高考文科数学直线平面垂直的判定与性质考点讲解

直线平面垂直判定性质【基础知识回顾】知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.图形要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼）【方法】1．两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.方法一：用线面垂直实现。

一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.2. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.方法二：用面面垂直实现。

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直方法二：计算所成二面角为直角。

【考点例题解析】考点1线面垂直例1.在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD例2. 如图，在△ABC 中，ο90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥例3.如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ⋅=例4如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离变式1.如图所示，︒=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，︒=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．考点2面面垂直例1.（2012课标文）如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=12AA1,D 是棱AA1的中点. （1）证明:平面1BDC ⊥平面1BDC（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.例2.（2012福建文）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AB AD AA M===为棱1DD 上的一点.（1）求三棱锥1A MCC -的体积;（2）当1A M MC+取得最小值时,求证:1B M ⊥平面MAC .变式1.（2009山东）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点.（1）设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2）证明:平面D1AC ⊥平面BB1C1C.【课后作业】1.（2012大纲全国）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,22,AB CC E ==为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A ．2 B.3 C. 2 D. 12.（2010湖北文）用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ； ④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2011日照）若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β4．（2011山东）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．150°5.（2010全国Ⅱ卷）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，E ABCFEA B CDD F那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）A ．3 B ．5 C ．7D ．346.（2010重庆卷理）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 7.（2009四川）如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，AB PA ABC PA 2,=⊥平面则下列结论正确的是（ ）A. AD PB ⊥B.PAB 平面PBC 平面⊥C. 直线BC ∥PAE 平面D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45°8.（2008海南宁夏）已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥mB. AC ⊥mC. AB ∥βD. AC ⊥β9.（2007江苏）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③10.（2011全国）已知直二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 （ ）A ．2B. 3C. 6D. 111.（2009浙江）设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥12．（2008山东）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．13．（2011北京）如图，在四面体P －ABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．（1）求证：DE ∥平面BCP ； （2）求证：四边形DEFG 为矩形；（3）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．ABC MPD。

2021高考领跑一轮复习资料·数学篇专题42直线、平面垂直的判定与性质一、【知识精讲】1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)范围：0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.二、【典例精练】考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离.【解析】(1)证明因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)解作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.【解法小结】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ；(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【解析】(1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC .在△ABC 中，∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，∴DE ∥AC ，∴DE ∥A 1C 1.∵DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，∴直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1.∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥A 1C 1.∵A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.∵B 1D ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥B 1D ，又∵B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，∴B 1D ⊥平面A 1C 1F .∵直线B 1D ⊂平面B 1DE ，∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【解法小结】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】(2018·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；(3)求证：EF ∥平面PCD .【解析】(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD .所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面PAD .所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，且PA ∩AB ＝A ，所以PD ⊥平面PAB .又PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形.所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .【解法小结】1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32，由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P －ABC 的高.又PA ＝1，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt△BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.【解法小结】1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是 DF的中点．（Ⅰ）设P 是 CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；（Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A = ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒，因此30CBP ∠=︒（Ⅱ）解法一：取 EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH ．因为120EBC ∠=︒，所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ====+=．取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ．则EM AG ⊥，CM AG ⊥，所以EMC ∠为所求二面角的平面角．又1AM =，所以1313EM CM ==-=在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以23EC =，因此EMC ∆为等边三角形，故所求的角为60︒．解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，3,3)G ，(3,0)C -，故(2,0,3)AE =- ，3,0)AG = ，(2,0,3)CG =，设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量．由00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得1111230,30,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取12z =，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)=m ．设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得222230,230,x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)n =-．所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅．因此所求的角为60︒．【解法小结】 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD ∥BC ，AD ⊥PD ，得PD ⊥BC ，进而利用线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面PBC .2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.三、【名校新题】1.(2019·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m⊂αB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β【答案】C【解析】由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.2．(2019·浙江模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n【答案】C【解析】∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.3.(2019·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC【答案】D【解析】依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到AC⊥BC，因此MN 与BC 所成的角是90°，B 错误；注意到直线OC 与AC 不垂直，因此OC 与平面VAC 不垂直，C 错误；由于BC ⊥AC ，BC ⊥VA ，因此BC ⊥平面VAC .又BC ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面VAC ，D 正确．故选D.4．(2019·银川模拟)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有()A．AH ⊥平面EFH B．AG ⊥平面EFH C．HF ⊥平面AEF D．HG ⊥平面AEF【答案】A【解析】由平面图形得AH ⊥HE ，AH ⊥HF ，又HE ∩HF ＝H ，∴AH ⊥平面HEF ，故选A.5.(2019·泉州模拟)在下列四个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是()【答案】D【解析】如图，在正方体中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 均为所在棱的中点，易知E ，F ，G ，M ，N ，Q 六个点共面，直线BD 1与平面EFMNQG 垂直，并且选项A、B、C 中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D 中的直线BD 1与平面EFG 不垂直，满足题意，故选D.6．(2019·重庆模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β【答案】D【解析】若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，故A 错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错误；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误；对于D，由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α，又知n ∥β，故α⊥β，所以D 正确．故选D.7．(2019·襄阳模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是()A．MN 与CC 1垂直B．MN 与AC 垂直C．MN 与BD 平行D．MN 与A 1B 1平行【答案】D【解析】如图所示，连接C 1D ，BD ，则MN ∥BD ，而C 1C ⊥BD ，故C 1C ⊥MN ，故A，C 正确，D 错误，又因为AC ⊥BD ，所以MN ⊥AC ，B 正确．8．(2019·湘东五校联考)已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③【答案】A【解析】对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①正确，排除B.对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又l ⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.9．(2018·济南模拟)已知如图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABCDEF .则下列结论不正确的是()A．CD ∥平面PAF B．DF ⊥平面PAF C．CF ∥平面PAB D．CF ⊥平面PAD 【答案】D【解析】A 中，因为CD ∥AF ，AF ⊂平面PAF ，CD ⊄平面PAF ，所以CD ∥平面PAF 成立；B 中，因为ABCDEF 为正六边形，所以DF ⊥AF ，又因为PA ⊥平面ABCDEF ，所以PA ⊥DF ，又因为PA ∩AF ＝A ，所以DF ⊥平面PAF 成立；C 中，因为CF ∥AB ，AB ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ，所以CF ∥平面PAB ；而D 中CF 与AD 不垂直．故选D.10．(2019·甘肃二诊)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝4，若在棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值范围是()A．(0,1]B．(0,2]C．(1，3]D．[1,4)【答案】B【解析】连接DP ，由D 1P ⊥PC ，DD 1⊥PC ，且D 1P ，DD 1是平面DD 1P 上两条相交直线，得PC ⊥平面DD 1P ，PC⊥DP ，即点P 在以CD 为直径的圆上，又点P 在AB 上，则AB 与圆有公共点，即0<AD ≤12CD ＝2，故选B.11.(2018·静海月考)如图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【答案】D【解析】∵平面PAC ⊥平面PBC ，而平面PAC ∩平面PBC ＝PC .又AC ⊂平面PAC ，且AC ⊥PC ，∴AC ⊥平面PBC ，而BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ，∴点C 在以AB 为直径的圆上，∴点C 的轨迹是一个圆，但是要去掉A 和B 两点．故选D.12.(2019·广州一模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B 【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.13．(2019·沈阳模拟)已知P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题：①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确的个数是________．【答案】3【解析】如图所示．∵PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴PA ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥BC .同理PB ⊥AC ，PC ⊥AB .但AB 不一定垂直于BC .14．(2019·西安模拟)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .【答案】BM ⊥PC (或DM ⊥PC )【解析】∵△PAB ≌△PAD ，∴PB ＝PD ，∴△PDC ≌△PBC ，当BM ⊥PC 时，有DM ⊥PC ，此时PC ⊥平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .故填BM ⊥PC (或DM ⊥PC )．15．(2019·绵阳一诊)已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，则①m ⊥β；②l ⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．【答案】②④【解析】因为γ∩β＝l ，所以l ⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m ，l ⊥m ，所以l ⊥α；因为γ∩β＝l ，所以l ⊂β，又l ⊥α，所以α⊥β.由于β可以绕l 转动，位置不定，所以m ⊥β和β⊥γ不一定成立，即②④正确，①③错误．16．(2019·泉州模拟)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．【答案】①②④【解析】对于①，V A －D 1PC ＝V P －AD 1C ，点P 到平面AD 1C 的距离即为线BC 1与平面AD 1C 的距离，为定值，故①正确；对于②，因为平面A 1C 1B ∥平面ACD 1，所以线A 1P ∥平面ACD 1；对于③，由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直于BC 1，故③错误；对于④，由于B 1D ⊥平面ACD 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1.17.(2019·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长.【解析】(1)证明∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°，由余弦定理得BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos∠BCC 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC ⊥BC 1，又AB ，BC ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ，∴BC 1⊥平面ABC .(2)解∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴V E －ABC ＝V A －EBC ＝13S △BCE ·AB ＝13S △BCE ·1＝312∴S △BCE ＝34＝12CE ·BC ·sin∠BCE ＝12CE ·32，∴CE ＝1.18.(2019·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点.(1)求证：BF ∥平面ADP ；(2)已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF .【解析】(1)如图，取PD 的中点为G ，连接FG ，AG .∵F 是CE 的中点，∴FG 是梯形CDPE 的中位线，∵CD ＝3PE ，∴FG ＝2PE ，FG ∥CD .∵CD ∥AB ，AB ＝2PE ，∴AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形，∴BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ，∴BF ∥平面ADP .(2)延长AO 交CD 于M ，连接BM ，FM .∵BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点，∴四边形ABMD 是正方形，则BD ⊥AM ，MD ＝2PE ，∴FM ∥PD .∵PD ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥BD ，∵AM ∩FM ＝M ，∴BD ⊥平面AMF ，∴BD ⊥平面AOF .19.(2019·泸州模拟)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD ＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面△SAB 的面积.【解析】(1)证明设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°，则BD ＝2a ，∠CBD ＝45°，所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°，在△ABD 中，AD ＝AB 2＋DB 2－2AB ·DB ·cos 45°＝2a ，因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .(2)解由(1)可知AD ＝SD ＝2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°＝6a .作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则SH ＝SD sin 60°＝62a ，由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH ⊂平面SAD ，所以BD ⊥SH .又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ，所以SH 为三棱锥S －BCD 的高，所以V S －BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1.由BD ⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD ⊥SD ，则SB ＝SD 2＋BD 2＝2＋2＝2.又AB ＝2，SA ＝6，在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为4－64＝102，则△SAB 的面积为12×6×102＝152.20．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P ­NBM 的体积．【解析】(1)证明：连接BD .∵PA ＝PD ，N 为AD 的中点，∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB .(2)∵PA ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P ­NBM ＝V M ­PNB ＝23V C ­PNB ＝23×13×32×2＝23.21．(2019·河北衡水中学模拟)如图，在底面为梯形的四棱锥S －ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠ASC ＝60°，AD＝DC＝2，SA＝SC＝SD＝2.(1)求证：AC⊥SD；(2)求三棱锥B－SAD的体积．【解析】(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD.∵SA＝SC，∴OS⊥AC.∵DA＝DC，∴DO⊥AC.又∵OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO＝O，∴AC⊥平面SOD，且SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD.(2)连接BD，在△ASC中，∵SA＝SC，∠ASC＝60°，点O为AC的中点．∴△ASC为正三角形，且AC＝2，OS＝ 3.∵在△ADC中，DA2＋DC2＝4＝AC2，O为AC的中点，∴∠ADC＝90°，且OD＝1.∵在△SOD中，OS2＋OD2＝SD2，∴∠SOD＝90°.∴SO⊥OD.又∵OS⊥AC，且AC∩DO＝O，∴SO⊥平面ABCD.∴V B －SAD ＝V S －BAD ＝13S △BAD ·SO ＝13×12AD ·CD ·SO ＝13×12×2×2×3＝33。

