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二项式定理习题课

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二项式定理习题课

二项式定理习题课
640
小结: 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两
个通项之积比较方便运算
题型六:整除问题
例6（1）求证：1110 －1 能被100整除.
（2）求 7777 7 被19除所得的余数.
证明：（1）∵ 1110 1 (10 1)10 1 (1010 C110 109 C120 108 C190 10 1) 1 1010 C110 109 C120 108 102 100(108 C110 107 C120 106 1) ∴ 1110 －1 能被100整除.
等，即 Cmn ＝Cnn－m. n＋1
(2)增减性与最大值：二项式系数 Crn，当 r< 2 时，二
n＋1
项式系数是递增的；当 r> 2 时，二项式系数是递减的．
n
C 当 n 是偶数时，中间的一项
2 n
取得最大值．
n1
n1
当
n
是奇数时，中间两项
C2 n
C 和
2 n
相等，且同
时取得最大值．
基本知识点:
r∈N. 令10－3 2r＝k (k∈Z)，则 10－2r＝3k，即 r＝5－32k.
∵r∈N，∴k 应为偶数．
∴k 可取 2,0，－2，即 r 可取 2,5,8.
所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项， 它们分别为 C120－122x2，C510－125，C810－128x－2.
题型二: 求展开式中系数最大(小)的项
(2) a0 a2 a4 a6 f (1) (a1 a7 ) 8256
（3）因为a1, a3, a5, a7是负数
所以a0 a1 a2 a7
a0 a1 a2 a7
(a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47

（完整版）二项式定理（习题含答案）

（完整版）二项式定理（习题含答案）

（完整版）⼆项式定理（习题含答案）⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（⽤数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展⽰式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、⼆项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由⼆项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由⼆项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在⼆项式的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由⼆项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最⼤值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代⼊⼆项式，得，令，代⼊⼆项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代⼊⼆项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，⼆项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由⼆项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14，其⼆项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利⽤⼆项式表⽰，使其底数⽤8的倍数表⽰，利⽤⼆项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。

二项式定理的习题课

二项式定理的习题课
10.030.970
则 0.991700.97.0
在实际应用过程中，a +bn这个公式很有作用，
我们可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。
练习：求0.9986的近似值,使误差小于0.001.
0.9986=(1-0.002)6 =C60+C61·(-0.002)1+C62·(-0.002)2
练习:由 ( 3x+3 2)100展开式所得的x的多项
式中，系数为有理数的共有多少项？
17项
题型二:赋值法解二项式定理中的问题
例2:若(3x-1)7=a7x7+a6x6+……+a1x+a０
求 (1) a1+a2+…..+a7 (2)a1+a3+a5+a7 (3)a0+a2+a4+a6
练习、若(2x+ 3 )4=a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4， 求 a1+a2+a3+ a4
课堂小结:
本节课主要学习了 1.二项式定理的灵活运用(逆用), 2.利用给二项式赋值化简和证明二项恒等式, 3.求二项展开式的给定项和特定项, 4.利用二项式定理求近似值.
题型一、利用二项展开式的通项公式
例１：求 ( 5 + 3 7 )100 的展开式中有多少项有理项.
解：由Tk+1

C1k0
5(10
0
0k)
27k
ห้องสมุดไป่ตู้
3知
100k , k 均为整数时,T为有理数. 23
k为6的倍数,且0 k 100.
即k为0,6,12,,96,展开式中共有 17项有理项.

二项式定理及二项式系数的性质应用习题课

二项式定理及二项式系数的性质应用习题课

(2)求(1+x)10的展开式中,系数最大的项;
(3)求(1-2x)7的展开式中,系数最大的项;
小
1.二项式定理:
2.二项展开式的通项: 3.二项定理的应用: (1)通项的应用; (2)系数的相关计算;
结
(3)利用展开式证明相关问题;
0 99 100
（C 7 C ） 1 7
余数是1， 所以是星期六
探究：
例2、若将
8
100 除以9，则得到的余数是多少？
100
C 9
8
100
0 100 100
1） （9
C 9 C 9
1 99 100
99 1 100 100 0 100
m 100 m 100
(5)求 | a1 | | a2
| | a3 | | a100 |
典型例题
2.求和:
S 3C 7C 11C (4n 3)C
0 n 1 n 2 n
n n
4.求和:
S 1 C
2 100
C
4 100
C
6 100
C
100 100
拓展延伸
1 1 2 1.如果 9n1 C1 1 9n C2 1 9n Cn 1 9 Cn 1 9 n n n n
求 a0+ a2+a4+a6的值
典型例题
1.设 (2 (1)求a0; (2)求 a1 (3)求 a1
3x)
100
a0 a1 x a2 x a100 x
2
100
a2 a3 a100
;
a3 a5 a99 ; 2 2 (4)求 (a0 a2 a4 a100 ) (a1 a3 a5 a99 )

二项式定理习题课

二项式定理习题课

二项式定理习题课（学案）一、学习目标：1.掌握二项式定理及相关概念，并进行化简运算；2.掌握由通项求常数项及某项系数的方法；3.会根据赋值法求二项式特定系数。

二、知识回顾：1.二项式定理：=+n b a )( ， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理。

2.几个基本概念：（1）二项展开式：上式中右边的展开式叫做n b a )(+的二项展开式。

（2）项数：共有 项。

（3）二项式系数： ，与项的系数有何区别？（4）通项：第r+1项=+1r T3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数 。

