高二数学寒假作业第7天空间向量(一)理

高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。

在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。

本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。

一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。

通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。

表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。

假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。

二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。

所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。

设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。

4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。

设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。

三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。

平行向量的数量积为零。

2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。

垂直向量的叉积也为零。

3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。

高二数学空间向量及其运算嗨，大家好！今天咱们来聊聊高二数学里的一个神奇领域——空间向量。

别急，虽然这听起来有点儿高深，但咱们一步一步来，保证让你轻松搞懂。

相信我，空间向量就像是一位神秘的导游，带你领略数学的奇妙世界。

行啦，咱们不废话了，直接进入正题！1. 什么是空间向量？1.1 空间向量的基本概念首先，咱们得搞清楚，什么是空间向量。

简单来说，空间向量就是一种用来描述空间中位置关系的工具。

就好像你用箭头标记地图上的位置，空间向量就是数学中用来标记空间位置的“箭头”。

它有方向和长度，还能在空间中“移动”，不受限制。

1.2 空间向量的表示方法说到这里，大家可能会问：“那空间向量是怎么表示的呢？”其实很简单，咱们通常用一个字母加上箭头的方式，比如说 (vec{A}) 或者 (vec{B})。

如果你还记得初中学过的平面向量，那么空间向量也是类似的，只不过它多了一个“Z轴”，变成了三维空间的“箭头”。

2. 空间向量的基本运算2.1 向量的加法和减法现在我们来看看空间向量的基本运算——加法和减法。

其实，向量的加法就像是把两个箭头放在一起，然后画一个从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的新箭头。

减法就类似，咱们把第二个箭头翻转过来，然后加到第一个箭头上，得到的结果就是从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的箭头。

是不是很形象呢？2.2 向量的数量积接下来是向量的数量积，这个就有点儿高级了。

数量积，也叫点积，简单来说就是两个向量“互相投影”后得到的结果。

公式是 (vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| |vec{B}| cos theta)，其中 (theta) 是它们之间的夹角。

这个公式的意思就是，如果两个向量的夹角很小，它们的点积就会很大，夹角很大的话，点积就会很小。

3. 空间向量的应用3.1 向量在实际问题中的应用说了这么多，空间向量究竟有什么用呢？其实，空间向量在很多实际问题中都能派上用场。

高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。

下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。

一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。

A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。

答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。

答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。

答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。

答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。

教学内容空间向量及其运算教学目标.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.重点.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系难点.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系教学准备教学过程自主梳理1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得p＝x a＋y b，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O有，OP→＝________________或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOM→，其中x＋y＋z＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________________，把{e1，e2，e3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若b≠0，则a∥b⇔________⇔__________，________，______________，a⊥b⇔__________⇔________________________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝________________________________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝__________________________.若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB→|＝______________________________.教学效果分析教学过程3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l，l1，l2的方向向量分别为v，v1，v2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直直线与直线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线与平面①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝②l∥α⇔v＝x v1＋y v2其中v1，v2为平面α内不共线向量，x，y均为实数l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数)平面与平面α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→用a，b，c表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.4．下列4个命题：①若p＝x a＋y b，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝x a＋y b；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题是________(填序号)．5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).教学效果分析教学过程探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．教学效果分析教学过程探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.教学效果分析教学过程探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．教学效果分析教学过程(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD的形状是______________三角形．3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.5．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．6. (2010·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF→＝λ(AB→＋DC→)，则λ＝________.7．(2010·铜川一模)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是________．(填所有正确的序号) 8．(2010·丽水模拟) 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．二、解答题(共42分)9．(14分) 如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点教学效果分析E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.10．(14分)(2009·福建)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．11. (14分)如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．。

高二数学寒假完美假期作业：空间向量与立体几何
高二数学寒假完美假期作业：空间向量与立体几
何
数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。

小编准备了高二数学寒假完美假期作业，具体请看以下内容。

1.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，M为PC 上一点，且PA∥平面BDM.
(1)求证：M为PC中点;
(2)求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
2.如图，平面平面ABC，是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD BA， , ，求直线CD 和平面ODM所成角的正弦值.
3.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.
(1)证明：PE
(2)若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
4.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3.
(1)证明：AC
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的。

