高二数学直线的位置解答题及答案

高二数学直线综合试题答案及解析1. 已知，，则、两点的中点坐标为【答案】【解析】由点的坐标的中点公式为.又因为，，则、两点的中点坐标为=.故填.本小题的关键是空间坐标的中点公式.【考点】空间坐标系中的中点公式.2. 如果两条直线l 1-:与l 2:平行，那么等于( ) A ．2或B ．2C ．D ．【答案】C【解析】由两直线的方程可知，直线的斜率一定存在，要使两直线平行，只需，解得，故选C ．【考点】本题考查了解析几何中两条直线平行关系的判定，要掌握两条平行直线斜率的关系，特别要注意排除重合的关系．3. 若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于 ． 【答案】 【解析】由题意可知，两平行直线和之间的距离等于，直线被两条平行直线与所截得的线段长为，所以直线与、都垂直，而直线、的倾斜角为，则根据平面几何知识可知，直线的倾斜角．【考点】本题考查的知识点是两平行之间的距离公式，两条直线的夹角，直线的倾斜角的定义．4. 已知P 为抛物线上任一点，则P 到直线距离的最小值为________。

【答案】．【解析】试题分析:本题用点到直线距离公式把距离表示出来，然后求出最小值即可。

设抛物线上的P 点的坐标为，则P 到已知直线的距离为，易知时，取得最小值。

【考点】点到直线的距离公式。

5. 若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是 ．【答案】【解析】曲线表示以（0，1）为圆心，以2为半径的圆的上半个圆，而直线过点（2，4），画出图象，可知该直线与该半圆要有两个公共点，需要.【考点】本小题主要考查曲线方程和直线与圆的位置关系.点评：解决本小题的关键是分析出所给曲线是半圆，所给直线过定点，进而利用数形结合思想解决问题.6.已知△ABC中，A(4，2)，B(1,8)，C(-1,8).(1)求AB边上的高所在的直线方程；(2)直线//AB,与AC,BC依次交于E，F，.求所在的直线方程。

【答案】解：（1）；（2）.【解析】本试题主要是考查了直线方程的求解。

（5）直线一、选择题（本大题共10小题 ：每小题5分 ：共50分） 1．和直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是（ ）A ．3x +4y -5=0B ．3x +4y +5=0C ．-3x +4y -5=0D ．-3x +4y +5=02．若直线的斜率k = -5 ：则倾斜角α=（ ） A ．arctan(-5) B ． π-arctan(-5) C ．arctan5D ． π-arctan53．若直线ax +b y +c=0过第一、二、三象限 ：则（ ） A ．a b>0 ： bc>0 B ．a b>0 ： bc<0 C ．a b<0 ： bc>0D ．a b<0 ： bc<04．如图 ：直线l 1的倾斜角a 1=30° ：直线l 1⊥l 2 ：则l 2的斜率为（ ）A ．-33B ． 33C ．-3D ．35．若斜率为-2的直线l 经过点（0 ：8） ：则l 与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．646．若A （-2 ：3） ：B （3 ：-2） ：C （21：m ）三点在同一直线上 ：则m 的值为 （ ）A ．-2B ．2C ．- 21D ． 217．两条直线A 1x +B 1y +C 1=0 ： A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是（ ）A ． A 1 A 2+B 1 B 2=0 B ． A 1 A 2- B 1 B 2=0C ．2121B B A A = -1 D ．2121A A B B =1 8．已知两条直线l 1：y = x ： l 2：ax -y =0 ：其中a 为实数 ：当这两条直线的夹角在（0 ：12）内变动时 ：a 的取值范围是（ ）A ．（0 ：1）B ．(33 ： 3)C ．(33： 1) ∪(1 ： 3)D ．(1 ：3)9．已知直线l 1：y =-2x +3 ：l 2：y ==x -23：则l 1、l 2的夹角是A ．arctan3B ．arctan(-3)C ．π-arctan3D ． π-arctan(-3)10．已知直线l 1：sin θ·x +cos θ·y +m=0 ： l 2：x +cot θ·y +n=0 (θ为锐角 ：m ：n ∈R 且m ≠n)则y xl 2l 1a 2a 1l 1与l 2的位置关系是 （ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直二、填空题（本题共4小题 ：每小题6分 ：共24分）11．已知直线l 的方程是kx -y +2+3k =0(k ∈R) ：则直线l 必经过点 ． 12．若直线的倾斜角为π-arctan21：且过点（1 ：0） ：则直线l 的方程为 ． 13．直线 2x -y -4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转45°所得的直线方程是 ． 14．两条平行线3x +4y -12=0和6x +8y +6=0间的距离是 ． 三、解答题（本大题共6题 ：共76分）15．求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:022:,022:21=--=+-y x l y x l ．(12分)16．△ABC 中 ：BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0 ：∠A 的平分线所在直线的方程为y =0 ：若点B 的坐标为（1 ：2） ：求点A 和点C 的坐标．(12分) 17．已知两点A (－1 ：－5) ：B (3 ：－2) ：直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半 ：求直线l 的斜率． (12分)18．在△ABC 中 ：已知顶点A (1 ：1) ：B (3 ：6)且△ABC 的面积等于3 ：求顶点C 的轨迹方程．(12分)19．光线从点A （2 ：3）射出 ：若镜面的位置在直线01:=++y x l 上 ：反射线经过 B （1 ：1） ：求入射光线和反射光线所在直线的方程 ：并求光线从A 到B 所走过的路线长．（14分）20．如图 ：根据指令（γ ：θ）（γ≥0 ：-180°<θ≤180°） ：机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时 ：按逆时针方向旋转θ ：θ为负时 ：按顺时针方向旋转θ） ：再朝其面对的方向沿直线行走距离γ．（1）现机器人在平面直角坐标系的坐标原点 ：且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令 ：使其移动到点（4 ：4）．（2）机器人在完成该指令后 ：发现在点（17 ：0）处有一小球 正向坐标原点作匀速直线滚动．已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍 ：若忽略机器人原地旋转所需的时间 ：问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果用反三角函数表示）．（14分）y4A B （1 ：2）O xy参考答案一．选择题（本大题共10小题 ：每小题5分 ：共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDDCBDACAA二．填空题（本大题共4小题 ：每小题6分 ：共24分）11．（-3 ：2） 12．x +2 y -1=0 13．3 x + y -6=0 14． 3 三、解答题（本大题共6题 ：共76分） 15．(12分)[解析]:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22 022022y x y x y x 得所以 ： l 1与l 2的交点是(2 ：2)． 设经过原点的直线方程为kx y = ：把点(2 ：2)的坐标代入以上方程 ：得1=k ：所以所求直线方程为.x y =（另：求直线交点与求直线方程的综合 ：求解直线方程也可应用两点式:020020--=--x y ：即.x y =）16．(12分)[解析]：由 ⎩⎨⎧==+-0012y y x 得顶点A （-1 ：0）又 ：AB 的斜率1)1(102=---=ABk因为x 轴是∠A 的平分线 ：故AC 的斜率为-1 ：AC 所在直线的方程为y =-( x +1) ①已知BC 上的高所在直线方程为x -2 y +1=0 ：故BC 的斜率为-2 ：BC 所在的直线方程为y -2=-2(x –1)② 联立①②解得顶点C 的坐标为（5 ：-6）． 17．(12分)[解析]：设直线l 的倾斜角α ：则由题得直线AB 的倾斜角为2α．∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=----- 43tan 1tan 22=-∴σσ即3tan 2α+8tan α－3=0 ： 解得tan α＝31或tan α＝－3． ∵tan2α＝43＞0 ：∴0°＜2α＜90° ： 0°＜α＜45° ： ∴tan α＝31． 因此 ：直线l 的斜率是31 18．(12分)[解析]：设顶点C 的坐标为(x ：y ) ：作CH ⊥AB 于H ：则动点C 属于集合P =｛Ｃ｜321=⋅CH AB ｝ ：∵ｋＡＢ＝251316=--．∴直线AB 的方程是y -1=25(x -1) ：即5x -2y -3=0．∴｜ＣＨ｜＝29325)2(532522--=-+--y x y x329325292129)16()13(22=--⨯⨯∴=-+-=y x AB化简 ：得｜5x -2y -3｜=6 ：即5x -2y -9=0或5x -2y +3=0 ：这就是所求顶点C 的轨迹方程．19．（14分）[解析]：设点A 关于直线l 的对称点为),(00y x A 'l A A 被' 垂直平分 .34123012322000000⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++++∴y x x y y x 解得)1,1(),3,4(B A --'点 在反射光线所在直线上．∴反射光线的方程为0154414313=+-++=++y x x y 即解方程组⎩⎨⎧=++=+-010154y x y x 得入射点的坐标为)31,32(--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为02453223231331=+-++=++y x x y 即光线从A 到B 所走过的路线长为41)13()14(||22=--+--='B A20．(14分)xy44OPQ[解析]：（1）如图γ=24：θ= 45 ：所下指令为（24 ： 45）（2）设机器最快在点P （x ：0）处截住小球 ：则因为小球速度是机器人速度的2倍 ：所以在相同时间内有22)40()4(217-+-=-x x即73230161232=-==-+x x ，x x或得 因为要求机器人最快地去截住小球 ：即小球滚动距离最短 ：所以x =7 ： 故机器人最快可在点P （7 ：0）处截住小球 ： 又设Q （4 ：4） ：机器人在Q 点旋转的角度为α- 则PQ|5)40()47(222=-+-=1=OQ k ：344740-=--=PQ k（法一）：由1=OQk ⇒∠QOP=45° ：34-=PQ k ⇒∠QPx=34arctan -π34arctan45+=∴ α ： -)34arctan 45(+-= α （法二）： PQOQ PQ OQ k k k k ⋅+-=1tan α71341)34(1-=⋅---=7arctan 180-=∴ α ：)7arctan 180(--=- α 故 ：所给的指令为（5 ：34arctan45--）或（5 ：7arctan 180+- ）。