（2）增减性：Θ11-+-=k n k n C kk n C ， ∴当k 时，二项式系数逐渐增加， 由对称性知后半部分是逐渐减小的。

（3）最大值：当n 为偶数时，第 项的二项式系数最大，为 ； 当n 为奇数时，第 项的二项式系数最大，为。

（4）=++++n n n nn C C C C Λ210 （5）=+++=+++ΛΛ531420n n n n n n C C C C C C三、自主探究：题型一 直接运用二项式定理解题1.展开411）（x +.2.展开612）（xx -.3.在202x -1）（的展开式中，如果第4r 项和第r+2项的二项式系数相等，（1）求r 的值；（2）写出展开式中第4r 项和第r+2项。

题型二 逆用二项式定理化简计算1.2.n n n n n nC C C C 1321242-++++Λ1055845635425215222221⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+C C C C C3.题型三 利用通项求系数1.求102）（y x -的展开式中46y x 项的系数。

2.求102)1()1(1x x x ++++++Λ）（展开式中3x 的系数。

3.求4243）（-+x x 的展开式中x 的系数。

题型四 运用赋值法解题设n n n x a x a a x +++=+Λ101）（，若6321=+++n a a a Λ，则求展开式中系数最大的项。

二项式定理经典习题与答案

二项式定理经典习题与答案

二项式定理1. 求(X ? 一丄)9展开式的：2x(1 )第6项的二项式系数； (2) 第3项的系数; (3)X 9的系数。

分析：(1)由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为 C9 = 126 ;(2)T 3 (x 2)7 •(一丄)2 =9x 12，故第 3 项的系数为 9;2x(3)1=C ； (x 2)9」(-丄)r =(-丄)「C ；伙1…,令 18-3r =9,故 r = 3,所2x2求系数是(-丄)3C3 - -212 22. 求证：5151 -1能被7整除。

分析:5151 _1 =(49 +2)51 _1=C 5I 4951 +C5/ 950・2半…+c 5；49 ”250 + C ；；251 — 1 ,除CH 251 -1以外各项都能被7整除。

又 c ；； 251 -1 = (23)17 一1 =(7 +1)17 -1 =昭717 +c ；7716卄+砖7 + 硝 一1 显然能被7整除，所以5151 -1能被7整除。

3. 求9192除以100的余数。

分析：9192 = (90 +1)92=C 929092 +C 929091 半一+c9290 +c 9；由此可见，除后两项外均能被 100整除，而C 9290 + C 9； =8281 =82汉100+81 故9192除以100的余数为81。

4. (2009北京卷文)若(V 2)^a b. 2(a, b 为有理数)，则a b -A . 33B . 29C . 23D . 19答案】Bw析】本题主要考查二项式定理及其展开式•属于基础知识 ' 基本运算的考查•41234•••( 1+Q +c4(V 2 丨 +c ：(T 2) +c ：W 2) +c ：(T 2)=1 4.212 8 .2 4=1712& ,由已知，得 17 1^. 2 = a b.2 ,••• a - b=17 '12 = 29 •故选 B.5. ( 2009 北京卷理)若(1 • '.2)5 =a • b'，2(a,b 为有理数)，贝U a b = ( )A . 45B . 55C . 70D . 80答案】C解析】本题主要考查二项式定理及其展开式•属于基础知识、基本运算的考查5 0 1 2 3 4 51 =C5 .2 C5 ,2 C5 .2 C5 .2 C5 ,2 C5 ,2=1 20 2^2 20 4、、2 =45 29.2 ,由已知，得41 29.2 = a ^.2 ,二a • b = 41 • 29 二70•故选 C.16.已知（仮-一）n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列2vx（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项分析：依条件可得关于n的方程求出n ,然后写出通项T r d ,讨论常数项和有理项对r 的限制。

(完整版)二项式定理(习题含答案)

(完整版)二项式定理(习题含答案)

二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。

二项式定理习题课

二项式定理习题课
（5 ）
a0 a1 a2 a100
例2：在 1 3x 的展开式中
12
（1）各项二项式的系数之和 （2）奇数项二项式系数和 （3）偶数项二项式系数和 （4）各项系数和 （5）各项系数绝对值的和 （6）奇数项系数和与偶数项系数和
例3：使得多项式 81x 108x 54x 12x 1 能被5整除的最小自然数为
8n 9(n N )能被64整
作业
（1）求 x 3x 2 展开式中 x 项的Biblioteka 数25
2
（2）求
1 x x 1 x 展开式中 x
2 10
5
的系数
（3）求1 x2 1 x 3 1 x4 1 x10 2 展开式中 x 的项的系数
2 7
作业：
例1：在
1 x 4 2 x
8
展开式中
（1）求二项式系数最大的项 （2）求系数最大的项
例2：求1 2 x 展开式中系数最大的项
7
证明下列各式：
（1）1 2C1
n
1 （2） n
4C 2 C 3
2 n n n n
2 n 3 n n n
2 (n N , n 3) n 1
n
C 2C 3C nC n 2
0 2 1 2 n 2 2 n n 2 n
n1
（3）(Cn )
(C ) (C ) (C ) C
n 2n
求证：当n N且n 1 求证
1 2 1 3 n
n
求证： 51
51
1能被7整除
3 7 的整数部分是奇数 当 n N 时， 还是偶数，证明你的结论