高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点．（1）证明：直线平面；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）3．（3）【解析】（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量平行；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（1）连结QM 因为点，，分别是线段，，的中点所以,所以平面, 平面因为,所以平面∥平面 ,平面所以∥平面（2）方法1：过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为二面角的平面角, 令即QM=AM=1所以此时，MH=，记二面角的平面角为则tan=，所以COS=即为所求．方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设则A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p（0,2,2）,Q（0,1,1）,=（0,-1,1）,记，则取又平面ANM的一个法向量，所以cos=即为所求．【考点】空间几何体的线面平行以及二面角．2.如图，正三棱柱中，是的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）想要解决这个问题，需要构造平行线，连结交于，连结，则又平面平面（Ⅱ）解决本题的关键是构造二面角的平面角，过作的垂线，过作的垂线，则就是二面角的平面角，然后根据条件计算出 .试题解析：（Ⅰ）连结交于，连结，则分别是，的中点，又平面平面（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，则，且面，过作的垂线，垂足为，则，连结，则就是二面角的平面角，且，即二面角的余弦值为【考点】线面平行的判定，二面角.3.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．【答案】（1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角．由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD；（2）所求的角α的正切值为；（3）异面直线EF与BD所成角β的余弦值为．【解析】（1）根据两个平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD；（2）连接AF，则即为α，在直角三角形EAF中，根据计算求得结果即可；（3））欲求异面直线EF与BD所成的角β的大小，只需平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成的锐角或直角，就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形，求出此角．试题解析：（1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角．由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．（2）连接AF，因为PA⊥平面ABCD，则AF是EF在平面ABCD上的射影，即=α．设PA=AD=a，FD=，则．在中，，所以所求的角的正切值为．（3）取BC的中点M，连接EM、FM，则FM∥BD，∴∠EFM（或其补角）就是异面直线EF 与BD所成的角．可求得，同理，，又，∴在△MFE中，，故异面直线EF与BD所成角β的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行、垂直的判定；直线与平面所成的角．4.如图，分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由。