数学课程讲义 学科：数学专题：直线平面垂直的判定及性质考点梳理1.直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.（线线垂直→线面垂直）3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒ a ∥b （线面垂直→线线平行）4.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.lα m npαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m 内任一直线是平面ααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.金题精讲题一题面：用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④题二题面：设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )．A. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C. ⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥αD. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥αPA O aα题三题面：如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．题四题面：如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.题五题面：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,（1）求证：BD1⊥平面B1AC;（2）求B到平面B1AC的距离.题六题面：如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面P AC.课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列正确命题的序号是.①若m∥α，n∥α，则m∥n，②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，m∥β，则α∥β，④若m⊥α，n⊥α，则m∥n题二题面：如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=2a，则它的5个面中，互相垂直的面有对.题三题面：a、b表示直线，α、β、γ表示平面.①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b，则α⊥β;②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是.题四2AC，∠BDC=90°. 题面：四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF=2求证：BD⊥平面ACD.题五题面：如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN⊥平面PCD.讲义参考答案金题精讲题一答案：C题二答案：D题三答案：4题四答案：略题五答案：（1）略（2）3a3题六答案：略课后练习题一答案：④详解：①如图：，直线m与n可以异面；②我们可以考虑墙角，两个平面都与第三个平面垂直，但这两个平面却相交；③如图：α，β是相交的；④是线面垂直的性质定理，正确。

