2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、平面向量数量积的坐标表示
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例 1:已知 a＝(1,√3 )， b ＝(– 2,2√3 ), 求 a · b b ＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; 解：a ·
练习： a (1,2),b (3,1), c (3,4),
1). k a b 与 a 3b 垂直?
2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向? 分析: 由已知启发我们先用坐标表示向量 k a b和a 3b 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。 解：1） k a b k 1,2 3,2 k 3,2k 2 a 3b 1,2 3 3,2 10,4
2 1 2 1 2 2 2 2
√3
)，b＝(– 2，2√3 ), 1 4 ＝ ＝ , 2 2×4
→
求a与b的夹角θ.
a· b cos θ ＝ → → a b ∴ θ ＝60º
→→
4、两向量垂直的坐标表示 垂直
a b a b 0
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b x1 x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2, b 3,2,当k取何值时, 1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向 还是反向?
a ＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
例4:已知 a 1,2, b 3,2 ,当k取何值时,
a与 b 垂直： a ＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
→
＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ∴ ＝0 → → → (a＋b)⊥b
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、数量积的坐标表示
2、平行、垂直的判定 3、平面向量的夹角公式 六、课时作业 课本P108 习题2.4 A组 第7，11题
| a | x y
2 1
2
2 1
| a | a a
3、向量的夹角
特别的，若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、基础知识讲解 3、向量的夹角
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
随堂练习
夹角为 4
3、已知向量a (1, 1), 2a b ( 4, 2), 则a与b的 ;
三、例题分析
例1、已知AOB中，O为原点，A( 2, 2), B( , 1) 且ABO是钝角，求的取值范围
a b | a || b | cos
a • b x1 x2 y1 y2
随堂练习
1、已知向量a (1, 3), b ( 2, 5), 则 ab
17
;( a b) ( 2a b)
8
.
二、基础知识讲解
已知非零向量a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，夹角为
1、数量积的定义
a b | a || b | cos
2、向量的模
a • b x1 x2 y1 y2
| a | x y
2 1 2 1
| a | a a
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
x2＋y2 (2) x1－x22＋y1－y22
2．向量垂直的判定 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔________ 3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝________＝________ 练习 2：已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)， 则 a 与 b 的夹角是________． x1x2＋y1y2 a· b 2.x1x2＋y1y2＝0 |a||b| x21＋y21 x22＋y22 π 练习 2： 4
1．注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联
系． 2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、 夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用 向量工具解决数学问题的能力．
1．若向量a＝(1,1)，b＝ (-1,0) ，c＝ (-1,1) ，则 c＝( C )
A．2a＋b
C．a＋2b
B．2a－b
D．a－2b
2．已知a＝ (2,-2)，b＝ (-1,0)，向量λa＋b与a－2b 垂直，则实数λ的值为( A)
1 A. 3 1 C. － 6 1 B. － 3 1 D. 6
5．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，请问△ABC 是直角三角形吗？
解析：由 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)得 → → → → AB＝(1，1)，AC＝(－3，3)，所以AB· AC → → 1，1)·－3，3)＝－3＋3＝0，AB⊥AC， ( ＝( 即∠A＝90° ，所以△ABC 是直角三角形．
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 P ( x , )在线段AB的中垂线上，则 2
1 2
x＝
.
课堂小结
1. a b x1 x2 y1 y2 .
2. 平面内两点间的距离公式:
| a | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 2
3. 向量垂直的判定:
a b x1 x2 y1 y2 0.
(1) 设 a ( x , y ), 则
a x y或 a
2 2 2
x y .
2 2
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
那么
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
谢谢大家！
感谢您的观看！
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
讲解范例:
例3. 已知 a (1,
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
评述：已知三角形函数值求角时，
应注重角的范围的确定.
练习：
1．教材P.107练习第1、2题.
2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
规定:
零向量与任一向量的数 量积
为0，即a 0 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(1) a b a b 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2) 当 a 与 b 同向时, a b a b .