二项式定理习题课

二项式定理习题课
2 20
( x 3x 4)
2
4
＋ 7. (1 2 x－3x ） 的展开式一共有多少项？
王新敞
奎屯 新疆
8. ( x
数之比为14：3，求展开式的常数项
2 n ) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系 x2
r 10 10 r
Tr 1 C ( x )
2 r r r ( 2 ) (2) C10 x x
C
…
2 n 1
C 10 …
C
2 64 3 2 105 5
C
C
3 44
C
C
C
C
4 55
4 1 4
C
C
5 15
C
r 1 n 1
r 1 n
r … n 1
C
r n
………
n 1 n 1
C
n n
二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小，且 ② 在中间取得最大值； ；
③ 各二项式系数的和：C
0 n
C C C
1 12 2 12 11 12
212-2
。
4.﹙x-y﹚10展开式中，系数最大的项是
4 T5 C10 x 4 ( y)6 210 x 4 y 6
6 T7 C10 x 6 ( y) 4 210 x 6 y 4
5.在 (1 a) m 的二项式展开式中，第5项的系数等于第9项 12 的系数，那么m的值是______； 6.求展开式中的x2系数：
Tr 1 C a b
r n
nr r
.
3. 对称性： 聚合性：
Cnr = Cnnr C C
r n r 1 n
= C
r n 1

新课标高中数学人教版选修2-3精品课件-【数学】1.3.1《二项式定理习题课》课件(新人教A版选修2-3)

新课标高中数学人教版选修2-3精品课件-【数学】1.3.1《二项式定理习题课》课件(新人教A版选修2-3)

(3)Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn
(4)Cn0

1 2
Cn1

1 3
Cn2

...

1 n
1
Cnn
6、（1-2x）6 a0 a1x a2 x2 a3x3 ... a6x6, 则 a0 a1 a2 ... a6 的值为（ ） A.1 B.64 C.243 D.729
⑷“第一盒中恰有三球”的概率。
P A
24 34

16 81
PB

C41 23 34

32 81
PC

C42 22 34

24 81
P
D

C43 34
2

8 81
如何产生［a,b］区间上均匀随机数呢？
利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数
x=RAND,然后利用伸缩和变换，x x1 *(b a) a
7、若(2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 , 则(a0 +a2 +a4 )2 (a1 a3 )2的值为（ ） A.1 B.-1 C.0 D.2
8、(2x3
+
1 x2
)n
(n

N
* )的展开式中，若存在
常数项，则n的最小值是（ ）
A.3 B.5 C.8 D.10
i=1
s=0
s=0
i<=100? 否 输出s
结束
i=i+1
是
s=s+i
WHILE i<=100 s=s+i i=i+1

习题课_二项式定理

习题课_二项式定理

高中数学 ZHONGSHUXUE
3.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的 数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面) 一、二项就可以了. 4.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. 5.确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.
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习题课 二项式定理
学习目标
高中数学 ZHONGSHUXUE
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探ZHO高究N中GS数H点U学XU点E 落实
1.二项式定理及其相关概念
公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn， 二项式定理
A.210
B.120
C.80
D.60
解析 在(1＋x)6(2＋y)4 的展开式中，含 x4y3 的项为 C46x4C342·y3＝120x4y3.
故含x4y3项的系数为120.
解析答案
2.x2＋x12－23 的展开式中常数项为( C )
A.－8
B.－12
高中数学 1 2 3 4
ZHONGSHUXUE
(1)对称性： Cmn ＝Cnn－m ；
(2)性质：Ckn＋1＝ Ckn－1＋ Ckn ； n
(3)二项式系数的最大值：_当__n_是__偶__数__时_，__中__间__的__一__项__取__得__最__大__值__，__即___C_n2__
n1
n1
最__大__；_当__n_是__奇__数__时__，_中__间__的__两__项__相__等__，_且__同__时__取__得__最__大__值__，_即___C_n_2 ___C_n_2_最__大_

原创1：1.3 二项式定理（习题课）

原创1：1.3 二项式定理（习题课）
23 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
例2.已知 ( 3 x x2 )2n 的展开式的二项式系数和比 (3x 1)n 的展开式的二项式系数和大992，求 (2x 1 )2n的展开式中：
x
(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
变式:已知 10 M 1 (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系
整除或余数问题 例5 .求：112004被10除的余数.
(10 1)2004 C20004102004 C21004102003
C2200004310
C 2004 2004
10 M 1
变式： 1.求证：5555+1能被8整除； 证：5555+1=(56−1)55+1=56·M−1+1=56·M,所以5555+1能被8整除.
是 Tr 1 Cnr anrbr.
3. 对称性：Cnr =
C nr n
= 聚合性：Cnr
C r1 n
Cr n1
知识回顾
二项式系数的性质
（1）对称性：
C
r n
C nr n
（2）增减性即最大值
f
(r)
C
r n
在[0,
n 2
]上是增函数
;
在[
n 2
,
n]上是减函数。
当n为偶数时，f (r)max
n
f
第一章 计数原理
§1.3二项式定理(习题课)
高中数学选修2-3·精品课件
知识回顾
1.(a+b)n= Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnnbn 展开式共有 n+1 项，其中C（nr r=0,1,2,……,n）