高二数学直线试题答案及解析1.已知，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( ) A．或B．C．D．【答案】A【解析】如图，当过点P的直线在垂直于x轴的直线L左侧与MN相交时，当在L的右侧与MN相交时，故选A.【考点】直线斜率2.已知满足,则直线必过定点( )A．( ,)B． (,)C． (, )D． (, )【答案】C【解析】由得，代入直线方程得对任意恒成立，故有，解得，即直线必过定点.【考点】直线方程3.设点A（2，－3），B（－3，－2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）。

A．k≥或k≤－4B．k≥或k≤－C．－4≤k≤D．≤k≤4【答案】A【解析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足，用直线的斜率公式求出和的值，求出直线l的斜率k的取值范围. 解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足，即即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤－4 ,故选A【考点】直线的斜率点评：本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多．可以移动一个点的坐标，变式出其他的题目．4.（本题12分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。

（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

【答案】1）利用坐标运算（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”，该命题是假命题.【解析】1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴……3分当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=y12, x2=y22,∴=x1x2+y1y2=="3."综上所述, 命题“......”是真命题.解法二：设直线l的方程为my =x－3与="2x" 联立得到y2-2my-6=0 =x1x2+y1y2=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9＝3（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”，该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y = (x+1),而T(3,0)不在直线AB上.……12分【考点】本题主要考查抛物线的几何性质，直线好抛物线的位置关系，命题的概念及四种命题的关系，向量的坐标运算。

高二数学两条直线的位置关系试题1.已知R且，直线和．（1）求直线∥的充要条件；（2）当时，直线恒在x轴上方，求的取值范围．【答案】（1）；（2）。

【解析】（1）当两直线斜率存在时，两直线平行的充要条件是斜率相等，截距不等。

故且。

（2）可以从函数的角度去分析，时，单调递增，只需；时，单调递减，只需。

试题解析：（1）由题意得解得．当时，，，此时∥． 7分（说明：求得即可，不扣分）（2）设．法1：由题意得即解得． 14分法2：或解得． 14分【考点】（1)两直线斜率存在时，两直线平行的充要条件的应用；（2）用一次函数思想去解决直线问题。

