2015-2016学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系章末检测 新人教A版选修4-1

《直线、圆的位置关系》人教A版高中数学必修24.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？第一幅请同学们观察太阳与海平面的关系第二幅第三幅下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!!一、直线与圆的位置关系1.直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切.2.直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交.3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.．l圆心O到直线l的距离d半径rod>r1.直线l和⊙O相离,此时d与r大小关系为_________ll．半径rod=r2.直线l和⊙O相切,此时d与r大小关系为_________l．半径rodr直线与圆相离直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)d=r直线与圆相切d、直线与圆的位置关系的判定方法：1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：△<0n=0直线与圆相离n=1△=0直线与圆相切n=2△>0直线与圆相交2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：ylB.CAOx例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.方法二:（代数法）判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组有无实数解、有几组实数解．方法一:（几何法）可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；1.判断直线与圆的位置关系．【练习】解：方程经过配方，得圆心坐标是（１，０），半径r=1．圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离因为d=r，所以直线3x＋4y＋2＝０与圆相切．解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25,所以，圆心的坐标是（0，-2）,半径长r=5.如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为即圆心到所求直线l的距离为.例2已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离因此，即两边平方，并整理得到2k2-3k-2=0,解得k=，或k=2.所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为y+3=(x+3),或y+3=2(x+3).即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.【练习】2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.解：由题意可知圆C的圆心为(0,0),已知直线4x+3y-35=0与圆C相切∴圆C的半径r=∴圆C的方程为x2+y2=721.⊙O的半径为3,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O没有公共点，则d为（）A．d＞3B．d<3C．d≤3D．d=32.圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位置关系是（）A．相离B.相交C.相切D.相切或相交AC3.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________.相离4.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系是______.相交5.圆心为M(3,-5)，且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为.(x-3)2+(y+5)2=32直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为则有以下关系：位置相离相切相交d与rd>rd=rddd交点个数0个1个2个判断直线和圆的位置关系几何方法代数方法求圆心坐标及半径r（配方法）消去y圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）作业设计课本P132习题4.2A组1、2、3。

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】1.(2018·云南昆明模拟)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值等于( C )(A)-7或-1 (B)1或7(C)-1或7 (D)-7或1解析:圆心(0,3)到直线l的距离d==,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故选C.2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.3.(2018·江西新余高一期末)曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(0,)解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.即实数k的取值范围是(,).4.(2018·河北承德期末)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则( D )(A)l必与圆M相切,l不可能与圆N相交(B)l必与圆M相交,l不可能与圆N相切(C)l必与圆M相切,l不可能与圆N相切(D)l必与圆M相交,l不可能与圆N相离解析:因为直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x-1)2+y2=6内,所以直线l必与圆M相交,因为(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能与圆N相离.故选D.5.