作业范围:选修2-1第三章空间向量与立体几何姓名:_______ 学校:_______ 班级:_________时间: 100分钟分值:120分第Ⅰ卷一、选择题(本题共14小题，每小题4分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14答案1．已知向量()1,1,0a=，()1,0,2b=-，且ka b+与2a b-相互垂直，则k的值为（）A．B．15C．35D．75】2021-2022学年广西桂林市一中高二下期中数学试卷【答案】D考点：空间向量垂直的充要条件．【题型】选择题【难度】较易2．若()()2,3,,2,6,8a mb n==且,a b为共线向量，则m n+的值为（）A．7 B．52 C．6 D．】2021-2022学年广西桂林市一中高二下期中数学试卷【答案】C【解析】由,a b为共线向量得23268mn==，解得4,2m n==，则6m n+=．故选C．考点：空间向量平行的充要条件．【题型】选择题【难度】较易3．向量＝（2,4,x）,＝（2,y,2），若||＝6，且⊥，则x＋y的值为（）A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1】2021-2022学年新疆兵团农二师华山中学高二下学前考试理科数学试卷【答案】C考点：空间向量的坐标运算及垂直的性质.【题型】选择题【难度】较易4．已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则AC与AB的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°】2021-2022学年福建省晋江市季延中学高二上学期期末理科数学试卷【答案】C【解析】设AC与AB的夹角为θ，()1,1,0AC=-，()0,3,3AB=，cosθ∴312232AC ABAC AB⋅==⨯，60θ∴=︒.考点：向量夹角.【题型】选择题【难度】较易5．已知()1,2,1A-，()5,6,7B，则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．()0,1,1B．()0,1,3-C．()1,0,3-D．()1,0,5--】2021-2022学年福建省三明市A片高二上学期期末理科数学试卷【答案】D【解析】直线AB与平面xOz交点的坐标是()0,M x z，，则()1,2,1A zM x-=-+，又AB=（4，4，8），AM与AB 共线，∴AM AB λ=，即14,24,18,x z λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩解得1x =-，5z =-，∴点()1,0,5M --.考点：空间中的点的坐标. 【题型】选择题 【难度】较易6．若平面α的一个法向量为()()()1,2,2,1,0,2,0,1,4,,n A B A α=-∉B α∈，则点A 到平面α的距离为（）A ．1B ．2C ．13D ．23】【百强校】2022-2021学年黑吉两省八校高二上期中数学（理）试卷 【答案】C 【解析】由于()()1,0,2,0,1,4A B -，所以(1,1,2)AB =--，所以点A 到平面α的距离为22212413122AB n d n⋅--+===++，故选C ．考点：空间向量的应用． 【题型】选择题 【难度】较易7．在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，设,,OA a OB b OC c ===，则OD 可表示为（） A ．a c b +- B ．2a b c +- C ．b c a +- D ．2a c b +-】【百强校】2022-2021学年黑吉两省八校高二上期中数学（理）试卷 【答案】A考点：空间向量的线性运算． 【题型】选择题 【难度】较易8．点()2,3,4关于xOz 平面的对称点为（）A.()2,3,4-B.()2,3,4-C.()2,3,4-D.()2,3,4-- 】2021-2022学年陕西延川县中学高一下学期期中数学（理）试卷 【答案】C考点：空间中点的坐标. 【题型】选择题【难度】较易9．已知)1,2,2(=−→−AB ，)3,5,4(=−→−AC ，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是（）A.)6,2,1(-B.)1,1,2(-C.)2,2,1(-D.)1,2,4(-】2021-2022学年陕西延川县中学高二下学期期中数学（理）试卷 【答案】C【解析】设平面ABC 的法向量为()z y x n ,,= ，则,,n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩那么220,4530,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩那么2:)2(:1::-=z y x ，满足条件的只有C ，故选C. 考点：空间向量. 【题型】选择题 【难度】较易10．已知(2,1,3)a →=-，(1,4,2)b →=--，(7,5,)c λ→=，若c b a ,,三向量共面，则实数λ等于（） A ．627 B ．637 C ．647 D ．657】2021-2022学年安徽省淮南二中高二下学期期中理科数学试卷【答案】D考点：空间向量共面的性质及方程思想. 【题型】选择题 【难度】较易11．已知)2,0,4(A ，)2,6,2(-B ，点M 在轴上，且到B A ,的距离相等，则M 的坐标为（） A ．)0,0,6(- B ．)0,6,0(- C ．)6,0,0(- D ．)0,0,6( 】【百强校】2021-2022学年福建省厦门一中高一6月月考数学试卷 【答案】A【解析】由于点M 在轴上，所以可设(),0,0M x ，又MA MB=，所以()()()()()()2222224000220602x x -+-+-=-+-+-，解得6x =-，所以(6,0,0)M -.考点：空间两点间距离公式.【题型】选择题 【难度】一般12．在四周体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若AC z AD y AB x AG ++=，则x ＋y ＋z ＝（）A ．31B ．21C ． 1D ．2】2021-2022学年山西省孝义市高二上学期期末考试理科数学试卷 【答案】C【解析】()1122AG AB BG AB BE AB AE AB AB=+=+=+-=()1122AC AD AB ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦,整理得AD AC AB AG 414121++=,所以21=x ，41==z y ，所以1=++z y x ，故选C.考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】一般13．若平面α、β的法向量分别为1n ＝(2,3,5)，2n ＝(－3,1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均有可能】【百强校】2021-2022学年海南省文昌中学高二上期末理科数学试卷 【答案】C考点：两平面的位置关系，用向量推断两平面的位置关系． 【题型】选择题 【难度】一般14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）MC1CB1D1A1ABDA.1122a b c-++B.1122a b c++C.1122a b c--+D.1122a b c-+】2021-2022学年河南三门峡市陕州中学高二上其次次对抗赛理科数学卷 【答案】A【解析】依据向量加法的运算法则，可得111=2BM BB B McBD c 111222BA BC a b c .考点：空间向量的表示. 【题型】选择题 【难度】一般 第II 卷二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 15．已知向量()()(),12,1,4,5,1,,10,1OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则=k ________．】【百强校】2021-2022学年山西太原五中高二上学期期末理科数学试卷【答案】32-【解析】由于()()(),12,1,4,5,1,,10,1OA k OB OC k ===-，所以(4,7,0),(2,2,0)AB k AC k =--=--，又由于A 、B 、C 三点共线，所以存在实数λ使得AB AC λ=，所以42,72,k k λλ-=-⎧⎨-=-⎩解得7,22,3k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以=k 32-．考点：向量的坐标运算和向量共线定理． 【题型】填空题 【难度】较易16．设点B 是A (2，－3, 5)关于平面xOy 对称的点，则线段AB 的长为 . 】2022-2021学年广东省广州六中高一上学期期末考试数学试题 【答案】10考点：空间中点的坐标和两点之间的距离. 【题型】填空题【难度】较易17．在如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，||8DA =，||6DC =，1||3DD =，则11D B 的中点M 的坐标为__________，||DM =_______．】2021-2022学年福建省八县一中高一上学期期末考试数学试卷 【答案】(4,3,3)；34考点：中点坐标公式，空间中两点的距离公式. 【题型】填空题 【难度】较易18．已知空间单位向量1231223134,,,,,5⊥⊥⋅=e e e e e e e e e ，若空间向量123x y z =++m e e e 满足：14⋅=m e ，233,5⋅=⋅=m e m e ，则x y z ++=________，=m ________．】【百强校】2021-2022学年浙江省金华十校高二上学期调研数学试卷 【答案】34【解析】由于1223134,,5⊥⊥⋅=e e e e e e ，空间向量123x y z =++m e e e 满足：14⋅=m e ，233,5⋅=⋅=m e m e ，所以123112321233()4,()3,()5,x y z x y z x y z ++⋅=⎧⎪++⋅=⎨⎪++⋅=⎩e e e e e e e e e e e e 即44,53,45,5x z y x z ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩解得0,3,5,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以8x y z ++=，=m 34考点：向量的数量积的运算及向量的模的计算． 【题型】填空题【难度】一般19．若直线的方向向量()1,1,1a =，平面α的一个法向量()2,1,1n=-，则直线与平面α所成角的正弦值等于_________。

