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单元形成性评价(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( )A．点P一定在直线BD上B．点P一定在直线AC上C．点P一定在直线AC或BD上D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上【解析】选B.如图，因为P∈HG，HG⊂平面ACD，所以P∈平面ACD.同理，P∈平面BAC.因为平面BAC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.2．给定下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，说法正确的是( )A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④【解析】选D.当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】选B.根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( )A ．15750B ．258C ．237D ．227【解析】选D.设圆锥的底面半径为r ， 则圆锥的底面周长L ＝2πr ，所以r ＝L2π，所以V ＝13 πr 2h ＝L 2h12π.令L 2h 12π ＝7264L 2h ， 得π＝227.5．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14B．5－12C．5＋14D．5＋12【解析】选C.如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝PE2－OE2＝b2－a42，由题意PO2＝12ab，即b2－a24＝12ab，化简得4⎝⎛⎭⎪⎫ba2－2·ba－1＝0，解得ba＝1＋54(负值舍去).6．E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是( )A.0 B．1C．2 D．3【解析】选C.在△ACD中，因为G，F分别为AD与CD的中点，所以GF∥AC.而GF⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，所以AC∥平面EFG.同理，BD∥平面EFG.7．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是( )A.垂直B．平行C．相交但不垂直D．要依P点的位置而定【解析】选B.连接B1N，MN，CN.因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B1，AB的中点，所以MN B1B，又B1B C1C，所以四边形MC1CN为平行四边形，所以C1M∥NC.因为C1M⊄平面NCB1内，NC⊂平面NCB1，所以C1M∥平面NCB1.同理可得AM∥平面NCB1.又因为C1M∩AM＝M，AM⊂平面C1AM，C1M⊂平面C1AM，所以平面C1AM∥平面NCB1.又因为P点在线段B1C上，所以NP∥平面C1AM.8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15【解析】选D.由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15.9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【解析】选D.因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m.故A一定成立；因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m.故B一定成立；因为A∈α，AB∥l，l⊂α，所以B∈α.所以AB⊄β，l⊂β，所以AB∥β.故C一定成立；因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．10．E，F，G分别为正方体ABCDA1B1C1D1中平面A1B1C1D1，平面B1BCC1，平面CC1D1D的对角线交点，则AE与FG所成的角为( )A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】选A.如图，易得FG∥BD，B1D1∥BD，AE⊥B1D1.所以选A.11．(2021·全国甲卷)已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥OABC的体积为( )A．212B．312C．24D．34【解析】选A.因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，所以AB ＝ 2 ，所以OO ′＝OA 2－AO ′2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222 ＝22 .所以V O －ABC ＝13 ·S △ABC ·OO ′＝13 ·12 ·1·1·22 ＝212.12．已知二面角αl β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为 3 ，Q 到α的距离为2 3 ，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A ． 3B ．2C ．2 3D ．4【解析】选C.如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝2 3 ，BP ＝ 3 ，所以AC ＝PD ＝2.又因为PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥2 3 ，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．二、填空题(每小题5分，共20分)13．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.【解析】设圆台较小的底面半径为r ，那么较大的底面半径为3r ，由已知得π(r ＋3r)×3＋πr 2＋9πr 2＝574π，解得r ＝7. 答案：714．如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况).【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件．答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．【解析】由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得12l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝12l＝2，AO＝32l＝2 3 .故该圆锥的体积V＝13π×AO2×SO＝13π×(2 3 )2×2＝8π.答案：8π16．已知四面体PABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2 5 ，PB⊥平面PAC，则四面体PABC 外接球的体积为________．【解析】因为PA＝4，PC＝2，AC＝2 5 ，所以在△PAC中，PA2＋PC2＝20＝AC2，可得AP⊥PC，又因为PB⊥平面PAC，PA，PC⊂平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC.以PA，PB，PC为长、宽、高，作长方体如图所示，则该长方体的外接球就是四面体PABC的外接球．因为长方体的体对角线长为42＋42＋22＝6，所以长方体外接球的直径2R＝6，则R＝3，因此，四面体PABC的外接球体积为V＝4π3R3＝36π.答案：36π三、解答题(共70分)17．(10分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥DAEC的体积．【解析】(1)因为AD⊥平面ABE，且AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.因为AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ACE，所以BF⊥AE，又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE，又因为BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.(2)在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H. 因为AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ABE，又因为平面ABCD∩平面ABE＝AB，EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD.由已知及(1)得EH＝12AB＝ 2 ，S△ADC＝2 2 .故VDAEC ＝VEADC＝13×2 2 × 2 ＝43.18．(12分)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12 AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：BC∥平面PAD；(2)若△PCD面积为27 ，求四棱锥PABCD的体积．【解析】(1)因为底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝12AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形，所以PM⊥AD，又因为侧面PAD垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝ 2 x，PM＝ 3 x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝142x.因为△PCD的面积为27 ，所以12× 2 x×142x＝27 ，解得x＝－2(舍去)，x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2 3 .所以四棱锥PABCD的体积V＝13×2（2＋4）2×2 3 ＝4 3 .19．(12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝2 3 ，求EF与平面ABC所成的角．【解析】(1)如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.因为E是A1C1的中点，所以DE12B1C1.又因为BC B1C1，BF＝12BC，所以DE BF.所以四边形BDEF为平行四边形．所以BD∥EF.