(2018·湖南益阳高一期末)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是( B )(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0解析:设圆的圆心是O,由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故选B.6.(2018·湖南岳阳模拟)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l 与圆C相交于P,Q两点.若|PQ|=2,则直线l的方程为. 解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由|PQ|=2,则圆心C(0,3)到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018·山东枣庄二模)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.解析:圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆C与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圆心到直线x-y=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离,即=,解得a=0,所以圆心坐标为(0,2),r==,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程. 解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2018·宁夏中卫市二模)已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).答案:(-,)11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.(2018·河南平顶山高一期末)设有一条光线从P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为k PQ=-,所以l1:y=-(x-2),因为l1,l2关于x轴对称,所以l2:y=(x-2).(2)因为l恒过点N(-2,0),当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为k MN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切且半径为5,所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a≠0,则直线l的斜率为-,l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于∈(,+∞),故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.。

（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 直线和圆的位置关系讲义 新人教A 版必修2引入若直线1:1:22=+=+y x C by ax l 与圆有两个不同交点，则点P （a ，b ）与圆C 的位置关系是（ ）A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定重难点易错点解析题1题面：a 为何值时，直线:0l x y a +-=与圆22:2C x y +=：(1)相交；(2)相切；(3)相离?题2 题面：求直线012=--y x 被圆01222=--+y y x 所截得的弦长．金题精讲题1题面：（1）过点(3,4)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程；（2）过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程；（3）过点(5,3)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程．题2题面：P 为圆122=+y x 上的动点，求点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值．题3题面：求与圆22860x y x y +++=相切,且在两坐标轴上截距相等的直线方程．题4题面：从点(,3)P a 向圆22(2)(2)1x y +++=作切线，则切线长的最小值是（ ）．A ．4B ．6C ．5D ．211题5题面：已知两圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长．题6题面：已知圆221:60C x y y +-=，圆222:(23)(1)1C x y -+-=． (1)求证：圆1C 与圆2C 外切，x 轴是它们的一条外公切线；(2)求切点间的两弧与x 轴所围成的图形的面积．题7题面：已知与直线5x =-相切的动圆P 同时与圆221x y +=外切，求动圆圆心P 的轨迹方程．思维拓展题1题面：若点P (a , b )在圆外，则直线1:1:22=+=+y x C by ax l 与圆的位置关系是 ．学习提醒紧扣圆几何特征，用好垂直和距离讲义参考答案重难点易错点解析题1答案：当22a -<<时，直线与圆相交；当2a =±时，直线与圆相切；当2a >或2a <-时，直线与圆相离．题2 答案：2305．金题精讲题1答案：（1）34250x y +-=；（2）34250x y +-=或43250x y --=；（3）815850x y +-=或5x =．题2答案：1．题3答案：430x y +=，7520x y ++±=．题4 答案：B ．题5答案：（1）250x y +-=；（2）230题6答案：(1) 证明略；(2) 11436π-．题7答案：y 2=12x +36．思维拓展题1答案：相交．。

