的首项为2，且满足()*1(1)n nnb n b n N +=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;（2）记集合{}*1|(105),n n n M n a b b n n N λ+=+∈„，若集合M 的元素个数为2，求实数λ的取值范围;（3）是否存在正整数,,p q r 使得12q p q a a a b r a +++=+⋅L 成立?如果存在，请写出,,p q r 满足的条件，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）13-=n n a ，b n =2n ；（2）40056033λ<„；（3）答案不唯一，见解析 【解析】（1）当1n =时，111a T ==；当2n ≥时，1nn n T a T -=，即可的{}n a 的通项公式，由1(1)n n nb n b +=+可得11n n b b n n +=+，即数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，即可求出{}n b 的通项公式；（2）参变分离，构造函数列14(1)(105)()3n n n n f n -++=，判断其增减性，即可求出λ的取值范围；（3）假设存在，根据数列{}n a 为等比数列，利用公式求出其前q 项和，对r 分类讨论． 【详解】（1）因为(1)23n n nT -=，所以当2n ≥时，(1)21(1)(2)12333n n n n n n n n T a T -----=== 而当1n =时，111a T ==适合上式，所以13-=n n a ，因为1(1)n n nb n b +=+，即11n nb b n n+=+ 所以数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，所以1121n b b b n ===，所以2n b n =.（2）由(1)知，不等式1(105)n n n a b b n λ++„即为14(1)(105)3n n n n λ-++„设14(1)(105)()3n n n n f n -++= 因为14(1)(2)(1015)4(1)(105)(1)()33n n n n n n n n f n f n -++++++-=-()240(1)2233nn n n +-++=而560400(1)120,(2)200,(3),(4)33f f f f ==== 要使14(1)(105)3n n n n λ-++„只有2解，则有40056033λ<„（3）假设存在正整数,,p q r ，因为21123113332q q q a a a --+++=++++=L L 所以有131423(*)q q p r --=+⋅⋅若2r ≥，则11234331,(*)q q q r --⋅⋅>-…不成立，所以1r =，1314q p --=，若q 为奇数，当1q =时，0p =，不成立，.当1q >时，设21q k =+，*k N ∈， 则12313191444q k k p ----===∈Z .若q 为偶数，设2q k =，*k N ∈，则21113139191134442k k k p ----⋅--===⋅+，因为1914k --∈Z ，所以p Z ≠.综上所述，当q 为大于1的奇数时，1r =，1314q p --=；当q 为偶数时，不存在. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的增减性的判定及等比数列前n 项和公式，属于综合题．21．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．【答案】（1）2011⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵M ；（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ， 所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =；所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）设点(,)x y 在直线l 上，在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上，则2x x '=，y x y '=+，所以12x x ='，12y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．22．某校高一年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件为：电脑随机抽取10首古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的进入正赛，若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为12(1)求甲进入正赛的概率；(2)若进入正赛，则采用积分淘汰制，规则是：电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分.由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为25，求甲在正赛中积分X 的概率分布列及数学期望. 【答案】（1）193512；（2）分布列见解析，期望为45. 【解析】（1）若甲进入正赛，即甲答对的题目数为6，7，8，9或者10道，分别根据二项分布的相关公式计算概率相加即可；（2）列出正赛中X 的所有可能的取值，分别计算概率，列出分布列计算期望即可． 【详解】（1）甲进入正赛的概率为1010106710101010111222P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()10671010101011932512C C C ⎛⎫=++⋯+=⎪⎝⎭甲进入正赛的概率为193512. （2）甲的积分X 的可能取值为8分，5分，2分，1-分，4-分，则43143442162396(8),(5)562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 221321442321623216(2),(1)5562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 404381(4)5625P X C ⎛⎫=-==⎪⎝⎭ 所以X 的概率分布列为所以1696216216814()852146256256256256255E X =⨯+⨯+⨯-⨯-⨯= 甲在正赛中积分X 的数学期望为45.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查分析和解决问题的能力，是中档题．23．已知抛物线C; y 2 =2x 的焦点为F ，准线为l ， P 为抛物线C 上异于顶点的动点. （1）过点P 作准线1的垂线，垂足为H ，若△PHF 与△PO F 的面积之比为2：1，求点P 的坐标； （2）过点M (12-，0)任作一条直线 m 与抛物线C 交于不同的两点A ， B ．若两直线PA ， PB 斜率之和为2，求点P 的坐标.【答案】（1）1,12⎛⎫± ⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线，设2(2t P ，)t ，由三角形的面积公式可得||2||PH OF =，解方程可得t ，进而可得P 的坐标；（2）设直线m 的方程为1()2y k x =+，0k ≠，联立抛物线的方程，消去x ，可得y 的二次方程，设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，化简整理可得t ，k 的方程，由恒成立思想可得t ，进而得到所求P 的坐标， 【详解】解：（1）抛物线2:2C y x =的焦点为1(2F ，0)，准线为1:2l x =-，设2(2t P ，)t ，由PH l ⊥，可得21||22t PH =+，由PHF ∆，与∆POF 的面积之比为2:1，可得||2||PH OF =，即为2112222t +=⨯，解得1t =±，则P 的坐标为1(2，1)±；（2）设直线m 的方程为1()2y k x =+，0k ≠，联立抛物线方程可得220ky y k -+=，由△2440k =->，即11k -<<，0k ≠，设21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，可得122y y k+=，121y y =，则12222212122222222PA PB t y t y k k y y t y t y t t--+=+=+=++--， 化为21212122()t y y t y y t y y ++=++++， 即22221()t t t k k+=+++，可得22(1)(1)0t k t -+-=对满足条件的k 恒成立， 可得1t =，则P 的坐标为1(2，1)．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．。