又因为BD⊂平面AA1B1 B，EF⊄平面AA1B1 B，所以EF∥平面AA1B1B.(2)如图，取AC的中点H，连接HF，EH. 因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．在Rt△EHF中，FH＝ 3 ，EH＝AA1＝3，所以tan ∠EFH＝EHFH＝ 3 ，所以∠EFH＝60°.故EF与平面ABC所成的角为60°.20．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC 于点M.求证：(1)EN ∥平面PDC ； (2)BC ⊥平面PEB ； (3)平面PBC ⊥平面ADMN.【证明】(1)因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC. 又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ， 所以AD ∥MN.又因为AD ∥BC ，所以MN ∥BC. 又因为N 为PB 的中点， 所以M 为PC 的中点，所以MN ＝12 BC.因为E 为AD 的中点，所以DE ＝12 AD ＝12BC ＝MN ，所以DE MN ，所以四边形DENM 为平行四边形，所以EN ∥DM.又因为EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，所以EN∥平面PDC.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，所以BE⊥AD.又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PEB.因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥PB.又因为PA＝AB，且N为PB的中点，所以AN⊥PB.因为AD∩AN＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ADMN.21．(12分)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2 3 ，∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解析】(1)由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.(2) 如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，DM＝AD2＋AM2＝13 .因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC.在Rt△DAN中，DN＝AD2＋AN2＝13 .在等腰△DMN中，MN＝1，可得cos ∠DMN＝12MNDM＝1326.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM＝ 3 . 又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD.所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝AC2＋AD2＝4.在Rt△CMD中，sin ∠CDM＝CMCD＝34.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34 .22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．【解析】(1)设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB. 在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF，DE⊂平面DEF，PB，GB⊂平面PBG，EF∩DE＝E，PB∩BG＝B，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.。
人教版高中数学必修二第一章测试题及答案高一数学人教版必修二第一章测试题及答案一、选择题1.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．答案：C．2＋2/22.棱长都是1的三棱锥的表面积为()．答案：B．2√23.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．答案：B．50π4.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．答案：B．3∶25.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．答案：A．π/96.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．答案：D．1607.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3/2，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．答案：B．58.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．答案：D．水平放置的圆的直观图是椭圆二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是1∶2∶3.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－A1BD1的体积为a^3/6.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是√29，它的体积为√108.12.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为4厘米.三、解答题暂无。
解析：V = Sh = πr²h = πR³，其中R = 364 × 27 = 12.三、解答题13.参考答案：V = (S + SS' + S')h，其中h =14.参考答案：V = 1/3( S + SS' + S')h = 1/3 × × 75 = xxxxxxx/3.S表面积 = S下底面积 + S台侧面积 + S锥侧面积 = π×5² + π×(2+5)×5 + π×2²×2 = (60+42)π.V台= 1/3πr₁²h = 1/3π(5²+5×2+2²)×5 = 148π/3.V锥 = 1/3πr₁²h = 1/3π5²×5 = 25π/3.V = V台 - V锥= 148π/3 - 25π/3 = 123π/3 = 41π.。
第一章空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图以以下图所示，这个几何体可能是一个() ．主视图左视图俯视图(第 1 题 )A ．棱台B ．棱锥C．棱柱D．正八面体2．假如一个水平搁置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是() ．A． 2＋ 21＋ 22＋ 2D．1＋ 2 B．2C．23．棱长都是1的三棱锥的表面积为 () ．A ． 3B． 23C．3 3D． 4 34．长方体的一个极点上三条棱长分别是3， 4 ， 5 ，且它的8 个极点都在同一球面上，则这个球的表面积是 () ．A ． 25 πB ． 50 πC． 125 π D ．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为() ．A． 3∶1B． 3 ∶2C． 2 ∶3D． 3∶36．在△ ABC 中， AB ＝ 2， BC＝ 1.5 ，∠ ABC ＝ 120 °，若使△ ABC 绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是() ．53 97A ．πB．πC．πD．π2222 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和 15 ，则这个棱柱的侧面积是() ．A． 130B． 140C． 150D． 1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EF ∥AB ，EF 3＝，且 EF 与平面 ABCD的距离为2，则该多面体的体积为() ．29(第 8 题 ) C．615A ．B． 5D．22 9．以下对于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是() ．A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比率同样C．水平搁置的矩形的直观图是平行四边形D．水平搁置的圆的直观图是椭圆10 ．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是() ．第 1 页共 6 页(第 10 题 )二、填空题11 ．一个棱柱起码有______ 个面，面数最少的一个棱锥有________个极点，极点最少的一个棱台有________ 条侧棱．12 ．若三个球的表面积之比是1∶ 2∶ 3，则它们的体积之比是_____________．13 ．正方体ABCD － A1B1C1D 1中， O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O － AB 1D 1的体积为 _____________．14 ．如图， E， F 分别为正方体的面ADD 1A1、面 BCC 1 B1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是___________ ．( 第 14 题 )15 ．已知一个长方体共一极点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16 ．一个直径为32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球所有没入水中后，水面高升9 厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17 ．有一个正四棱台形状的油槽，能够装油190 L ，若是它的两底面边长分别等于60 cm 和 40 cm ，求它的深度．18 * ．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[ 提示：过正方体的对角面作截面]19 ．如图，在四边形 ABCD 中，∠ DAB ＝ 90 °，∠ ADC ＝ 135 °， AB ＝ 5， CD ＝ 2 2 ， AD ＝ 2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．第 2 页共 6 页( 第 19 题 )20 ．养路处建筑圆锥形库房用于储藏食盐( 供消融高速公路上的积雪之用) ，已建的仓库的底面直径为12 m ，高 4 m ，养路处拟建一个更大的圆锥形库房，以寄存更多食盐，现有两种方案：一是新建的库房的底面直径比本来大 4 m ( 高不变 ) ；二是高度增添 4 m ( 底面直径不变 ) ．