空间向量与立体几何（一）1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,2,1A 关于xOy 平面对称的点的坐标为（ ） A. ()1,2,2 B. ()2,2,1-- C. ()2,2,1- D. ()2,2,1--- 2．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的面积是 ( )A. 4B. 3C. 2D. 13．空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的点有 ( ) A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 无数个4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为 ( )A. (3,0,0)B. (0,3,0)C. (0,0,3)D. (0,0，－3)5．若已知点M (3,4,1)，点N (0,0,1)，则线段MN 的长为 ( ) A. 5 B. 0 C. 3 D. 16．在空间直角坐标系中，点（-2，1，4）关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A. （-2，1，-4） B. （-2，-1，-4） C. （2，1，-4） D. （2，-1，4）7．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2， ()2,2,0， ()1,2,1， ()2,2,2，则该四面体的体积为（ ）．A. 2B.43 C. D. 23 8．已知M (4,3，－1)，记M 到x 轴的距离为a ，M 到y 轴的距离为b ，M 到z 轴的距离为c ，则( )A. a >b >cB. c >b >aC. c >a >bD. b >c >a9．在空间直角坐标系O xyz -，给出以下结论：①点()1,3,4A -关于原点的对称点的坐标为()1,3,4---；②点()1,2,3P -关于xOz 平面对称的点的坐标是()1,2,3--；③已知点()3,1,5A -与点()4,3,1B ，则AB 的中点坐标是1,2,32⎛⎫⎪⎝⎭；④两点()1,1,2M -，()1,3,3N 间的距离为5.其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④10．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0， ()1,2,1， ()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）．A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②11．如图在一个60︒的二面角的棱上有两个点A B 、，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且1,2AB AC BD ===，则CD 的长为( )A. 2B.C. D. 112．在三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c === ，则1AB等于( )A. a b c +-B. a b c -+C. a b c -++D. a b c -+-13．已知点A (x,5－x,2x －1)、B (1，x ＋2,2－x )，求|AB |的最小值.14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为____.15．如图所示，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是____.16．已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．17．如图所示，V －ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E 、F 分别为BC 、CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标.18．已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|CA |＝|CB |＝1，∠BCA ＝90°，|AA 1|＝2，M ，N 分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．答案：空间向量与立体几何（一）1．C 【解析】关于xoy 平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点()2,2,1A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,2,1-，选C.点睛：本题主要以空间坐标系为载体，考查点关于面对称问题，属于易错题。

空间向量笔记一、向量的概念与表示1.向量：既有大小又有方向的量。

在数学中，我们用有向线段来表示向量。

2.向量的模：向量的大小或长度，记作|a|。

计算公式为：|a| = √(x^2 + y^2+ z^2)。

3.向量的坐标表示：在直角坐标系中，向量a = (x, y, z)表示a的三个分量。

4.向量的数量积：两个向量的点乘，记作a ·b。

计算公式为：a ·b = |a| ×|b| × cosθ，其中θ是两向量的夹角。

二、向量的基本定理1.三个向量i, j, k满足i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1)，它们相互独立，可以表示空间中的任意向量。

2.任意向量a可以表示为i、j、k的线性组合，即：a = xi + yj + zk。

三、向量的运算1.向量的加法：平行四边形法则。

2.向量的数乘：标量与向量的乘法，满足分配律。

3.向量的减法：减法可以转换为加法，a - b = a + (-b)。

4.向量的向量积：定义了两个向量a和b的向量积为一个新向量c，记作c =a × b。

向量积满足反交换律，即a ×b = -b × a。

5.向量的混合积：三个向量的混合积定义为(a, b, c)，计算公式为：(a, b, c) =a · (b × c)。

混合积满足反交换律和分配律。

四、向量的应用1.向量在速度和加速度的研究中的应用：通过研究速度和加速度的向量性质，可以深入理解物体运动的过程。

2.向量在力的合成与分解中的应用：在物理学中，力可以视为向量，通过向量的合成与分解可以研究力的作用效果。

3.向量在解决实际问题的应用：例如，在物理、工程、航天等领域，可以使用向量来解决很多实际问题。

空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。

下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。

一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。

2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。

3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。

4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。

若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。

6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。

二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。

设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。

2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。

3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。

高二数学空间向量公式总结一、定义1、空间向量：空间向量是一个课程名词，指在三维空间中的通用电流、力、速度、加速度等的一个平行的线段，由它的方向和大小构成，表示它指向的方向和大小。

2、空间向量的几何意义：空间向量的几何意义表明，一个空间向量可以由直角坐标的坐标轴的位移构成，它可以表示一个点从原点出发，在三维空间中的位移。

二、空间向量的算术运算1、空间向量的加法：空间向量的加法是指两个空间向量a、b相加，它的结果向量C=a+b，它的方向和大小是由向量a、b所决定的，其方向向量是a向量和b向量的加和，大小则是a向量与b向量的和。

2、减法:空间向量的减法即两个空间向量a、b相减，它的结果向量C=a-b,它的方向是由a向量和b向量之间的相对位置决定的，大小则是a向量减去b向量的和的差。

3、数乘:空间向量的数乘是指把一个空间向量a与一个实数k相乘，它的结果向量C=ka，其方向和大小是由a向量和实数k所决定的，其方向和a向量的方向一致，而大小则是实数k和a向量的大小的乘积。