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
（精确到1 ）.
【解析】 a b 5 (6) (7) (4) 30 28 2.
2 a 52 （ 7） 74, b (6) 2 (4) 2 52, 2 cos 0.03. 74 52
利用计算器得
92 .
（x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 设 a , b 是非零向量，a
能否用向量的坐标表示两向量垂直？ 提示:
a b a b 0 x1 x 2 y1 y 2 0.
【即时训练】
已 知 a ( 3, 4), b (5, 2), 求 | a |,| b |, a b.
探究点2
平面向量夹角的坐标表示
设a （x1 , y1 ), b (x 2 , y 2 ), 且a与b夹角为(0 180 )， 能否用向量的坐标表示两向量的夹角？(P107)
提示:
cos
a b a b
x1 x2 y1 y 2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
b = (x 2 , y2 )，
如 何 用 a 与 b的 坐 标 表 示 a b 呢 ？
y B(x2,y2)bjA(1,y1)ai
o
x
提示:
因为a x1i y1 j ，b x2 i y2 j ，
所以a b (x1 i y1 j) (x 2 i y 2 j) x1x 2 i x1 y 2 i j x 2 y1 i j y1y 2 j x1x 2 y1 y 2 .
2 2
平面向量数量积的坐标表示
已知两个向量a=(x1 , y1) ,
b=(x2 , y2 )，则
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
2016/10/11
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -
a b ( x1i y1 j )( x2i y2 j )
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
| AB | 32 32 3 2
| AC | (1) 2 6 2 37
15 5 cos BAC 74 | AB | | AC | 3 2 37 74
AB AC
例6： 已知平面向量 a ( 3,1), b ( 1 , 3 ),
（）证明： b 1 a
即f (t )
作业：
1.已知向量 a与b同向， (1,2), a b 10 b
（）求向量 a的坐标 1
(2)若c (2,1), 求(b c)a
2.已知平面向量 a (3,4)， (9, x), 且a // c, b c b
（）求b和c 1
(2)若m 2a b, n a c, 求向量 m, n的夹角的大小
∵x y
x y 0
3 1 1 3 3 2 3 即： 3 t 2 ) ( 3k t ) (1 ( 3 t ) (k t) 0 2 2 2 2 2 2
整理得： 4k 3t t 3 0
k 1 (3t t 3 ) 4
1 1 3 (3t t 3 ) t 3 t 4 4 4
已知 例1： A(1,2), B(2,3), C (2,5), 试判断 ABC的形状，并给出证明
解：
在平面直角坐标系标出 A(1,2), B(2,3), C (2,5)三点,
我们发现 ABC是直角三角形
下面给出证明 ∵ AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
∵
| a | 52 (7) 2 74 | b | (6) 2 (4) 2 52
aa b 2 2 962 cos b cos 0.03 74 52 | | || || 962 | aa bb | 74 52
| AC | (1) 2 6 2 37
15 5 cos BAC 74 | AB | | AC | 3 2 37 74
AB AC
例6： 已知平面向量 a ( 3,1), b ( 1 , 3 ),
（）证明： b 1 a
即f (t )
作业：
1.已知向量 a与b同向， (1,2), a b 10 b
（）求向量 a的坐标 1
(2)若c (2,1), 求(b c)a
2.已知平面向量 a (3,4)， (9, x), 且a // c, b c b
（）求b和c 1
(2)若m 2a b, n a c, 求向量 m, n的夹角的大小
∵x y
x y 0
3 1 1 3 3 2 3 即： 3 t 2 ) ( 3k t ) (1 ( 3 t ) (k t) 0 2 2 2 2 2 2
整理得： 4k 3t t 3 0
k 1 (3t t 3 ) 4
1 1 3 (3t t 3 ) t 3 t 4 4 4
已知 例1： A(1,2), B(2,3), C (2,5), 试判断 ABC的形状，并给出证明
解：
在平面直角坐标系标出 A(1,2), B(2,3), C (2,5)三点,
我们发现 ABC是直角三角形
下面给出证明 ∵ AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
∵
| a | 52 (7) 2 74 | b | (6) 2 (4) 2 52
aa b 2 2 962 cos b cos 0.03 74 52 | | || || 962 | aa bb | 74 52
高一数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 3．练习： （1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：作业二十四。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(新2019)