2.若直线与直线互相垂直，那么的值等于 ( )A．1B．C．D．【答案】D【解析】若直线垂直，则斜率之积为-1，即,故为D.【考点】直线垂直与直线方程.3.“”是“直线与直线相互垂直”的 ( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“直线与直线相互垂直”的充要条件是，即或；所以“” 是“或” 充分而不必要条件，因此“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件.【考点】由直线方程一般式判断直线垂直4.若直线y=x-2与y=(+2)x+1相互垂直，则= .【答案】-1【解析】若直线y=x-2与y=(+2)x+1相互垂直，则直线的斜率不存在的那种垂直状态不成立.故这两条直线的斜率互为负倒数所以可得，解得.故填-1.本小题考查的是直线的垂直的位置关系.【考点】1.一元二次方程的解法.2.直线的位置关系.5.若直线与直线互相垂直,则a等于（）A．1B．-1C．D．【答案】C【解析】由直线一般式来判定直线垂直可知:解得故选C【考点】直线垂直判定6.求经过直线的交点M,且满足下列条件的直线方程：(1)与直线2x+3y+5=0平行;(2)与直线2x+3y+5=0垂直.【答案】（1）2x+3y－4＝0；（2）3x-2y+7=0.【解析】（1）与直线2x+3y+5=0平行的直线假设为2x+3y+c=0平行,代入交点坐标即可求出c的值.（2）与直线2x+3y+5=0垂直的直线假设为3x-2y+b=0,代入交点解出b的值即可.试题解析：由题意知：两条直线的交点为（－1，2），（1）因为过（－1，2），所以与2x+3y+5=0平行的直线为2x+3y－4＝0.（2）设与2x+3y+5=0垂直的直线方程为3x-2y+b=0，又过点（－1，2），代入得b=7,故，直线方程为3x-2y+7=0.本题考查与已知直线平行的直线的假设技巧，与已知直线垂直的直线的假设技巧.这种方法要熟练.【考点】1.平行直线间的关系.2.垂直直线间的关系.7.过点且与直线平行的直线方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】与直线平行的直线的斜率是，又所求直线经过点，根据点斜式可得：，化简后可得.【考点】直线与直线平行，直线的点斜式方程.8.过点且与直线平行的直线方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】与直线平行的直线的斜率是，又所求直线经过点，根据点斜式可得：，化简后可得.【考点】直线与直线平行，直线的点斜式方程.9.已知直线与垂直，则的值是 .【答案】或【解析】两条直线垂直等价条件为，，解得或.【考点】两条直线的位置关系.10.已知直线与直线平行，则．【答案】【解析】显然两直线不可能同时平行于X轴或Y轴，故由得.【考点】两直线的平行的判定.11.直线与直线平行，则实数的值为 .【答案】2或-2【解析】两条直线平行倾斜角相等，即可求a的值．解：因为直线ax+4y-3=0的斜率存在，要使两条直线平行，必有- =-解得 a=±2，当a=-2时，已知直线-2x+4y-3=0与直线x-2y+5=0，两直线平行，当a=2时，已知直线2x+4y-3=0与直线x+2y+5=0，两直线平行，则实数a的值为 2或-2．故答案为：2或-2．【考点】两条直线平行的判定点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法12.已知两条直线，直线，则“”是“直线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当直线时可得且，反之当成立时还可能两直线重合【考点】充分条件与必要条件及两直线平行的判定点评：若则是的充分条件，是的必要条件13.已知两条直线与的交点为P，直线的方程为：.（1）求过点P且与平行的直线方程；（2）求过点P且与垂直的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】本试题主要是考查了直线方程的求解。

高二数学直线方程试题答案及解析1.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.【考点】直线和圆的方程的应用．2.已知直线,，则它们的图像可能为( )【答案】D【解析】由直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y-a=0，可得直线l1：y=ax+b，l2：y=bx-a．分类讨论：a＞0，b＞0；a＜0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＜0．根据斜率和截距的意义即可得出．【考点】直线的一般方程.3.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）点C的坐标为；（2）．.【解析】（1）因为直线,求出，进而求出直线AC的方程，直线AC与CD联立即可求出顶点的坐标；（2）由（1）可求出，再求出B点的坐标，由点到直线的距离公式可求出的高，进而可以求出的面积．试题解析：(1)直线,则,直线AC的方程为, 2分由所以点C的坐标．. 4分(2),所以直线BC的方程为, 5分,即．. 7分, 8分点B到直线AC:的距离为. 9分则．. 10分【考点】点到直线的距离、直线方程.4.已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．【答案】2x+9y-65=0【解析】本题考察的知识点主要是写出一个点的坐标和直线的斜率.通过点B在角平分线上，和直线AB的中线可以求出B点的坐标.再通过角平分线定理，求出直线BC的斜率.从而写出直线BC 的方程.试题解析：因为点B在直线上，设B,所以A,B两点的中点坐标为，又因为该点在AB边的中线上，解得,所以B（10,5）.设直线BC的斜率为k,,,有角平分线性质可得.，解得k=.所以.【考点】1.三角形中线的性质.2.三角形角平分线的性质.3.直线方程的求解.5.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由直线的参数方程为得，，所以，直线的斜率为，选A。