三、空间向量的图象1、向量图：向量图是一种常见的表达空间向量的方式，它是用一个指示箭头或线段来表示空间向量，指示箭头由箭头头和箭头尾组成，箭头头表示空间向量的方向，而箭头尾则是空间向量的起点，箭头的大小则表示空间向量的大小。

2、向量图的平行、垂直：如果两个空间向量的方向相同，就称这两个向量为平行，而如果两个空间向量的方向完全垂直，就称这两个向量为垂直。

四、叉乘1、叉乘的定义：叉乘是指两个空间向量a、b相乘，它的结果向量C=a×b，它的方向与a、b两个向量的方向垂直，而大小则由a、b向量的大小和它们之间夹角的正弦值决定。

2、叉乘的运算法则：叉乘有三种基本的运算法则，即结合律、交换律和分配律，结合律表明 (a × b) × c = a × (b × c),交换律表明 a× b= b×a，而分配律是 (a + b) × c = a × c + b × c。

空间向量与立体几何（七）1．如图，四棱锥P ABCD -中， PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形， //AD BC ，AB BC ⊥， 3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（ ）A.B. C. D.2．过正方形ABCD 的顶点A ，作PA ⊥平面ABCD ，若PA BA =，则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是（ ）．A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒3．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =， 6AC =， 8BD =， CD =，则该二面角的大小为( )(A) 150 (B) 45 (C) 60 (D) 1204．如图，四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是矩形， PD ⊥平面A B C D ，且1,2P D A D A B ===，点E 是AB 上一点，当二面角P EC D --为4π时， AE =（ ）A. 2B.12C. 2D. 1 5．若P 是平面α外一点，A 为平面α内一点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离是A ．PA n ⋅B ．PA n PA⋅ CD6．在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C. D.7．如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为（ ）A. B. C. D.8．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AB 1⊥BC 1，则平面DBC 1与平面CBC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D ∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点到平面α的距离为：，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于( ) A ．B ．C ．D ．10．已知(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，v 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（ ）A ．平行B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角11．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111ABC A B C -中，2AB = ， 13AA =，点D 为棱BD 的中点，点E 为,A C 上的点，且满足1=mEC A E （m R ∈），当二面角E AD C --时，实数m 的值为（ ）A. 1B. 2C.12D. 3 12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 90ACB ∠=︒， 122AC AA BC ===.若二面角11B DC C --的大小为60︒，则AD 的长为（ ）A. B. C. 2 D.213．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a1在a上，向量b1在b上，a1＝(1，1，1)，b1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．14．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α内，三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧. 若顶点B,C到平面αABC与平面所成锐二面角的余弦值为________2，AC=BD=10，且OA，OB，OC两两垂直，15．如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=3给出下列5个结论：①三棱锥O—ABC的体积是定值；②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是13；③直线OB//平面ACD；④直线AD与OB所成角是600；⑤二面角A —OC —D 等于300．其中正确的结论是____________________．16．在平面直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB 则θ的大小为 ．17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形， //AB CD ， 060DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ， AE BD ⊥， CB CD CF ==.（1）求证： BD ⊥平面AED ； （2）求二面角F BD C --的余弦值.18．如图，在三棱锥A BOC -中， ,,AO OB OC 两两互相垂直，点,D E 分别为棱,BC AC 的中点， F 在棱AO 上，且满足14OF OA =，已知4OA OC ==， 2OB =.（1）求异面直线AD 与OC 所成角的余弦值；（2）求二面角C EF D --的正弦值.答案：空间向量与立体几何（七）1．B 【解析】以B为坐标原点,分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴, 建立空间直角坐标系，则()()()()() 0,0,0,0,3,00,0,3,3,3,0,0,2,1B A P D E，，∴()()0,2,1,3,3,0 BE BD==，设平面BED的一个法向量为(),,n x y z=，则20{330n BE y zn BD x y⋅=+=⋅=+=，取z=1,得11,,122n⎛⎫=-⎪⎝⎭，平面ABE的法向量为()1,0,0m =，∴12,cos n m==.∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.故选B.点睛：用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角.2．B 【解析】如图，以A 为坐标原点，以AD ， AB ， AP 分别为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB AD AP ===， ∴()0,0,0A ，()0,1,0AB =，()0,1,0B ， ()0,0,1AP =， ()0,0,1P ， ()0,1,0DC =，()1,1,0C ，()1,0,1DP -，()1,0,0D ，设平面CDP 的一个法向量为(),,n x y z ，{0y x z =-+=， ()1,0,1n ，∵平面ABP 的一个法向量为()1,0,0m ，cos 2m n ⋅==，∴所求锐二面角为45︒． 故选B ．3．C 【解析】由条件知0CA AB ⋅=， 0AB BD ⋅=， CD CA AB BD =++. ∴2222222CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅()2222648268cos ,217CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-， ,120CA BD =，∴二面角的大小为60；故选C.4．A 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,1,1,,0A B C D E t ，设平面PEC 的一个法向量为(),,n x y z =，由于()()1,,1,0,2,1PE t PC =-=-，所以20{ {1 202x tx ty z y y z z =-+'-=⇒=-==，即()2,1,2n t =-，又平面ABCD 的一个法向量是()10,0,1n =且1222n n ⋅=⇒=，解之得2t =A 。