4.2直线、的位置关系4.2. 1直线与圆的位置关系根据下面的知识结构图•阅读教材并识记直线与圆的位置关系，初步掌握它们的判断方法t直邮的進置叶-（相切问题）-du®【知识链接】1・圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2其中圆心(a,b),半径r2圆的一般方程x2+y24-Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)其中圆心JD"—4F2主题:直线与圆的位置关系【自主认知】“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象•如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,观察三幅太阳落山的图片, 回答下列问题. 厂\1・图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示:⑴相离(2)相切(3)相交2结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？提示：3种,分别是相交、相切与相离.3 •如何判断直线与圆的位置关系?提示可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断即d>ro相离,d=ro相切,dvro 相交.4 •直线/与圆O的位置关系除了用d与r的关系来判断外还有其他判断方法吗? 提示:也可用方程组解的个数来判断.Ax + By + C = 0, (x-a)2 +(y-b)2 =r2-根据以上探究过程，试着总结直线与圆的位置关系及判断方法: 直线与圆的位置关系【合作探究】1 •过圆上一点P可作几条圆的切线？过圆外一点P呢？提示过圆上一点P可作1条圆的切线过圆夕卜一点P可作2条圆的切线.2如图，直线Z 与圆O 相交于A,B 两点，结合图形思考下列问题:L = 2Vr 2-d 2.(1)若弦AB 的长记为L,结合图形t提示：东式.⑵直线/与圆O相交于A,B两点，当直线/满足什么条件时，截得的弦长|AB|最长?提示当直线/过圆O的圆心时，截得的弦长|AB|最长,且最长为N (3)设直线y=kx+b与圆相交于A,B两点,A(X"yJ,B(X2，y2)•则|AB|的长为多少？【过关小练】1 •直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的位置关系是A.相交B.相切C.相离【解析】选A.因为所以直线与圆相交.14x0+3x0-401毎+ 32=8<10 =r，()D.无法确定2 •直线x=1与圆(x+1 )2+y2=1的位置关系是【解析】因为圆心,0倒直线xT的距离d=2>1,所以直线x=1与圆(x+1尸+yJ相离. 答案:相离【归纳总结】1 •对直线与圆位置关系判断的三点说明(1) 判断直线与圆的位置关系的方法:代数法和几何法.(2) 几何法比代数法要简便，一般选择几何法.(3) 当已知位置关系，求参数的值时,选择代数法就是转化成方程的根的问题;选择几何法就是解不等式的问题.2对直线与圆相交截得的弦长问题的三点说明(1)当直线与圆相交时，要特别注意半径、弦心距、弦长一半构成的直角三角形. ⑵掌握弦长公式:|AB|= |x r x2|.(3)要会利用数形结合的方法解决弦的最长、最短问题.类型一:直线与圆位置关系的判断【典例1】当m为何值时，直线y=mx-1与圆xJ产4x=0相交、相切、相离？【解题指南】可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离;通过与半径比较判断.【解析】方法一(几何法):将圆的方程化为(x・2)2+y2二4.得圆心C(2,0),半径「二2,圆心C到直线y二的距离d =当d v 2,即时,直线与圆相竣1 _ II当d=2,gpm=-时，直线与圆相切；Jl + 亦(2m-I)2 当d>2,即m不瞞諾晋圆方法二(代数法):将直线y二1代入圆的方程并化简得(1+m2)x2-2(m+2)x+1=0.△二4(4m + 3).所以当△>(),即时,直线与圆相交;当△二0,即m 一时,直线与圆相切;当△<(),即时,直线与圆相离.343434【规律总结】直线与圆的位置关系判断的两种基本方法⑴几何法：①把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径；②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，并将此距离与圆的半径作比较;③作判断:当d>r时,直线与圆相离;当山「时，直线与圆相切;当山「时，直线与圆相交.⑵代数法：①把直线方程与圆的方程联立成方程组；②利用消元法，得到一元二次方程；③求出其△的值，比较△与0的大小，得出结论.【巩固训练】对任意的实数k,直线y=kx+1与圆xJy—2的位置关系一定是()A.相离B•相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【解析】选C.对任意的实数k,直线戶kx+1恒过点(0,1),且斜率存在.因为(0,1)在圆xJy—2内，所以对任意的实数k,直线y=kx+1与圆xSy—2的位置关系一定是相交但直线不过圆心，故选C.【补偿训练】当m为何值时，直线y=x+m与圆x2+y2=1, ⑴相交.（2）相切.（3）相离. 【解题指南】可先将直线y二x+m代入圆的方程，整理为关于x的一元二次方程,然后利用判别式与0的大小关系分别求m的范围.另外本题也可采用几何法求解.【解析】方法一：将y二x+m代入圆的方程整理得2x2+2mx+m2-l=0z因为△二4m2・8(m2-l)二・4m2+8,所以⑴当△>()很卩・<m<时,直线与圆相交⑵当△二0,即m=±时直线与圆相切.或mv-时，直线与圆相离.72 V2方法二:因为圆心（0,0倒直线y二x+m的距离为圆相交.⑵理r;即V2 二h亦即m二土ml 时,直线与圆黔.⑶当d>r;即>l,m>或时,直线与圆相离.d二，半径「二:L所以⑴当dvr;即<1,亦即・<m<时,直线与类型二:圆的切线问题【典例2】求与直线y=x+2平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方程.【解题指南】可根据切线与直线y二X+2平行，先设出切线方程，然后根据圆心到切线的距离等于半径，求出切线的截距，进而求出方程.【解析】设直线的方程为y=x+m z即x-y+m二0. (x・2)2+(y-3)2二8的圆心坐标为(2,3),半径为由得m二5或m=-3z所以直线的方程为y二x+5或y二x・3.2-3 + m=2血【延伸探究】1・（变换条件）若将本例中条件“与直线y=x+2平行”换为“与直线y=x+2垂直”，其他条件不变，结论又如何呢？【解析】设所求切线的方程为y=-x+m z即x+y-m二0,由得m二1或m二9,故切线方程为y二・x+1或y二-x+9.2 + 3-mTio Vio2(变换条件)若将本例中条件“与直线y=x+2平行”换为“过点P(5,1f其他条件不变, 结论又如何呢？【解析】设所求切线方程为y-l=k(x-5)即kx-y-5k+l二0.由得k二・6±2 .故所求切线方程为(-6+2 )x-y+31-10 =0或(・6-2 )x-y+31+10 =0.710Tio710【规律总结】圆的切线方程的两种求解方法⑴几何法:设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量的值,此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意则直接写出切线方程.