高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP→来表示．我们把向量OP→称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a，①把AB→＝a代入①式得OP→＝OA→＋tAB→，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·AP→＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.12.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .1考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1 , l2的方向向量，则l⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.12. 线面垂直的向量表示设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .知识点三 面面垂直的向量表示设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线l 过点(1,0,1)P -，平行于向量(211)S =,,，平面π经过直线l 和点(1,2,3)A ，则平面π的一个法向量n 的坐标为（ ）A ．1212⎛⎫- ⎪⎝⎭,,B ．1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,,C ．(1,0,2)-D ．(120)-,, 2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面α经过点(1,1,1)A 和(1,1,)B z -，(1,0,1)n =-是平面α的法向量，则实数z =（ ）A ．3B ．1-C ．2-D ．3-3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =1OCB 的法向量(),,n x y z =为（ ）A ．()0,1,1B ．()1,1,1-C ．()1,0,1-D ．()1,1,1--题型二：空间中点、直线和平面的向量表示4．（2021·全国·高二专题练习）已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②5．（2022·全国·高二）已知平面α内有一点A (2，－1,2)，它的一个法向量为(3,1,2)n =，则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(,,)OP xOA yOB zOC x y z R =++∈，则2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱111,BB B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A ．1A E 平面11CC D DB ．1A E ⊥平面11BCC B C ．11A ED F ∥D ．11AE DF ⊥8．（2022·山东淄博·高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，平面α的法向量为()1,1,1n =，直线l 的方向向量为m ，则下列说法正确的是（ ）A ．若11,,122m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则//l αB ．若()1,0,1m =-，则l α⊥C ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内9．（2022·安徽宣城·高二期末）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（ ）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB D C ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=10．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知1v 、2v 分别为直线1l 、2l 的方向向量（1l 、2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（ ）A ．1212v v l l ⇔∥∥；B ．111v n l α⊥⇔∥；C ．12n n αβ⊥⇔⊥D ．12n n αβ⇔∥∥11．（2021·安徽·高二期中）给出以下命题，其中正确的是（ ） A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为()2,1,1b =-，则l 与m 垂直 B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =，则l α⊥ C ．平面α､β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ∥D ．平面α经过三个点()1,0,1A -，()0,1,0B -，()1,2,0C -，向量()1,,n p q =是平面α的法向量，则53p q +=12．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线1l 与2l 的方向向量分别为()123,,a a a a =和()123,,b b b b =，则两直线1l 与2l 垂直的充要条件为（ ）A ．11a b λ=，22a b λ=，33a b λ=（R λ∈）B ．存在实数k ，使得a kb =C ．1122330a b a b a b ++=D ．a b a b ⋅=±⋅题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题13．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，P 、Q 是正方体表面上相异两点．若P 、Q 均在平面1111D C B A 上，满足1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥．(1)判断PQ 与BD 的位置关系； (2)求1A P 的最小值．14．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥.,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.(1)若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB ：(2)线段PD 上是否存在点M ，使NM 与平面PCD 6PM PD 值；若不存在，说明理由15．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)求证：B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)是否存在点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ？若存在，求出DG 的长度；若不存在，说明理由.【双基达标】一、单选题16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱ABC A B C '''-中，底面是以B 为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，那么BB '=（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1317．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面α的法向量为(342)n =-，，，(342)AB =--，，，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ）A ．AB α∥B ．AB α⊥C ．AB α⊂D ．AB α⊂或AB α∥18．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1A O //EFB ．1A O EF ⊥C ．1A O //平面1EFBD ．1A O ⊥平面1EFB 19．（2022·全国·高二）有以下命题： ①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直 其中真命题的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体ABCD A B C D ''''-，给出下列结论：①直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =；②直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =； ③平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =；④平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =．其中正确的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．421．（2022·全国·高二）已知直线1l 经过点1(1,2,3)P -，平行于向量1(1,1,2)s =-，直线2l 经过点2(1,2,0)P -，平行于向量2(0,1,1)s =，求与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标．22．（2022·全国·高二）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，13AN AE =．(1)求证：MN AD ⊥；(2)若1CD DE ==，求MN 的长．【高分突破】一：单选题23．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =--，平面α的一个法向量为()2,4,2b =-，则（ ）A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．//l α或l α⊂24．（2022·江苏苏州·高二期末）已知平面α的一个法向量为n =（2，－2，4）， AB =（－1，1，－2），则AB 所在直线l 与平面α的位置关系为（ ） A ．l ⊥αB ．l α⊂C ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α25．（2021·全国·高二如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，60BAC ∠=，2PA AB ==．以点B 为原点，分别以BC ，BA ，AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为m 和n ，则下面选项中正确的是（ ）．A ．点P 的坐标为()0,0,2-B ．()4,0,2PC =- C ．n 可能为()0,2,2-D ．cos ,0m n >26．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二）设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为1n ，2n ，l 和m 是不重合的两条直线，l ，m 的方向向量分别为1e ，2e ，那么αβ∥的一个充分条件是（ ）A ．l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥B ．l α⊂，m β⊂，且12e e ∥C ．11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥D ．11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥27．（2021·浙江金华第一中学高二期中）平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，点G 为线段AF 的中点，点P ，Q 分别为线段BE 和CE 上的动点（不包括端点）.若GQ DP ⊥，则线段PQ 的长度的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣⎭ 28．（2021·湖北·武汉市第十四中学高二阶段练习）设a ，b 是两条直线，a ，b 分别为直线a ，b 的方向向量，α，β是两个平面，且a α⊥，b β⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件29．（2021·河南·高二阶段练习（理））给出下列命题：①直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l m ⊥②直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l α⊥. ③平面,αβ的法向量分别为()()120,1,310,,,2n n ==，则//αβ.④平面α经过三点A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，向量()1,,=n u t 是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的序号是（ ）A ．②③B ．①④C ．③④D ．①②30．（2021·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知点(2A ，1-，2)在平面α内，(3n =，1，2)是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．(1P ，1-，1)B ．P 31,3,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭31．（2021·北京·汇文中学高二期中）若,αβ表示不同的平面，平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---，则平面α与平面β（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定32．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）已知直线l 的方向向量是(3,2,1)a =-，平面α的法向量是1,2(,)1n =-，则l 与α的位置关系是（ ） A ．l α⊥B ．//l αC ．//l α或l α⊂D ．l 与α相交但不垂直 二、多选题(共0分)33．（2022·浙江省长兴中学高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中，1,,,,CA CB CA CB CC D E M ⊥==分别为11B C ，11,CC AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则（ ）A ．对于棱AC 上任意点N ，有1MN BC ⊥B ．棱AC 上存在点N ，使得MN ⊥面1BC NC ．对于棱AC 上任意点N ，有MN 面1A DED ．棱AC 上存在点N ，使得MN DE ∥34．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．顶点B 到平面APC 2．存在点P ，使得1BD ⊥平面APC C ．AP PC +30．当P 为1BD 中点时，APC ∠为钝角35．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l 与m 垂直B ．若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--，则l α⊥C ．若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ⊥D ．若存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面36．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160DAB DAA BAA ∠∠∠===，1AB AD AA ==，点M ，N 分别是棱1111,D C C B 的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．1MN AC ⊥B ．向量1,,AN BC BB 共面 C ．1CA ⊥平面1C BDD ．若AB =1637．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（ ） A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 38．