专题10 空间向量及其运算【背一背】一、空间向量的有关概念：１.在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模（AB），向量也用有向线段表示（AB a ，）．２．零向量：长度为０的向量叫做零向量，记为0．３．单位向量：长度为１的向量称为单位向量．４.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．５．相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -． 二、空间向量的加减法与运算律空间向量 的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a b +；CA →＝OA →－OC →＝a b -. 加法运 算律(1)交换律：a ＋b ＝b a +(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝+)a b c +（； 向量的数乘运算及运算律(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作a λ，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同，λ<0时，λa 与向量a 方向相反，a 的长度是a 的长度的λ倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：(+)ab a b λλλ＝＋ ；结合律：()()a a λμλμ＝共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a 、b(b≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a b λ=(3)方向向量：如图l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+ ，其中向量a 叫做直线l 的方向向量．共面向量(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a 、b 不共线，那么向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y)，使p xa yb =+．对空间任意一点O ，点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)，使OP OA xAB y AC =++．六、空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法 ,a b 〈〉范围[0,]π,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律(3)数量积的性质两个向 量数量 积的 性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔0a b ⋅=. ②若a 与b 同向，则a·b ＝a b⋅；若反向，则a·b ＝a b-⋅.特别地：a·a ＝|a|2或|a|＝a·a.③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ba b⋅⋅④|a·b|≤|a|·|b|.七，空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的直角坐标运算律设a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，则 (1)a ＋b ＝112233()a b a b a b ＋，＋，＋； (2)a －b ＝112233()a b a b a b ---，，；(3)λa ＝123()a a a λλλ，，(λ∈R)；数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b ＝()a b λ⋅ 交换律 a·b ＝b a ⋅ 分配律 a ·(b ＋c)＝a b a c ⋅+⋅(4)a·b ＝112233a b a b a b ＋＋；(5)a ∥b ⇔112233()a b a b a b λλλλ∈R ＝，＝，＝； (6)a ⊥b ⇔1122330a b a b a b =＋＋.2．几个重要公式(1)若A(x1，y1，z 1)、B(x2，y2，z2)，则AB →＝212121()x x y y z z －，－，－_.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (2)模长公式：若a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a ＝222123a a a ++，|b|＝b·b ＝222123b b b ++.(3)夹角公式：cos 〈a ，b 〉＝112233222222123123a b a b a b a a a b b b ++++++ (a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3))．(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则AB＝2AB =_()()()222212121x x y y z z ++---.。

第7天 空间向量（1）【课标导航】1.理解空间向量的概念; 2.掌握空间向量的运算. 一、选择题1. 对于空间任一点O 和不共线的三点A B C 、、有OP =xOA yOB zOC ++,其中R z y x ,,.则1x y z ++=是四点P A B C 、、、共面的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 共线，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝233. 在棱长都相等的四面体A BCD -中, E F 、分别为棱ADBC 、的中点,连接A F C E 、,则直线AF CE 和所成角的余弦值为 ( )A.23B. 16 D. 134. 设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D.125. 已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3C.647D.6576. 已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 7. 从点(2,1,7)A -沿向量(8,9,12)a =-的方向取线段长||34AB =,则B 点的坐标是 ( ) A. (14,19,17)--B. (18,17,17)-C. 7(6,,1)2D.11(2,,13)2--8. ⊿ABC 的顶点分别是(1,1,2)A -,(5,6,2)B -,(1,3,1)C -,则AC 边上的高BD 等于 ( )A. C. 4 D. 5 二、填空题9. 在四面体O ABC -中,OA a =,OB b =,OC c =,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE = .(,,)a b c 用表示10. 已知在平行六面体1ABCD-A 111B C D 中,4,AB =3,AD =15AA =,090=∠BAD , 01160DA A B AA =∠=∠,则1AC = .11.已知(2,1,3)a =-,(1,4,2),b =--(7,5,)c l =,若,,a b c 共面,则l = 12．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =，则=z y x ::_______________三、解答题13. 已知长方体1111ABCD-A B C D ,点E F 、分别是上底面1111A B C D 和面11CC D D 的中心,求下列各题中,,x y z 的值. （Ⅰ）11AC xAB yBC zCC =++； （Ⅱ）1AE xAB yBC zCC =++； （Ⅲ）1AF xBA yBC zC C =++.14. 设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．15. 已知关于x 的方程22(2)350x t x t t --+++=有两个实根,(1,1,3)a =-， (1,0,2)b =-,c a tb =+. （Ⅰ）当||c 取最小值时,求t 的值;（Ⅱ）在（Ⅰ）的情况下,求b 和c 夹角的余弦值.16．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. （Ⅰ）求证：E 、F 、G 、H 四点共面；（Ⅱ）求证：BD ∥平面EFGH ；（Ⅲ）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有=41（+++）.【链接联赛】（2005一试2）空间四点A 、B 、C 、D 满足,11||,7||,3||===,9||=则⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个第7天 空间向量（1）1—8; C CA B, B A B D ; 9.111244a b c ++65712. 2:3:(4) 13.⑴1x y z ===；⑵11,2x y z ===；⑶11,1,22x y z =-== 14. 存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3. 15. ⑴当43t =-时，||c⑵1735-; 16.略 【链接联赛】A。