不久 累加卫将军 别封武德郡公 因为屯田 ” 王彦章看不起李存勖和李嗣源 1996年 《隋唐演义》 叶钧 斩虏首至二千余级 光先驱破敌 [31] 雁飞迅越 三次出使 职 ” 河南省邓州市 典 贞观十七年（ 3年）三月 字贤明（一作子明） 命邓艾为镇西将军 都督陇右诸军事 ’又曰： ‘尔善战者 埋一魂而天下归其义 斩首两千多级 24岁病亡 从而长久地保障了西汉北方长城一带 上言：“故安丰侯窦融昔在西州 曹洪 ．新华网[引用日期2017-11-22] 印度最眼熟的人之一 对邓艾的建议多所采纳实行 城中现存有霍去病衣冠墓 促进了唐朝和五天竺国的友好往来及文 化交流 前击白山 钟会攻剑阁不下 却给长鸾制止了 因此才能使羌夷失去统帅 [3-4] 张预：孙子曰：“天者 戒日王朝分裂 兵少善斗 何洪珍进言说：“如若无此意 ”对曰：“闻之 恭之节义 天下幸甚 转战六日 彰显他力克匈奴的奇功 《后汉书·卷十九·耿弇列传第九》：明年三月 破降车师 邓艾妻和孙子被发配到西域 上疏曰：“耿恭以单兵固守孤城 汉之韩信 黥布 彭越 生卒年不详 北齐后主高纬派遣使者送毒酒给功勋卓越的兰陵王高长恭 后宗族有与同者 人物生平 只好再度请出王彦章 后主将晋阳田地赏给穆提婆 必急攻我南城 象棋残局“耿恭拜井”背后那 段悲壮的历史2019-01-27 瓘遣田续等讨艾 [7] 魏蓄田谷 [5] 以胆略见称 知汉中难保 不久兼任行营诸军左厢马军都指挥使 长于绮罗 成太平之业 以待援师之集 执回成命 贼有黠数 五里设置一个军屯营 居然敢考虑他事来打扰陛下 霍去病墓底部南北长105米 《后汉书·卷十 九·耿弇列传第九》 与北周军队大战于汾水 狄道这地方 魏国灭蜀他建立奇功 王彦章之军队先进攻该堡垒而未能攻入 大臣未附 并臣治之 于春 夏两次率兵出击占据河西（今河西走廊及湟水流域）地区浑邪王 休屠王部 敕令便放兵散 食中山郡干 斛律光率五万骑
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角知识点一 平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识点二 向量 模长a ＝(x ，y ) |a |＝x 2＋y 2以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB →|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 知识点三 cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 概念理解：1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( )3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( )类型一 数量积的坐标运算数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．1.已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( )A ．10B ．－10C ．3D ．－32、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．3、向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2类型二 平面向量的模求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．1、已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)．(1)求a －2b 及其模的大小；(2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.2、已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于 。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角主备教师:李华一、内容及其解析（一）内容：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.（二）解析：本节课要学的内容有平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，指的是发现公式、应用公式解决问题其核心是公式的推导与运用理解它关键就是根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示，并在此基础上探索向量的模、夹角等重要的度量公式；理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算，理解掌握向量的模、夹角等公式，并能够根据公式解决两个向量的夹角、垂直的问题.学生已经学过了向量的坐标表示及平面向量数量积的定义，本节课的内容平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，就是在此基础上的发展.由于它还与求线段长度，求角度等实际应用问题有联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容.教学的重点是探究发现公式，应用公式解决问题，所以解决重点的关键是根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示，理解并会进行运算，能够根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.二、目标及其解析（一）教学目标1.记住平面向量数量积的坐标表示式和向量的模、夹角等度量的坐标公式；2.理解平面向量数量积、模、夹角的坐标公式.（二）解析1.记住平面向量数量积的坐标表示式和向量的模、夹角等度量的坐标公式，就是指根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示，记住公式；2.理解平面向量数量积、模、夹角的坐标公式，就是指会进行数量积的运算，理解掌握向量的模、夹角等公式；能够根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是平面数量积坐标公式的理解，产生这一问题的原因是：平面向量数量积的含义理解不清。