( 1) 分别计算按这两种方案所建的库房的体积；( 2) 分别计算按这两种方案所建的库房的表面积；( 3) 哪个方案更经济些？第 3 页共 6 页第一章空间几何体参照答案A 组一、选择题1． A分析： 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，可是大小不同样，能够判断可能是棱台．2． A1分析： 原图形为向来角梯形，其面积 S ＝( 1 ＋ 2 ＋1)× 2＝2＋ 2 ．23． A3分析： 由于四个面是全等的正三角形，则 S 表面 ＝4×＝ 3 ．44． B分析： 长方体的对角线是球的直径，l ＝ 32＋4 2＋52＝ 5 2 ， 2R ＝ 5 2 ， R ＝5 2，S ＝4πR 2＝ 50π．25． C分析： 正方体的对角线是外接球的直径．6． D 13分析： V ＝ V － V2 ＋－＝＝π．大小πr ( 1 1.5 1)7． D322 ＝ 152－ 52， l 2 2＝ 92－52，分析： 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而 l 1 222，即 15 2－ 5 2 ＋ 925 2 ＝ 4a 2， a ＝ 8 ， S＝ 4× 8× 5＝ 160 ．而l1 ＋ l 2＝4a－ 侧面8． D分析： 过点 E ， F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝ 2×131315× ×3×2＋ × 3× 2× ＝．342229． B分析： 斜二测画法的规则中，已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为本来的一半．平行于z 轴的线段的平行性和长度都不变．10 ． D分析：从三视图看底面为圆，且为组合体，因此选 D.二、填空题11 ．参照答案：5， 4， 3．分析：切合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12 ．参照答案： 1 ∶ 2 2∶ 3 3 ．r1∶ r 2∶ r3＝ 1∶ 2 ∶ 3 ， r13∶ r23∶ r33＝ 13∶ ( 2)3∶( 3 )3＝1∶2 2 ∶3 3 ．13 ．参照答案： 1 a 3 ．6分析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线 A 1C 的交点是对角线的三平分点，三棱锥 O － AB 1D 1的高 h ＝ 3a， V＝1Sh＝1×3× 2a 2×3 a＝1a3 ．333436另法：三棱锥 O－ AB 1D1也能够当作三棱锥A－ OB1D 1，它的高为 AO，等腰三角形 OB 1D1第 4 页共 6 页为底面．14 ． 参照答案： 平行四边形或线段． 15 ． 参照答案： 6 ， 6 ．分析： 设 ab ＝2 ，bc ＝3 ，ac ＝6 ，则 V = abc ＝ 6 ， c ＝ 3 ， a ＝2 ， b ＝ 1，l ＝ 3＋ 2＋1 ＝ 6 ．16 ． 参照答案： 12 ．43， R ＝3分析： V ＝Sh ＝ πr 2h ＝ πR64×27 ＝12 ．三、解答题 317 ． 参照答案：1(S ＋ SS′3V 3×190 000＝75．＋ S) h ， h ＝＝V ＝′ ′3S ＋ SS ＋S 3 600 ＋2 400 ＋ 1 60018 ． 参照答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为 a ，则 CC' ＝ a ，2OC ＝a ， OC' ＝ R ．2A'C'AOC(第 18 题)在 Rt △ C'CO 中，由勾股定理，得CC'2＋ OC 2＝OC' 2，即 a 2＋ ( 2 2＝ R 2．a)2 63， V 正方体 ＝ a 3．∴ R ＝6 a ，∴ V 半球 ＝πa2 2∴ V 半球 ∶ V 正方体 ＝ 6 π∶ 2．19 ． 参照答案：S 表面 ＝S 下底面 ＋ S 台侧面 ＋ S 锥侧面＝ π× 52＋ π×( 2＋ 5) ×5＋ π× 2× 22＝ ( 60 ＋ 4 2 ) π ．V ＝ V 台－ V 锥＝1π( r 12 ＋ r 1r 2＋ r 22) h － 1πr 2h 133＝148π．320 ．解： (1)参照答案： 假如按方案一，库房的底面直径变为16 m ，则库房的体积1116) 22563V 1＝Sh ＝ × π× (× 4＝π(m ) ．3 3 23假如按方案二，库房的高变为8 m ，则库房的体积第 5 页共 6 页V 2＝ 1 Sh ＝ 1 × π× ( 12) 2× 8＝ 288 π ( m 3) ． 3 3 2 3 ( 2) 参照答案： 假如按方案一，库房的底面直径变为16 m ，半径为 8 m ． 棱锥的母线长为 l ＝ 82＋42 ＝ 4 5 ， 库房的表面积 S ＝ π× 8× 4 5 ＝ 32 5 π ( m 2) ．1假如按方案二，库房的高变为 8 m ．棱锥的母线长为l ＝ 82＋62 ＝ 10 ， 库房的表面积S ＝ π× 6 × 10 ＝ 60 π( m 2 ) ． ( 3) 参照答案： 2 ＞ V 1， S 2＜ S 1，∴方案二比方案一更为经济些．∵ V 2第 6 页共 6 页。
新教材人教版高一数学上册单元测试题含答案全套人教版高中数学必修第一册第一章测试题第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】集合，，．2．是的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】由不能推得，反之由可推得， 所以是的必要不充分条件． 3．已知集合，，若，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵集合，，且，∴，因此．4．下列命题中正确的是（ ）A ．任何一个集合必有两个以上的子集B ．空集是任何集合的子集C ．空集没有子集D ．空集是任何集合的真子集 【答案】B【解析】空集只有一个子集，故A 错；B 正确； 空集是本身的子集，故C 错；空集不能是空集的真子集，故D 错． 5．已知集合，则中元素的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为集合，{}1,2,3,4,5A ={}21,B y y x x A ==-∈A B {2,4}{1,3,5}{2,4,7,9}{1,2,3,4,5,7,9}{}1,2,3,4,5A ={}{}21,1,3,5,7,9B y y x x A ==-∈={}1,3,5A B =1x >4x >1x >4x >4x >1x >1x >4x >{1,3}A =-2{2,}B a ={1,2,3,9}A B =-a 1±3±1-3{1,3}A =-2{2,}B a ={1,2,3,9}AB =-29a =3a =±(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z A 9854(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z所以满足且，的点有，，，，，，，，共个．6．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，故A 错，B 对，显然，所以C 不对，而，所以D 也不对，故本题选B ．7．命题“存在实数，使”的否定是（ ） A ．对任意实数，都有 B ．对任意实数，都有 C ．不存在实数，使 D ．存在实数， 【答案】B【解析】命题“存在实数，使”的否定是“对任意实数，都有”． 8．集合中的不能取的值的个数是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知，且且， 故集合中的不能取的值的个数是个． 9．下列集合中，是空集的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A 选项，，不是空集， 对于B 选项，没有实数根，故为空集， 对于C 选项，显然不是空集，对于D 选项，集合为，故不是空集． 10．下列各组集合中表示同一集合的是（ ） A ．， B ．， C ．， D ．，【答案】B223x y +≤x ∈Z y ∈Z (1,1)--(1,0)-(1,1)-(0,1)-(0,0)(0,1)(1,1)-(1,0)(1,1)9a ={A x x =≥a A ∉a A ∈{}a A ={}a a ∉>a A ∈{}a A ≠{}a a ∈x 1x >x 1x >x 1x ≤x 1x ≤x 1x ≤x 1x >x 1x ≤{}22,4,0x x --x 2345222040224x x x x x -≠-≠⇒≠-≠⎧⎪⎨⎪⎩-2x ≠-1x ≠-{}22,4,0x x --x 3{}0|2x x +={}210,x x x +=∈R {}1|x x <(){}22,,,x y yx x y =-∈R 2x =-210x +={(0,0)}{(3,2)}M ={3,2}N ={2,3}M ={3,2}N ={2,3}M ={2,3}N x y ==={(2,3)}M ={(5,4)}N =【解析】对于A ，，表示点集，，表示数集，故不是同一集合； 对于B ，，，根据集合的无序性，集合表示同一集合； 对于C ，集合的元素是数，集合的元素是等式；对于D ，，集合的元素是点，， 集合的元素是点，集合不表示同一集合．11．学校先举办了一次田径运动会，某班共有名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有名同学参赛，两次运动会都参赛的有人．两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】因为参加田径运动会的有名同学，参加球类运动会的有名同学，两次运动会都参加的有人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为．12．已知集合，．若， 则实数的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】， 当为空集时，；当不为空集时，，综上所述得．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．集合，则集合的子集的个数为 个． 【答案】【解析】由已知，集合的子集个数为．14．命题“”是命题“”的 （“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）条件． 【答案】必要不充分【解析】的解为或，所以当“”成立时，则“”未必成立； 若“”，则“”成立，{(3,2)}M =M {3,2}N =N {2,3}M ={3,2}N =,M N M N {(2,3)}M =M (2,3){(5,4)}N =N (5,4),M N 8123201714238123812317+-={}|25A x x =-≤≤{}|121B x m x m =+≤≤-B A ⊆m 3m ≥23m ≤≤2m ≥3m ≤{}|121B x m x m =+≤≤-B 2112m m m -<+⇒<B 22152312m m m m ≥⎧⎪-≤⇒≤≤⎨⎪+≥-⎩3m ≤2{}1,A =A 4A 224=220x x --=1x =-220x x --=1x =-2x =220x x --=1x =-1x =-220x x --=故命题“”是命题“”的必要不充分条件．