2020届高三第二次调研抽测数学l参考公式：柱体的体积公式v体＝，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每题小5分，共7 0 分．请把答案填写在答题卡相应位置．1 .己知复数z满足z(I +2)i=4i3(为+i2.己知集合 A= 1{.a2 , 4B} = 2,{叫，如n s * 0 ，3 .如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去一掉个最高分和一个最低分后，所剩7 I 7 881 2 446 89 I 3 4（第3题）: ←IlI <9S←2I1+I ←1 + 2E n d4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为. : （第4题）5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，“则甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为�一6 .函数f (）x ＝萨的定义域为i7 .己知双曲线＿L=1的右准线与渐近线的交点在抛物线y2 =2 上，则实数p的值4 1 2为 A8.己知高为3的圆柱内接于一个直径为5的球内，则该圆9 .己知等比数列｛ a ，.｝的各项均为正3数=，2，若则。

a1+2 5a的最小值为�一－1 0 在.平面直角坐标系中，己知圆C : 2x+ ( y -2=11，)圆C’：（x+2 +y2 =6.直线l :=y与圆C相切，且与圆C’相交于A , B 两点，则弦A B的长1 1 己.知函数f ( =x x)(同一2 1），若关于x的不等式f (i x一2 x -2 a f)(+a x）运-03对任意的 x e [ 3l恒］.成立，则实数。

数学l 试卷A第1页（共 4 页）1 2 在. B C中，己知a ,b , c 分别是角A , B , C 的对边．若。

，b , c 成等比数列，且( b +c ) ( b2-l c a )c，=则a ＋的值为·13 . 如图，己知半圆0的直径AB =8，. 点P是弦A C （包含端点A , C ）上的动点，点Q在弧走上．若是等边三角形，且满足苟=O，则ᡆ的最小值为·1 4 若.函数f ( =x x)2 ( a b,e R）在区间( 01,上］有零点X o，＋9 x 的最大值为 A 。

北京巿通州区2025届高三下学期第二次阶段性考试数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±2．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．5-12B ．3-12C ．314+ D ．514+ 3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1B ．7C ．1D ．1或75．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 6．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e =的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,210．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．51- B ．2C ．3D ．511．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市通州区2020届高三数学第二次调研抽测试题参考公式：柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．。

1.己知复数z满足z(1＋2i)＝3＋4i(i为虚数单位)，则|z|＝。

2.已知集合A＝{1，a2，4}，B＝{2a，0}，若A∩B≠，则实数a的值为。

3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为。

4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为。

5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为。

6.函数的定义域为。

7.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px上，则实数p的值为。

8.已知高为3的圆柱内接于一个直径为5的球内，则该圆柱的体积为。

9.已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a3＝2，则a1＋2a5的最小值为。

10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－1)2＝1，圆C'：。

直线l：y＝kx＋3与圆C相切，且与圆C'相交于A，B两点，则弦AB的长为。

11.已知函数f(x)＝(2|x|－1)，若关于x的不等式f(x2－2x－2a)＋f(ax－3)≤0对任意的x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是。