第五节直线、平面垂直的判定及其性质【最新考纲】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任意直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°．3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列命题中不正确的是()A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.解析：根据面面垂直的性质定理，A项中l⊂β，l∥β或l⊥β.答案：A3．(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．答案：A4．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC则△PAB，△PAC为Rt△由BC⊥AC，且AC∩PA＝A∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC因此△ABC，△PBC也是Rt△.答案：4垂直问题的转化关系．1．证明线线垂直的方法．(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；(4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b.2．证明线面垂直的方法．(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.3．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·佛山一中期中)设α、β、γ为不同的平面，m 、n 、l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件为( )A ．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥lB ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥αD ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α解析：A 中，缺少条件m ⊂α，不满足面面垂直的性质定理，不正确．在选项B ，C 中，平面α与β可能平行或相交，推不出m ⊥β.在D中，n⊥α，n⊥β，则α∥β，根据m⊥α，得m⊥β，D正确．答案：D2．(经典再现)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，因此选项D正确．答案：D3．如图，在正四面体P ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立．．．的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，∴BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确．答案：D4．(2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．答案：C5．如图所示，AB是⊙O的直径，V A垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为V A，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面V ACD．平面V AC⊥平面VBC解析：由圆的性质，BC⊥AC.又V A⊥平面ABC，则V A⊥BC.从而BC⊥平面V AC，平面V AC⊥平面VBC.因此C不正确，D正确．由于MN∥AC，BC⊥AC，所以A，B不正确．答案：D二、填空题6．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)7．(2017·石家庄调研)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD 与平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.所以∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设三棱柱的所有棱长为a ，在Rt △AED 中，AE ＝32a ，DE ＝a 2. 所以tan ∠ADE ＝AE DE ＝3，则∠ADE ＝π3. 故AD 与平面BB 1C 1C 所成的角为π3. 答案：π38．如图所示，在三棱锥D ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是________(填序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.解析：由AB＝CB，AD＝CD，E为AC中点，则AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，从而AC⊥平面BDE.所以平面ABC⊥平面BDE，平面ACD⊥平面BDE，③正确．答案：③三、解答题9．(2016·西安质检)如图所示，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝12PA＝3，EF＝12BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.B 级 能力提升1．如图，在正四棱锥S ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC中恒成立的为()A．①③B．③④C．①②D．②③④解析：∵E，M，N是BC，CD，SC的中点，∴EN∥SB，EM∥BD，从而可得EN∥平面SBD，EM∥平面SBD.又EN与EM是平面EMN内的两条相交直线，∴平面EMN∥平面SBD，故EP∥平面SBD，因此③正确，当点P与M不重合时，②不正确．在正四棱锥S ABCD中，AC⊥平面SBD.从而AC⊥平面EMN，由EP⊂平面EMN，得AC⊥EP，①正确．又易知EM⊥平面SAC，因此④不恒成立．答案：A2．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D 是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.解析：∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.答案：a或2a立体几何中的高考热点题型[高考导航]__________________________________1．立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算．2．重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法．[热点突破]__________________________________热点1平行、垂直关系的证明与体积的计算(满分现场)以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平行、垂直关系的论证命制，主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)求证C1F∥平面ABE.(3)求三棱锥E ABC的体积．规范解答：(1)在三棱柱ABC A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，且AB⊂平面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，且BB1∩BC＝B①所以AB⊥平面B1BCC1.3分因为AB⊂平面ABE②所以平面ABE⊥平面B1BCC1.4分图1图2(2)法一如图1，取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.6分所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，③所以C1F∥平面ABE.8分法二如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE.又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，④6分所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.8分(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.10分所以三棱锥EABC 的体积 V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. ⑤12分 【满分规则】 (1)本题的易失分点：①在第(1)问中，忽视条件①与②，导致证明线面、面面垂直的判定定理条件不全，进而扣分．②在第(2)问中，作不出辅助线，线面平行证明受阻，或忽视条件③，漏掉线面平行判定定理的条件扣1分．③运算不细心或运算能力差，导致运算结果(如⑤处)错误扣2分．(2)满分规则：①得关键点分：证明立体几何要注意解题规范，严格按照线面平行、垂直的定理条件要求，有序进行论证说明．②得步骤分：阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤，不能漏掉，否则扣分．③得运算分：在解题过程中，涉及有关长度、角、面积、体积等计算问题时，一定要细心准确，否则思路正确，由于运算失误而扣分，非常可惜．【构建模板】 第一步：利用线面垂直判定定理，证AB ⊥平面B1BCC1.第二步：证明平面ABE⊥平面B1BCC1.第三步：根据线面平行判定证明C1F∥平面ABE.第四步：根据体积公式，计算三棱锥E ABC的体积．第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．【变式训练】(2015·课标全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E ACD的体积为6 3，求该三棱锥E ACD的侧面积．(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解：设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E ACD的体积V E ACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E ACD的侧面积为3＋2 5.热点2平面图形折叠成空间几何体问题(真题探源)先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．(2015·陕西卷)如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为362，求a 的值．【命题立意】本题以平面图形的折叠为背景，考查空间垂直关系、棱锥体积的计算．考查学生识图空间想象能力．推理论证能力及数学应用意识，同时考查数学运算求解能力，突出考查方程思想、转化化归思想方法．(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC. 则在图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，且A 1O ∩OC ＝O.从而BE ⊥平面A 1OC.又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC.(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE.即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高． 由图(1)知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC·AB ＝a 2， 从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13·a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6. 【真题探源】 高考越来越重视教材题目的拓展及相关习题的融合．本题源于人教A 版必修2P 79B 组第1题的改造迁移，两题均考查空间垂直关系的证明、锥体的体积计算．高考真题将折叠“正方形”改造为折叠“直角梯形”为背景．第(2)问中，将教材中“根据正方形边长，求锥体体积”改造为“已知锥体的体积求直角梯形的底边长”．两题求解的关键在于分清翻折前后图形线面位置关系和度量关系的变化情况．试题的导向有利于中学数学教学，要求在高三复习中重视挖潜教材题目的功能，另外真题也和选修2－1P 119页B 组第3题有密切联系．《人教A 版必修2》P 79习题B 组第1题如图所示，在边长为2的正方形ABCD 中，(1)点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A′，求证：A′D ⊥EF.(2)当BE ＝BF ＝14BC 时，求三棱锥A′EFD 的体积．【变式训练】 已知等边△ABC 的边长为3，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足AD DB ＝CE EA ＝12，将△ADE 沿DE 折叠到△A 1DE 的位置，使平面A 1DE ⊥平面BCED ，连接A 1B ，A 1C.(1)证明：A 1D ⊥平面BCED.(2)在线段BD 上是否存在点M ，使得CM ∥平面A 1DE ？若存在，求出BM 的长；若不存在，说明理由．(1)证明：在△ABC 中，AD DB ＝CE EA ＝12， 得AD ＝CE ＝1，BD ＝AE ＝2，在△ADE 中，∠A ＝60°，AD ＝1，AE ＝2.由余弦定理得DE ＝3，于是AE 2＝AD 2＋DE 2.故△ADE 为直角三角形，且DE ⊥AD.因此折叠后DE ⊥A 1D.因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，A 1D ⊂平面A 1DE ，所以A 1D ⊥平面BCED.(2)解：存在满足要求的点M 过C 作BD 边的垂线，垂足即为所求的点M.证明如下：由(1)可知DE ⊥AB ，于是DE ∥CM ，因为CM ⊄平面A 1DE ，DE ⊂平面A 1DE ，所以CM ∥平面A 1DE ，因为△ABC 为等边三角形，且CM ⊥BD ，所以BM ＝12BA ＝32. 线、面位置关系中的开放存在性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型．(2)存在探索型．(3)方法类比探索型．(2017·威海模拟)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)在线段CD 上是否存在一点G ，使得平面EFG ⊥平面PDC ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图所示，连接EF，AC，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点．所以对角形AC经过点F，又在△PAC中，点E为PC的中点，所以EF为△PAC的中位线，所以EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)解：存在满足要求的点G.在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG⊥平面PDC，因为底面ABCD是边长为a的正方形，所以CD⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.又EF∥平面PAD，所以CD⊥EF.取CD中点G，连接FG、EG.因为F为BD中点，所以FG∥AD.又CD⊥AD，所以FG⊥CD，又FG∩EF＝F，所以CD⊥平面EFG，又CD⊂平面PDC，所以平面EFG⊥平面PDC.1．在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．2．第(2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．【变式训练】(2015·安徽卷)如图，三棱锥P ABC中，PA ⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出PM MC的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32. 由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥PABC 的高．又PA ＝1，所以三棱锥PABC 的体积 V ＝13·S △ABC ·PA ＝36. (2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N.在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM. 由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC.由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN.又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM.在直角△BAN 中，AN ＝AB·cos ∠BAC ＝12， 从而NC ＝AC －AN ＝32，由于MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13，故在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，且PMMC＝13.1．(2015·四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.(1)解：标出点F、G、H的位置如图所示．(2)解：平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形．所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.2．如图所示，ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC ＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于点G.(1)求证：AE ∥平面BFD.(2)求三棱锥C BFG 的体积．(1)证明：由题意可得G 是AC 的中点，因为BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥CE ，又BC ＝BE ，所以F 是CE 的中点，所以FG ∥AE ，又FG ⊂平面BFD ，AE ⊄平面BFD ，所以AE ∥平面BFD.(2)解：由矩形ABCD 知AD ∥BC ，且AD ⊥平面ABE.所以BC ⊥平面ABE ，则BC ⊥AE.因为BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE ，又BC ∩BF ＝B ，所以AE ⊥平面BCE.由(1)知G 是AC 的中点，F 是CE 的中点．所以FG ∥AE 且FG ＝12AE ＝1. 所以FG ⊥平面BCE.在Rt △BCE 中，BF ＝12CE ＝CF ＝2， 所以S △CFB ＝12×2×2＝1.所以V C BFG ＝V G BCF ＝13S △CFB ×FG ＝13×1×1＝13. 3．如图，在边长为1的等边△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF.(2)证明：CF ⊥平面ABF.(3)当AD ＝23时，求三棱锥F DEG 的体积V F DEG .(1)证明：在等边△ABC 中，AD ＝AE ， 所以AD DB ＝AE EC， 从而在折叠后的三棱锥ABCF 中，仍有AD DB ＝AE EC， 所以DE ∥BC ，又DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF.所以DE ∥平面BCF.(2)证明：在等边△ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥FC ，BF ＝CF ＝12.因为在三棱锥A BCF 中，BC ＝22， 所以BC 2＝BF 2＋CF 2，CF ⊥BF.因为BF ∩AF ＝F ，所以CF ⊥平面ABF.(3)解：由(1)可知GE ∥CF 中，结合(2)得GE ⊥平面DFG.由AD ＝23，且等边△ABC 的边长为1， ∴DG ＝GE ＝12×23＝13，GF ＝13×32＝36， 则S △DFG ＝12DG ·GF ＝12×13×36＝336. 故V 棱锥F DEG ＝V 棱锥E DFG ＝13GE ·S △DFG ＝3324. 4．(2015·广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)求证：BC ∥平面PDA ；(2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．(1)证明：∵四边形ABCD 为长方形，∴BC ∥AD.又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，∴BC∥平面PDA.(2)证明：∵BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD且平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PDC，又PD⊂平面PDC，因此BC⊥PD.(3)解：取CD的中点E，连接PE，AC.∵PD＝PC，∴PE⊥CD，∴PE＝PC2－CE2＝42－32＝7.∵平面PDC⊥平面ABCD且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE ⊂平面PDC，∴PE⊥平面ABCD.由(2)知BC⊥平面PDC.又AD∥BC，∴AD⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h，则V C PDA＝V P ACD，∴13S△PDA·h＝13S△ACD·PE，∴h ＝S △ACD ·PE S △PDA ＝12×3×6×712×3×4＝372， 故点C 到平面PDA 的距离为372.5．(2017·石家庄调研)如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AD ＝EF ＝AF ＝1，AB ＝2.(1)求证：平面AFC ⊥平面CBF ；(2)在线段CF 上是否存在一点M ，使得OM ∥平面DAF ？并说明理由．(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF ，由AF ⊂平面ABEF ，得AF ⊥CB.又∵AB 是圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，从而AF ⊥平面CBF.∵AF ⊂平面AFC ，故平面AFC ⊥平面CBF.(2)解：取CF 中点记作M ，设DF 的中点为N ，连接AN ，MN ，则MN 綊12CD ， 又AO 綊12CD ， 则MN 綊AO ，∴MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN.又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF.故在线段CF 上存在点M ，当点M 是CF 的中点时，使得OM ∥平面DAF.6．(2015·湖南卷)如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F AEC 的体积．(1)证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1.又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解：设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝32AB＝ 3.在Rt△AA1D中，AA1＝A1D2－AD2＝3－1＝2，所以FC＝12AA1＝2 2.故三棱锥F AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 命题立意：知识：空间线面、面面垂直关系的证明，直线与平面所成的角以及三棱锥的体积的计算．能力：通过空间线面、面面垂直关系的证明考查空间想象能力和推理论证能力，通过求三棱锥的体积考查运算求解能力．试题难度：中．。