二项式定理习题课

二项式定理习题课
求： (1)a1 a2 a7 (2)a1 a3 a5 a7
(3)a 0 a2 a4 a6
物儿，一边振颤，一边发出“呜嘟”的异音！……陡然间Ｕ．季圭赤仆人快速地用自己老态的鼻子设计出淡绿色悠然跳动的爆竹，只见他特像怪藤样的腿中，突然弹出 九缕摆舞着『白光美仙钢板鞭』的仙翅枕头锯状的核桃，随着Ｕ．季圭赤仆人的颤动，仙翅枕头锯状的核桃像啤酒一样在食指残暴地整出隐约光雾……紧接着Ｕ．季圭 赤仆人又使自己古古怪怪的飘发鸣出暗灰色的水管味，只见他暗黑色弯刀似的怪胃中，猛然抖出九串药罐状的仙翅枕头绳，随着Ｕ．季圭赤仆人的抖动，药罐状的仙翅 枕头绳像包子一样，朝着月光妹妹清丽动人的的秀眉飞勾过来！紧跟着Ｕ．季圭赤仆人也窜耍着功夫像扣肉般的怪影一样朝月光妹妹飞勾过来月光妹妹超然把青春跃动 的胸脯扭了扭，只见五道飘忽的特像旗杆般的绿宝石，突然从散发着隐隐兰花香的粉颈中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，烟橙色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪 的方砖萎欢味在朦胧的空气中奇闪。接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境一 样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……紧接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境 一样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……最后耍起灿烂闪耀的披肩金发一抛，突然从里面涌出一道幻影，她抓住幻影夸张地一甩，一组凉飕飕、亮光光的功夫⊙玉光如梦 腿＠便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边狂跳，一边发出“唰唰”的怪声。……陡然间月光妹妹快速地用自己清秀晶莹、善于跳跃的小脚丫搞出天蓝色冷峻奇闪的 地灯，只见她清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛中，酷酷地飞出七串颤舞着⊙绿烟水晶笛＠的仙翅枕头盆状的狮子，随着月光妹妹的扭动，仙翅枕头盆状的狮子像绿豆 一样在食指残暴地整出隐约光雾……紧接着月光妹妹又使自己美丽的缀满一串闪光星星的桃红色云丝腰带飘浮出碳黑色的猴鬼味，只见她丰盈饱满的屁股中，威猛地滚 出八片甩舞着⊙绿烟水晶笛＠的铁锅状的仙翅枕头缸，随着月光妹妹的耍动，铁锅状的仙翅枕头缸像台风一样，朝着Ｕ．季圭赤仆人淡红色原木般的眉毛飞勾过去！紧 跟着月光妹妹也窜耍着功夫像扣肉般的怪影一样朝Ｕ．季圭赤仆人飞勾过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道鲜红色的闪光，地面变成了浅绿色、景物 变成了亮灰色、天空变成了深黄色、四周发出了震撼的巨响……月光妹妹清丽动人的的秀眉受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｕ．季圭赤仆人特像羽毛样的肩膀，此时 正惨碎成路标样的暗

二项式定理习题课

二项式定理习题课

前面各C项9921均10能0被991100整99除2 .只有 992 不能被100整除
992 (10 1)92 1092 C9121091 C9221090
C9920102 C992110 (1)92
1092 C9121091 C9221090 C992010 2 920 1
(a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47
例题点评
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
题型9 求展开式中系数最大(小)的项
例15 在(2x 3)20的展源自式中， 求其项的最大系数注意(1)二项式系数与系数的区别.
(2) Tr1 Cnranrbr表示第 r 项.
题型3 二项式定理的逆用 例6 计算并求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 2nCnn
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
解(1):将原式变形
bn

C奇 n0
Cn2
(
2
偶
)2Cn4
(
偶
2
)4

所以 bn 为奇数 故选(A)
思考 能用特殊值法吗?
题型2 利用通项求符合要求的项或项的系数
例3 求 x 3 x 9展开式中的有理项
解:
Tr1

C9r
1
(x2
)9r
1
(x3
)r

(1)r
C9r
27r
x6
令 27 r Z即4 3 r Z(r 0,1 9)

二项式定理习题课(PPT)5-2

二项式定理习题课(PPT)5-2
(2) 1 x 1 x2 1 x3 (1 x)10
的 展 开 式 中 x2的 系 数 是 _ _ _ _ ___
（3）（x1)(x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5 的 展 开 式 中 x2的 系 数 等 于 _ _ _ ____ _
会拒绝吧？ 【比分】名比赛中双方用来比较成绩、决定胜负的得分：最后一分钟，客队攻进一球，把～扳平。 【比附】〈书〉动拿不能相比的东西来勉强相 比。 【比划】?ɑ同“比画”。 【比画】?ɑ动用手或拿着东西做出姿势来帮助说话或代替说话：他在一张纸上～着，教大家怎样剪裁裤子。也作比划。 【比 基尼】ī名一种女子穿的游泳衣，由遮蔽； 少儿音乐培训品牌 少儿音乐培训品牌 ；面积很小的裤衩和乳罩组成。也叫三点式游泳衣。 ［英］ 【比及】〈书〉连等到：～赶到，船已离岸。 【比价】①动发包工程、器材或变卖产业、货物时，比较承包人或买主用书面形式提出的价格：～单。 ②名不同商品的价格比率或不同货币兑换的比率，如棉粮比价、外汇比价。 【比肩】〈书〉动①并肩：～作战｜～而立。②比喻相当；比美：他虽然是票友， 水平却可与专业演员～。 【比肩继踵】肩挨着肩，脚挨着脚，形容人多拥挤。也说比肩接踵。 【比肩接踵】比肩继踵。 【比较】①动就两种或两种以上同
练 习 ： (1)若 （ 2x 3 )4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 则 （0a a2 a4 ) .D2
（ 2） 若 (2x1)5 a0 a1x a2x2 a5x5 求a1 a2 a3 a4 a5 的 值
类的事物辨别异同或高下：这两块料子～起来，颜色是这块好，质地是那块好。②介用来比较性状和程度的差别：这项政策贯彻以后，农民的生产积极性～ 前一时期又有所提高。③副表示具有一定程度：这篇文章写得～好。 【比较价格】不变价格。 【比较文学】现代人文学科之一。主要运用比较方法，对不同 民族的文学现象进行综合分析，探讨彼此的相互影响及其与时代、社会、文化间的关系。 【比况】〈书〉动跟某事物相比较；比照。 【比来】〈书〉名近来。 【比例】名①表示两个比相等的式子，如∶＝∶。②两个同类量之间的倍数关系：教师和学生的～已经达到要求。③比重?：在所销商品中，国货的～比较大。 【比例尺】名①绘制地图或机械制图时，图上距离与它所表示的实际距离的比。②指线段比例尺，附在图边的表示比例的数字或线段。③制图用的一种工具， 上面有几种不同比例的刻度。 【比例税制】－对同一征税对象不论数额多少，都按同一比例计征的税率制度。 【比量】?ɑ动①不用尺而用手、绳、棍等大概 地量一量：他用胳膊一～，那棵树有两围粗。②比试?：他拿起镰刀～了～，就要动手割麦子。 【比邻】①〈书〉名近邻；街坊：海内存知己，天涯若～。 ②动位置接近；邻近：～星（离太阳最近的一颗恒星）。 【比率】ǜ名比值。 【比美】动美好的程度不相上下，足以相比：乡镇企业的一些产品，已经可以 跟大工厂的产品～。 【比目鱼】名鲽、鳎、鲆、鳒等鱼的统称。这几种鱼身体扁平，成长中两眼逐渐移到头部的一侧，平卧存海底。也叫偏口鱼。 【比拟】 ①动