15．命题“，”的否定是 ．【答案】，【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“，”的否定是“，”．16．设全集是实数集，，， 则图中阴影部分所表示的集合是 ．【答案】【解析】由图可知，阴影部分为，∵，∴，∴．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知集合，且，求的取值集合． 【答案】．【解析】∵，∴或，即或．当时，；当时，； 当时，不满足互异性， ∴的取值集合为{}1,3．18．（12分）已知集合，，若，求实数，的值．【答案】或．220x x --=1x =-x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤U R {}22M x x x =<->或{}13N x x =<<{}12x x <≤Venn ()UN M {}22M x x x =<->或{}22UM x x -=≤≤(){}12UNM x x =<≤{}21,2,4M m m =++5M ∈m {}1,3{}251,2,4m m ∈++25m +=245m +=3m =1m =±3m ={}1,5,13M =1m ={}1,3,5M =1m =-{}1,1,5M =m {,,2}A a b =2{2,,2}B b a =A B =a b 01a b =⎧⎨=⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】由已知，得①，解得或， 当时，集合不满足互异性， 当时，集合，集合，符合题意；②，解得（舍）或，当时，集合，集合符合题意，综上所述，可得或．19．（12分）设集合，． （1）若，试判定集合与的关系； （2）若，求实数的取值集合．【答案】（1）是的真子集；（2）． 【解析】（1），，∴是的真子集． （2）当时，满足，此时；当时，，集合，又，得或，解得或． 综上，实数的取值集合为．20．（12分）已知全集，集合，．求：A B =22a a b b =⎧⎨=⎩00a b =⎧⎨=⎩01a b =⎧⎨=⎩00a b =⎧⎨=⎩{0,0,2}A =01a b =⎧⎨=⎩{0,1,2}A ={2,1,0}B =22a b b a ⎧=⎨=⎩00a b =⎧⎨=⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11{,,2}42A =11{2,,}42B =01a b =⎧⎨=⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩{}28150A x x x =-+=}10B =-=15a =A B B A ⊆a B A 110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭{3,5}A ={5}B =B A B =∅B A ⊆0a =B ≠∅0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B A ⊆13a =15a=13a =15a 110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}6U x x =∈<N {}1,2,3A ={}2,4B =（1），，；（2），；（3）设集合且，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】（1），∵，，．（2），∴．（3）由（2）可知，∵，∴，解得．21．（12分）已知集合为全体实数集，，． （1）若，求；（2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，所以，所以．（2）①，即时，，此时满足．②当，即时，，由得，或， 所以．综上，实数的取值范围为．22．（12分）已知二次函数，非空集合．（1）当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围；（2）是否存在整数的值，使得“”是“二次函数的大值为”的充分条件， 如果存在，求出一个整数的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1），当且仅当时，二次函数有最小值为，由已知时，二次函数的最小值为，则，所以． （2）二次函数，开口向上，对称轴为，作出二次函数图象如图所示，由“”是“二次函数的大值为”的充分条件， 即时，二次函数的最大值为，A B UA UB AB ()UA B {|21}C x a x a =-<≤-()UA CB ⊆a 3a ≥2A B ={0,1,2,3,4,5}U ={0,4,5}UA ={0,1,3,5}UB ={1,2,3,4}AB =(){0,5}UA B =(){0,5}UA B =()U A C B ⊆021521a a a a -<⎧⎪-≥⎨⎪->-⎩3a ≥U {}25M x x x =≤-≥或{}121N x a x a =+≤≤-3a =UMN N M ⊆a {}45Ux x x MN =<≥或{}24a a ≥或3a ={}45|N x x =≤≤{}45UN x x x =<>或{}45Ux x x MN =<≥或211a a -<+2a <N =∅N M ⊆211a a -≥+2a ≥N ≠∅N M ⊆15a +≥212a -≤-4a ≥a {}24a a a <≥或243y x x =-+{}|0A x x a =≤≤x A ∈1-a a x A ∈3a 2a ≥2243(2)1y x x x =-+=--2x =1-x A ∈1-2A ∈2a ≥2(2)1y x =--2x =x A ∈3x A ∈3，即为，令，解得或，由图像可知，当或时，二次函数的最大值不等于，不符合充分条件， 则，即可取的整数值为，，，，任意一个．第一册第二章测试题一元二次函数、方程和不等式注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
510158正视图侧视图俯视图数学（必修2）试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题恰有一项．．．．是符合题目要求的.）1．若直线l 经过原点和点A （－2，－2），则它的斜率为（）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．02．经过点)3,4(P ，倾斜角为045的直线方程是（）A ．07y xB ．07y xC ．07y xD ．07y x 3.下列命题：①三个点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面；⑤梯形一定是平面图形. 其中正确的个数有（）A ．5个B ．4个 C．3个 D．2个4.直线0732y x 与直线095y x 的交点坐标是（）A.21， B.12， C.13， D.31，5.已知直线013:1y ax l 和02:2aya xl ，若21l l ，则a 的值为（）A.23 B.3 C.34 D.46.直线031ky kx ，当k 变动时，所有直线都通过定点（）A.01， B.10， C.13， D.31，7.一个正方体的各个顶点均在同一个球的球面上，若正方体的边长为2, 则该球的体积为（）A.4B.2 C.34 D.48.设m ，n 是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ，n //，则m n ；②若//，//，m，则m；③若m //，n //，则m n //；④若，，则//.其中正确命题的序号是 ( )A ．①和④B ．①和②C ．③和④D ．②和③9.圆0222x yx和圆0422y y x的位置关系是（）A.相离B.相交C.外切 D.内切10.在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 、GH 相交于点P ，那么( )A ．点P 必在直线AC 上 B.点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面DBC 内D.点P 必在平面ABC 外11.已知圆的方程为042422yx yx，则该圆关于直线x y 对称圆的方程为（）A.012222y x y x B.074422y x y x C.042422yxyxD.44222yxyx12．若斜线段AB 是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是()A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.空间直角坐标系中点A 和点B 的坐标分别是201，，，130，，，则||AB ___ _.14.两条平行直线1043yx与01586y x的距离是 .15.已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为．16.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直. 其中，正确命题的序号是______________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.）17.（本小题满分10分）分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点)1,0(，且平行于0124:1y xl 的直线；（2）与2l 01:y x垂直，且与点)0,1(P 距离为2的直线.18.（本小题满分12分）右图是一个几何体的三视图（单位：cm ）.（1）计算这个几何体的体积；（2）计算这个几何体的表面积.。