第五节 直线、平面垂直的判定及性质预习设计 基础备考知识梳理1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作(2)判定定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号表示为：,,,,α⊂⊂⊥⊥b a a b l a l .α⊥⇒l(3)性质：①若⇒⊂⊥ααa l , ，这是我们在空间证明线线垂直的一种重要方法．②性质定理：垂直于同一平面的两条直线用符号表示：⇒⊥⊥ααb a ,2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角。

规定：当直线与平面垂直和平行（含直线在平面内）时，则直线和平面所成的角分别为(2)线面角的范围为3．二面角(1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 两个半平面叫做二面角的面，如图①，记作：βα--l 或βα--AB 或.Q AB P --(2)二面角的平面角．如图②，二面角,β--l a若有：,,;,;l OB l OA OB OA l O ⊥⊥⊂⊂∈③②①βα则AOB ∠就叫做二面角βα--l 的平面角．4．平面与平面垂直典题热身1．设n m l 、、均为直线，其中m 、n 在平面a 内，则”“α⊥l 是⊥l “m 且”n l ⊥的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A2．(2008．湖南)已知直线m ，n 和平面βα、满足.,m n m ⊥,βα⊥则（ ）β⊥n A . ββ⊂n n B 或,//. α⊥n c . αα⊂n n D 或,//.答案：D3．(2009．广东)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④答案：D4．（2011．长沙一中模拟）下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线βα、、γ表示三个不同的平面. ①若,//,ααn m ⊥则;n m ⊥②若,,γβγα⊥⊥则;//βα③若,//,//ααn m 则;//n m ④若,,//,//αγββα⊥m 则.γ⊥m正确的命题是 ( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案：C5．三棱锥P- ABC 的顶点P 在底面的射影为O ，若=PA ,PC PB =则点O 为△ABC 的 心，若PC PB PA 、、两两垂直，则O 为△ABC 的 心，答案：外垂课堂设计 方法备考题型一 直线与平面垂直的判定与性质【例1】已知直角△ABC 所在平面外一点S ，且D SC SB SA ,==为斜边AC 中点．(1)求证：SD ⊥面ABC ；(2)若,BC AB =求证：BD ⊥面SAC ．题型二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图所示，已知△ABC 是等边三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，且EC 、DB 在平面ABC 的同侧，M 为EA 的中点，,2BD CE =求证：(1)平面BDM ⊥平面ECA ；(2)平面DEA ⊥平面ECA ．题型三 空间垂直关系中的探索性问题【例3】如图所示，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是oDAB 60=∠的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ．(1)求证：.PB AD ⊥(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD?并证明你的结论.题型四 线面角的求法【例4】如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，=∠BAD BC AD ,//⊥PA ,90 底面ABCD ，且==AD PA N M BC AB 、,2=分别为PC 、PB 的中点．(1)求证：;DM PB ⊥(2)求BD 与平面ADMN 所成的角．题型五 二面角的求法【例5】（2011．信阳模拟）如图，三棱锥ABC P -中，D 是AC 的中点，==PB PA ,5=PC ,22=AC .6,2==BC AB(1)求证：PD ⊥平面ABC;(2)求二面角C AB P --的正切值大小，技法巧点(1)垂直关系的转化：在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来决，如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．(2)面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要做一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．失误防范1．利用线面垂直的判定定理，此种方法要注意平面内的两条直线必须相交．2．两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，此种方法要注意“平面内的直线”．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线与垂直于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在问题不很复杂的题目中，要对此进行证明，以免无谓扣分．随堂反馈1．平面α⊥平面β的一个充分条件是 ( )A ．存在一条直线βα⊥⊥l l l ,,B ．存在一个平面βγαγγ//,//,C ．存在一个平面βγαγγ⊥⊥,,D ．存在一条直线βα//,,l l l ⊥答案：D2．（2010．山东师大附中期中）设a 、b 、c 是空间的三条直线，α、β是空间的两个平面，则下列命题中不成立的是( )A ．当a c ⊥时，若,β⊥c 则β//aB ．当α⊂b 时，若,β⊥b 则βα⊥C ．当,α⊂b 且c 是a 在α内的射影时，若,c b ⊥则b a ⊥D ．当,α⊂b 且α⊂/c 时，若,//b c 则α//c答案：A3．在正方体1111D C B A ABCD -中，C B 1与对角面B B DD 11所成角的大小是（ ）15.A 30.B 45.C 60.D答案：B4．设P 是60的二面角βα--l 内一点，B A PB PA 、,,βα⊥⊥分别为垂足，,4,2==PB PA 则AB 的长是答案：725．(2011．汕头模拟)已知γβα、、是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：①若,,ββα⊥⊥l 则;//αl②若,//,βαl l ⊥则;βα⊥③若l 上有两个点到a 的距离相等，则;//αl④若,//,γαβα⊥则⋅⊥βγ其中正确命题的序号是答案：②④高效作业 技能备考一、选择题-1．（2011．浙江高考）若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( )A ．若,,α⊂⊥m m l 则α⊥lB ．若,//,m l l α⊥则α⊥mC ．若,,//αα⊂m l 则m l //D ．若,//,//ααm l 则m l //答案：B2．已知直线a ，b 和平面βα、，且,,βα⊥⊥b a 那么βα⊥是b a ⊥的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件答案：C3．已知平面 α平面m l ,=β是“内的一条直线，则在平面β内( )A. -定存在直线与直线m 平行，也一定存在直线与直线m 垂直B ．一定存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直C ．不一定存在直线与直线m 平行，但一定存在直线与直线m 垂直D ．不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与直线m 垂直答案：C4．已知平面⊥α平面,,l =βαβ 点,,l A A ∉∈α直线,//l AB 直线,l AC ⊥直线,//,//βαm m 则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )m AB A //. m AC B ⊥. β//.AB C β⊥AC D .答案：D5．（2011．柳州模拟）设a 、b 是不同的直线，βα、是不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ( )A ．若,|,α-⊥a b a 则α//bB ．若,,//βαα⊥a 则β⊥aC ．若,,βαβ⊥⊥a 则α//aD ．若,,,βα⊥⊥⊥b a b a 则βα⊥答案：D6．平面a 的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 ( )A ．一条直线B ．-个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支答案：A二、填空题7．m 、n 是空间两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是n;//,//,⊥⇒⊥m n m βαβα① ;//,//,βαβαn m n m ⇒⊥⊥②;//,//n,βαβα⊥⇒⊥n m m ③ ⋅⊥⇒⊥ββααn n m m //,//,④答案：①④8．在△ABC 中，⊥=∠==∠PC ABC AB ACB ,60,8,90平面M PC ABC ,4,=是AB 上一个动点，则PM 的最小值为 答案：729．如图，平面ABC ⊥平面=∠BAC BDC ,,,90a AC AB BDC ===∠且 则=AD答案：a三、解答题10．（2011．江苏高考）如图，在四棱锥ABCD p -中，平面PAD ⊥平面,60,, =∠=BAD AD AB ABCDE ，F 分别是AP ，AD 的中点，求证：(1)直线EF∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面PAD ．11．(2011．课标全国卷)如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，,60 =∠DAB ,2AD AB =⊥PD 底面ABCD.(1)证明：;BD PA ⊥(2)设,1==AD PD 求棱锥PBC D -的高．12．(2011．湖北高考)如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为,23点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且.2,22==BF AE (1)求证：;1E C CF ⊥(2)求二面角1C CF E --的大小，。

数学线面垂直的知识点总结归纳数学是一座高山，哪怕是高考数学这样的小山丘，也让无数学子望其背而心戚戚，更有人混淆知识点。

下面是小编为大家整理的关于数学线面垂直的知识点，希望对您有所帮助!数学直线与平面平行、垂直知识点直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直，线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.注：①垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行)②垂直于同一直线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面)③垂直于同一平面的两条直线平行.(√)5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上高中数学线面垂直知识点1)直线垂直于平面内两条非平行的线,则直线垂直于该平面2)直线的两条不平行的垂线与平面平行,则直线垂直于该平面3)有A、B两个面都与C平面垂直,则A、B两个面的交线也垂直于C平面4)直线垂直于与A平面平行的B平面,则直线垂直于A平面5)直线任意点在平面上的投影都重合,则直线垂直于该平面6)直线上任意点到平面的距离,都等于这一点到线面交点的距离,则直线垂直于该平面线面垂直性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。