⑵代数法:设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用△二0求未知量的值•若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程.提醒:过一点求圆的切线方程，一定要判断该点是在圆上还是在圆外，在圆上只有一条切线方程，Tio Vio在圆外有两条切线方程.【拓展延伸】过圆上一点P(x0,y0)的切线方程⑴当点(Xo，yo)在圆x2+y2=r2±時,切线方程为x0x+y0y=r2.(2)若点(Xo，y°)在圆(x・a)2+(y・b)J2上，则切线方程为(x0-a)(x-a) +(y()・b)(y・b)=r2.【补偿训练】过点A(4,・3),作UC:(x-3)2+(y-1)2=1的切线，求此切线的方程. 【解析】因为(4-3)2+(-3-l)2=17>l z所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k z 则切线方程为y+3 = k(x-4).因为圆心C(3,l)到切线的距离等于半径,半径为i,所以J3k-1-Wfl= 所以k丿我k伍直洱工解得k二-. 所以切线方藻硼3一(x-4).即15x+8y-36=0. 孑158(2)若直线斜率不存在，圆心C(3⑴到直线x=4的距离也为k这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4. 综上，所求切线方程是15x+8y-36=0或x二4.类型三:弦长问题【典例3】(2015-全国卷I)已知过点A(0⑴且斜率为k的直线I与圆C： (x-2)2+(y- 3)亠1交于M, N两点.(1) 求k的取值范围.(2) 若其中O为坐标原点，求|MN|.OM・ON = 12,【解题指南】⑴利用圆心到直线y二kx+1的距离小于1求出k的取值范围. (2)将直线y=kx+l与圆(x - 2尸+仪-3尸二1联立，利用根与系数关系及向量数量积求解.【解析】⑴由题设，可知直线/的方程为y=kx+1 因为/与C交于两点，所以解得所以碱彘甯辺1・71 + k74-77 [ 4+77-------- <k< ---------- •3 3”一丽4 + 0、(2)设 M(x“y»N(X2，yd 将y 二 kx+1 祀入方程(x-2)2+(y-3)2 二 1, 整理得(1+k2)x2・4(l+k)x+7 二 0, 所以=x T x 2+y T y 2=(l+k 2)x 1x 2+k(x T +x 2) + l= 由题设可得 二12,解得 所以/的方程为y 二x+1.故圆心C 在止，所以|MN|二2.OMON4k(l + k)1 + k 2X, +x 2 4（l + k ） 二甘科2 7= Uk ?，4k(l + k) 1 + k2+ 8.【规律总结】求圆的弦长的两种方法(1)几何法:直线被圆截得的半弦长，弦心距cl和圆的半径「构成直角三角形，即所以弦长上(2)代数法:解方程组-消元后可得关于Xi+*"X2,或丫1+丫2$』2的关像式. 则宀才+吐2VrW.cax + by + c = 0,(x-x0)2+(y-y0)2=r2,【巩固训练】已知AABC的顶点坐标A(0,1),B(- ,0),C( ,0),圆M为°ABC 的外接圆.(1)求圆M的标准方程.⑵直线/过点(1,3)且与圆M相交于PQ弦PQ长为2【解析】⑴设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O, 因为圆M 过点A(O Z1),B(-Z O)/C(/O)/所以圆M 的方程为x2+y2+2y-3 二0 即x2+(y+l)2=4.[1 + E + F = O9[D = 0,所以3-3D + F = 0,解得E = 2,3 + 3D + F =0,(2)若直线/与x 轴垂直，则/:x=1・所以I PQ|=2,符合题意.韦x 轴不垂直，设/:y= 9得,y 2+ 2y-3 = 0=3)+3 即 kx ・y ・k+3=0,=-1±点6 OOW S S 7丽(叮)|/拓展类烈:与弦长有关的最值问题【典例】(1)已知圆C:(x-1 )J(y・2)2=25,直线Z:(2m+1 )x+(m+1 )y-7m-4=0(meR).①证明不论m取什么实数，直线Z与圆恒交于两点.②求直线被圆C截得的弦长最短时/的方程.⑵已知直线Z:kx-y-3k=0;UM:x2+y2-8x-2y+9=0.①求证:直线/与圆M必相交；②当圆M截/所得弦最长时，求k的值.③当圆M截/所得弦最短时，求k的值.【解题指南】⑴①求出直线所过的定点撚后判断②分析弦长最短时直线/的位置,然后求解⑵在①问中直接利用几何法判定，也可利用直线恒过定点来解决;在②③问中，关键是分析出何时弦最长与最短.⑵①方法一將圆M的方程化为(x-4)2+(y・1)2二8.所以圆M的圆心M(4,l),半径⑴二2 .又直线/的方程可化为k(x・3)-y二0,即无论k为何值，直线恒过点P(3,0).所以|PM|= ＜血即点P在圆M的内部, 所以直线/必与圆M相交.方法二将圆M的方程化为(x-4)2+(y-l)2=8z圆心M点到直线/的距离为所以山血直线/与圆必相交k2+l。

【成才之路】2015-2016学年高中数学圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．1条B．3条C．4条D．以上均错[答案] B[分析] 先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数．[解析] ∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B．规律总结：如何判断两圆公切线的条数首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：(1)两圆相离，有四条公切线；(2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；(3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；(4)两圆内切，有一条公切线；(5)两圆内含，没有公切线．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案] B[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x －5)2＋(y＋1)2＝25.3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[答案] B[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )A．