12.在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边。

若a，b，c成等比数列，且(b＋c)(b －c)＝a2－ac，则的值为。

13.如图，己知半圆O的直径AB＝8，点P是弦AC(包含端点A，C)上的动点，点Q在弧上。

若△OAC是等边三角形，且满足，则的最小值为。

14.若函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)在区间(0，1]上有零点x0，则的最大值为。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020届高三第二次调研抽测数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1.己知复数z 满足(12)34z i i +=+ (i 为虚数单位)，则z =__________【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由(12)34z i i +=+，得34(34)(12)11212(12)(12)55i i i z i i i i ++-===-++-，z ∴=【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.己知集合{1A =，2a ，4}，{2B a =，0}，若A B ⋂≠∅，则实数a 的值为_______. 【答案】12【解析】【分析】根据题意对2a 的值分情况讨论，分别检验是否符合题意，即可求出a 的值．【详解】解：A B ⋂≠∅Q ，且元素之间互异，0a ∴≠，①当21a =时：12a =，此时集合{1A =，14，4}，集合{1B =，0}，符合题意， ②当24a =时：2a =，此时集合{1A =，4，4}，集合{4B =，0}，不符合元素的互异性，故舍去， ③当22a a =时：0a =或2，此时不符合元素的互异性，故舍去， 综上所求：12a =， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，做题时注意集合元素的互异性，是基础题．3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______。

【答案】85【解析】【分析】写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分．【详解】解：所有的数为：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9个数，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7个数，平均分为78828484868893857++++++=，故答案为：85．【点睛】本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题．4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．【答案】11【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；考点：1.程序框图；2.循环结构；5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.【答案】1 3【解析】【求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式．【详解】解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有246=ð种，甲乙在同一个公司有两种可能，故概率为2163 P==，故答案为：13．【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题6.函数()f x=_____________.【答案】1|05 x x⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由题意可得，2210xlgx⎧>⎪⎪⎨⎪-⎪⎩…，解不等式可求．【详解】解：由题意可得，2210 xlgx⎧>⎪⎪⎨⎪-⎪⎩…，解可得，15x <…，故答案为：1|05x x⎧⎫<⎨⎬⎩⎭…．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．7.已知双曲线221412x y-=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px=上，则实数p的值为___________.【答案】3 2【解析】求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．【详解】解：双曲线221412x y -=的右准线2414a x c ===，渐近线y =，双曲线221412x y -=的右准线与渐近线的交点(1,， 交点在抛物线22y px =上，可得：32p =， 解得32p =． 故答案为：32． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．8.已知高为3 的圆柱内接于一个直径为5的球内，则该圆柱的体积为_______.【答案】12π【解析】【分析】画出图形，求出圆柱的底面半径，然后求解体积．【详解】解：高为3的圆柱内接于一个直径为5的球内，如图：可得2r ==， 则该圆柱的体积为：22312ππ⨯⨯=．故答案为：12π．【点睛】本题考查球的内接体，圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____.【答案】【解析】【分析】由题意可得，0q >，10a >，122a q=，2152224a a q q +=+，利用基本不等式可求最小值。

江苏省南通市通州区2020届高三第二次调研抽测数学试题 参考公式：柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 为柱体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在等答题卡相应位置.1. 己知复数z 满足z(l + 2i) = 3 + 4i (i 为虚数单位)，则z =▲ 。

2. 己知集合{}{}21,,4,2,0A a B a ==, 若A B ≠∅，则实数a 的值为 ▲ .3. 如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为▲ .4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为▲ .5. 甲、乙、丙、丁 4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为▲ 。

6.函数()f x =的定义域为▲ 。

7. 己知双曲线221412x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为 ▲ .8. 己知高为3的圆柱内接于一个直径为5的球内，则该圆柱的体积为 ▲ .9. 己知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =,则15 2a a +的最小值为 ▲ .10. 在平面直角坐标系xOy 中，己知圆，圆. 直线l ： 3y kx =+与圆C 相切，且与圆C'相交于,A B 两点、,则弦AB 的长为 ▲ .11. 己知函数()()21x f x x =-，若关于x 的不等式()2(22)30f x x a f ax --+-≤对任意 的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是▲ .12. 在ABC ∆中，己知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.若,,a b c 成等比数列，且()()223b c b c a ac +-=-，则11tan tan A C+的值为▲ . 13. 如图，己知半圆。