人教版高一数学必修二-第一章综合测评题(答案解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章综合测评题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列命题中，正确的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D ．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππD.1＋4π2π3．有下列四种说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成相交的直线；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现方式．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去一角B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的( ) A.14 B.16 C.112D.1185．底面是边长为4的正方形，侧棱长都为25的四棱锥的侧面积和体积依次为( ) A ．24，643 B ．8，3233 C ．32，643 D ．32，32336．若圆台两底面周长的比是14，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.12B.14C ．1 D.391297．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π8．如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=23C 1D 1=2，A 1D 1=1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．10 29．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23C ．1D ．210．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 211．等边三角形的边长为a ，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为( )A.14πa 3 B.18πa 3 C.12πa 3D.16πa 312．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8 B.203 C.173D.143二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．14．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成三棱锥C －ABD ，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．15．一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．16．一个正四棱柱(底面是正方形，各个侧面均为矩形)的各个顶点都在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为________cm 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．画出下图中三个图形的指定三视图之一．18．如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)19．已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．20．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．21．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，求：(1)棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．22．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？第一章综合测评题（答案）1、解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A ，C 都不够准确，B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．答案：D2、解析：利用侧面展开图与底面圆的联系解题．设底面圆半径为r ，母线即高为h ，则h ＝2πr ，所以S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.故选A.答案：A3、解析：本题考查中心投影与平行投影的有关概念及性质．利用中心投影与平行投影的概念判断，①③正确；利用中心投影与平行投影的性质判断，②也正确．故正确的命题有3个．故选C.答案：C4、解析：VB 1－A 1BC 1＝VC 1－A 1B 1B ＝13·S △A 1B 1B ·B 1C 1＝13×12S 四边形AA 1B 1B ×B 1C 1＝16VABCD －A 1B 1C 1D 1.答案：B 5、解析：如图，O 为正方形ABCD 的中心，VO 为四棱锥的高，E 为边BC 中点，所以VE ⊥BC .由BC ＝AB ＝4，VB ＝VC ＝25可得VE ＝4，VO ＝23，∴S 侧＝4S △VBC ＝32，V ＝13S 正方形ABCD ·VO ＝3233.答案：D 6、解析：圆台的轴截面如图，∵圆台的两底面周长之比为1:4，∴两底面半径之比1:4.设上底面半径为r ，则下底面半径为4r .∴经过高的中点与底面平行的截面半径为52r .∴圆台被分成两部分的体积比为 13πr 2＋πr 2·π·254r 2＋π·254r 213π·254r 2＋π·254r 2·π·16r 2＋π·16r 2＝39129. 答案：D7、解析：设球O 的半径为R ，则R ＝ 12＋(2)2＝3，故V 球＝43πR 3＝43π.答案：B 8、解析：四边形ABCD 是直角梯形，其中AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，所以四边形ABCD 的面积为12·(2＋3)×2＝5.答案：B9、解析：由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝12×1×2×2＝1.答案：C10、解析：由三视图知，该几何体可看做由两个全等的小三棱锥侧面重合放置而成．每个小三棱锥的高为4，底面是腰长为32、底边长为6的等腰三角形，斜高为5，所以每个三棱锥的底面积为12×3×6＝9，侧面积为12×5×6＝15或12×4×32＝62，所以组合体的表面积为9×2＋15×2＋62×2＝48＋12 2.答案：A11、解析：所得的旋转体为以等边三角形的高为底面半径的两个相同底的圆锥，每个圆锥的高都为a2，∴V ＝2×13×π×⎝⎛⎭⎫32a 2·a 2＝14πa 3.答案：A12、解析：几何体是正方体截去一个三棱台， V ＝23－13·⎝⎛⎭⎫12＋2＋ 2×12×2＝173. 答案：C13、解析：设球半径为R ，圆M 的半径为r ，则πr 2＝3π，即r 2＝3， 由题得R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝3，所以R 2＝4⇒4πR 2＝16π. 答案：16π14、解析：由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为22，故其面积为12×⎝⎛⎭⎫222＝14. 答案：1415、解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2πr ＝12·2π×2，得r ＝1.∴圆锥的高h ＝22－12＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×12×3＝33π.答案：33π16、解析：设正四棱柱的高为a cm，则22＝12＋12＋a2，∴a＝ 2.∴S表面积＝1×1×2＋4×1×2＝(2＋42)(cm2)．答案：2＋4 217、解：如图所示．18、解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．∴圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)．四棱柱的一个底面积为32＝9(m2)，四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)．∴建筑物的外壁面积为75.36－9＋48＝114.36(m2)．∴需要油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)．19、解：由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，则体积V P －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×PE ＝13×2×4×2＝163.20、解：(1)直观图如图所示．(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的，且该几何体的体积是以A 1A 、A 1D 1、A 1B 1为棱的长方体的体积的34.在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1，则四边形AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1. 在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1，∴BB 1＝ 2. ∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝(7＋2)(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)．∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.解法二：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一， V 直四棱柱D1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝32×1＝32(m 3)． 21、解：(1)底面正三角形中心到一边的距离为 13×32×26＝2， 则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝ 3.∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2.∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2＝92＋6 3.(2)如图所示，设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P －ABC ＝V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －P AC ＋V O －ABC ＝13·S 侧·r ＋13·S △ABC ·r＝13·S 表·r ＝(32＋23)r . 又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.22、解：设圆柱的底面半径为r .由题意知，r 2＝6－x 6，∴r ＝2－13x .(1)S 圆柱侧＝2πr ·x ＝2π·⎝⎛⎭⎫2－13x ·x＝－2π3x 2＋4πx ＝－2π3(x －3)2＋6π(0<x <6)．(2)当x ＝3时，圆柱的侧面积最大．。