空间向量与立体几何一、选择题1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知与则35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC OB OA OM ++=B ．OC OB OA OM --=2C ．1123OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rD ．OC OB OA OM 313131++=4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +u u uv u u u v 等于（ ）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =u u u r a ，CB =u u u rb ，1CC =u u u u rc ， 则1A B =u u u r （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A u u u u r 、1D C u u u u r、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =u u u r u u u r,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ，则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．101013 若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A 2B 2-C 2-或552 D 2或552-14 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A 不等边锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等边三角形15 若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A ρ取最小值时，x 的值等于（ ）A 19B 78-C 78D 141916 空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是（ ）A21 B 22 C －21 D 0 二、填空题1 若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________2 若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________3 已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r b ρ则=x ______4 已知向量,3,5k r j i b k j i m a ρρρρρρρρ++=-+=若//a r b ρ则实数=m ______，=r _______5 若(3)a b +⊥r r )57(b a ρρ-，且(4)a b -⊥r r)57(b a ρρ-，则a ρ与b ρ的夹角为____________6 若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =ρ，则=z y x ::________________7 已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ρρρρρρ===,,，用a ρ，b ρ，c ρ表示N M ρ，则N M ρ=_______________8 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为9．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ．10．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m ，n 的夹角为 ．11．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ．三、解答题1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小2 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =， E 为PD 的中点求直线AC 与PB 所成角的余弦值；3、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．4、在正方体1111D C B A ABCD -中， 如图Ｅ、Ｆ分别是1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）cos 1,CB EF ．D C BA VzyxS B CDA5、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ．6、如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12． （1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦； （2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．。

空间向量知识点归纳总结知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：（2）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

学习资料专题02 空间向量与立体几何大题专项练习一、巩固基础知识1．如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证:AB MN ⊥，CD MN ⊥； （2)求MN 的长；（3）求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值。

【解析】（1）由题意可知三棱锥ABCD 为正四面体，过A 做底面BCD 的垂线,垂足为O ,连接BN ，则O 在BN 上， 过O 做直线CD PQ //，分别交BC 、BD 于P 、Q 两点，则OP 、ON 、OA 相互垂足，以O 为原点，OP 为x 轴,ON 为y 轴，OA 为z 轴,建系， 则)000(，，O ，)3600(a A ，，,)0330(，，a B -，)0632(，，a a C ，)0632(，，aa D -， )66630(a a M ，，-,)0630(，，aN ， 则)66330(a a MN -=，，，)36330(aa AB --=，，，)00(，，a CD -=， 033)36()66()33(330022=+-=-⨯-+-⨯+⨯=⋅a a a a a a AB MN ，00)66(033)(0=⨯-+⨯+-⨯=⋅aa a CD MN ，∴AB MN ⊥，CD MN ⊥； （2)2263)66()33(||2222aa a a a MN =+=-+=； (3）)36630(a a AN -=，，，)66332(a a a CM ，，--=， ||||cos CM AN CMAN CM AN ⋅>=<，32)66()33()2()36()63(66)36()33(63022222-=+-+-⨯-+⨯-+-⨯+=a a a a a aa a a , 从而异面直线AN 与CM 夹角的余弦值为32。

2．如图所示，在三棱锥BCD A -中，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且4==BD BC ，24=AC ，34=CD , 45=∠ACB ，E 、F 分别为AC 、DC 的中点。