的直径 8AB =,点P 是弦AC ：(包含端点,A C )上的动点，点Q在弧BC 上.若OAC ∆是等边三角形，且满足0OQ OP ⋅=，则OP BQ ⋅的最小值为▲ .14. 若函数()2(),f x x ax b a b R =++∈在区间(]0,1上有零点0x ，则0011493x ab x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的最大值为▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图， 在平面直角坐标系xOy 中， A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，且AOP α∠=，将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点(),Q a b ，其中2,63ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1) 若点P 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，4πβ=时，求ab 的值； (2) 若6πα=，求22b a -的取值范围.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥ABCD ,且 PA AD =, ,E F 分别是棱, AB PC 的中点.求证：(1)EF 平面PAD ；(2) 平面PCE ⊥平面PCD .17. （本小题满分14分）中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.己知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t （单位：分钟）满足525,t t N *≤≤∈.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔r 相关：当2025t ≤≤时高铁为满载状态，载客量为1000人；当520t ≤≤时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与()220t -成正比，且发车时间为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔时间为t 分钟时，高铁载客量为()P t .（1） 求()P t 的表达式；（2） 若该线路发车时间间隔t 分钟时的净收入()2()4065020004t Q t P t t t =-+-（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益()Q t t最大.18. （本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12,右焦点F 到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作直线l （不与x 轴重合）和椭圆C 交于, M N 两点，设点5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ① 若AMN ∆，求直线l 方程； ② 过点M 作与y 轴垂直的直线'l 和直线NA 交于点P ,求证：点P 在一条定直线上.19. (本小题满分16分)已知函数()2()ln 2,()12()f x x ax a R g x x f x =+∈=+-(1)当1a =-时，① 求函数()f x 在点()1,(1)A f 处的切线方程；② 比较()f m 与1f m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小； (2)当0a >时，若对()1,x ∀∈+∞时，()0g x ≥，且()g x 有唯一零点， 证明：34a <.20. (本小题满分16分)己知数列{}n a 的前项积为n T ，满足()(1)23n n n T n N -*=∈.数列{}nb 的首项为2, 且满足()11n n nb n b +=+ ()n N *∈(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2) 记集合{}()1105,n n n M n a b b n n N λ*+=≤+∈，若集合M 的元素个数为2,求实数λ的取值范围；(3) 是否存在正整数,, p q r ,使得12q p q a a a b r a ++⋅⋅⋅+=+⋅成立？如果存在，请写出,,p q r 满足的条件；如果不存在，请说明理由.2020届高三第二次调研抽测数学II （附加题）21.本题包括A, B 共2小题，每小题10分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明' 证明过程或演算步骤.A. 选修4—2：矩阵与变换设点(),x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点2,x x y +（）. （1） 求矩阵M ；（2） 若直线l ：2 5x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线'l ，求直线'l 的方程.B. 选修4一4 :极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，己知直线l 的参数方程为3143x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，0a ≠）.若直线l 与曲线C 恒有公共点，求实数a 的取值范围.22. 【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.某校高一年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件为：电脑随机抽取10首古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的进入正赛.若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为12. (1) 求甲进入正赛的概率；(2) 若进入正赛，则采用积分淘汰制，规则是：电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背 诵正确加2分，错误减1分.由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为25， 求甲在正赛中积分X 的概率分布列及数学期望. 23. 【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上异于顶点的动点.(1) 过点P 作准线l 的垂线，垂足为H ，若P H F ∆,与POF ∆的面积之比为2:1,求点P 的坐标；(2) 过点1,02M⎛⎫-⎪⎝⎭任作一条直线m与抛物线C交于不同的两点,A B.若两直线,PA PB斜率之和为2,求点P的坐标.。