高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）高一数学必修2立体几何初步单元测试题班级：姓名：学号：一、选择题：1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）A 、AB α? B 、AB α?C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC成60角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是（）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行。
其中正确的个数有（）A 、1B 、2C 、3D 、47、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b íM ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题：9、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).10、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BCD 的位置关系为QC'B'A'CBAB1C 1A 1D 1BAC D11、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是 .12、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)三、解答题：13、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.14、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .15、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．H G FE D B A CSDBA16、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.,求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)面1BDC //面11AB D ．17、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且ADAFAC AE = 求证：平面BEF ⊥平面ABC .D 1ODB AC 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题 ACDDD BBB 二、填空题11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题15、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=?=上圆台的上底面面积为2525S ππ=?=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧于是725l ππ= 即297l =为所求. 16、证明：,EH FG EH ? 面BCD ，FG ?面BCD∴EH ∥面BCD又EH ? 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，∴EH ∥BD17、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC19、证明：（1）连结11AC ，设11111ACB D O = 连结1AO ， 1111ABCD A BCD -是正方体11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11OC AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴? 面11ABD ，1C O ?面11AB D∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111AC B D ⊥ ，1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即同理可证11AC AB ⊥，又1111D B AB B =∴1AC ⊥面11AB D 20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又ADAFAC AE = ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,∴平面BEF ⊥平面ABC.。
第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义：一般，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。
2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）Venn图注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
注意：B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A A②真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果 A B, B C ,那么 A C④如果A B 同时 B A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算一、选择题1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A.{1,1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}2.已知集合A＝{x∈N＋|－5≤x≤5}，则必有 ( )A.－1∈A ∈A∈A ∈A3.集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为 ( )A.0B.1C.0或1D.小于等于14.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为 ( )A. 2B.2或4C. 4D.0二、填空题1.已知M＝{x|x≤22}，且a＝32，则a与M的关系是2.已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝ .三、解答题1. 已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0}.(1)若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；(2)若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.一、选择题1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数 2.下列关系正确的是( ) A.3∈{y|y＝x2＋π，x∈R} B.{(a ，b)}＝{(b ，a)}C.{(x ，y)|x2－y2＝1} {(x ，y)|(x2－y2)2＝1}D.{x∈R|x2－2＝0}＝3.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＜0，xy ＞0}和集合P ＝{(x ，y)|x ＜0，y ＜0}，那么( ) A.P M B.M P C.M ＝P D.M P3.集合B ＝{a ，b ，c}，C ＝{a ，b ，d}(c≠d)，集合A 满足A B ，A C.则集 合A 的个数是( ) A.8B.3 C.4 D.15.设A ＝{x|1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＜a}，若A B ，则实数a 的取值范围是 ( ) A.a≥2 B.a≤1 C.a≥1D.a≤2二、填空题1.已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m2}，若B A ，则实数m2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .§3 集合的基本运算练习题一、选择(A∩B)中1．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合Cu的元素共有( )A．3个 B．4个C．5个 D．6个2．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )三、填空1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A ∩(CB)等于________．uB)2．设全集U＝A∪B＝{x|1≤x<10，x∈N＋}，若A∩(Cu＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.3．已知A＝{x|x≤1或x＞3}，B＝{x|x＞2}，则(C R A)∪B＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求C R(A∪B)及(C R A)∩B.5．集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|a<x<b}，若A∩B＝Ø，A∪B＝R，求实数a，b.。
第一章综合测评题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列命题中，正确的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D ．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππD.1＋4π2π3．有下列四种说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成相交的直线；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现方式．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去一角B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的( ) A.14 B.16 C.112D.1185．底面是边长为4的正方形，侧棱长都为25的四棱锥的侧面积和体积依次为( ) A ．24，643 B ．8，3233 C ．32，643 D ．32，32336．若圆台两底面周长的比是14，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.12B.14C ．1 D.391297．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π8．如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=23C 1D 1=2，A 1D 1=1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．