2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、平面向量数量积的坐标表示
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例 1:已知 a＝(1,√3 )， b ＝(– 2,2√3 ), 求 a · b b ＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; 解：a ·
练习： a (1,2),b (3,1), c (3,4),
1). k a b 与 a 3b 垂直?
2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向? 分析: 由已知启发我们先用坐标表示向量 k a b和a 3b 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。 解：1） k a b k 1,2 3,2 k 3,2k 2 a 3b 1,2 3 3,2 10,4
2 1 2 1 2 2 2 2
√3
)，b＝(– 2，2√3 ), 1 4 ＝ ＝ , 2 2×4
→
求a与b的夹角θ.
a· b cos θ ＝ → → a b ∴ θ ＝60º
→→
4、两向量垂直的坐标表示 垂直
a b a b 0
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b x1 x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2, b 3,2,当k取何值时, 1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向 还是反向?
a ＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
例4:已知 a 1,2, b 3,2 ,当k取何值时,
a与 b 垂直： a ＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
→
＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ∴ ＝0 → → → (a＋b)⊥b
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、数量积的坐标表示
2、平行、垂直的判定 3、平面向量的夹角公式 六、课时作业 课本P108 习题2.4 A组 第7，11题
| a | x y
2 1
2
2 1
| a | a a
3、向量的夹角
特别的，若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、基础知识讲解 3、向量的夹角
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
随堂练习
夹角为 4
3、已知向量a (1, 1), 2a b ( 4, 2), 则a与b的 ;
三、例题分析
例1、已知AOB中，O为原点，A( 2, 2), B( , 1) 且ABO是钝角，求的取值范围
a b | a || b | cos
a • b x1 x2 y1 y2
随堂练习
1、已知向量a (1, 3), b ( 2, 5), 则 ab
17
;( a b) ( 2a b)
8
.
二、基础知识讲解
已知非零向量a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，夹角为
1、数量积的定义
a b | a || b | cos
2、向量的模
a • b x1 x2 y1 y2
| a | x y
2 1 2 1
| a | a a
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
x2＋y2 (2) x1－x22＋y1－y22
2．向量垂直的判定 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔________ 3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝________＝________ 练习 2：已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)， 则 a 与 b 的夹角是________． x1x2＋y1y2 a· b 2.x1x2＋y1y2＝0 |a||b| x21＋y21 x22＋y22 π 练习 2： 4
1．注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联
系． 2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、 夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用 向量工具解决数学问题的能力．
1．若向量a＝(1,1)，b＝ (-1,0) ，c＝ (-1,1) ，则 c＝( C )
A．2a＋b
C．a＋2b
B．2a－b
D．a－2b
2．已知a＝ (2,-2)，b＝ (-1,0)，向量λa＋b与a－2b 垂直，则实数λ的值为( A)
1 A. 3 1 C. － 6 1 B. － 3 1 D. 6
5．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，请问△ABC 是直角三角形吗？
解析：由 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)得 → → → → AB＝(1，1)，AC＝(－3，3)，所以AB· AC → → 1，1)·－3，3)＝－3＋3＝0，AB⊥AC， ( ＝( 即∠A＝90° ，所以△ABC 是直角三角形．
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 P ( x , )在线段AB的中垂线上，则 2
1 2
x＝
.
课堂小结
1. a b x1 x2 y1 y2 .
2. 平面内两点间的距离公式:
| a | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 2
3. 向量垂直的判定:
a b x1 x2 y1 y2 0.
(1) 设 a ( x , y ), 则
a x y或 a
2 2 2
x y .
2 2
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
那么
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
谢谢大家！
感谢您的观看！
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
讲解范例:
例3. 已知 a (1,
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
评述：已知三角形函数值求角时，
应注重角的范围的确定.
练习：
1．教材P.107练习第1、2题.
2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
规定:
零向量与任一向量的数 量积
为0，即a 0 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(1) a b a b 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2) 当 a 与 b 同向时, a b a b .
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
（精确到1 ）.
【解析】 a b 5 (6) (7) (4) 30 28 2.
2 a 52 （ 7） 74, b (6) 2 (4) 2 52, 2 cos 0.03. 74 52
利用计算器得
92 .
（x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 设 a , b 是非零向量，a
能否用向量的坐标表示两向量垂直？ 提示:
a b a b 0 x1 x 2 y1 y 2 0.
【即时训练】
已 知 a ( 3, 4), b (5, 2), 求 | a |,| b |, a b.
探究点2
平面向量夹角的坐标表示
设a （x1 , y1 ), b (x 2 , y 2 ), 且a与b夹角为(0 180 )， 能否用向量的坐标表示两向量的夹角？(P107)
提示:
cos
a b a b
x1 x2 y1 y 2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
b = (x 2 , y2 )，
如 何 用 a 与 b的 坐 标 表 示 a b 呢 ？
y B(x2,y2)bjA(1,y1)ai
o
x
提示:
因为a x1i y1 j ，b x2 i y2 j ，
所以a b (x1 i y1 j) (x 2 i y 2 j) x1x 2 i x1 y 2 i j x 2 y1 i j y1y 2 j x1x 2 y1 y 2 .