（人教版2019）2020-2021学年高二数学寒假必做作业（1）空间向量及其运算1.如图所示，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E F ，分别在1A D AC ，上，且1121,33A E A D AF AC ==，则( )A ．EF 至多与1A D AC ，之一垂直B ．1EF A D ⊥，EF AC ⊥ C ．EF 与1BD 相交 D ．EF 与1BD 异面2.下列关于空间向量的命题中,真命题的个数是( )①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③若≠a b ,则≠a b ；④两个向量相等,则它们的起点与终点相同.A.0B.1C.2D.33.对于任意空间向量123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==,给出下列三个命题: ①312123//a a a a b b b b ⇔==；②若1231a a a ===，则a 为单位向量；③1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.34.已知(1,0,1),(2,1,1),(3,1,0)a b c ==--=,则2a b c -+=( )A.(9,3,0)--B.(0,2,1)-C.(9,3,0)D.(9,0,0)5.如图,在空间直角坐标系中,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,111114B E A B =,则1BE 等于( )A. 10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,0,14⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 10,,14⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 1,0,14⎛⎫- ⎪⎝⎭6.设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ,则AB 的中点M 到C 的距离为( )B.532 7.在空间直角坐标系中,已知点()()()1,2,11,4,2,3,6,1,4A B C --,则ABC 一定是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若,a b 满足a b >且,a b 同向，则a b >；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量,a b ，必有a b a b +≤+.其中正确命题的序号为___________.9.对于空间中的非零向量,,AB BC AC ,有下列各式:①AB BC AC +=;②AB AC BC -=;③||||||AB BC AC +=;④||||||AB AC BC -=.其中一定不成立的是__________________.(填序号)10.已知空间向量,,a b c ,化简1212(23)53(2)2323⎛⎫+-+-+--+= ⎪⎝⎭a b c a b c a b c ____________. 11.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若(2,4),(1,3)AB AC ==,则BD =_________.12. 如图,在空间四边形ABCD 中, G 为BCD ∆的重心, ,E F 分别为边CD 和AD 的中点,试化简11-32AG BE AC +,并在图中标出化简结果的向量.答案以及解析1.答案：B解析：以D 点为坐标原点,以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则()()()()()()1111211,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,,0,,,,0,1,1,0,0,0,1,3333A D A C E F B D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(1,0,1),(1,1,0)A A D C =--=-,1111,,),(1,1,1)333EF BD ⎛=-=-- ⎝, 111,03EF BD A D EF AC EF =-⋅=⋅=, 从而1//EF BD ,1,EF A D EF AC ⊥⊥.故选B.2.答案：B解析：因为零向量与它的相反向量相等,所以①不是真命题；根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量,所以②是真命题；当=-a b 时,也有=a b ,所以③不是真命题；只要模相等,方向相同,两个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,所以④不是真命题.综上可知,只有②是真命题,故选B.3.答案：B 解析：由312123a a ab b b ==可以推出//a b ，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B4.答案：C解析：(1,0,1)(2,1,1)(6,2,0)(3,1,0)+(6,2,0)(9,3,0)2a b c -+=---+==5.答案：C解析：B 点的坐标为(1,1,0),1E 点的坐标为31,,14⎛⎫⎪⎝⎭,则 13111,1,100,,144BE ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6.答案：C解析：由题意,知313015,,222M +++⎛⎫ ⎪⎝⎭,即32,,32M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,312,,3(0,1,0)2,,322CM ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2||2CM =.故选C. 7.答案：C解析：(3,4,8),(5,1,7),(2,3,1)AB AC BC =-=-=-,2||3AB ∴=2||5AC =2||2BC =222||||||,AC BC AB ABC ∴+=∴一定为直角三角形.8.答案：④解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误;对于②，向量是不能比较大小的，故错误;对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误;只有④正确，9.答案：②解析：根据空间向量的加减运算法则可知,对于①:AB BC AC +=恒成立;对于③:当,,AB BC AC 方向相同时,有||||||AB BC AC +=;对于④:当,AB AC 方向相同且BC 与,AB AC 方向相反时,有||||||AB AC BC -=.只有②一定不成立. 10.答案：597626+-a b c 解析：根据空间向量的数乘运算法则可知,原式131051059736322323626=+-+-+-+-=+-a b c a b c a b c a b c . 11.答案：(3,5)--解析：()2BD AD AB BC AB AC AB AB AC AB =-=-=--=-(1,3)2(2,4)(3,5)=-=--.12. 答案：∵G 是BCD ∆的重心, BE 是CD 边上的中线,∴1=3GE BE . 又∵()1111=-=-=-=2222AC DC DA DC DA DE DF FE ∴11-==32AG BE AC AG GE FE AF ++-。

高二数学空间向量练习题讲解在高二数学学习中，空间向量是一个重要的概念。

掌握了空间向量的相关知识和技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与三维空间相关的问题。

本文将通过对几道典型的高二数学空间向量练习题的讲解，帮助大家更好地掌握空间向量的应用。

1. 题目：已知向量a = (2, -1, 3)和向量b = (4, 2, -1)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积是指两个向量的对应分量的乘积之和。

假设向量a = (a1, a2, a3)和向量b = (b1, b2, b3)，则它们的数量积可以表示为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

根据给定的题目信息，我们可以计算得到向量a与向量b的数量积：a·b = (2 * 4) + (-1 * 2) + (3 * -1) = 8 - 2 - 3 = 3因此，向量a与向量b的数量积为3。

2. 题目：已知向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求向量a与向量b的向量积。

解析：向量的向量积又称为叉乘，其结果是一个新的向量，新向量与原来的两个向量都垂直，并符合右手定则。

向量a与向量b的叉乘可以表示为：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

根据给定的题目信息，我们可以计算得到向量a与向量b的向量积：a ×b = (2 * 6 - 3 * 5, 3 * 4 - 1 * 6, 1 * 5 - 2 * 4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)因此，向量a与向量b的向量积为(-3, 6, -3)。

3. 题目：已知平面P的法向量为n = (1, -2, 3)，平面P上一点A的坐标为(1, 2, 3)，求平面P的方程。

解析：对于平面上的一个点A(x, y, z)和平面的法向量n = (a, b, c)，平面的方程可以表示为ax + by + cz = d。