2024届高三第二学期期初质量监测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（）A ．130B ．132C ．134D ．1362．若z ∈C ，且11z z -+是纯虚数，则z =（）A ．22B ．1C 2D ．23．已知a ，b 均为单位向量，若1a b -=，则a 在b 上的投影向量为（）A ．32aB ．12aC ．32bD ．12b4．设l ，m 是不同的直线，α，β是不同的平面，则（）A ．若l α∥，m β∥，αβ∥，则l m ∥B ．若l m ∥，m β⊥，l α⊥，则αβ∥C ．若αβ⊥，l α∥，m β∥，则l m⊥D ．若αβ⊥，l α∥，m β∥，则l m∥5．某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种6．设直线10x ky --=被圆222x y +=所截得的弦的中点为00(,)M x y ，则00x y +的最大值为（）A 21+B ．212+C ．212+D ．212-7．已知α为锐角，且π5tan tan 43αα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，则sin 21cos 2αα+=（）A ．3-B ．2-C ．13D ．128．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过点1F 作D 的切线与C 在第一象限交于点P ．若12PF F △的面积为24a ，则C 的离心率为（）A 2B 51-C ．512+D 5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数2()(sin cos )32f x x x x =+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的一个对称中心π,06⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在区间π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有3个零点10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F ，G 分别是棱BC ，11C D ，1BB 的中点，则（）A ．AE ⊥平面1BB FB ．1C E ，BF ，11B D共面C ．平面1C DG 截正方体所得截面的面积为122D ．三棱锥11A C D G -的体积为16311．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f xy xf y yf x =+，则（）A ．()11f =B ．()f x 是奇函数C ．若()22f =，则1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．若当1x >时，()0f x <，则()()f x g x x=，在()0,+∞单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知数列{}n a 是等比数列，且2254a a =．设2.log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则7S =______．13．已知随机变量()22,X N σ～，且()()1P X a P X ≤=≥，则6x x ⎛ ⎝的展开式中常数项为______．14．在ABC △中，4AB =，π4BAC ∠=，π3ABC ∠=，点D ，E ，F 分别在BC ，CA ，AB 边上，且DE AC ⊥，DF AB ⊥，则EF 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个，标号为3号的球有2个．现从这8个球中任选2个球．（1）求选出的这2个球标号相同的概率；（2）设随机变量X 为选出的2个球标号之差的绝对值，求X 的分布列与数学期望．16．（15分）已知函数()2ln(1)bf x ax x x=++-，曲线()y f x =在()()1,1f --处的切线方程为2ln 23y =-．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间，并证明()f x 在(),0-∞上没有零点．17．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，12AC CC ==，160ACC ︒∠=，D ，E 分别是棱AC ，1CC 的中点．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）若P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面PBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围．18．（17分）设抛物线2:2(0)C y px p =>，过焦点F 的直线与C 交于点A ，B ．当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =．（1）求C 的方程；（2）已知点()1,0P ，直线AP ，BP 分别与C 交于点C ，D ．①求证：直线CD 过定点；②求PAB △与PCD △面积之和的最小值．19．（17分）对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意*,m n ∈N ，m n ≠，都满足m n a a k m n -≤-，则称数列{}n a符合“()L k条件”．（1）试判断公差为2的等差数列{}n a是否符合“()2L条件”？（2）若首项为1，公比为q的正项等比数列{}n a符合“12L⎛⎫⎪⎝⎭条件”．①求q的取值范围；②记数列{}n a的前n项和为n S，证明：存在正数0k，使得数列{}n S符合“0()L k条件”2024届高三第二学期期初质量监测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】875%6⨯=，1321361342+=，选C ．2．【答案】B【解析】[]222222(1)i [(1)i]1i 1(1)i 12i1i 1(1)i (1)(1)a b a b z a b a b a b b z a b a b a b a b -++--+--++-+====+++++++++为纯虚数，2210a b +-=，即221a b +=，221z a b =+=．3．【答案】D【解析】2222221a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，12a b ∴⋅=a 在b 上的投影向量211212a b b b b b⋅== ，选D ．4．【答案】B【解析】对于A ，如图，设平面ABCD 为平面α，平面1111A B C D 为平面β，AB 为m ，11B C 为l 满足αβ∥，l α∥，m β∥，但l 与m 不平行，A 错．对于C ，设平面ABCD 为平面α，平面11BCC B 为平面β，11B C 为l ，11A D 为m ，满足αβ⊥，l α∥，m β∥，但l 与m 不垂直，C 错．对于D ，设平面ABCD 为平面α，平面11BCC B 为平面β，11B C 为l ，1DD 为m ，满足αβ⊥，l α∥，m β∥，但l 与m 不平行，D 错，选B ．5．【答案】B【解析】甲在第一位有44A 个结果，甲在第二位有1333C A 个结果，413433A C A 42+=，选B ．6．【答案】C【解析】直线10x ky --=过定点()1,0，M 在OP为直径的圆上，以OP 为直径的圆：221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，00x y b +=，即000x y b +-=即00(,)x y 是0x y b +-=与圆221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的交点，11222b-≤，212b ≤，选C 7．【答案】A 【解析】1tan 5tan 1tan 3ααα-+=+，tan 2α∴=或13-，α为锐角，tan 2α=222sin 21(sin cos )sin cos tan 133cos 2cos sin cos sin 1tan 1αααααααααααα++++=====-----，选A ．8．【答案】D【解析】如图，1PF 为圆O 的切线，切点为M ，1224PF F S a =△，14PF a ∴=，22PF a =，OM 为中位线，222124PF PF c +=，22204a c ∴=，25e ∴=，5e =D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC【解析】π()1sin 2322sin 213f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，πT =，A 对，对称中心纵坐标为1，B 错．ππ3π2232x ≤+≤，则π7π1212x ≤≤，即()f x 的一个单调减区间为π7,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦而πππ7,,π621212⎛⎫⎡⎤⊂⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭/C 对．()0f x =，则π72π2π36x k +=+或111π2π6k +5ππ12x k ∴=+或113ππ,,4k k k +∈∈Z Z ．11k =-，π4x =-；0k =，5π12x =；10k =，3π4x =；11k =，17π12x =，4个零点，D 错．选AC ．10．【答案】ABD【解析】1AE BB ⊥，()14,2,0B F =--，()2,4,0AE =- ，10B F AE ⋅= 1AE B F ⊥，AE ∴⊥面1BB F ，A 对．1(2,0,4)C E =- ，11(4,4,0)B D =-- ，(4,2,4)BF =--若1C E ，BF ，11B D 共面，则111C E xBF yB D =+ ，24402444x yx yx =--⎧⎪∴=--⎨⎪-=⎩112x y =-⎧⎪∴⎨=⎪⎩，11112C E BF B D ∴=-+ ，B 对．如图截面为等腰梯形1MGC D ，12DC =，22MG =125DM C G ==，122DC MG -=2022-=，梯形面积(4222)32182⨯=，C 错．11111111111164243323A C D GBCD G D BC G BC G V V V S DC ---===⋅=⨯⨯⨯=△，D 对，选ABD ．11．【答案】BCD【解析】方法一：1x y ==时，()()()111f f f =+，()10f ∴=，A 错．1x y ==-时，()()()111f f f =----，()10f ∴-=1y =-，()()()()1f x xf f x f x -=--=-，()f x 为奇函数，B 对．2x =，12y =，11(1)2(2)22f f f ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，C 对．0xy ≠时，()()()f xy f y f x xy y x=+，()()()g xy g x g y ∴=+，120x x <<时，2211()()x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x <<时，211xx >210x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，21()()0g x g x ∴-<，即21()()g x g x <，()g x ∴在()0,+∞ ，D 对，选BCD ．方法二：令1(1)(1)(1)(1)0x y f f f f ==⇒=+⇒=，A 错．令1(1)(1)(1)(1)0x y f f f f ==-⇒=----⇒-=原式中令()()1y f x f x =-⇒-=-，()f x ∴是奇函数，B 正确．原式中令2x =，111112(2)022222y f f f ⎛⎫⎛⎫=⇒+=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 正确．对于D ，由()()()()()()()()()f xy f x f y f xy xf y yf x g xy g x g y xy x y=+⇒=+⇒=+任取12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，则211x x >，210x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭222211111111()()()()()0x x x g x g x g x g x g g x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫∴⎭-=⋅-=+⎛⎫-=<⎪ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭⎝21()()g x g x ∴<，()g x ∴在()0,+∞上 ，D 正确，选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】143【解析】{}n a 为等比数列，2254a a =，344a ∴=，即1233442a ==，{}n b 为等差数列，742421477log 733S b a ===⨯=．13．【答案】1215【解析】()22,X N σ~，()(1)P X a P X ≤=≥，122a +∴=，3a ∴=．6x x ⎛- ⎝展开式第1r +项13666221666C C (3)C (3)rr r r r r r r r r T x x x xx ----+⎛==-=- ⎝4r =，446C (3)15811215-=⨯=．14．6【解析】A ，F ，D ，E 四点共圆，EF 最小时，AD 最小，AD BC ⊥时，AD 最小，3AD =，2322=6EF ∴=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）22233228C C C 71C 284P ++===．（2）X 的所有可能取值为0，1，2，1(0)4P X ==，1111333228C C C C 15(1)C 28P X +⋅===，113228C C 63(2)C 2814P X ====．X 的分布列如下：X 012P141528314X 的数学期望15327()28728E X =+=．16．【解析】（1）22()1b f x a x x-=-+-'由题意知(1)2ln 22ln 232(1)101f a b a f a b b -=--+=-=⎧⎧⇒⎨⎨-=--==⎩'⎩（2）2222122(1)(1)2()21(1)x x x x f x x x x x '----=--=--322221(1)(221)(1)(1)x x x x x x x x x -+--+-+==--()f x ∴在(),1-∞-上 ；()1,0-和()0,1上()f x 的单增区间为(),1-∞-，单减区间为()1,0-，()0,1，()f x 在(),1-∞-上 ；()1,0-上 ，1()22ln(1)f x x x x=++-，(),0x ∴∈-∞时，()(1)212ln 232ln 20f x f ≤-=--+=-+<()f x ∴在(,0)-∞上没有零点．17．【解析】（1）证明：ABC △为等边三角形，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，又 平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，BD ∴⊥平面11AA C C ，1BD A C ∴⊥，又 四边形11AA C C 为菱形，11A C AC ∴⊥，1A C DE ∴⊥，BD DE D = 1A C ∴⊥平面BDE ．（2）如图建系，(3,0,0)B ∴，()0,0,0D ，130,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1(0,0,3)C 设111(3,1,0)(3,,0)C P C B CB λλλλλ==== ，(0,1)λ∈，11(3,3)DP DC C P λλ∴=+= ，3,0,0)DB = ，130,,22DE ⎛=- ⎝⎭ ，设平面PBD 与平面BDE 的一个法向量分别为1111(,,)n x y z = ，2222(,,)n x y z = ，11111330(0,3,)30x y z n λλλ∴++=⇒== ，2222303,1)13022x n y z =⇒=⎨-+=⎪⎩ ，设平面PBD 与平面BDE 夹角为θ122212231113cos ,1262223226121n n t n n t t t t λθλ⋅⎛⎫-∴==⋅∈ ⎪ ⎪+⋅-+⎝⎭-+ 令．18．【解析】（1）22p =，1p =，C ∴的方程为22y x =．（2）①设直线AB 方程为12x my =+，211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22121022x my y my y x ⎧⎪=⎨-⎩+⎪=⇒-=，121y y ∴=-同理13212y y p =-⋅=-，312y y -∴=，244222y y y y =-⇒=-设CD 与x 轴交于点G ，34124222G G G y y px x x y y ∴⋅=-⇒=-⇒=，∴直线CD 过定点()2,0．②1212111221222PAB PCD S S y y y y +=⋅-+⋅-△△21255544442y y m =-=+，当且仅当0m =时取“=”．19．【解析】（1）2n a n t =+，22m n a a m n m n -=-≤-∴公差为2的等差数列{}n a 符合()2L 条件．（2）①111n n n a qq --=⋅=，12m n a a m n -≤- 对,,m n m n *∀∈≠N 恒成立，1112m n q q m n --∴-≤-若1q =，则102m n ≤-，符合．若1q >， 数列{}n a ，不妨设m n <1()2n m a a n m ∴-≤-，11()22n m a n a m ∴-≤-*设12n n b a n =-，由（*）式中的m ，n 任意性得数列{}n b 不递增，11111(1)022n n n n n b b a a q q -++∴-=--=--≤，n ∈N 但当[]41log 2(1)n q >--，11(1)02n q q --->，矛盾．若01q <<，则数列{}n a 单调递减，不妨设m n <，1()2m n a a n m ∴-≤-，即11()22m n a m a n +≤+**设12n n c a n =+，由（**）式中m ，n 的任意性得，数列{}n a 不递减11111()(1)022n n n n n c c a a q q -++∴-=-+=-+≥，*n ∈N 01q << 时，11()(1)2n f n q q -=-+单调递增，min 1()(1)102f n f q ∴==-+≥，01q << ，112q ∴≤<综上，公比q 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）得，11n n q S q-=-，112q ≤<，当1q =时，n S n =，要存在0k 使得0n m S S k n m -≤-，只需01k ≥即可！当112q ≤<时，要证数列{}n S 符合“0()L k 条件”，只要证存在0k ，使得01111n mq q k n m q q ---≤---，*n ∈N 不妨设m n <，则只要证：0(1)()m n q q k q n m -≤--只要证：00(1)(1)m m n n q k q q k q +-≤+-设0()(1)n g n q k q n =+-，由m ，n 的任意性，()g n 单调不减只要证0(1)()(1)(1)0n g n g n q q k q +-=-+-≥只要证：0n k q ≥，*n ∈N ，112q ≤< ，∴存在0k q ≥上式对n *∀∈N 成立．∴存在正数0k 使数列{}n S 符合0()L k 条件．。