10 29．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23C ．1D ．210．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 211．等边三角形的边长为a ，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为( )A.14πa 3 B.18πa 3 C.12πa 3D.16πa 312．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8 B.203 C.173D.143二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．14．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成三棱锥C －ABD ，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．15．一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．16．一个正四棱柱(底面是正方形，各个侧面均为矩形)的各个顶点都在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为________cm 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．画出下图中三个图形的指定三视图之一．18．如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)19．已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．20．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．21．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，求：(1)棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．22．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？第一章综合测评题（答案）1、解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A ，C 都不够准确，B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．答案：D2、解析：利用侧面展开图与底面圆的联系解题．设底面圆半径为r ，母线即高为h ，则h ＝2πr ，所以S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.故选A.答案：A3、解析：本题考查中心投影与平行投影的有关概念及性质．利用中心投影与平行投影的概念判断，①③正确；利用中心投影与平行投影的性质判断，②也正确．故正确的命题有3个．故选C.答案：C4、解析：VB 1－A 1BC 1＝VC 1－A 1B 1B ＝13·S △A 1B 1B ·B 1C 1＝13×12S 四边形AA 1B 1B ×B 1C 1＝16VABCD －A 1B 1C 1D 1.答案：B 5、解析：如图，O 为正方形ABCD 的中心，VO 为四棱锥的高，E 为边BC 中点，所以VE ⊥BC .由BC ＝AB ＝4，VB ＝VC ＝25可得VE ＝4，VO ＝23，∴S 侧＝4S △VBC ＝32，V ＝13S 正方形ABCD ·VO ＝3233.答案：D 6、解析：圆台的轴截面如图，∵圆台的两底面周长之比为1:4，∴两底面半径之比1:4.设上底面半径为r ，则下底面半径为4r .∴经过高的中点与底面平行的截面半径为52r .∴圆台被分成两部分的体积比为 13πr 2＋πr 2·π·254r 2＋π·254r 213π·254r 2＋π·254r 2·π·16r 2＋π·16r 2＝39129. 答案：D7、解析：设球O 的半径为R ，则R ＝ 12＋(2)2＝3，故V 球＝43πR 3＝43π.答案：B 8、解析：四边形ABCD 是直角梯形，其中AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，所以四边形ABCD 的面积为12·(2＋3)×2＝5.答案：B9、解析：由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝12×1×2×2＝1.答案：C10、解析：由三视图知，该几何体可看做由两个全等的小三棱锥侧面重合放置而成．每个小三棱锥的高为4，底面是腰长为32、底边长为6的等腰三角形，斜高为5，所以每个三棱锥的底面积为12×3×6＝9，侧面积为12×5×6＝15或12×4×32＝62，所以组合体的表面积为9×2＋15×2＋62×2＝48＋12 2.答案：A11、解析：所得的旋转体为以等边三角形的高为底面半径的两个相同底的圆锥，每个圆锥的高都为a2，∴V ＝2×13×π×⎝⎛⎭⎫32a 2·a 2＝14πa 3.答案：A12、解析：几何体是正方体截去一个三棱台， V ＝23－13·⎝⎛⎭⎫12＋2＋ 2×12×2＝173. 答案：C13、解析：设球半径为R ，圆M 的半径为r ，则πr 2＝3π，即r 2＝3， 由题得R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝3，所以R 2＝4⇒4πR 2＝16π. 答案：16π14、解析：由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为22，故其面积为12×⎝⎛⎭⎫222＝14. 答案：1415、解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2πr ＝12·2π×2，得r ＝1.∴圆锥的高h ＝22－12＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×12×3＝33π.答案：33π16、解析：设正四棱柱的高为a cm，则22＝12＋12＋a2，∴a＝ 2.∴S表面积＝1×1×2＋4×1×2＝(2＋42)(cm2)．答案：2＋4 217、解：如图所示．18、解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．∴圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)．四棱柱的一个底面积为32＝9(m2)，四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)．∴建筑物的外壁面积为75.36－9＋48＝114.36(m2)．∴需要油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)．19、解：由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，则体积V P －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×PE ＝13×2×4×2＝163. 20、解：(1)直观图如图所示．(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的，且该几何体的体积是以A 1A 、A 1D 1、A 1B 1为棱的长方体的体积的34.在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1，则四边形AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1. 在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1，∴BB 1＝ 2.∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝(7＋2)(m 2)． ∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)． ∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3. 解法二：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一， V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝32×1＝32(m 3)． 21、解：(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2， 则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝ 3.∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2 ＝92＋6 3.(2)如图所示，设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r . ∴V P －ABC ＝V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －P AC ＋V O －ABC ＝13·S 侧·r ＋13·S △ABC·r ＝13·S 表·r ＝(32＋23)r . 又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2. ∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π. 22、解：设圆柱的底面半径为r .由题意知，r 2＝6－x 6，∴r ＝2－13x . (1)S 圆柱侧＝2πr ·x ＝2π·⎝⎛⎭⎫2－13x ·x＝－2π3x 2＋4πx ＝－2π3(x －3)2＋6π(0<x <6)． (2)当x ＝3时，圆柱的侧面积最大．。