其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。

本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。

一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。

1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。

直线可由一个点和一个方向确定。

在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。

2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。

平面由三个非共线的点决定。

在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。

二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。

同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。

2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。

下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。

(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。

三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。

2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。

下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。

(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。

四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。

同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。

第41讲 直线、平面垂直的判定与性质（讲）思维导图知识梳理1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α题型归纳题型1 线面垂直的判定与性质【例1-1】（2019秋•合肥期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：1AC DB ⊥； （2）求证：1DB ⊥平面1ACD ．【分析】（1）连结BD 、11B D ，推导出1DD AC ⊥，AC BD ⊥，从而AC ⊥平面11DBB D ，由此能证明1AC DB ⊥． （2）由1AC DB ⊥，得1DB AC ⊥，同理可得11DB AD ⊥，由此有证明1DB ⊥平面1ACD ． 【解答】证明：（1）连结BD 、11B D ， 1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1DD AC ∴⊥，又AC BD ⊥，1BDDD D =，BD 、1DD ⊂平面11DBB D ，AC ∴⊥平面11DBB D ，又1DB ⊂平面11DBB D ， 1AC DB ∴⊥．（2）由1AC DB ⊥，即1DB AC ⊥， 同理可得11DB AD ⊥， 又1AD AC A =，1AD ，AC ⊂平面1ACD ，1DB ∴⊥平面1ACD ．【例1-2】（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．【分析】（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，且AB BC =，可得AC ⊥平面11BB D D ，因为EF ⊂平面11BB D D ，所以EF AC ⊥．（2）取1AA 上靠近1A 的三等分点M ，连接DM ，1C F ，MF ．根据已知条件可得四边形1AED M 为平行四边形，得1//D M AE ，再推得四边形11C D MF 为平行四边形，所以11//D M C F ，根据直线平行的性质可得1//AE C F ，所以A ，E ，F ，1C 四点共面，即点1C 在平面AEF 内．【解答】解：（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以1BB ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为1111ABCD A B C D -是长方体，且AB BC =，所以ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又1BD BB B =．所以AC ⊥平面11BB D D ，又因为点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，所以EF ⊂平面11BB D D ， 所以EF AC ⊥．（2）取1AA 上靠近1A 的三等分点M ，连接1D M ，1C F ，MF ． 因为点E 在1DD ，且12DE ED =，所以//ED AM ，且ED AM =， 所以四边形1AED M 为平行四边形，所以1//D M AE ，且1D M AE =， 又因为F 在1BB 上，且12BF FB =，所以11//A M FB ，且11A M FB =，所以11A B FM 为平行四边形，所以11//FM A B ，11FM A B =，即11//FM C D ，11FM C D =， 所以11C D MF 为平行四边形， 所以11//D M C F ，所以1//AE C F ，所以A ，E ，F ，1C 四点共面． 所以点1C 在平面AEF 内．【跟踪训练1-1】（2019•梅州二模）如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ．（1）求证：AB ⊥平面ADE ．（2）当EA ED =【分析】（1）由已知利用线面垂直的性质可知AE CD ⊥，由//AB CD ，可求AB AE ⊥，利用线面垂直的判断定理可证AB ⊥平面ADE ．（2）在AED ∆中，经E 点作EF AD ⊥交AD 于点F ，设EA ED x ==，则AB ，EF x ，由多面体的体积可求x 的值，进而可求2AE ED ==，AB =EF =，由CD ED ⊥，利用勾股定理可求DE =AE AB ⊥，利用勾股定理可求BE 的值，根据三角形的面积公式，正方形的面积公式即可计算得解该多面体的表面积的值． 【解答】解：（1）证明：AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，AE CD ∴⊥，正方形ABCD 中，//AB CD ，AB AE ∴⊥，又正方形ABCD 中，AB AD ⊥，AEAD A =，AB ∴⊥平面ADE ．（2）在AED ∆中，经E 点作EF AD ⊥交AD 于点F ， 由（1）可知AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ，AB EF ∴⊥，ABAD A =，EF ∴⊥平面ABCD ，设EA ED x ==，则AB ，EF x ，∴211)33ABCD S EF =⨯⨯=⨯正方形，解得：2x =，2AE ED ∴==，AB =，EF ，CD AD ⊥，CD AE ⊥，ADAE A =，可得：CD ⊥平面AED ，又ED ⊂平面AED ，可得CD ED ⊥，∴可得：DE =又AE AB ⊥，可得：BE ==1122BCE S BC ∆∴=⨯ ∴该多面体的表面积1118222210222BCE CDE AED AEB ABCD S S S S S S ∆∆∆∆=++++=+⨯+⨯⨯+⨯=+正方形．【跟踪训练1-2】（2019秋•新余期末）如图四棱锥P ABCD -，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，点F为侧棱PB的中点，过C、D、F三点的平面交侧棱PA于点E．（1）求证：点E为侧棱PA的中点；（2）若PD AD=，求证：PA CF⊥．【分析】（1）推导出//AB EF．由此能证明点E为侧棱PA的中点．AB CD．//AB平面CDEF．从而//（2）推导出DE PA⊥．PD CD⊥．从而PA⊥平面CDEF，⊥，且AD CD⊥，从而CD⊥平面PAD，进而CD PA由此能证明PA CF⊥．【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，//∴．AB CD且CD⊂平面CDEF，AB⊂/平面CDEF，//∴平面CDEF．AB又AB⊂平面PAB，平面PAB⋂平面CDEF EF=，AB EF∴．//而点F为侧棱PB的中点，∴点E为侧棱PA的中点．（2）PD AD∴⊥．=，且点E为侧棱PA的中点，DE PA又PD⊥平面ABCD，PD CD∴⊥，且AD CD⊥，故CD⊥平面PAD，CD PA∴⊥．∴⊥平面CDEF，PA CFPA∴⊥．【名师指导】证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为：题型2 面面垂直的判定与性质【例2-1】（2020•新课标Ⅲ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC∆是底面的内接正三角形，P为DO上一点，90APC∠=︒．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO，求三棱锥P ABC-的体积．【分析】（1）首先利用三角形的全等的应用求出AP BP⊥，CP BP⊥，进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论．（2）利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果．【解答】解：（1）连接OA，OB，OC，ABC∆是底面的内接正三角形，所以AB BC AC==．O是圆锥底面的圆心，所以：OA OB OC==，所以222222===+=+=+，AP BP CP OA OP OB OP OC OP所以APB BPC APC∆≅∆≅∆，由于90∠=︒，APC所以90∠=∠=︒，APB BPC所以AP BP ⊥，CP BP ⊥， 由于APCP P =，所以BP ⊥平面APC ， 由于BP ⊂平面PAB ， 所以：平面PAB ⊥平面PAC ．（2）设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，所以l =，所以22rr π+=，整理得22(3)(1)0r r +-=，解得1r =．所以AB ==由于222AP BP AB +=，解得AP =则：1132P ABC V -=⨯【例2-2】（2020•江苏）在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB ．【分析】（1）证明1//EF AB ，然后利用直线与平面平行的判断定理证明//EF 平面11AB C ； （2）证明1B C AB ⊥，结合AB AC ⊥，证明AB ⊥平面1AB C ，然后证明平面1AB C ⊥平面1ABB ． 【解答】证明：（1）E ，F 分别是AC ，1B C 的中点． 所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以//EF 平面11AB C ；（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面1ABB ， 所以1B C AB ⊥， 又因为AB AC ⊥，1AC B C C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，所以AB ⊥平面1AB C ， 因为AB ⊂平面1ABB ， 所以平面1AB C ⊥平面1ABB ．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积．【分析】（1）运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可得证；（2）连接BG ，AG ，由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可得所求值．【解答】解：（1）证明：由已知可得//AD BE ，//CG BE ，即有//AD CG ， 则AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面； 由四边形ABED 为矩形，可得AB BE ⊥， 由ABC ∆为直角三角形，可得AB BC ⊥， 又BCBE B =，可得AB ⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，可得平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）连接BG ，AG ，由AB ⊥平面BCGE ，可得AB BG ⊥，在BCG ∆中，2BC CG ==，120BCG ∠=︒，可得2sin 60BG BC =︒=可得AG ==在ACG ∆中，AC 2CG =，AG =， 可得cosACG ∠=sin ACG ∠，则平行四边形ACGD 的面积为24=．