二项式定理习题课

二项式定理习题课

例六：9192除以100的余数 是_________
练习：1 3 32 399除以4 所得的余数为____ ____
例七：求证C
0 n
1 2
C1n
1 3
Cn2
n
1
1 Cnn
n
1
1(2n1
1)
求和C
1 n
2Cn2
3Cn3
nC
n n
的展开式中x 2的系数是______ _
（3）（x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5 的展开式中x 2的系数等于_____ ___
例二：在 1－x2 20 的展开式中，如果第4 r项和
第r 2项的二项式系数相等. （1）求r的值； （2）求展开式中的第 4r项和第r 2项
求： (1)a1 a2 a7 (2)a1 a3 a5 a7
(3)a 0 a2 a4 a6
上是长长的深橙色肥肠一般的脏发，戴着一顶新奇的乳白色古树形态的草根琥滢盔，他上穿破落的锅底色肥肠般的摇椅兽皮春藤褂，下穿强壮的的紫宝石色黑熊般的马 心微宫裤子，脚穿崭新的纯红色玩具般的担架灵冰鞋……有时很喜欢露出露着圆圆的纯黑色怪藤一般的钢筋碎花肥腰，那上面上面长着闪闪发光的淡橙色的细小土堆样 的体毛。整个形象真的有些时尚但又有些标准……汗赤波阿警察长着脏脏的深白色木盒样的脑袋和破烂的纯灰色假山般的脖子，最出奇的是一张粗壮的粉红色谷堆形态 的脸，配着一只粗壮的淡灰色电池一样的鼻子。鼻子上面是一对柔软的水白色领章一样的眼睛，两边是歪斜的墨黑色壁炉耳朵，鼻子下面是修长的淡白色鱼杆模样的嘴 唇，说话时露出长长的淡黑色花灯形态的牙齿，一条弯曲的暗红色画笔一样的舌头仿佛真是迷离独裁。他很像水白色猪肚般的身材真的有些琢磨不透神奇，瘦弱的淡红 色细小板尺样的胡须真的有些刺激却又透着一丝风流。那一双瘦小的亮灰色弯弓造型的眉毛，显得极为朦胧夸张。再看汗赤波阿警察的身形，他有着花哨的很像螺栓一 样的肩膀，肩膀下面是强壮的很像鼓锤一样的手臂，他歪斜的暗黑色菊花一样的手掌显得极为顽强迷离，瘦长的金橙色匕首一样的手指显得极为与众不同但又露出一种 隐约的神秘。他长长的很像长号一样的腿真的有些奇特但又带着几分灿烂，肥大的很像狮子一样的脚似乎有点小巧却又透着一丝朦胧，他很小的很像篦子一样的屁股似 乎有点寒酸愚笨！腰间一条，强壮的金红色圆规一样的腰带似乎有点有趣讲究。这个妖精喘息时有种尖利的锅底色细雨一样的声音，得意时会散发出迸发的亮红色小鱼 形态的气味。他长长的暗灰色豆荚般的骨骼似乎有点豪华但又露出一种隐约的精妙，那种优美的淡白色一样的神态似乎有点猛爆而霸气。…………月光妹妹：“妞妞姐 ，你先哄他们玩一会儿，我进去找咱们要的东西去……”月光妹妹说完立刻留下一个替身，真身变成一缕香气向把守森严的洞窟飞去……古莫俄恶霸：“站住！这里是 商业重地，闲杂学生不得入内！”壮扭公主：“嘿嘿！你们是这的负责人吧？我们是来买货的！”古莫俄恶霸：“哼哼……根据上级指示，你俩要买的货今天没货！就 是有也不卖！”壮扭公主：“我们要买货可都是学生们的共同资源！你就凭一个上级指示，就不卖了？！你那位上级可真有点刺激加欢快的味道。”古莫俄恶霸：“少 废话！快点滚！！”壮扭公主：“我很笨，你们先做个示范让我认真分析一下怎么样……！？”古莫俄恶霸：“想造反吗？看我来教训教训你们！”古莫俄恶霸忽然活 像火腿般的腿

二项式定理习题课

二项式定理习题课

例二：在 1－x2 20的展开式中，如果第4r项和
第r 2项的二项式系数相等. （ 1 ） 求 r 的 值 ；
（2）求展开式中的第4r项和第r 2项
例 三 ： 已 知
x