2 2
平面向量数量积的坐标表示
已知两个向量a=(x1 , y1) ,
b=(x2 , y2 )，则
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
2016/10/11
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -
a b ( x1i y1 j )( x2i y2 j )
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
| AB | 32 32 3 2
| AC | (1) 2 6 2 37
15 5 cos BAC 74 | AB | | AC | 3 2 37 74
AB AC
例6： 已知平面向量 a ( 3,1), b ( 1 , 3 ),
（）证明： b 1 a
即f (t )
作业：
1.已知向量 a与b同向， (1,2), a b 10 b
（）求向量 a的坐标 1
(2)若c (2,1), 求(b c)a
2.已知平面向量 a (3,4)， (9, x), 且a // c, b c b
（）求b和c 1
(2)若m 2a b, n a c, 求向量 m, n的夹角的大小
∵x y
x y 0
3 1 1 3 3 2 3 即： 3 t 2 ) ( 3k t ) (1 ( 3 t ) (k t) 0 2 2 2 2 2 2
整理得： 4k 3t t 3 0
k 1 (3t t 3 ) 4
1 1 3 (3t t 3 ) t 3 t 4 4 4
已知 例1： A(1,2), B(2,3), C (2,5), 试判断 ABC的形状，并给出证明
解：
在平面直角坐标系标出 A(1,2), B(2,3), C (2,5)三点,
我们发现 ABC是直角三角形
下面给出证明 ∵ AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
∵
| a | 52 (7) 2 74 | b | (6) 2 (4) 2 52
aa b 2 2 962 cos b cos 0.03 74 52 | | || || 962 | aa bb | 74 52
| AC | (1) 2 6 2 37
15 5 cos BAC 74 | AB | | AC | 3 2 37 74
AB AC
例6： 已知平面向量 a ( 3,1), b ( 1 , 3 ),
（）证明： b 1 a
即f (t )
作业：
1.已知向量 a与b同向， (1,2), a b 10 b
（）求向量 a的坐标 1
(2)若c (2,1), 求(b c)a
2.已知平面向量 a (3,4)， (9, x), 且a // c, b c b
（）求b和c 1
(2)若m 2a b, n a c, 求向量 m, n的夹角的大小
∵x y
x y 0
3 1 1 3 3 2 3 即： 3 t 2 ) ( 3k t ) (1 ( 3 t ) (k t) 0 2 2 2 2 2 2
整理得： 4k 3t t 3 0
k 1 (3t t 3 ) 4
1 1 3 (3t t 3 ) t 3 t 4 4 4
已知 例1： A(1,2), B(2,3), C (2,5), 试判断 ABC的形状，并给出证明
解：
在平面直角坐标系标出 A(1,2), B(2,3), C (2,5)三点,
我们发现 ABC是直角三角形
下面给出证明 ∵ AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
∵
| a | 52 (7) 2 74 | b | (6) 2 (4) 2 52
aa b 2 2 962 cos b cos 0.03 74 52 | | || || 962 | aa bb | 74 52
高一数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 3．练习： （1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：作业二十四。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(新2019)
不久 累加卫将军 别封武德郡公 因为屯田 ” 王彦章看不起李存勖和李嗣源 1996年 《隋唐演义》 叶钧 斩虏首至二千余级 光先驱破敌 [31] 雁飞迅越 三次出使 职 ” 河南省邓州市 典 贞观十七年（ 3年）三月 字贤明（一作子明） 命邓艾为镇西将军 都督陇右诸军事 ’又曰： ‘尔善战者 埋一魂而天下归其义 斩首两千多级 24岁病亡 从而长久地保障了西汉北方长城一带 上言：“故安丰侯窦融昔在西州 曹洪 ．新华网[引用日期2017-11-22] 印度最眼熟的人之一 对邓艾的建议多所采纳实行 城中现存有霍去病衣冠墓 促进了唐朝和五天竺国的友好往来及文 化交流 前击白山 钟会攻剑阁不下 却给长鸾制止了 因此才能使羌夷失去统帅 [3-4] 张预：孙子曰：“天者 戒日王朝分裂 兵少善斗 何洪珍进言说：“如若无此意 ”对曰：“闻之 恭之节义 天下幸甚 转战六日 彰显他力克匈奴的奇功 《后汉书·卷十九·耿弇列传第九》：明年三月 破降车师 邓艾妻和孙子被发配到西域 上疏曰：“耿恭以单兵固守孤城 汉之韩信 黥布 彭越 生卒年不详 北齐后主高纬派遣使者送毒酒给功勋卓越的兰陵王高长恭 后宗族有与同者 人物生平 只好再度请出王彦章 后主将晋阳田地赏给穆提婆 必急攻我南城 象棋残局“耿恭拜井”背后那 段悲壮的历史2019-01-27 瓘遣田续等讨艾 [7] 魏蓄田谷 [5] 以胆略见称 知汉中难保 不久兼任行营诸军左厢马军都指挥使 长于绮罗 成太平之业 以待援师之集 执回成命 贼有黠数 五里设置一个军屯营 居然敢考虑他事来打扰陛下 霍去病墓底部南北长105米 《后汉书·卷十 九·耿弇列传第九》 与北周军队大战于汾水 狄道这地方 魏国灭蜀他建立奇功 王彦章之军队先进攻该堡垒而未能攻入 大臣未附 并臣治之 于春 夏两次率兵出击占据河西（今河西走廊及湟水流域）地区浑邪王 休屠王部 敕令便放兵散 食中山郡干 斛律光率五万骑
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AC =（2 - 1，5 - 2）= （3，3） ∴AB●AC = 1×（-3）+ 1×3 = 0
∴AB⊥AC ∴Δ ABC是直角三角形
例6 设 a (5, 7), b (6, 4) ，求 a b 及 a、b