【跟踪训练2-2】（2020春•本溪县期末）在矩形ABCD 中，24AB AD ==，E 是AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，得到如图所示的四棱锥P BCDE -．（1）若平面PDE ⊥平面BCDE ，求四棱锥P BCDE -的体积； （2）若PB PC =，求证：平面PDE ⊥平面BCDE ．【分析】（1）取DE 的中点M ，连接PM ，易知PM DE ⊥，由面面垂直的性质可得PM ⊥平面BCDE ，即PM 为四棱锥P BCDE -的高，求得PM 的长和梯形BCDE 的面积后，再根据棱锥的体积公式即可得解．（2）取BC 的中点N ，连接PN 、MN ，则BC MN ⊥，BC PN ⊥，由线面垂直的判定定理可推出BC ⊥平面PMN ，从而得BC PM ⊥，由（1）知，PM DE ⊥，再结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证．【解答】解：（1）如图所示，取DE 的中点M ，连接PM ， 由题意知，PD PE =，PM DE ∴⊥，又平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE ⋂平面BCDE DE =，PM ⊂平面PDE ，PM ∴⊥平面BCDE ，即PM 为四棱锥P BCDE -的高．在等腰Rt PDE ∆中，2PE PD AD ===，12PM DE ∴==， 而梯形BCDE 的面积11()(24)2622S BE CD BC =+=⨯+⨯=，∴四棱锥P BCDE -的体积112633V PM S ==⨯=（2）取BC 的中点N ，连接PN 、MN ，则BC MN ⊥， PB PC =，BC PN ∴⊥， MNPN N =，MN 、PN ⊂平面PMN ，BC ∴⊥平面PMN ，PM ⊂平面PMN ，BC PM ∴⊥，由（1）知，PM DE ⊥，又BC 、DE ⊂平面BCDE ，且BC 与DE 是相交的，PM ∴⊥平面BCDE ，PM ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面BCDE ．【名师指导】1．面面垂直判定的2种方法与1个转化 (1)2种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)1个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．2．面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．题型3 垂直关系中的探索性问题【例3-1】（2020•红河州二模）在四棱锥P ABCD-中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，22BAD ABC∠=∠=︒．==，90AD AB BC（1）AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD；若存在，请证明，若不存在，请说明理由；（2）若PCD-的体积．∆的面积为P ABCD【分析】（1）当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD．运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；（2）设AB aa=，求得PM和四边形ABCD的面积，=，运用三角形的勾股定理和线面垂直的性质，可得4由棱锥的体积公式可得所求．【解答】解：（1）当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD．证明：由PAD⊥，∆是等边三角形，可得PM AD而平面PAD⊥平面ABCD，AD为平面PAD和平面ABCD的交线，可得PM⊥平面ABCD，又PM⊂平面PMC，可得平面PCM⊥平面ABCD；（2）设AB aAD a=，=，2=，可得BC a连接MC，可得MC AB MD a=，PD a===，则CD=，2由PM MC ⊥，可得2PC a =，而PCD ∆的面积为22112422aa a -==4a =，四棱锥P ABCD -的体积为()111484332ABCD V S PM =⋅=⋅⋅+⋅⋅=四边形．【例3-2】（2019秋•新余期末）如图，AC 是半圆O 的直径，AC =，B 为圆周上一点，BE ⊥平面ABC ，//BC DE ，3BE BC =，2DE BC =，CD =（1）求证：平面AEB ⊥平面AED ；（2）在线段AD 上是否存在点M ，且使得CM ⊥平面AED ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出BE BC ⊥，AB BC ⊥，从而BC ⊥平面AEB ，进而DE ⊥平面AEB ，由此能证明平面AEB ⊥平面AED ．（2）设BC x =，则3BE x =，2DE x =，CD ．由CD =得到1x =．3AB BE ==．取AE 中点N ，连接BN 、MN 、BM 、CM ．BN AE ⊥．从而平面AEB ⊥平面AED ，BN ⊥平面AED ．四边形BCMN 为平行四边形，由此能证明CM ⊥平面AED ．【解答】解：（1）证明：BE ⊥平面ABC ，BE BC ∴⊥． 又B 为圆周上一点，且AC 是半圆O 的直径，AB BC ∴⊥． BC ∴⊥平面AEB ．又//BC DE ，DE ∴⊥平面AEB ，且DE ⊂平面AED ，∴平面AEB ⊥平面AED ．（2）解：点M 为线段AD 中点，证明如下： 设BC x =，则3BE x =，2DE x =，CD ∴=．又CD =1x ∴=．3AB BE ∴===． 取AE 中点N ，连接BN 、MN 、BM 、CM ． BN AE ∴⊥．又由（1）可知平面AEB ⊥平面AED ，故BN ⊥平面AED ．又1//2MN DE =，1//2BC DE =，故//MN BC =，即四边形BCMN 为平行四边形， //BN CM ∴，CM ∴⊥平面AED ．【跟踪训练3-1】（2020春•东城区期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB 和1DD 的中点． （Ⅲ）求证：//EF 平面1BCD ；（Ⅲ）在棱11C D 上是否存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ？若存在，求出11C MD M的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅲ）取1D C 的中点G ，连接FG ，GB ，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅲ）在棱11C D 上假设存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ，取M 为11C D 的中点，连接1DC ，FM ，EM ，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论．【解答】解：（Ⅲ）取1D C 的中点G ，连接FG ，GB ，因为F 为1DD 的中点， 所以//FG DG ，且12FG DC =， 在正方体1111ABCD A B C D -中，因为E 为AB 的中点， 所以//EB DC ，且1122EB AB DC ==，所以//FG EB ，FG EB =， 可得四边形EBGF 为平行四边形，所以//EF GB ，又因为EF ⊂/平面1BCD ，GB ⊂平面1BCD ， 则//EF 平面1BCD ；（Ⅲ）在棱11C D 上假设存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ， 取M 为11C D 的中点，连接1DC ，FM ，EM ，因为F 为1DD 的中点，所以1//FM DC ，因为11DC D C ⊥， 可得1FM D C ⊥，因为BC ⊥平面11D DCC ，FM ⊂平面11D DCC ， 所以BC FM ⊥，因为BC ⊂平面1BCD ，1D C ⊂平面1BCD ，1BC D C C =，所以FM ⊥平面1BCD ，因为FM ⊂平面MEF ，所以平面MEF ⊥平面1BCD ， 故111MC MD =．【跟踪训练3-2】（2020•黄山二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB BC ===1AD CD ==，120ADC ∠=︒，点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且14PN PB =． （1）证明：//MN 平面PDC ；（2）在线段BC 上是否存在一点Q ，使得平面MNQ ⊥平面PAD ，若存在，求出点Q 的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）首先推得AC BD ⊥，且M 为AC 的中点，分别求得BM ，DM ，再由平行线分线段成比例的逆定理可得//MN PD ，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）过M 作ME AD ⊥，垂足为E ，延长EM 交BC 于Q ，连接NQ ，NE ，结合线面垂直的判定和性质可得EQ ⊥平面PAD ，EQ ⊂平面MNQ ，可得平面MNQ ⊥平面PAD ， 再由正弦定理计算可得BQ ，即可判定存在性．【解答】解：（1）证明：在四边形ABCD 中，由AB BC =，1AD CD ==， 可得ABD CBD ∆≅∆，可得AC BD ⊥，且M 为AC 的中点，由1AD CD ==，120ADC ∠=︒，可得1cos602DM CD =︒=，2sin 60AC CD =︒=，则32BM ==， 由13DM PN BM BN ==，可得//MN PD ， 而MN ⊂/平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 可得//MN 平面PDC ；（2）过M作ME AD⊥，垂足为E，延长EM交BC于Q，连接NQ，NE，由PA⊥平面ABCD，EQ⊂平面ABCD，可得PA EQ⊥，又EQ AD⊥，可得EQ⊥平面PAD，EQ⊂平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在这样的点Q．在直角DME∆中，906030EMD∠=︒-︒=︒，可得在BQM∆中，30QBM BMQ∠=∠=︒，120BQM∠=︒，由32BM=，sin30sin120BQ BM=︒︒，可得BQ=，即Q为BC的中点，则Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD．【跟踪训练3-3】（2019秋•西湖区校级期末）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是60DAB∠=︒且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．（1）求证：//BG平面PDE；（2）求证：AD PB⊥；（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）连接DE 、PE ，证明四边形BEDG 是平行四边形，得出//BG ED ，即可证明//BG 平面PDE ； （2）连接PG ，证明PG AD ⊥，再证BG AD ⊥，得出AD ⊥平面PGB ，即可证明AD PB ⊥； （3）F 为PC 边的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD ，再证明即可．【解答】（1）证明：连接DE 、PE ，则//DG BE ，且DG BE =，所以四边形BEDG 是平行四边形， 所以//BG ED ，又BG ⊂/平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BG 平面PDE ； （2）证明：连接PG ，因为PAD ∆为正三角形，G 为AD 边的中点， 所以PG AD ⊥；又12AG AB =，60BAD ∠=︒，所以BG AB =， 所以90BGA ∠=︒，即BG AD ⊥； 又PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，PG BG G =，所以AD ⊥平面PGB ，又PB ⊂平面PGB ， 所以AD PB ⊥；（3）解：当F 为PC 边的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD ，证明如下： 取PC 的中点F ，连接DE 、EF 、DF ， 在PBC ∆中，//FE PB ，在菱形ABCD 中， EFDE E =，所以平面//DEF 平面PGB ，因为BG ⊥平面PAD ，所以BG PG ⊥，又因为PG AD ⊥，ADBG G =，所以PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， 所以平面PGB ⊥平面ABCD ， 所以平面DEF ⊥平面ABCD ．【名师指导】(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．。