（2022·江苏宿迁·高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅= B ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则12//0n n αβ⇔⋅= C ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则1212//n n n n αβ⇔⋅=⋅ D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直39．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（ ）A ．1BD AP ⊥B ．AP PB +26+ C ．异面直线AP 与1A D 23D ．11APB C PD ∠=∠40．（2022·全国·高二课时练习）给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则12n n αβ⇔∥∥ B ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⇔⋅=∥C ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅=D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 三、填空题41．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面,ABC (1,2,3),(4,5,6)AB AC ==，写出平面ABC 的一个法向量n =______．42．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______． 43．（2022·全国·高二课时练习）已知1v ､2v 分别为不重合的两直线1l ､2l 的方向向量，1n､2n 分别为不重合的两平面α､β的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①2121////v v l l ⇔；②2121v l l v ⊥⇔⊥；③12////n n αβ⇔；④12n n αβ⊥⇔⊥.44．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A ′B ′C ′D ′－ABCD ，M 是正方形BB ′C ′C 的中心，P 是△A ′C ′D 内（包括边界）的动点，满足PM =PD ，则点P 的轨迹长度为______．45．（2022·全国·高二课时练习）向量,,i j k 分别代表空间直角坐标系与,,x y z 轴同方向的单位向量，若45a i j k =-+，44b mi j k =+-，若a 与b 垂直，则实数m =______． 46．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：（1）直线BC 的一个方向向量___________； （2）点OD 的一个方向向量___________； （3）平面BHD 的一个法向量___________；（4）DBC △的重心坐标___________.47．（2022·上海·格致中学高二期末）已知向量()1,2,a m m =+是直线l 的一个方向向量，向量()1,,2n m =是平面α的一个法向量，若直线l ⊥平面α，则实数m 的值为______． 48．（2021·河北省盐山中学高二阶段练习）已知P 是ABCD 所在的平面外一点，()2,1,4AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--，给出下列结论：①AP AB ⊥； ②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的一个法向量；④AP//BD ，其中正确结论的个数是__________． 四、解答题49．（2022·全国·高二）如图所示，在棱长为1的正方体1111OABC O A B C -，中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF x ==，其中01x ≤≤，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -．(1)求证：11A F C E ⊥；(2)若1A 、E 、F 、1C 四点共面，求证：111112A F AC A E =+．50．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ､F ､G 分别为AB ､SC ､SD 的中点.若AB a ，SD b =.(1)求EF ； (2)求cos ,AG BC ； (3)判断四边形AEFG 的形状.51．（2022·湖南·高二）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6AD =，13AA =，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD ； (2)平面11ACC A ； (3)平面1ACD ．52．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC D ．(1)分别指出平面PAD 、平面PAB 的一个法向量；(2)若AB AD AP ==，试在图中作出平面PDC 的一个法向量； (3)PBD △是否有可能是直角三角形？(4)根据法向量判断平面PBC 与平面PDC 是否有可能垂直．53．（2022·浙江绍兴·高二期末）正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4.E 为棱1AA 上的动点，F 为棱1CC 的中点.(1)证明：1EC BD ⊥；(2)若E 为棱1AA 上的中点，求直线BE 到平面11B D F 的距离.【答案详解】1．A 【解析】 【分析】设法向量(),,n x y z =，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】由题意可得()0,2,4AP =--,设经过直线l 和点A 平面的法向量为(),,n x y z =，则24020n AP y z n s x y z ⎧⋅=--=⎨⋅=++=⎩，令1x =，则4,2y z =-= ， 所以()1,4,2n =-，所以经过直线l 和点A 平面的法向量为()(),4,2,0t t t t R t -∈≠. 故选：A 2．B 【解析】 【分析】由(1,0,1)n =-是平面α的法向量，可得0AB n ⋅=，即可得出答案. 【详解】解：()2,0,1AB z =--，因为(1,0,1)n =-是平面α的法向量， 所以0AB n ⋅=，即()210z ---=，解得1z =-. 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解. 【详解】ABCD 是正方形，且AB1AO OC ∴==，11OA ∴=，()0,1,0A ∴-，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，()1,1,0AB ∴=，()0,1,0OC =，又()111,1,0A B AB ==，()11,1,1B ∴，()11,1,1OB =，平面1OCB 的法向量为(),,n x y z =，则00y x y z =⎧⎨++=⎩，得0y =，x z =-，结合选项，可得()1,0,1n =-， 故选：C. 4．B 【解析】 【分析】求出||25AD = 0AP AD ⋅=判断②正确；由AP AB ⊥，AP AD ⊥判断③正确；假设存在λ使得λ=AP BD ，由122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩无解，判断④不正确.【详解】由(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知：在①中，||166AD ==≠，故①不正确；在②中，4400AP AD ⋅=-++=，∴⊥AP AD ，AP AD ∴⊥，故②正确；在③中，2240AP AB ⋅=--+=， AP AB ∴⊥，又因为AP AD ⊥，AB AD A ⋂=，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，假设存在λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，无解，故④不正确；综上可得：②③正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 5．B 【解析】 【分析】要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA 与平面的法向量n 是否垂直，即判断PA n 是否为0即可.【详解】对于选项A ，(1,0,1)PA =，则(1,0,1)(3,1,2)50==≠PA n ，故排除A ； 对于选项B ，1(1,-4,)2=PA ，则1(1,4,)(3,1,2)34102=-=-+=PA n对于选项C ，1(1,2,)2=PA ，则1(1,2,)(3,1,2)3+21602==+=≠PA n ，故排除C ；对于选项D ，7(3,-4,)2=PA ，则7(3,4,)(3,1,2)9471202=-=-+=≠PA n ，故排除D ； 故选:B 6．B 【解析】 【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈,得P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=，然后分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】解：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈ 则P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=若2x =，3y =-，2z =，则1x y z ++=，所以P ,A ,B ,C 四点共面 若P ,A ,B ,C 四点共面，则1x y z ++=，不能得到2x =，3y =-，2z = 所以2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的充分不必要条件 故选B. 【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.7．A 【解析】 【分析】对A ：由平面11ABB A 平面11CC D D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断；对B ：若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，从而即可判断； 对C 、D ：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，从而即可判断.【详解】解：对A ：由长方体的性质有平面11ABB A 平面11CC D D ，又1A E ⊂平面11ABB A ，所以1A E 平面11CC D D ，故选项A 正确；对B ：因为E 为棱1BB 的中点，且111A B BB ⊥，所以1A E 与1BB 不垂直，所以若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，故选项B 错误； 对C 、D ：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1,,DA a DC b DD c ===，则()1,0,A a c =，,,2c E a b ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,D c ，,,2a Fbc ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以10,,2cA E b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,,02aD F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，所以1A E 与1D F 不平行，且1A E 与1D F 不垂直，故选项C 、D 错误. 故选：A. 8．C 【解析】 【分析】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，111022m n ⋅=--+=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故A 选项错误； 对于B 选项，1010m n ⋅=+-=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故B 选项错误；对于C 选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面α与所有坐标轴相交，故正确；对于D 选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点O 与平面α关系，故错误. 故选：C 9．D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得； 【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，()1,0,1A ，()10,1,0C ，()0,0,1D ，()10,0,0D ，()11,1,0B ，()0,1,1C ，所以()11,1,1AC =--，因为1AM AC λ=，所以()1,,1M λλλ-+-+，所以()1,,1A M λλλ=--+，()1,,DM λλλ=-+-，()11,0,1CB =-，()10,1,1D C =，设平面11CB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100CB n x z D C n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =，1y =-，所以()1,1,1n =-对于A ：若1AC ⊥平面1A DM ，则11AC A M ⊥，则()()11110AC A M λλλ⋅=++-⨯-+=，解得13λ=，故A 错误；对于B ：若//DM 平面11CB D ，则DM n ⊥，即10DM n λλλ⋅=-+--=，解得13λ=，故B 错误；当1A DM 为直角三角形时，有1MD MA ⊥，即()()()21110A M DM λλλλλ⋅=--+++--+=，解得23λ=或0λ=（舍去），故C 错误；设M 到1DA 的距离为k ，则22221111323()2236k DM λλλ=-=-+=-+，∴当1A DM 的面积最小时，13λ=，故D 正确．故选：D ．10．B 【解析】 【分析】按照方向向量和法向量在线面关系中的应用直接判断即可. 【详解】A 选项：因为1l 、2l 不重合，所以1212v v l l ⇔∥∥，A 正确；B 选项：111v n l α⊥⇔∥或1l α⊂，B 错误；C 选项：12n n αβ⊥⇔⊥，C 正确；D 选项：因为α，β不重合，所以12n n αβ⇔∥∥，D 正确. 故选：B. 11．D 【解析】 【分析】判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于A ，因为21210a b ⋅=--=-≠，所以l 与m 不垂直，A 错误； 对于B ，因为110a n ⋅=-+=，l α⊥不成立，所以B 错误； 对于C ，因为1n 与2n 不平行，所以αβ∥不成立，C 错误；对于D ，()1,1,1AB =--，()1,3,0BC =-，由10n AB p q ⋅=--+=，130n BC p ⋅=-+=，解得13p =，43q =，所以53p q +=，D 正确. 故选：D. 12．C 【解析】 【分析】由空间直线垂直时方向向量0a b ⋅=，即可确定充要条件. 【详解】由空间直线垂直的判定知：1122330a b a b a b a b ⋅=++=. 当1122330a b a b a b ++=时，即0a b ⋅=，两直线1l 与2l 垂直. 而A 、B 、D 说明1l 与2l 平行. 故选：C13．(1)PQ 与BD 的位置关系是平行【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ 与BD 的位置关系；（2）用含参数的表达式求出1A P ，进而求出最小值. (1)以D 为原点，以射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正向建立空间直角坐标系，()11,0,1A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1,1,0B ．因为P 、Q 均在平面1111D C B A 上，所以设(),,1P a b ，(),,1Q m n ，则111,1,2A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,1,1BP a b =--，()1,1,1BQ m n =--． 