通州2018年高三综合练习（二模）数学（理）试卷 2018年5月本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合2{|0},{|1}A x x B x x =>=>，则A B =I （A ）{|1}x x >（B ）{|0}x x >（C ）{|10}x x -<<（D ）{|01}x x <<（2）复数(1i)(3i)-+在复平面内对应的点在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）23 （B ）25（C ）45（D ）67（4）如果,x y 满足3,3230,20,x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩≤≥≥那么1y x -的最大值为（A ）12（B ）23（C ）1（D ）2（5）已知函数()sin f x x x =，则π()11f ，(1)f -，π3f -（）的大小关系为（A ）ππ()(1)()311f f f ->->（B ）ππ(1)()()311f f f ->->（C ）ππ()(1)()113f f f >->-（D ）ππ()()(1)311f f f ->>-n =1，S =0 开始 n =n +2输出S 结束否是（6）已知非零向量a ，b ，c 则“⋅=⋅a b a c ”是“b =c ”的（A ）充充充充充充充充 （B ）充充充充充充充充 （C ）充充充充充充 （D ）充充充充充充充充充充（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）43（B ）423（C ）103（D ）2103（8）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是 （lg30.477≈）（A ）3710- （B ）3610-（C ）3510-（D ）3410-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市通州区2025届高三下学期第二次质量考评数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭2．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β D ．n ⊂α，m n ⊥3．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立5．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．126．()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（ ） A ．20-B ．60C ．70D ．807．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．48183π+D ．144183π+8．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =9．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -10．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．12011．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．14D ．1312．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合1|2B x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试卷数学试题（2008.3.15）一、填空题：本大题共14题，每小题5分共70分，请将正确答案填写在题后横线上． 1．复数z=12i+,则|z|= ． 2．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ．则这堆苹果中，质量小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％． 4．若点（1,1）到直线x cosα+y sinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ．5．函数f (x )=2x 3－6x 2＋7的单调减区间是 ．6．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = 7．在约束条件：x +2y ≤5,2x +y ≤4,x ≥0,y ≥0下，z =3x +4y 的最大值是 ． 8．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 ． 9．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ．10．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y =0，若m 在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是 ．11．已知函数22(1),0,0(1),0x x y x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩，右图是计算函数值y 的流程图，在空白框中应该填上 ．12．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+ ，2AC i m j =+，则实数m = ．13．已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .14．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m ∥β，n ∥β，m 、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ； 其中所有正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？ 16．（本小题满分13分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （2）求证：PC 1∥面MNQ ．17．（本小题满分15分）某单位在抗雪救灾中，需要在A 、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m 的C 、D 两地（A 、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠ACD =45°，∠ADC =75°，∠BCD =30°，∠BDC =15°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？（参考数据：2.6≈≈≈）18．（本小题满分16分）倾斜角为60°的一束平行光线，将一个半径为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．19．（本小题满分16分）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．A 1 ABCPM NQB 1C 1307515DC45 A0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008 1，3，5， …， 4011， 4013， 4015 4，8， …， 8024， 8028……（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。