高考数学平行和垂直知识点在高中生的学习生涯中，高考将是一个重要的里程碑。

而高考数学作为其中的一科，对于很多学生来说，可以说是非常关键的一门学科。

在高考数学中，平行和垂直知识点占据着重要的地位。

下面将从不同角度对高考数学中的平行和垂直知识点进行剖析。

一、平行知识点平行知识点在高考数学中占据着相当大的比重。

平行线是初中数学中的基本概念，在高中阶段进一步加深和扩展了相关的知识点。

在平面几何中，平行线的性质是最基础的，涉及到平行线的定义、判定、性质的证明等方面内容。

对于平行线的定义，高中学生需要掌握“同一平面内不在一条直线上的两条直线，有且只有一个公共点，则称这两条直线互相平行。

”而在判定两条直线是否平行时，高中生应了解到“同位角相等、任意一对对应角相等、同旁内角相等、同旁外角相等”等几种常见的判定方法。

这些知识点是高考数学中必考的内容，考察学生对平行线性质的理解和应用能力。

另外，高考数学中的平行知识点还涉及到平行线的性质证明。

通过证明平行，可以得到一些重要的结论，如垂直平分线定理、平行线截比定理等。

这些定理在高考中时常会被要求用来解决一些几何问题，需要学生在掌握了相关证明方法的基础上能够熟练运用。

二、垂直知识点垂直知识点在高考数学中同样占据着重要的地位。

垂直是与平行相对的一个重要概念。

在平面几何中，垂直线是垂直于同一直线的两条直线，在初中数学中常常涉及到垂直线的性质和判定方法。

初中的基础知识是高中数学的基石，而在高中阶段，对于垂直线性质的学习则更为深入和具体。

在高考数学中，垂直线的判定是一个需要学生掌握的重要技能。

常见的垂直判定方法包括垂直线同位角相等、同旁内角互补、同旁外角互补等。

此外，在解决几何问题时，垂直线的性质也经常被要求运用。

垂直平分线定理、垂直和角平分线定理等定理都是高考数学中常见的应用题，考察学生对垂直线相关性质的理解和运用能力。

学生需要通过灵活运用垂直线的性质，解决一些复杂的几何问题，这对于培养学生的逻辑思维和几何直观能力是非常有帮助的。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解直线、平面垂直的判定与性质考点要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．知识梳理1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直错误!⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行错误!⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直错误!⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直错误!⇒l⊥α知识拓展1．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a∥直线b.(√)教材改编题1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是相交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．2．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．答案必要不充分3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，∴OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1图2(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC的中点，BF⊥A1B1.1(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.(1)解如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF ＝1，EM ＝12AB ＝1， AB ∥A 1B 1，由BF ⊥A 1B 1得EM ⊥BF ， 又EM ⊥CF ，BF ∩CF ＝F ， 所以EM ⊥平面BCF ，故V 三棱锥F －EBC ＝V 三棱锥E －FBC ＝13×12BC ×CF ×EM ＝13×12×2×1×1＝13.(2)证明连接A 1E ，B 1M ， 由(1)知EM ∥A 1B 1， 所以ED 在平面EMB 1A 1内．在正方形CC 1B 1B 中，由于F ，M 分别是CC 1，BC 的中点， 所以由平面几何知识可得BF ⊥B 1M ， 又BF ⊥A 1B 1，B 1M ∩A 1B 1＝B 1， 所以BF ⊥平面EMB 1A 1，又DE ⊂平面EMB 1A 1，所以BF ⊥DE . 教师备选如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面PAD ，AD ＝AP ，E 是PD 的中点，M ，N 分别在AB ，PC 上，且MN ⊥AB ，MN ⊥PC .证明：AE ∥MN .证明∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA上，BE⊥EC1.1(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(12分)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M 为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD; [切入点：线面垂直](2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.[(1)问关键点：找平面PAM或平面PBD的垂线；(2)问关键点：底面矩形面积的计算]教师备选(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P－ABC的体积．(1)证明∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC，∵△ABC是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PB⊥PC，PA⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.(2)解设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为πrl＝3π，rl＝3，OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，l＝3，AC＝2r sin60°＝3，在等腰直角三角形APC中，AP＝22AC＝62，在Rt△PAO中，PO＝AP2－OA2＝64－1＝22，∴三棱锥P－ABC的体积为V P－ABC＝13PO·S△ABC＝13×22×34×3＝68.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.题型三垂直关系的综合应用例3在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝2a，PD＝2a，PM＝3a，由PM⊥MC，可得PC＝PM2＋MC2＝3a2＋a2＝2a，由S△PCD＝12·2a·4a2－12a2＝72a2＝87，可得a＝4，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝13S四边形ABCD·PM＝13×12×(4＋8)×4×43＝32 3.如图，在四棱锥S －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，△SAD 为正三角形．侧面SAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AD ，SB 的中点．(1)求证：AF ∥平面SEC ； (2)求证：平面ASB ⊥平面CSB ；(3)在棱SB 上是否存在一点M ，使得BD ⊥平面MAC ？若存在，求BM BS的值；若不存在，请说明理由．(1)证明如图，取SC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F ，G 分别是SB ，SC 的中点， ∴FG ∥BC ，FG ＝12BC ，∵四边形ABCD 是菱形，E 是AD 的中点， ∴AE ∥BC ，AE ＝12BC ，∴FG ∥AE ，FG ＝AE ，∴四边形AFGE 是平行四边形， ∴AF ∥EG ，又AF ⊄平面SEC ，EG ⊂平面SEC ， ∴AF ∥平面SEC .(2)证明∵△SAD 是等边三角形，E 是AD 的中点，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在点M满足题意．假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝7，SE＝3，BD＝2OB＝23，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝SE2＋BE2＝10，∴cos∠SBD＝SB2＋BD2－SD22SB·BD＝33020，∴OBBM＝33020，∴BM＝2103，∴BMBS＝23.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．跟踪训练3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PD，PQ，QE，则PQ∥BC.因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.因为DE⊥A1D，DE⊥DC，A1D∩DC＝D，A1D，DC⊂平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC，又A1C⊂平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.因为DE∩DP＝D，DE，DP⊂平面DEQP，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.课时精练1．(2022·哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是()A．m⊥α，n∥α，则m⊥nB．m⊥α，n⊥α，则m∥nC．m⊥α，m⊥n，则n∥αD．m⊥n，n∥α，则m⊥α答案D解析对于A，∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．2．已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是()A．m⊥l，m⊂β，l⊥αB．m⊥l，α∩β＝l，m⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．l⊥α，m∥l，m∥β答案D解析对于A，有可能出现α，β平行这种情况，故A错误；对于B，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，m∥l，m⊥α，l⊥β⇒α∥β，故C错误；对于D，l⊥α，m∥l⇒m⊥α，又由m∥β⇒α⊥β，故D正确．3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H 必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中正确的是()A．AC与B1C是相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直答案D解析如图，连接AB1，则△AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60°，故A错误；因为A1D∥B1C，所以AC与A1D是异面直线且所成角为60°，故B错误；连接CD1，因为BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，所以BD1与BC所成角为∠D1BC，为锐角，故C错误；连接BD，因为AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，则AC⊥BD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确．5.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案D解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．6．(2021·新高考全国Ⅱ改编)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是()A．①②B．①③C．②③D．③④答案C解析设正方体的棱长为2，对于①，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，图(1)故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，在Rt△OPC中，OC＝2，CP＝1，故tan∠POC＝12＝22，故MN⊥OP不成立．对于②，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，图(2)则OP＝12＋(2)2＝3，PB＝2，OB＝12＋22＝5，所以OP2＋PB2＝OB2，所以OP⊥PB，又PB∥MN，所以OP⊥MN.对于③，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD⊂平面ADEB，图(3)所以OC⊥BD，又OC∩CP＝C，OC，CP⊂平面OCP，所以BD⊥平面OCP，所以BD⊥OP，又BD∥MN，所以OP⊥MN.对于④，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，图(4)若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以OF⊥MN，所以MN⊥平面OFBP，所以MN⊥BF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OP⊥MN不成立．7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．答案垂直解析∵DA⊥平面α，CA⊂平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面DAB，∴CA⊥平面DAB，又DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB.8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD 为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥P－ADE的体积．(1)证明如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD，因为△PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以OP⊥AD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，OB⊥AD，因为OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB，因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB.(2)解因为底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，所以PA＝PD＝AD＝2，PO＝3，底面ABCD的面积为23，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，因为E为PB的中点，所以V P－ADE＝V B－ADE＝12VP－ABD＝14VP－ABCD＝14×13×3×23＝12.11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体P－DBC是一个鳖臑，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑．12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案A1C1⊥B1C1解析当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1.理由如下：∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1.又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC，B1C1⊂平面BCC1B1，1∴A1C1⊥平面BCC1B1，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，∵AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，∴又AB1⊂平面ACB1，∴AB1⊥BC1.14．(2022·广州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝______.答案45 5解析如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ⊂平面PEQ，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝25，由等面积法可得AR＝45 5.15．(2022·玉溪模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD ＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则下列结论正确的有________．(填序号)①l∥平面PAD；②AE∥平面PCD；③直线PA与l所成角的余弦值为5 5；④平面α截四棱锥P－ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为35 .答案①③④解析如图，取PC的中点F，连接EF，DF，则AD∥EF，即A，D，E，F四点共面，即l为EF，对于①，EF∥AD，AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD，即l∥平面PAD，故①正确；对于②，由EF∥AD，若AE∥平面PCD，则必有AE∥DF，即四边形ADFE为平行四边形，则AD＝EF，矛盾，故②错误；对于③，PA与l所成的角，即PA与EF所成的角，即PA与AD所成的角，由PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，cos∠PAD＝ADAP＝55，故③正确；对于④，连接BD，VP －ABCD ＝13PD·S矩形ABCD＝13×2×2＝43，VABCDEF＝V A－BDE＋V D－BCFE＝13×52×25＋13×324×22＝56，VP－ADFE VABCDEF ＝43－5656＝35，故④正确．16．如图(1)，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC 沿BC边折起如图(2)，使________，点M，N分别为AC，AD的中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD＝7，②AC为四面体ABDC外接球的直径，③平面ABC⊥平面BCD.图(1)图(2)(1)判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；(2)求三棱锥A－MNB的体积．解(1)若选①：AD＝7，在Rt△BCD中，BC＝2，CD＝1，可得BD＝3，又由AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD，因为AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面CBD，所以AB⊥平面CBD，又因为CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，又由CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD. 若选②：AC为四面体ABDC外接球的直径，则∠ADC＝90°，CD⊥AD，因为CD⊥BD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABD，可证得CD⊥平面ABD，又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.若选③：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，因为AB⊥BC，且AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面CBD，又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.(2)由(1)知MN⊥平面ABD，其中△ABD为直角三角形，可得S△ANB＝12S△ADB＝32，MN＝12CD＝12，故三棱锥A－MNB的体积为V A－MNB＝V M－ABN＝13×32×12＝312.。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、直线和平面垂直的定义：如果一条直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直．．．．．．．．．，则称直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥平面α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。

