1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容；
常常涉及到函数与方程的知识，有时需要结合函数图象求解； 2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；
3．导数与三角函数的结合；
4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．
题型一：导数与函数综合
方程的根的问题
【例1】 若方程0233
=+-ax x 有三个不同实根，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．0>a
B ．1>a
C ．31<<a
D ．10<<a
【例2】 已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值
1(0)m m -≠．设()()g x f x x
=
．
⑴若曲线()y f x =上的点P 到点()02Q ，
m 的值； ⑵若函数()y f x kx =-有且仅有一个零点，求k 的值，并求出相应的零点． ⑶()k k ∈R 如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．
【例3】 已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+为奇函数，
⑴求()f x 的解析式； ⑵求()f x 的单调区间． ⑶若()f x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．
【例4】 设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．
⑴求b 、c 的值．⑵求()g x 的单调区间与极值． ⑶若()g x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．
知识内容
典例分析
板块四.导数与其它知识综合
【例5】 设函数329
()62
f x x x x a =-+-．
⑴对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
⑵若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
【例6】 已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(20)-，
，如图所示． ⑴ 求()f x 的解析式；
⑵ 若函数()y f x k =-在区间[32]-，
上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．
【例7】 已知二次函数()f x 满足：①在1x =时有极值；②图象过点(03)，
，且在该点处的切线与直线20x y +=平行．
⑴ 求()f x 的解析式；
⑵ 求函数2()()g x f x =的单调递增区间．
⑶求()g x
在[1-上的最大值与最小值．
⑷关于x 的方程()g x m =最多有几个解?并求出此时m 的取值范围．
【例8】 设函数()()ln f x x x m =-+，其中常数m 为整数．
⑴当m 为何值时，()0f x ≥；
⑵定理：若函数()g x 在[]a b ，上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点()0x a b ∈，，使
()00g x =．（注：此定理在新课标的必修一中已经给出了）
试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2e e m m m m -⎡⎤--⎣⎦，内有两个实根．
【例9】 已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(05)，
，且()f x 在区间[]14-，上的最大值是12．
⑴求()f x 的解析式；
⑵是否存在自然数m ，使得方程37
()0f x x
+
=在区间(1)m m +，
内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．
【例10】 设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+，
⑴求()f x 的单调区间与极值；
⑵当a 在什么范围内取值时，方程()0f x =仅有一个根．
【例11】 已知函数()f x 321
3
x ax b =-+在2x =-处有极值．
⑴ 求函数()f x 的单调区间；
⑵ 若函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围．
【例12】 已知函数()()32f x x ax b a b =-++∈R ，．
⑴若1a =，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由？ ⑵若函数()f x 在()02，上是增函数，求a 的取值范围．
⑶设123x x x ，，为方程()0f x =的三个根，且()110x ∈-，，()201x ∈，，()()311x ∈-∞-+∞，，，
求证：1a >．
图象的交点问题
【例13】 已知直线y kx =与曲线ln y x =有交点，则k 的最大值为（ ）
A ．1e -
B ．e
C ．2e
D ．0
【例14】 直线e y x b =+（e 为自然对数的底数）与两个函数()e x f x =，()ln g x x =的图象至多有一个公
共点，则实数b 的取值范围是__________．
【例15】 已知函数3()31,0f x x ax a =--≠
⑴ 求()f x 的单调区间；
⑵ 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．
【例16】 已知函数()()()3315f x x ax g x f x ax '=+-=--，，其中()f x '是()f x 的导函数．
⑴对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；
⑵设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．
【例17】 已知函数32()f x x x ax b =+++．
⑴ 当1a =-时，求函数()f x 的单调区间； ⑵ 若函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，求实数b 的取值范围．
【例18】 已知函数()321
3
f x x ax bx =++，且()10f '-=．
⑴ 试用含a 的代数式表示b ； ⑵ 求()f x 的单调区间；
⑶ 令1a =-，设函数()f x 在()1212x x x x <，处取得极值，记点()()11M x f x ，，()()22N x f x ，， 证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M N ，的公共点．