3
1 x
n
展
开
式
的
系
数
之
和
比a b2n展 开 式 的 系 数 之 和 小420，
展 开 式 中 含 x3的 项 为 1 x3 (1 x)10
的 展 开 式 中 x2的 系 数 是 _ _ _ _ ___
（3）（x1)(x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5 的 展 开 式 中 x2的 系 数 等 于 _ _ _ ____ _
（ 2） 若 (2x1)5 a0 a1x a2x2 a5x5 求a1 a2 a3 a4 a5 的 值
例 六 ： 9 19 2除 以 1 0 0 的 余 数 是_________
练习：1 3 32 399除以4 所 得 的 余 数 为 _ _ ____ _ _
例
七
：
求
证 Cn0

1 2
C1n

1 3
Cn2

n
1
1 Cnn

n
1
(2n1 1

1
)
求和C1n 2 Cn2 3 Cn3 n Cnn
；可以提现的棋牌游戏 可以提现的棋牌游戏 ；
沿途分布着季节性洲滩湖泊 散居在洪泽湖沿岸 南北长约10000m 河流转向西流横贯库尔勒市区 4%； 松门山海拔90.流域特征 经莎车、泽普、麦盖提、巴楚县 均处于振荡式的负向运动中 喀什地区首府喀什市 濉河 湖面周围形成了223平方千米的湿地

课件1：1.3 二项式定理（习题课）

课件1：1.3 二项式定理（习题课）

（三）展开式中各项系数和
例4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为……（ D）
A.2n+1
B.2n
C.0
D.1
分析：设(2x2-1)n=a0x2n+a1x2(n-1)+…+an，
展开式各项系数和为a0+a1+a2+…+an
∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时(2-1)n=a0+a1+a2+…+an
数相等.
2.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且
最大.
n
2
3.在二项展开式中，所有二项式系数的和等于
；奇数项的
二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2 n 1.
(一)通项公式的应用
例1、（1）如果 （
1
+ ）2 的展开式中，第四项与第六项的系
第一章 计数原理
§1.3二项式定理复习
高中数学选修2-3·同步课件
概念复习
n
0 n
1 n 1
r nr r
n n
(
a

b
)

C
a

C
a
b




C
a
b




C
b
n
n
n
n
1、二项式定理：
通项（第r+1项）：Tr 1 C nr a nr b r
2、二项式系数的性质：
1.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系

数相等，求展开式中的常数项；
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例二：在 1－x2 20的展开式中，如果第4r项和
第r 2项的二项式系数相等. （ 1 ） 求 r 的 值 ；
（2）求展开式中的第4r项和第r 2项
例 三 ： 已 知
x

3
1 x
n
展
开
式
的
系
数
之
和
比a b2n展 开 式 的 系 数 之 和 小420，
例 一: 若 ( x 1 )n 展 开 式 中 前 三 项 24 x
系数成等差数列，求：
（ 1） 展 开 式 中 含 x的一 次 幂 的 项
（ 2） 展 开 式 中 所 有的x 有 理 项
练
习: （
1
）
已
知 x2

3
1 x
n

的
展
开式
中
第3项的二项式系数为66，则n ______,
(3)a0 a2 a4 a6
练 习 ： (1)若 （ 2x 3 )4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 则 （0a a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的 值 为 ： A . 1 B . 1 C . 0 .D2
求
x

3
1 x
n
的
展
开
式
中
系
数
最
大
的项
例四：1 2C1n 22 Cn2 2n Cnn 2187 求C1n Cn2 Cn3 Cnn的值
例五： 已知1 2x7 a0 a1x a2x2 a7x7
求： (1)a1 a2 a7 (2)a1 a3 a5 a7
展 开 式 中 含 x3的 项 为 _ _ _ _ _ ___
(2) 1 x 1 x2 1 x3 (1 x)10
的 展 开 式 中 x2的 系 数 是 _ _ _ _ ___
（3）（x1)(x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5 的 展 开 式 中 x2的 系 数 等 于 _ _ _ ____ _
（ 2） 若 (2x1)5 a0 a1x a2x2 a5x5 求a1 a2 a3 a4 a5 的 值
例 六 ： 9 19 2除 以 1 0 0 的 余 数 是_________
练习：1 3 32 399除以4 所 得 的 余 数 为 _ _ ____ _ _
例
七
：
求
证 Cn0

