人教版九年级数学上册习题课件：期末难点(二) 二次函数与几何图形 (共10张PPT)

相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;

2.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下
平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则
b,c的值为( Ｂ )
A.b=2,c=-6
B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8
D.b=-6,c=2
【知识延伸】
1.把抛物线y=(x-1)2-4绕着它的顶点旋转1800 ，得到：
植物每天高度 增长量y(mm)
… -4 … 41
-2 0 2 49 49 41
4 4.5 … 25 19.75 …
由这些数据,科学家估计出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函 数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外 两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
若 y1 ＞ y2 ＞ yo ,则x0的取值范围是（ B ）
A．x0 ＞-5 ; C．-5＜ x0 ＜-1;
B． x0 ＞-1 ; D．-2 ＜x0 ＜3
[回顾一般式与顶点式关系]
y＝ax2＋bx＋c -—→y＝a(x＋ b )2＋ 4ac b2
2a
4a
主题2 二次函数的平移
【主题训练2】将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个
【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为
y=ax2+bx+c,
4a 2b c 49, a 1,
根据题意,得 4a 2b c 41, 解得 b 2,
c 49,
c 49，
∴y关于x的函数解析式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图 象上,所以y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在 同一直线上,所以y不是x的一次函数.

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思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：c226b c 0 ，
解得：bc
4 6
解：（3）存在，点P的坐标为 (0, 2) 。 3
AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
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思维导图 例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。
人教版九年级上册 数学 课件 第二十二章 二次函数 复习课件(共20张PPT)
思维导图 例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。

o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。

(4)当图像与x轴 有两个交点时, b2-4ac>0；当图像与x轴只有一个 交点时, b2-4ac=0； 当图像与x轴没有交点时, b2-4ac<0. (5)图像过点(1, a+b+c)和点(-1, a-b+c), 再根据图像上的点的位置可 确定式子a+b+c和a-b+c的符号.
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-1所示, 那么下
二次函数 的图像和
性质
开口方向
a>0, 图像开口向上 a<0, 图像开口向下
对称轴
a, b同号, 对称轴在y轴左侧 a, b异号, 对称轴在y轴右侧
烦烦烦鬼鬼鬼鬼 鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼 鬼鬼鬼g鬼鬼
二次函数 的图像和
性质
a>0 增减性
a<0
最值
二次函数 的解析式
y=ax²+bx+c(a≠0)(一般式) y=a(x-h)²&#(a≠0)(交点式)
【要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程, 实 际 就是确定变换后所得图像的二次函数解析式, 研究变换后的图 像和性质 的过程, 关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的 顶点), 从而得出 函数解析式, 最后利用二次函数的性质解答.
例4 如图22-Z-3, 在平面直角坐标系 xOy中, 将抛物线y=2x2沿y轴 向上平移1个单 位长度, 再沿x轴向右平移2个单位长度, 平移 后所 得抛物线的顶点记作A, 直线x=3与平移 后的抛物线相交于点B, 与 直线OA相交于点C. (1)求平移后的抛物线的函数解析式； (2)求点C的坐标及△ABC的面积．
例2 已知二次函数的图像以A(-1, 4)为顶点, 且过点B(2, -5). (1)求该函数的解析式； (2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标.

(2)∵长方体的底面长不大于宽的五倍， ∴10－2x≤5(6－2x)，解得 0＜ x≤2.5. 设总费用为 w 元，由题意可知 w＝0.5×2x(10－2x)＋0.5×2x(6－ 2x)＋2(10－2x)(6－2x)＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋ 120＝4(x－6)2－24, ∵对称轴为 x＝6，开口向上， ∴当 0＜x≤2.5 时，w 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝2.5 时，wmin＝25 元. ∴当裁掉边长为 2.5dm 的正方形时，总费用最低，最低为 25 元．
【分析】 观察函数图象，发现： 开口向下⇒a＜0；与 y 轴交点在 y 轴正 半轴⇒c＞0；对称轴在 y 轴右侧⇒－2ba＞0；顶点在 x 轴上方⇒4ac4－a b2 ＞ 0.设点 A(xA，yA)，点 B(xB，yB)．∵a＜0，c＞0，－2ba＞0, ∴b＞0, ∴abc ＜0，①成立；∵4ac4－a b2＞0, ∴b2－4a4ac＜0，②不成立； ∵OA＝OC, ∴ xA＝－c, 将点 A(－c,0)代入 y＝ax2＋bx＋c 中， 得：ac2－bc＋c＝0，即 ac －b＋1＝0，③成立；∵OA＝－xA，OB＝xB，xA·xB＝ac， ∴OA·OB＝－ac， ④成立．
数学 九年级 上册•R
期末总复习
二 二次函数的图象与性质及其应用
【重难点剖析】 命题高频点 1. 二次函数的图象与性质 【例 1】(天水中考)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4a4ac ＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ac.其中正确结论的序号是 ①③④ .
解：(1)设 y＝kx＋b，根据题意得：6505kk＋＋bb＝＝6605 ，解得：k＝－1，b＝120. 所求一次函数的表达式为 y＝－x＋120；

y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向 左平移 1 个单位，再向 上 平移 2个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。
引申：y=2(x+3)2-4
y =2(x+1)2+2
练习： 平移在配方化为顶点式的基础上变化
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.
y
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
5.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
应的一元二次方程ax²＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点 (3)没有交点
b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c