5 B．4C．3 D．2 2[答案] C[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是( )A．－1 B．2C．3 D．0[答案] C[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1.∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案] D[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空题7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是_________.[答案] 外切[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．[解析] 方法1：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ)．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 10．(2015·某某天一中学模拟)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆C 过点(－5,0)， 故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2.当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＞d ，即r ＞52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个． 综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．能力提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[答案] D[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝0[答案] A[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16|，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}，且A ∩B ＝B ，则a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ．a ≤5[答案] D[解析] A ∩B ＝B 等价于B ⊆A ．当a >1时，集合A 和B 分别代表圆x 2＋y 2＝16和圆x2＋(y －2)2＝a －1上及内部的点，容易得出当B 对应的圆的半径长小于等于2时符合题意．由0<a －1≤4，得1<a ≤5；当a ＝1时，集合B 中只有一个元素(0,2)，满足B ⊆A ；当a <1时，集合B 为空集，也满足B ⊆A ．综上可知，当a ≤5时符合题意．4．(2015·某某某某模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，322B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的圆心C (a ，a )，半径r ＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O ，半径R ＝1，则这两个圆相交，圆心距d ＝a 2＋a 2＝2|a |，则|r －R |<d <r ＋R ，则1<2|a |<3，所以22<|a |<322， 所以－322<a <－22或22<a <322.二、填空题5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝_________. [答案] 1[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 6．(2015·某某某某月考)已知两点M (1,0)，N (－3,0)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的直线的条数是_________.[答案] 3[解析] ∵已知M (1,0)，N (－3,0)，∴|MN |＝4，分别以M ，N 为圆心，1,3为半径作两个圆，则两圆外切，故有三条公切线．即符合条件的直线有3条．三、解答题7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2， 即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① ∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，② ∴②－①，得两圆的公共弦方程为 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③ ∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5(t ＋35)2＋215≥215.∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解． 如图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点． ∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ， ∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值． ∵A 是定点，B 是l 上的动点， ∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小． 于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B (－35，－65)，r min ＝215. ∴圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．[解析] (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k －3－4|1＋k2， 因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0， 即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。