因为1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥，所以()()()()111110,21110,2BP A E a b BQ A E m n ⎧⋅=--+--=⎪⎪⎨⎪⋅=--+--=⎪⎩解得:1,21.2b a n m ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以(),,0PQ n b n b =--，()1,1,0BD =--，即()PQ b n BD =-，PQ BD ，所以PQ 与BD 的位置关系是平行．(2)由（1）可知：12b a -=，()11,,0A P a b =-，所以()101A P a a ===≤≤．当14a =时，1A P 有最小值，最小值为． 14．(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法证明；（2）利用向量法计算，判断出点M 不存在.(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =-因为PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA ⊥又因为,AD AB PA AB A ⊥⋂=所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD =所以0MN AD ⋅=，即AD MN ⊥又因为MN ⊄平面PAB所以//MN 平面PAB(2)不存在符合题意的点M ，理由如下：(0,3,3),(2,1,0),(2,2,0),PD CD DN =-=-=-设平面PCD 的法向量()1111,,n x y z =则111133020PD n y z CD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨令11x =，则1(1,2,2)n = 设PM PDλ=，即,[0,1]PM PD λλ=∈(0,3,3)PM λλ=-则0,3,(3)3M λλ- 12(2,13,33),sin cos ,1MN MN n λλθ=--==+==解得53λ=或13λ=-，不满足[0,1]λ∈，故不存在符合题意的点M .15．(1)证明见解析(2)存在，12【解析】【分析】（1）连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，根据E 为1AA 的中点， F 为1BB 的中点，分别得到11//D E MC ，1//BF MC ，从而有1//BF D E ，再由平面的基本性质证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，分别求得平面BEF 的一个法向量()1111,,x n y z =和平面GEF 的一个法向量()2222,,n x y z =，根据平面GEF ⊥平面BEF ，由120n n ⋅=求解.(1)证明：如图所示：连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，因为E 为1AA 的中点，所以1111////EM A B C D ，且1111EM A B C D ==，所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC ，又因为F 为1BB 的中点，所以1//BM C F ，且1BM C F =，所以四边形1BMC F 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//BF D E ，所以B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，由已知()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,1F ， 则()1,1,0EF =-，()0,1,1EB =-，()1,0,1EG t =--，设平面BEF 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩， 取11x =，则()11,1,1n =；设平面GEF 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()1222010x y x t z -+=⎧⎨-+-=⎩， 取21x t =-，则()21,1,1n t t =--；因为平面GEF ⊥平面BEF ，所以120n n ⋅=，所以1110t t -+-+=， 所以12t =.所以存在满足题意的点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ，DG 的长度为12.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出()0BB m m '=>，根据垂直和唯一的点E 得到方程22210m m λλ-+=由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出2m =.【详解】如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB '所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设()0BB m m '=>，则()()0,0,0,1,0,B A m '，()0,1,E m λ，01λ≤≤，则()()1,1,,0,1,A E m m BE m λλ=--'=，则()()2221,1,0,1,10A E BE m m m m m λλλλ⋅=--⋅=-'+=，因为在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，所以22210m m λλ-+=在01λ≤≤上有唯一的解，令()2221f m m λλλ=-+，可知()()011f f ==，故要想在01λ≤≤上有唯一的解，只需42Δ40m m =-=，因为0m >，所以解得：2m =17．B【解析】【分析】求出AB n =-，即n 与AB 平行，从而求出AB α⊥【详解】因为AB n =-，即(342)n =-，，与(342)AB =--，，平行， 所以直线AB 与平面α垂直.故选：B18．B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点， 则11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b ，1(,,2)OA a a b =-，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b ==，对于A ，显然1OA 与FE 不共线，即1A O 与EF 不平行，A 不正确；对于B ，因12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=，则1OA FE ⊥，即1A O EF ⊥，B 正确；对于C ，设平面1EFB 的法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得(1,1,0)n =-， 120OA n a ⋅=>，因此1OA 与n 不垂直，即1A O 不平行于平面1EFB ，C 不正确；对于D ，由选项C 知，1OA 与n 不共线，即1A O 不垂直于平面1EFB ，D 不正确.故选：B19．A【解析】【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.故选：A20．A【解析】【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.【详解】解：设正方体ABCD A B C D ''''-的边长为1，则()0,0,0D ，()0,0,1D '，()1,1,0B ，()0,1,1C '，()1,1,1B '，()0,1,0C ，对①：因为(0,0,1)DD '=，所以直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =正确； 对②：因为()101BC ,,'=-，所以直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =不正确； 对③：因为OA ⊥平面ABB A ''，又()1,0,0OA =，所以平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =不正确；对④：因为2(1,1,1)n =，()1,1,1DB '=，()0,1,0DC =，211130DB n ++='⋅=≠，201010DC n ⋅=++=≠，所以平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =不正确. 故选：A.21．(3,1,1)-（不唯一）【解析】【分析】由题设，1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =是直线1l 、2l 的方向向量，设面α的法向量(,,)m x y z =，应用空间向量垂直的坐标表示求法向量即可.【详解】由题设，直线1l 、2l 的方向向量分别为1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =，而12s s λ≠(R)λ∈， 所以直线1l 、2l 不平行，设与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量(,,)m x y z =，所以21200m x y z m z s s y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⋅⎩⋅，令1z =-，则(3,1,1)m =-. 故与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标(3,1,1)-.22．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明AB ⊥平面ADEF ，可得AB AF ⊥，再将MN 用,,AB AD AF 表示，再根据向量数量积的运算律证明0MN AD ⋅=，即可得证；（2）根据（1），根据2MN MN =，将MN 用,,AB AD AF 表示，从而可得出答案.(1)证明：在矩形ABCD 中，AB AD ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，且平面ABCD 平面ADEF AD =， AB 平面ABCD ， 所以AB ⊥平面ADEF ，又因AF ⊂平面ADEF ，所以AB AF ⊥， MN MB BA AN =++1133DB BA AE =++()()1133AB AD AB AD AF =--++ 2133AB AF =-+， 所以212103333MN AD AB AF AD AB AD AF AD ⎛⎫⋅=-+⋅=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭， 所以MN AD ⊥； (2)解：因为1CD DE ==， 所以1AB AF ==，则222214145339993MN AB AF AB AF AB AF ⎛⎫=-+=+-⋅= ⎪，即MN 23．C 【解析】 【分析】推导出//a b ，利用空间向量法可得出线面关系. 【详解】因为()1,2,1a =--，()2,4,2b =-，则2b a =-，即//a b ，因此，l α⊥. 故选：C. 24．A 【解析】 【分析】由向量AB 与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系． 【详解】因为2AB n -=，所以//AB n ，所以AB α⊥． 故选：A ． 25．C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ，分别计算即可求值. 【详解】建立空间直角坐标系如图：由题意可得()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ， 所以()23,2,2PC =--，()0,2,2BP =.设(),,n x y z =，则23220220x y z z y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取2z =，可得()0,2,2n =-.因为AB BC ⊥，PA BC ⊥，AB AP A =， 所以BC ⊥平面PAB ， 因为BC ⊂平面PBC 所以平面PBC ⊥平面PAB ， 所以m n ⊥，所以cos ,0m n =. 综上所述，A ，B ，D 错，C 正确. 故选：C 26．C 【解析】 【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A ，l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误； 对于B ，l α⊂，m β⊂，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故B 错误； 对于C ，11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥，则αβ∥，故C 正确；对于D ，11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故D 错误. 故选：C. 27．D 【解析】 【分析】以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，，根据向量垂直的坐标表示求得112n m =-，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围. 【详解】解：因为平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，所以以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则()10,1D ，，11,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，， 所以11,2GQ n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，()1,1DP m =--，，又GQ DP ⊥，所以0GQ DP ⋅=，即()111,1,11022n m m n ⎛⎫--⋅--=--= ⎪⎝⎭，，， 整理得112n m =-，所以222222155241+1+24455PQ m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又01m <<，所以25552PQ ≤<， 故选：D.28．C【解析】 【分析】根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解. 【详解】由题意可得a ，b 分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥等价于a b ⊥， 即“αβ⊥”是“a b ⊥”的充要条件． 故选：C. 29．B 【解析】 【分析】依据题意得到：①求数量积a b ⋅，得到a b ⊥，即l m ⊥；②求数量积n a ⋅，可得到a n ⊥，故//l α或l α⊂；③利用1n 与2n 的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到0,0n AB n AC ⋅=⋅=，解出1u =，0=t ，进而可求解． 【详解】①11211221102a b ⋅=⨯-⨯-⨯=--=，所以a b ⊥，即l m ⊥，所以①正确． ②011(1)(1)0a n ⋅=-⨯+-⋅-=，所以a n ⊥，所以//l α或l α⊂，所以②错误． ③因为1260n n ⋅=≠，且12n xn ≠，所以α与β是相交的．所以③错误．④因为(1n =，u ，)t 是平面α的法向量，A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，所以(1,1,1),(2,2,1)AB AC =-=-．所以0,0n AB n AC ⋅=⋅=，即10220u t u t -++=⎧⎨-++=⎩，解得1u =，0=t ，所以1u t +=．所以④正确． 故选：B.30．B 【解析】 【分析】根据题意可得AP n ⊥，依次验证是否满足0n AP ⋅=即可. 【详解】设(P x ，y ，)z ，则(2AP x =-，1y +，2)z -； 由题意知，AP n ⊥，则0n AP ⋅=，3(2)(1)2(2)0x y z ∴-+++-=，化简得329x y z ++=.验证得，在A 中，311214⨯-+⨯=，不满足条件； 在B 中，3313292⨯++⨯=，满足条件；在C 中，3313232⨯-+⨯=，不满足条件； 在D 中，()315313242⎛⎫⨯--+⨯-=- ⎪⎝⎭，不满足条件.故选：B. 31．A 【解析】 【分析】根据两个平面的法向量平行即可判断出平面α与平面β平行. 【详解】对于平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---， 因为1212v v =-，所以12v v 、平行.。