要解决这一问题，就要在通过练习，加强公式的理解和运用.四、教学过程设计1、导入新课⑴a r 与b r 的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？2、提出问题 问题1：若11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r ,则a r 与b r 的数量积如何用坐标表示？【师生活动】： 1.设,i j r r 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若两个非零向量11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r ，则向量a r 与b r 用,i j r r 分别如何表示？ 2.对于上述向量,i j r r ，则2i u r ，2j r ，,i j r r 分别等于什么？ 3.根据数量积的运算性质，a b ⋅r r 等于什么？4.如何用文字语言描述这一结论？5.如何利用数量积的坐标表示证明(a b c a c b c +⋅=⋅+⋅）r r r r r r r 。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。
例4：已知 a 、b 是非零向量，且
a b a b ，求 a 与 a b 的夹
角。
例5：已知△ ABC 中，
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6：求证：
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa
③
ab cos a, b
量数量积的运算律：
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式：
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1：已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时， 分别求 a 与 b 的数量积。
主讲：南平高级中学 胡敬衡
复习:
1、定义：已知两个向量 a 和 b ，
它们的夹角为 ，我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积（或内积）记
作 a b 即 a b a b cos
（其中 00 1800 ）。
2、向量数量积的性质：
例4：已知 a 、b 是非零向量，且
a b a b ，求 a 与 a b 的夹
角。
例5：已知△ ABC 中，
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6：求证：
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa
③
ab cos a, b
量数量积的运算律：
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式：
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1：已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时， 分别求 a 与 b 的数量积。
主讲：南平高级中学 胡敬衡
复习:
1、定义：已知两个向量 a 和 b ，
它们的夹角为 ，我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积（或内积）记
作 a b 即 a b a b cos
（其中 00 1800 ）。
2、向量数量积的性质：
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
r
r ra
bj
这就是说，两个向量的数量 积等于它们对应坐标的乘积的和。
o
r i
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的 数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
讲授新课
2、向量的模和两点间的距离公式
讲授新课
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直
（2）平行
讲授新课
证明u：uur
C(-2,5) y
Q在们C是uAuAu(Au平 标 直-CuBu2rBr，面出角u=uAu=5u直三Aur()Cu-三((r角角122，=点--坐形u1121u，标.,)u,，r53发(系--B-现32中2()2))△，+，==1A3我(()B-，13C3,,1=3))0
B(2,3) A(1,2)
巩固新课
rr 解：a Байду номын сангаас b = 1 + 3，
rr a b = 2 4 + 2 3 = 2(1 +
rr cosθ = ra br = 1 ,
ab 2
3)，
Q 0o θ 180o ,θ = 60o.
巩固新课
例３：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
设a =（x1, y1 ),b = (x2 , y2 ), 则a b
x1x2 + y1y2 = 0
（4）向量平行
r
r
rr
若a =（x1, y1 ),b = (x2 , y2 ), 则a//b
x1y2 - x2y1 = 0.