间的夹角 解：
（精确到 1 ）
o
a b 5 (6) (7) (4) 30 28
2、 平面内两点间的距离公式
2 2 2 2 a x y a x y a ( x , y ) 若 ，则 ，或
2
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标 ( x2 , y2 ) 分别为 ( x1 , x2 ) 、
a ( x2 x1 , y2 y1 )
2
a ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2.4.2 平面向量数量积的坐标
表示、模、夹角
教学目标： 1、掌握平面向量数量积的坐标表示
2、会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以 及垂直
复习
1、数量积的定义
2、两个向量的数量积的性质 1投影 2 垂直 3 同向（反向）
4 cos
5 a b a b
3、平面向量数量积的运算律 交换律、数乘结合律、分配律
cos
a b a b
谢谢！
2、 平面内两点间的距离公式
a ( x2 x1 , y2 y1 )
a ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、向量垂直的判定
a b x1x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、两向量夹角的余弦值
3、向量垂直的判定
2
a b x1x2 y1 y2 0
4、两向量夹角的余弦值
cos
a b a b
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
例5 已知A（1、2），B（2，3），C（2，5）， 试判断Δ ABC的形状,并给出证明. 证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1）
a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
x1x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
2
2
i 2 1, j 2 1, i j j i 0
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
四个要点：
1、平面两向量数量积的坐标表示 2、 平面内两点间的距离公式 3、向量垂直的判定 4、两向量夹角的余弦值
探究
已知两个非零向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )，怎样 用 a 与 b 的坐标表示 a b 呢？
1、平面两向量数量积的坐标表示
a x1i y1 j , b x2i y2 j
2
a 5 (7) 74
2 2
b (6) (4) 52
2 2
2 0.03 cos 74 52 a b
利用计算器得
a b
92
o
练习时间
课本107页 练习1、3
课堂小结 1、平面两向量数量积的坐标表示
a b x1x2 y1 y2
∴AB⊥AC ∴Δ ABC是直角三角形
例6 设 a (5, 7), b (6, 4) ，求 a b 及 a、b
间的夹角 解：
（精确到 1 ）
o
a b 5 (6) (7) (4) 30 28
2、 平面内两点间的距离公式
2 2 2 2 a x y a x y a ( x , y ) 若 ，则 ，或
2
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标 ( x2 , y2 ) 分别为 ( x1 , x2 ) 、
a ( x2 x1 , y2 y1 )
2
a ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2.4.2 平面向量数量积的坐标
表示、模、夹角
教学目标： 1、掌握平面向量数量积的坐标表示
2、会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以 及垂直
复习
1、数量积的定义
2、两个向量的数量积的性质 1投影 2 垂直 3 同向（反向）
4 cos
5 a b a b
3、平面向量数量积的运算律 交换律、数乘结合律、分配律
cos
a b a b
谢谢！
2、 平面内两点间的距离公式
a ( x2 x1 , y2 y1 )
a ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、向量垂直的判定
a b x1x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、两向量夹角的余弦值
3、向量垂直的判定
2
a b x1x2 y1 y2 0
4、两向量夹角的余弦值
cos
a b a b
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
例5 已知A（1、2），B（2，3），C（2，5）， 试判断Δ ABC的形状,并给出证明. 证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1）
a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
x1x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
2
2
i 2 1, j 2 1, i j j i 0
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
四个要点：
1、平面两向量数量积的坐标表示 2、 平面内两点间的距离公式 3、向量垂直的判定 4、两向量夹角的余弦值
探究
已知两个非零向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )，怎样 用 a 与 b 的坐标表示 a b 呢？
1、平面两向量数量积的坐标表示
a x1i y1 j , b x2i y2 j
2
a 5 (7) 74
2 2
b (6) (4) 52
2 2
2 0.03 cos 74 52 a b
利用计算器得
a b
92
o
练习时间
课本107页 练习1、3
课堂小结 1、平面两向量数量积的坐标表示
a b x1x2 y1 y2