学科教师辅导讲义年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：课 题 点到直线的距离及两条直线的位置关系教学目的1、 会求点到直线的位置关系；2、 熟练掌握判断两直线平行、垂直放入的方法。

教学内容 【知识梳理】1、点到直线的距离公式点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++=的距离为：0022ax by cd a b ++=+（220a b +≠） 0022ax by ca b δ++=+在直线同侧的所有点，δ的符号是相同的，在直线异侧的所有点，δ的符号是相反的，2、平面两直线的位置关系⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩平行斜交相交垂直 一般地，设两条直线的方程分别为 1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）…… ①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②（1）两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系：a.1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；b.1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；c.1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D 。

注：02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件。

换言之，2112b a b a =1l ∥2l ;若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l（2）当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。

（3）两直线的夹角公式为：121222221122cos a a b b a b a b θ+=+⋅+例5、求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4 2 的直线方程。

变式练习：已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.例6、设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。

2020年秋季【数学】专题二：直线方程【题型一】直线倾斜角和斜率1．（2016秋•宝坻区月考）若经过（a，﹣3）和（1，2）两点的直线的倾斜角为135°，则a的值为（）A．﹣6B．6C．﹣4D．4【答案】B2．（2015秋•宝坻区月考）直线y＝﹣x+3的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】A3．（2017秋•大港区校级月考）在直角坐标系中，直线3x t h 的倾斜角是．【答案】4．（2016秋•宝坻区月考）已知A（3，5），O为坐标原点，则与OA垂直的直线斜率为．【答案】【题型二】平行垂直问题5．（2013秋•静海县校级月考）若过点A（2，﹣2）、B（4，0）的直线与过点P（2m，1）（﹣1，m）的直线垂直，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．h【答案】C6．（2019秋•和平区校级月考）已知直线x﹣2y+m＝0（m＞0）与直线x+ny﹣3＝0互相平行，且两者之间的距离是 ，则m+n等于（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】B7．（2016秋•静海县校级月考）直线l1：x+my﹣2＝0与直线l2：2x+（1﹣m）y+2＝0平行，则m的值为．【答案】h【题型三】直线方程8．（2015秋•宝坻区月考）过点（﹣1，2）且和直线3x+2y﹣7＝0垂直的直线方程是（）A．3x+2y﹣1＝0B．2x﹣3y+8＝0C．2x﹣3y+7＝0D．3x﹣2y+5＝0【答案】B9．（2017春•普宁市校级月考）经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6＝0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13＝0B．5x+3y﹣1＝0C．5x+3y+1＝0D．5x﹣3y+11＝0【答案】B10．（2013秋•南开区校级月考）不论a为何值时，直线（a﹣l）x﹣y+2a+l＝0恒过定点P，则P点的坐标为．【答案】（﹣2，3）11．（2019秋•和平区校级月考）过两直线x y+1＝0和 x+y 0的交点，并且与原点的最短距离为h 的直线的方程为．【答案】x h 或x y+1＝0．【题型四】距离问题12．（2014春•南开区校级月考）曲线y＝2x4上的点到直线y＝﹣x﹣1的距离的最小值为（）A． B． C． D． h【答案】D13．（2013秋•静海县校级月考）已知两直线2x+3y﹣3＝0与4x+6y+1＝0互相平行，则它们之间的距离等于（）A B C D．4【答案】B【题型五】对称问题14．（2019秋•和平区校级月考）若光线从点P（﹣3，3）射到y轴上，经y轴反射后经过点Q（﹣1，﹣5），则光线从点P到点Q走过的路程为（）A．10B．5t h C．4 D．2h【答案】C15．（2013秋•南开区校级月考）若点（3，﹣2）与（a，3）关于直线2x﹣by﹣12＝0对称，则a+b的值为（）A．14或10B．h 或h hh C． h 或h hh D．±6【答案】D。