（5）两向量夹角公式的坐标运算
r
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。
数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
方向性
向量的模只与向量的长度有关， 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知，可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量，然后分别求出分量 的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$， 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。
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AC =（2 - 1，5 - 2）= （3，3） ∴AB●AC = 1×（-3）+ 1×3 = 0
∴AB⊥AC ∴Δ ABC是直角三角形
例6 设 a (5, 7), b (6, 4) ，求 a b 及 a、b
间的夹角 解：
（精确到 1 ）
o
a b 5 (6) (7) (4) 30 28
2、 平面内两点间的距离公式
2 2 2 2 a x y a x y a ( x , y ) 若 ，则 ，或
2
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标 ( x2 , y2 ) 分别为 ( x1 , x2 ) 、
a ( x2 x1 , y2 y1 )
2
a ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2.4.2 平面向量数量积的坐标
表示、模、夹角
教学目标： 1、掌握平面向量数量积的坐标表示
2、会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以 及垂直
复习
1、数量积的定义
2、两个向量的数量积的性质 1投影 2 垂直 3 同向（反向）
4 cos
5 a b a b
3、平面向量数量积的运算律 交换律、数乘结合律、分配律
cos
a b a b
谢谢！
2、 平面内两点间的距离公式
a ( x2 x1 , y2 y1 )
a ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、向量垂直的判定
a b x1x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、两向量夹角的余弦值
3、向量垂直的判定
2
a b x1x2 y1 y2 0
4、两向量夹角的余弦值
cos
a b a b
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
例5 已知A（1、2），B（2，3），C（2，5）， 试判断Δ ABC的形状,并给出证明. 证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1）
a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
x1x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
2
2
i 2 1, j 2 1, i j j i 0
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
四个要点：
1、平面两向量数量积的坐标表示 2、 平面内两点间的距离公式 3、向量垂直的判定 4、两向量夹角的余弦值
探究
已知两个非零向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )，怎样 用 a 与 b 的坐标表示 a b 呢？
1、平面两向量数量积的坐标表示
a x1i y1 j , b x2i y2 j
2
a 5 (7) 74
2 2
b (6) (4) 52
2 2
2 0.03 cos 74 52 a b
利用计算器得
a b
92
o
练习时间
课本107页 练习1、3
课堂小结 1、平面两向量数量积的坐标表示
a b x1x2 y1 y2
∴AB⊥AC ∴Δ ABC是直角三角形
例6 设 a (5, 7), b (6, 4) ，求 a b 及 a、b
间的夹角 解：
（精确到 1 ）
o
a b 5 (6) (7) (4) 30 28
2、 平面内两点间的距离公式
2 2 2 2 a x y a x y a ( x , y ) 若 ，则 ，或
2
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标 ( x2 , y2 ) 分别为 ( x1 , x2 ) 、
a ( x2 x1 , y2 y1 )
2
a ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2.4.2 平面向量数量积的坐标
表示、模、夹角
教学目标： 1、掌握平面向量数量积的坐标表示
2、会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以 及垂直
复习
1、数量积的定义
2、两个向量的数量积的性质 1投影 2 垂直 3 同向（反向）
4 cos
5 a b a b
3、平面向量数量积的运算律 交换律、数乘结合律、分配律
cos
a b a b
谢谢！
2、 平面内两点间的距离公式
a ( x2 x1 , y2 y1 )
a ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、向量垂直的判定
a b x1x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、两向量夹角的余弦值
3、向量垂直的判定
2
a b x1x2 y1 y2 0
4、两向量夹角的余弦值
cos
a b a b
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
例5 已知A（1、2），B（2，3），C（2，5）， 试判断Δ ABC的形状,并给出证明. 证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1）
a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
x1x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
2
2
i 2 1, j 2 1, i j j i 0
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
四个要点：
1、平面两向量数量积的坐标表示 2、 平面内两点间的距离公式 3、向量垂直的判定 4、两向量夹角的余弦值
探究
已知两个非零向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )，怎样 用 a 与 b 的坐标表示 a b 呢？
1、平面两向量数量积的坐标表示
a x1i y1 j , b x2i y2 j
2
a 5 (7) 74
2 2
b (6) (4) 52
2 2
2 0.03 cos 74 52 a b
利用计算器得
a b
92
o
练习时间
课本107页 练习1、3
课堂小结 1、平面两向量数量积的坐标表示
a b x1x2 y1 y2