2025届北京市通州区市级名校高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．493．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,14．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．函数y=2x sin2x的图象可能是A ．B．C．D．7．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.58．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1210．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b12．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市通州区2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种 B ．44种 C ．48种 D ．54种【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况，任务A 排在第一位时，E 排在第二位；任务A 排在第二位时，E 排在第三位；任务A 排在第三位时，E 排在第四位，结合任务B 和C 不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案． 【详解】六项不同的任务分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果任务A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好D 、F ，再在D 、F 之间的3个空位中插入B 、C ，此时共有排列方法：222312A A =；如果任务A 排在第二位时，E 排在第三位，则B ，C 可能分别在A 、E 的两侧，排列方法有122322=12C A A ，可能都在A 、E 的右侧，排列方法有2222=4A A ；如果任务A 排在第三位时，E 排在第四位，则B ，C 分别在A 、E 的两侧11222222=16C C A A ； 所以不同的执行方案共有121241644+++=种． 【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．2．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可.【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 3．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =I （ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|4}0,1,2,3,4A x N y x =∈=-=,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力. 4．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且① 直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得 ②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选A. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．5．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．6．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．35-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得：tan 2α=-，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α=-代入计算即可求出值． 【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α=-， 则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+故答案选B 【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,3⎛ ⎝⎭C ．0,5⎛ ⎝⎭D ．0,6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,03a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a L 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()27【答案】D 【解析】 【分析】由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1227n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a L 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得，332427a S S =-=，得2111427190a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得1227n n a -=. 当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，则12n a a a L 的最小值为551234534()()27a a a a a a ==. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 10．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1 BC ．±1D．【答案】D 【解析】由复数模的定义可得：2z ==，求解关于实数a的方程可得：a =.本题选择D 选项.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B．y =C ．2y x =±D．y =【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形1OMF ∆与2PF F ∆相似得122PF PF =，结合双曲线的定义求得,,a b c 的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。