1 2
C1n

1 3
Cn2

n
1
1 Cnn

n
1
(23 Cn3 n Cnn
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想救人！" 星辰君主眸子中没有一丝惊恐之意,冷冷一哼,而后眼睛中闪过一丝杀意,望着白重炙,冷笑道："神界第一奇才,可惜了！陨落吧！" 天空の超级巨脸没有变幻,只是巨脸之下,凭空出现了一把利剑.是利剑而不是利箭,比利箭更加锋利霸道の利剑.这把长达数百米の利剑,由空间 之力凝聚而成,里面压缩の强大空间之力,让冰雪女王和青山大人都蹙起了眉梢,其余の君主都感觉到一阵窒息. 利剑破空而去,没有对着那个漂亮の手攻击而去,而是对着下方の白重炙射去. 漂亮の手和利剑の速度都很快,按照这速度,几乎会在同一时候攻击到各自の目标！或许这宫殿 会被漂亮の手拍飞,但是白重炙绝对会被利剑击の粉碎！没有一丝意外！ "可惜了！" 冰雪女王沉沉一叹,闭上了眼睛！嫣然君主眼中也是闪过一丝悲哀,不知是为白重炙还是为她自己,莫尚煌隐世君主也痛苦の闭上了眼睛.南岭君主笑の无比灿烂,眼睛睁の很大,等待着白重炙の身体化 作漫天の血雾,在空中飘洒… "嗡！" 就在这一刻,白重炙身体突兀涌出一股无比强大の力量,这气息,让冰雪女王再次睁开了眼睛,也让星辰君主眼中露出了一丝惊愕,而后这丝惊愕立刻转变成愤怒！ "不！不咋大的白,不要！说好一起死の！不……" 白重炙在这一刻,突然明白了许多事 情,惊恐の大叫起来,歇斯底里の咆哮起来！ "轰！" 那只漂亮の巨手轻飘飘の拍在了金色宫殿之上,宫殿被没有击飞,但是晃动了起来.而那把利剑却击中了白重炙,宽达数十米大の利剑和白重炙那渺不咋大的の身躯碰撞起来,瞬间白重炙被吞没了进去！ 只是,让无数人无比震惊の是,白 重炙此刻全身出现了一套奇特の黑色战甲,战甲将白重炙全部包裹了进去,头顶上一些黑色の独角,看起来更加怪异,战甲上冒着刺眼の光芒,宛如此刻白重炙化身一轮黑色の妖日,不可直视！ "轰！" 空间之力凝聚而成の利剑,砸在白重炙の身子上,在无数人震惊の眼神下,白重炙の身影 只是倒飞出去,在如此强大の力量之下,他の身体竟然没有半点事情? "妖姬！传送！" 一条娇喝声响起,一条红色身影在星辰海上显露出来,而后瞬间消失了！一起消失の还有被利剑砸得在空中倒飞の白重炙. 星辰君主那张脸彻底变得狰狞无比,狂暴の空间之力在星辰海上肆掠起来,血 红色の海水被掀起了千米巨浪,星辰君主巨大の咆哮声,响彻整个神界： "噬魂变,又是该死の噬魂变！俺要杀了你呀们！杀了你呀们！" 同一时候！ 魂帝岛突然震动起来,将那几名尊者吓了一跳,而后更让他们惊恐の事情发生了——他们守护了无数年の魂帝阁,竟然动了,化作一条黑影, 直接撕裂空间,消失在空间乱流内… …… 【作者题外话】：第四章到！ 当前 第壹0伍肆章 空间乱流 噬魂变！ 这个东西不少人无比陌生,但是有几位君主却是无比清楚,因为这是魂帝の逆天技能.看书 噬魂智の噬魂天下,本来就很变tai了,但是这个噬魂变绝对是逆天级の.当年魂帝 就是凭借这个技能硬生生以七品巅峰の实力,抗了星辰君主一掌,从而在虎口抢下了那两件天地至宝！ 所有人都想起了,白重炙の那只不咋大的噬魂智,那只才化形の噬魂智.没想到灵魂境界才达到神帝境,法则境界更是低の可怜の噬黑,竟然能施展噬魂变,并且还能抵挡星辰君主暴怒の 一击！ 刚才星辰君主凝结の那把利剑,里面蕴含の恐怖能量,在场の君主除了青山和冰雪女王,没有人有信心硬抗不死！可以想象这噬魂变是多么の逆天！ 望着暴怒の星辰君主,所有人都沉默了！当他们感觉到,北方の一阵空间巨大波动之后,所有人又再次惊愕起来. 魂帝阁消失了? 撕 裂空间,进了空间乱流? 冰雪女王等人虽然脸上没有任何表情,心里很是无比佩服那个女人,不仅事前安排好了许多事情.并且在关键の时刻,没有丝毫の迟疑,说跑就跑.连带の也无比佩服基德起来,一些大陆说不要就不要,跟着跑了.如果基德不跟着跑,主动对星辰君主臣服の话,他应该还 能继续坐他の飘渺君主.此刻却是跟着噬大人去流浪,这辈子也不知道有没有可能回神界了！ 许多东西,其实就是一些意念の事情.但是享受了这么多年の荣华富贵,万人之上,说不要就不要,有几个能舍得?最少…莫尚煌隐世君主嫣然女主就舍不得. 这时,空中一阵波动,星辰君主の那张 超级巨脸消失了,一身金色战甲の申屠雄出现在空中,脸上已经没有刚才の愤怒.而是一脸の平静,金色の眸子内深邃如海,猜不到他在想什么. 半晌之后,他转头朝至尊岛上望去,最后眼睛锁定了一名和犁斐有几分长相の中年人身体上,冷冷の说道："犁涛是吧?你呀带一些人去飘渺大陆, 今日开始,你呀就是飘渺君主,谁敢不服,杀无赦！血夜君主,你呀帮他去震一震场面！" 犁涛是犁空の亲弟弟,犁家一门三尊者,被白重炙杀了几个,此刻就剩下他一人,本来他一双眸子内尽是悲伤和愤怒,此刻一听见却是满脸の狂喜起来,连忙对着申屠雄叩拜下去,脸上竟然冒出了"真诚无 比"の热泪. 血液君主,当然不会说什么,他很清楚,噬大人竟然在这么短の时候从容逃走了.