注意：（1）定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义语，但与“无数条直线”不．．．．．．．．同．；（2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式； （3）另两个结论：①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②过一点有且只一个平面与已知直线垂直。

二、直线和平面垂直的判定定理1、定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直．．．．．．．．．，那么这条直线就垂直于这个平面。

2、符号表示：ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m m ,n ，注意：（1．）两条相交直线；（．．．．．．．．．2．）两条相交直线不能改成“两条直线”或“无数条直线”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

3、直线和平面垂直的性质：（．1．）如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直于这个平面内的所有直线；（．．．．．．．．．．．．．．2．）如果两条直线同垂直于一个平面，那么．．．．．．．．．．．．．．．．．．这两．．条直线平行；（．．．．．．．3．）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．于这个平面；（．．．．．．．4．）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．于另一个平面。

．．．．．．．例1：下列说法中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的两条相交直线都垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直。

听课手册第42讲直线平面垂直的判定与性质................... 课前双基巩固.......-応汩谥知说事问si基砒-o知识JRi.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面a内的_______________ 都垂直,就称直线l与平面a互相垂直，记作I 丄a直线I叫作平面a的__________ ，平面a叫作直线I的_________ .(2)直线与平面垂直的判定与性质2.两个平面垂直(1)定义:两个平面相交，如果它们所成的二面角是______________ ，就说这两个平面互相垂直(2)两个平面垂直的判定和性质语言表述图形表示符号表示应用(1)若PA=PB=PC,则点0是厶ABC 的：(1)两平行线中的一条与平面垂直 ，则另一条也与这个平面垂直 ；(2)—条直线垂，则与另一个平面也垂直 .线线垂直 r 1- 线面垂直性易底連面面垂直 题组一常识题 1.［教材改编］已知两条直线 a ,b 和平面a 且a 丄a ,b // a 则a 与b 的位置关系为2.［教材改编］一条直线和一个三角形的两边同时垂直 ，则这条直线和这个三角形的第三边的 位置关系是3.［教材改编］若PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面 ，连接PB ,PC ,PA ,AC ,BD ,则所形成的平面中一定互相垂直的平面有4.在三棱锥 P-ABC 中，点P 在平面 ABC 中的射影为点 O.常用结论 1. 与线面垂直相关的两个常用结论直于两平行平面中的一个 2. 三种垂直关系的转化：（2）若PA丄PB,PB丄PC,PC丄PA,则点0是厶ABC的_____ 心.题组二常错题♦索引：证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直；注意排除由平面到空间的思维定式的影响.5•已知m和n是两条不同的直线，％和卩是两个不重合的平面，下列给出的条件中：①a丄卩且m a②a丄卩且m // a③m // n且n丄卩；④m丄n且all卩一定能推出m丄卩的是_____ .（填序号）;与AP垂直的直线有垂直的直线有6•如图7-42-1,/ BAC=90°,PC丄平面ABC,则在△ ABC和厶PAC的边所在的直线中，与PC 7.如图7-42-2所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD= a,则它的5个面中，互相垂直的面有8•如图7-42-3所示，在四棱锥P-ABCD中,PA丄底面ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足 ____________ 时,平面MBD丄平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）........................ 课堂考点探究.........典前毎血畫总区石幺亘=o探究点一一垂直关系的基本冋题例1 (1)［2017 •全国卷川］在正方体ABCD-A i B i C i D i中,E为棱CD的中点,则( )A.A i E丄DC iB.A i E 丄BDC.A i E丄BC iD.A i E丄AC(2)[20i8 •辽宁丹东质检]若m,n是两条不同的直线,a, 3是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A.若m丄a,n 〃 3 all3贝U m 丄nB.若m l a,n 丄 3 a丄3贝U m 丄nC.若m // a,n // 3 all3则m // nD.若m丄a,n 丄 3 a丄3贝U m / n［总结反思］解决空间中线面、面面垂直的基本问题有以下几种方法:(i)依据定理得出结论；(2)可结合符合题意的图形作出判断；(3)否定命题时只需举一个反例.变式题(i)［20i8 •辽宁抚顺模拟］给出下列四个说法：①如果平面a外一条直线a与平面a内一条直线b平行，那么a // a②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中正确说法的个数为A. 1B.2C.3D.4(2)[2018 •安徽合肥三模]若l,m为两条不同的直线,a为平面，且I丄a则m // a”是“丄I”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件O探究点二线面垂直的判定与性质例2 [2018 •安徽江淮十校三联]如图7-42-4,在四棱锥A-BCDE中,EB // DC,且EB丄平面ABC,EB=1,DC=BC=AB=AC= 2,F 是棱AD 的中点.(1)证明：EF丄平面ACD;(2)求三棱锥D-ACE的体积.图7-42-4［总结反思］(1)解决直线与平面垂直问题的常用方法：①利用线面垂直的定义；②利用线面垂直的判定定理：③利用线面垂直的性质：④利用面面平行的性质；⑤利用面面垂直的性质定理.(2)求体积，常用方法:(a)割补法;(b)转化法;(c)换底法.在立体几何图形中，四面体和平行六面体是可以换底的.变式题如图7-42-5所示，在直三棱柱ABC-A i B i C i中，底面三角形ABC是等腰直角三角形且斜边AB= 一侧棱AA i=2,D为AB的中点，点E在线段AA i上AEM AA(入为实数).(1)求证:不论入取何值，恒有CD丄B i E;⑵当入二时，求多面体C i BECD的体积.员B图7-42-5O探究点三面面垂直的判定与性质例3 [2018 •全国卷I如图7-42-6所示,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,/ACM=90°以AC为折痕将△ ACM折起使点M到达点D的位置，且AB丄DA.(1)证明:平面ACD丄平面ABC;⑵Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点，且BP=DQ=-DA,求三棱锥Q - ABP的体积.£［总结反思］⑴利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是:先从现有的直线中寻平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线应有理论根据并有利于证明•(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直T线面垂直T面面垂直来实现.变式题［2018 •贵州凯里一中月考］如图7-42-7所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是边长为—的正方形，PB=PD=3 _，PC=4.(1)求证:平面PBC丄平面ABCD；⑵若E为PA的中点，求三棱锥P-BDE的体积.图7-42-7完成课时作业（四十二）。