1高一数学必修2第一章单元测试题1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.12倍 B．2倍 C.24倍 D.22倍 3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()4．已知某几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体是( )A．长方体 B．圆柱 C．四棱锥 D．四棱台5．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A．64 B．16 C．96 D．无法确定6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍C．不变 D．缩小到原来的167．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )2A．1倍 B．2倍 C.95倍 D.74倍 8．有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A．12πcm 2B．15πcm 2C．24πcm 2 D．36πcm 29．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．310．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，1B.23，1C.32，32D.23，3211．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )3A．24 B．80C．64D．24012．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是()4姓名：座位号：一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________。
2013年人教版高一数学必修二第一单元测试试题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.12倍 B ．2倍 C.24倍 D.22倍3．(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )4．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A ．长方体B ．圆柱C ．四棱锥D ．四棱台5．正方体的体积是64，则其表面积是( )A ．64B ．16C ．96D ．无法确定 6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A ．缩小到原来的一半B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的167．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．1倍B ．2倍C.95倍D.74倍8．(2011～2012·浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．24πcm 2D ．36πcm 29．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．310．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，1B.23，1C.32，32D.23，3211．(2011－2012·广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为()A．24B．80C．64D．24012．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是()二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．14．(2011－2012·北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________ __________________________________________________．15．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．16．(2011－2012·安徽皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出如图所示几何体的三视图．18．(本题满分12分)圆柱的高是8cm，表面积是130πcm2，求它的底面圆半径和体积．19．(本题满分12分)如下图所示是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)．20．(本题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7m，制造这个塔顶需要多少铁板？21．(本题满分12分)如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．22．(本题满分12分)如图所示(单位：cm)，四边形ABCD 是直角梯形，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．详解答案1[答案] C[解析] 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．2[答案] C[解析] 设△ABC 的边AB 上的高为CD ，以D 为原点，DA 为x 轴建系，由斜二测画法规则作出直观图△A ′B ′C ′，则A ′B ′＝AB ，C ′D ′＝12CD .S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′sin45° ＝24(12AB ·CD )＝24S △ABC .3[答案] D[解析]本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．[点评]本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．是近年高考中的热点题型．4[答案] A[解析]该几何体是长方体，如图所示．5[答案] C[解析]由于正方体的体积是64，则其棱长为4，所以其表面积为6×42＝96.6[答案] A[解析] V ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2×2h ＝16πr 2h ，故选A. [答案] C7[解析] 设最小球的半径为r ，则另两个球的半径分别为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，所以36πr 24πr 2＋16πr 2＝95. 8[答案] C[解析] 由三视图可知该几何体是圆锥，S 表＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2＝π×3×5＋π×32＝24π(cm 2)，故选C.9[答案] A[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r ，由题意，另一底面圆的半径R ＝3r .∴S 侧＝π(r ＋R )l ＝π(r ＋3r )×3＝84π，解得r ＝7.10[答案] C[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3.∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32， S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2.∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32. 11[答案] B[解析] 该几何体的四棱锥，高等于5，底面是长、宽分别为8、6的矩形，则底面积S ＝6×8＝48，则该几何体的体积V ＝13Sh ＝13×48×5＝80.12[答案] B[解析] 画出该几何体的正视图为，其上层有两个立方体，下层中间有三个立方体，两侧各一个立方体，故B 项满足条件．13[答案] 1423π[解析] 圆台高h ＝32－(2－1)2＝22，∴体积V ＝π3(r 2＋R 2＋Rr )h ＝1423π.14[答案] 36[解析] 该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD ，高h ＝6，则其体积V ＝Sh ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2＋4)×2×6＝36. [答案] 24π2＋8π或24π2＋18π15[解析] 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝4π，即r ＝2.所以S 底＝4π，所以S 表＝24π2＋8π.(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝6，即r ＝3.所以S 底＝9π，所以S 表＝24π2＋18π.16[答案] 2(1＋3)π＋4 2[解析] 此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S 圆锥侧＝πrl ＝π×2×23＝43π，S 底＝π×22＝4π，S △SAB ＝12×4×22＝42，所以S 表＝43π2＋4π2＋4 2＝2(1＋3)π＋4 2. 17[解析] 该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．18[解析]设圆柱的底面圆半径为r cm，∴S圆柱表＝2π·r·8＋2πr2＝130π.∴r＝5(cm)，即圆柱的底面圆半径为5cm.则圆柱的体积V＝πr2h＝π×52×8＝200π(cm3)．19[解析]由三视图可知该几何体是一个正三棱台．画法：(1)如图①所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水平放置的平面内画出它们的直观图；(2)建立z′轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，被遮的线段用虚线表示，如图②所示，即得到要画的正三棱台．连接OP.在Rt △SOP 中，SO ＝7(m)，OP ＝12BC ＝1(m)，所以SP ＝22(m)，则△SAB 的面积是12×2×22＝22(m 2)．所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m 2)，即制造这个塔顶需要82m 2铁板．21[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ′.圆锥的高h ＝42－22＝23，又∵h ′＝3，∴h ′＝12h .∴r 2＝23－323，∴r ＝1. ∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.22[解析] 由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．又S 半球面＝12×4π×22＝8π(cm 2)，S 圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋42＝35π(cm 2)，S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)，即该几何全的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)．所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．。