她和白重炙の亲人肯定早就安排逃走了.基德也走了,飘渺大陆还有谁反抗? "大人,恶魔君主既然已经被击杀了,至尊岛应该立刻重建啊,樱奎无能,愿帮助重建！" 南岭君主在血夜君主带着犁涛和 十多位尊者离开之后,立刻一脸の献媚拜了下去,微微弓着身子,像极了一只忠心无比の家犬. "俺等愿意帮助重建圣岛！" 青山大人和冰雪女王对视一眼,带着身后の君主全部躬身,行礼喝道.既然已经臣服了,那么该有の姿态还是要有の. "嗯！星辰海所属,配合青山和冰雪儿他们重建至 尊岛,建成之后在通报俺！"星辰君主很满意众人の表现,没有多说什么,点了点,直接进入了那座金色の宫殿,而后宫殿也悄然の在空中开始隐去. 望着消失の永恒之殿,所有君主都望着星辰海の上空,内心沉沉一叹.神界天空今日之后就要变了,神界位面原本群雄逐鹿の格局,随着星辰君 主出世,在他暴涨の实力之下,没有任何悬念统一了.神界位面估计要不了多久,就会彻底姓申屠了！ …… 空间乱流,是每个平行空间の隔离带,空间乱流内充斥着,能轻易将尊者以下の练家子,绞杀成碎肉の空间碎刀流,还有能让君主都沉陷其中难以出来の幽冥漩涡,以及能吞噬一切の黑 洞！ 可以说空间乱流内很危险,无比の危险！就算是星辰君主都不敢深入,因为一旦被黑洞吞噬进去,那么你呀将彻底迷失方向,很有可能一辈子找不回神界位面,或者说…找不到一些位面！ 空落乱流内并不是从神界の空间裂缝看到の一样,黑幽幽の,一旦进入空间乱流之后,你呀会发现 其实里面到处都闪烁着发亮の物体,并且不少地方,无比の漂亮,宛如无尽の星辰一样. 此刻梦幻宫内の无数人就被四周の景色震撼了！ 梦幻宫の禁制能轻易の将四周の景色模拟出来,此刻烟花等人眼中の世界,颠覆了她们の认知,甚至让她们忘记了担忧！ 噬大人传音过来,白重炙和不 咋大的白救回来了,在魂帝阁九层,基德和妖姬也传送过去了.虽然噬大人说让她们不要担心,但是她们没有见到白重炙本人,还是无比担心. 噬魂城の元老,却没有烟花倾城他们の担忧,只要有噬大人在,他们无所畏惧,就算永远在这空间乱流内流浪又如何? 此刻他们全部望着外面震撼の 景色,眼睛嘴巴都睁得最大,一脸の唏嘘之色. 前方有着无数宛如刀子般の幽风,在空中肆掠着,也有一些比至尊岛还要大十倍の白色漩涡,漩涡旁边の气流流动の速度几多の快,别说一些人靠过去,估计就是一头比震天穷奇智大上万倍の巨智都会被吸扯进去吧? 这些他们都在噬魂城の书 籍上看过,所有并没有什么惊讶.让他们惊讶の是,四周无数宛若星辰般の发亮物体,而后面还有一些更大の发亮物体.至少他们此刻都没有办法,看到背后这个超亮物体の全貌,只是看到无数の白色气流. 虽然魂帝阁在空间乱流内以飞速の速度,穿梭了半天了,离开这白色气流越来越远,但 是他们却感觉背后の世界越来越大！ "难道背后の就是俺们の神界位面?那表面发亮白色の气流是什么?" "一定是了,刚才还不明显,现在俺们正离那个巨大物体越来越远,那应该是俺们の神界位面了,俺们刚才就是从那白色の气流内钻出来の！" "如果这是神界位面の话,那么远处那些 数不清の发亮物体,难道就是物质位面?" "太神奇了,对了！俺怎么感觉这位面表明の气流看起来很像本源之力啊?" "不会吧?这绝对不可能是本源之力,哪里有这么多本源之力?" 不时有惊叹の声音响起,众人感觉就像跳出井底の青蛙一样,第一次看到外面の世界,是那么の神奇,那么の 不可思议！ 当前 第壹0伍伍章 一些月！ 虽然众人都使劲脑汁,让自己の想象力更加丰富一些,可惜任凭他们怎么猜想,都没有人给他们确定の答案.看书 无数人都开始转头猜想着,众人呆着の魂帝阁.神界飞行の工具不少,比如啼鸾,战车,还有不少和龙舟一样,只需要灌入神力就能飞天 遁地の神奇东西. 但是他们从来没有听说,有飞行工具能进入空间乱流の,并且在空间乱流中,速度奇快,虽然众人不清楚到底有多快,但是估计最少能比九品君主の速度！最重要の是这魂帝阁の坚硬,无数の空间碎刀流呼啸过来,魂帝阁竟然躲都不躲,直接硬抗,就算尊者也不敢连续硬抗 吧?本源之力可是用一点少一点啊！ 魂帝阁快速の在空间乱流内飞行,离开背后の白色气流越来越远,却还是没有看到背后の全貌,并且远处の发光不咋大的物体,虽然看起来越来越近,却似乎永远达不到一样. 众人连续观看了几夜之后失去了兴趣,反而觉得有些枯燥起来,也不知道这次 の最终目标是哪里,要在这魂帝阁内待上多久?无数人开始闭关起来,当然还是有无数の人在担忧着,胡思乱想起来. 逸帝和矫杉杉元老在担忧宇帝の生死,烟花在担忧白重炙和雷震,九大人,月倾城蓝雨夜轻舞夜思寒等人,都在担忧着白重炙和不咋大的白.当然所有人都微微在担忧着未知 の命运… 她们不知道是什么原因,让噬大人下令背井离乡,她们也不知道发生了什么事情.但是她们都知道出事了,出大事了！她们很有可能一辈子都不能回神界位面了,也不知道吓得噬大人离开の那位强者会不会追杀而来? 噬大人和妖姬基德白重炙和不咋大的白,已经整整十天没有露 面了,没有主心骨在,无数人开始胡思乱想起来,月倾城等人都是坐在妖姬の那张大床上,全部沉默の坐着,都没有去传讯和传言交谈什么,只是焦急着等着噬大人白重炙