通州市三余中学2009届高三第二次模拟考试数学试题（理科）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题(共14题)、解答题(共6题)，满分160分，考试时间为120分钟。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．请认真核对答题纸密封线内规定填写的项目是否准确。

4．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其他位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．1．函数2log (2)y x =+的定义域为 ▲ ．2．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 ▲ ．3．设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是 ▲ ．4．有下列四个命题：①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③、命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题； ④、命题“若AB B =，则A B ⊆”的逆否命题。

其中是真命题的是 ▲ （填上你认为正确的命题的序号）． 5．幂函数mmx x f 32)(-=的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞递减，则整数m = ▲ ．6．函数xx x f 2)(+=的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈则n = ▲ ．7．已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t= ▲ ． 8．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为 ▲ ． 9．设函数sin ()2cos xf x x=+，则()f x 的单调增区间为 ▲ ．10．已知1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围为▲ ．11．已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值、极小值依次为 ▲ ．12．已知函数c bx ax x x f +++=23)(在21==x x 与处分别取得最大值与最小值，又数列})({q pn n f +'为等差数列，则qp的值为 ▲ . 13．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为 ▲ ．14．直线l ：(0)y mx m =>与抛物线22y x ax =+（其中0a <且a 为常数）所围成的图形的面积为392a -，则m = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知二次函数y =f (x ) 的图象经过原点，其导函数为f ′ (x )=6x －2，一次函数为y =g (x )， 且不等式g (x )＞f (x )的解集是｛x |13＜x ＜1｝,求f (x )和g (x )的表达式．16．（本小题满分14分）已知命题:p 1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立；命题:q 只有一个实数x 满足不等式2110x a ++≤，若命题p 是假命题，命题q 是真命题，求a 的取值范围。