前几节课我们学习了哪几种类型的二次函数？
y ax2、
y ax2 k、 y a(x h)2
研究了它们的图象和性质
说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点
抛物线 y 1 x2
2 y 1 x2 1
2 y 1 (x 2)2
2
开口方向 对称轴 顶点
向下 y轴 0, 0
向下 y轴 0, 1
A．y x 2 2 B．y x 2 2 6
C．y x2 6 D．y x2
5、已知点A 2, y1 、B 3, y2 在抛物线y x 12 1上，
则 y1
y2 (填“ ”、“ ”、“ ”)
若点A 3, y1 、B 2, y2 在抛物线y x 12 1上，
1抛物线y a(x h)2 k与y ax2
形状 相同， 位置 不同，
2抛物线y ax2经过 向上（或向下），
向左（或向右），平移，可以得到
抛物线y a(x h)2 k. 平移的方向、距离由h、k决定
1.抛物线y 5( x 2)2 6的开口方向、对称轴、 顶点，下列选项正确的是（ ）
向下直线x 2 2, 0
y 1 (x 2)2 1 向下直线x 2 2, 1 2
不画图象，类比说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点
抛物线
开口方向 对称轴
顶点
y 1 (x 2)2 2
1
向下直线x 2
2, 1
y
1 ( x 2)2 2
1
向上直线x 2 2,1
2
抛物线
开口方向 对称轴 顶点
平移方法1:
y 1 x2 向下平移 y 1 x2 1 向右平移y 1 (x 2)2 1
2 1个单位
2
2个单位 2

现在你知道怎样确定二次函数y=3x2-6x+5 =3(x-1)2+2的基本图象了吗？
想一想：
那么二次函数y= 3(x+1)2与y= 3x2的 图象又有怎样的联系呢？可以通过 平移而得到吗？
12 y
11
10
y=3x2
9
8
7
6
5
y=3(x+1)2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
一般地，平移二次函数y= ax2的图象便可以得到 二次函数y= a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数 y= a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、 对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。填写下表：
y= a(x-h)2+k
a >0 a <0
开口方 向
向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
-2 -1 0 1
12 3 0 3 27 12 3 0
234
12 27 48 3 12 27
12 y 11 10 y=3x2
9 8 7 6 5
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y=3(x-1)2 34x
y=3x y= 2先向右平移1个单位长度 3(x-1)2
再向上平移2个单位长度 y= 3(x-1)2+2
练一练
指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标 。
（1） y=2(x-3)2- 0.5
（2） y=-0.2(x+1)2- 5
你从今天的学习中收获了什么？ 你会作二次函数的图象吗？
议一议
（1）二次函数y= -3(x-2)2+4的图象与二次函数y= -3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称

请同学们完成这 个问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗 框。窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透 光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。 由题意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2 配方，得:
y=- 3 (x-1)2+ 3
∴抛物线的顶点坐标是（5，50） ∵抛物线的开口方向向下 ∴当x=5，y最大值=50
答：与墙垂直的一边长为5m时，花圃的面积最大， 最大面积为50m2。
探究问题2
2.某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售， 一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销 售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商 品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这 种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
看课本的第2页
你会解吗？
1.要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个 矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？
解：设矩形的靠墙的一边AB的长为x米，矩形的 面积为y米。由题意得：
y=x(20-2x) (0<x<10)
即：y=-2x2+20x
将这个函数关系式配方，得： y=-2(x-5)2+50
第22页第3题
2a 4a
x= - b
2a
在对称轴的左侧，
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x= - b
2a
y最小值=

位长度所得抛物线的解析式为 ( C )
A．y＝－2(x＋1)2
B．y＝－2(x＋1)2＋2
C．y＝－2(x－1)2＋2
D．y＝－2(x－1)2＋1
【点悟】 二次函数图象的平移，实质上是顶点位置的变化，只要确定平移
前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．
【变式跟进】
3．[2017·绍兴期末]将抛物线 y＝x2＋4x＋5 先向右平移 1 个单位，再关于 y
(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？
解：(1)由题意知，若观光车能全部租出， 则 0≤x≤100， 由 50x－1 100>0，解得 x>22. ∵x 是 5 的倍数， ∴每辆车的日租金至少为 25 元．
(2)设每天的净收入为 y 元，
当 0≤x≤100 时，y＝50x－1 100.
2．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与 x 轴的交点坐标． (1)y＝4x2＋24x＋35； (2)y＝－3x2＋6x＋2； (3)y＝x2－x＋3； (4)y＝2x2＋12x＋18.
解：(1)∵y＝4x2＋24x＋35＝4(x＋3)2－1， ∴对称轴是直线 x＝－3，顶点坐标是(－3，－1)． 解方程 4x2＋24x＋35＝0， 得 x1＝－52，x2＝－72， 故它与 x 轴的交点坐标是－52，0，－72，0.
【变式跟进】
1．[2017·泰安]已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 3 …
y … －3 1 3 1 …
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 x＝1；③当 x＜1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；④方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根大于 4.其中