【例19】 32()3(1)3(2)1f x mx m x m x =-++++，其中m ∈R ．
⑴若0m <，求()f x 的单调区间；
⑵在⑴的条件下，当[]11x ∈-，时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围；
⑶设32()(32)34ln 1g x mx m x mx x m =-+++++，问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
【例20】 已知函数2()8()6ln f x x x g x x m =-+=+，．
⑴求()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()h t ；
⑵是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．
【例21】 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点．
⑴ 求a ；
⑵ 求函数()f x 的单调区间；
⑶ 若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围．
【例22】 已知函数432()41f x x x ax =-+-在区间[01]，
上单调递增，在区间[12]，上单调递减； ⑴求a 的值； ⑵是否存在实数b ，使得函数2()1g x bx =-的图象与函数()f x 的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b 的值；若不存在，试说明理由．
其它
【例23】 已知()lg f x x =，函数()f x 定义域中任意的1212,()x x x x ≠，有如下结论：
①0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<；②0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-；
③
1212
()()
0f x f x x x ->-；④
1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
． 上述结论中正确结论的序号是 ．
【例24】 已知二次函数()y g x =的图象经过原点(00)O ，、点1(0)P m ，
和点2(11)P m m ++，（0m ≠，且1m ≠-）． ⑴求函数()y g x =的解析式； ⑵设()()()f x x n g x =-（0m n >>），若()()0f a f b ''==，b a <，求证：b n a m <<<．
⑶在例题⑵
的条件下，若m n +=()y f x =相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．
【例25】 设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，
()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”．已知432113
()1262
f x x mx x =--．
⑴若()f x 为区间(1,3)-上的“凸函数”，试确定实数m 的值；
⑵若当实数m 满足||2m ≤时，函数()f x 在(,)a b 上总为“凸函数”，求b a -的最大值．
【例26】 已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：
1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈，2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．
其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上
的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a --≤对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．
⑴若()cos f x x =，[0,π]x ∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；
⑵已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由； ⑶已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．
【例27】 设()f x 是定义在区间()1+∞，上的函数，其导函数为()f x '．如果存在实数a 和函数()h x ，
其中()h x 对任意的()1x ∈+∞，都有()0h x >，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．
⑴设函数2
()ln (1)1
b f x x x x +=+
>+，其中b 为实数， （ⅰ）求证：函数()f x 具有性质()P b ； （ⅱ）求函数()f x 的单调区间．
⑵已知函数()g x 具有性质()2P ．给定1x ，()21x ∈+∞，，12x x <，设m 为实数，
()121mx m x α=+-，()121m x mx β=-+，且1α>，1β>，若()()()()12g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．
【例28】 已知函数2()f x x =，()1g x x =-，
⑴已知函数()log 2m x x x ψ=-，如果()()()1
2
h x f x x ψ=+是增函数，且()h x 的导函数()h x '存在正零点，求m 的值；
⑵设()()()21F x f x tg x t t =-+--，且()F x 在[]01，
上单调递增，求实数t 的取值范围． ⑶试求实数p 的个数，使得对于每个p ，关于x 的方程()()21xf x pg x p =++都有满足2009x <的偶数根．
【例29】 定义在区间D 上的函数()f x ，如果满足：对x D ∀∈，∃常数A ，都有()f x A ≥成立，则称
函数．．()f x 在区间．．．D 上有下界．．．．，其中A 称为函数的下界．．．．．
． ⑴试判断函数()348
f x x x
=+
在()0+∞，上是否有下界？并说明理由； ⑵又具有下图特征的函数称为在区间D 上有上界．
请你类比函数有下界的定义，给出函数()f x 在区间D 上有上界的定义，并判断⑴中的函数在()0-∞，上是否有上界？并说明理由；
⑶若函数()f x 在区间D 上既有上界又有下界，则称函数()f x 在区间D 上有界，函数()f x 叫
做有界函数．试探究函数()3b
f x ax x
=+（00a b a b >>，
，，是常数）是否是[]m n ，（0m >，0n >，m 、n 是常数）上的有界函数？。