高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析1. “”是“直线与直线相互垂直”的 ( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“直线与直线相互垂直”的充要条件是，即或；所以“” 是“或” 充分而不必要条件，因此“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件.【考点】由直线方程一般式判断直线垂直2. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，， 且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程. 【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标，再结合对角线的交点是M （3，3），可求得C 点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程． 试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0, 解得x=−,y=，所以平行四边形ABCD 的顶点A （−,）,设C （x 0，y 0），由题意，点M （3，3）是线段AC 的中点， ∴x 0−=6,y 0+=6， 解得x 0=,y 0=，∴C （,）,由已知，直线AD 的斜率k AD =3． ∵直线BC ∥AD ，∴直线BC 的方程为3x-y-16=0, 由已知，直线AB 的斜率k AB =-1, ∵直线CD ∥AB ，∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【考点】1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.3. 求经过直线的交点M,且满足下列条件的直线方程：(1)与直线2x+3y+5=0平行; (2)与直线2x+3y+5=0垂直. 【答案】（1）2x+3y －4＝0；（2）3x-2y+7=0.【解析】（1）与直线2x+3y+5=0平行的直线假设为2x+3y+c=0平行,代入交点坐标即可求出c 的值.（2）与直线2x+3y+5=0垂直的直线假设为3x-2y+b=0,代入交点解出b 的值即可. 试题解析：由题意知：两条直线的交点为（－1，2），（1）因为过（－1，2），所以与2x+3y+5=0平行的直线为2x+3y －4＝0.（2）设与2x+3y+5=0垂直的直线方程为3x-2y+b=0，又过点（－1，2），代入得b=7, 故，直线方程为3x-2y+7=0【考点】1.平行直线间的关系.2.垂直直线间的关系.4.给出下列四个命题，其中正确的是（）在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c．A．①②③B．②④C．③④D．②③【答案】A【解析】①中两直线有可能异面；③中这两直线也有可能相异面，这是一道概念题，主要考查了两直线之间的位置关系和公理四，正确理解概念是解题的关键。

高二数学直线试题答案及解析1.已知满足,则直线必过定点( )A．( ,)B． (,)C． (, )D． (, )【答案】C【解析】由得，代入直线方程得对任意恒成立，故有，解得，即直线必过定点.【考点】直线方程2.若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则．【答案】【解析】因为，直线（为参数）与直线（为参数）垂直，所以，它们斜率的乘积为-1，即，故。

【考点】直线垂直的条件点评：简单题，两直线垂直，斜率乘积等于-1，或一条直线的斜率为0，另一直线的斜率不存在。

3.圆与直线相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，圆与直线相交于A、B两点，那么可知联立方程组，结合韦达定理的中点纵坐标，然后结合的斜率为，可知所求的直线的斜率为，排除B,C，然后将中点坐标代入可知选A.【考点】直线方程的求解点评：解决的关键是利用弦中点与圆心的连线与线段AB的垂直平分线垂直可知得到斜率，再结合中点坐标公式，属于基础题。

4.已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为。

（1）求的顶点、的坐标；（2）若圆经过不同的三点、、，且斜率为的直线与圆相切于点，求圆的方程；（3）问圆是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为，以为直径的圆经过原点．若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由。

【答案】(1) , ；(2) ；(3) 或。

【解析】（1）边上的高所在直线的方程为，所以，，又，所以 2分设，则的中点，代入方程，解得，所以. 4分（2）由，可得，圆的弦的中垂线方程为，注意到也是圆的弦，所以，圆心在直线上，设圆心坐标为，因为圆心在直线上，所以①，又因为斜率为的直线与圆相切于点，所以，即，整理得②，由①②解得，，所以，，半径，所以所求圆方程为。

8分（3）假设存在直线，不妨设所求直线方程为，联立方程得： 9分又得 10分，， 11分依题意得 12分故解得： 13分经验证，满足题意。

高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到直线的距离__________.【答案】.【解析】由于C为圆周上一点，AB是直径，所以AC⊥BC，而BC=3，AB=6，得∠BAC=30°，进而得∠B=60°，所以∠DCA=60°，又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，∴AD＝AC•sin∠DCA＝．故应填入：.【考点】圆的切线的性质定理．2.圆与直线相切,正实数b的值为 ( )A．B．C．D．3【答案】B【解析】该圆的圆心坐标为，半径为，由题意知，又，。

【考点】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。

3.设直线和圆相交于点，则弦的垂直平分线的方程是_________．【答案】【解析】由于弦的垂直平分线必须垂直于直线，故设垂直平分线方程为：.由圆的弦垂直于过弦中点直径，则有直线过圆心，即,故直线为：.【考点】圆的弦的性质.4.直线l：y＝x－1被圆(x－3)2＋y2＝4截得的弦长为．【答案】【解析】根据圆半径、圆半弦长及圆心到直线距离构成一个直角三角形得：弦长为其中，所以弦长为【考点】点到直线距离5.若圆上的点到直线的最近距离等于１，则半径的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为，圆心到直线的距离为，由数形结合分析可知圆上的点到直线的最近距离为，所以此时。

故A正确。

【考点】1点到线的距离；2数形结合思想。

6.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】x+y=3【解析】由题意，圆的圆心坐标为C（0，1），∵圆上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵，∴，∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．【考点】直线与圆的位置关系．7.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．【答案】（1）x2＋y2－2x＋2y-3＝0（2）【解析】（1）曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点有三个交点，本题就是求过三个点的圆的方程，因此设圆方程的一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若从图形看，则圆的方程又可设成x2＋y2－2x＋Ey-3＝0，再利用过点求出（2）先将圆的一般式化为标准式：，明确圆心和半径，涉及圆的弦长问题，利用由半径、半弦长、圆心到弦所在直线距离构成的直角三角形，列等量关系：试题解析：解（1）曲线与y轴的交点是(0，－3)．令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．即曲线与x轴的交点是(－1，0)，(3，0)． 2分设所求圆C的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得D＝－2，E＝2，F＝－3．所以圆C的方程是x2＋y2－2x＋2y-3＝0． 5分（2）圆C的方程可化为，所以圆心C(1，－1)，半径． 7分圆心C到直线x＋y＋a＝0的距离，由于所以，解得． 10分【考点】圆的一般式方程，圆的弦长8.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。

高二数学直线试题答案及解析1.如图，正三棱柱中，，则与面所成的角大小是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】关键是作出所求直线与平面所成的角.由于是正三棱柱，其中的垂直关系较多，如我们取中点，连接，，则易证平面，就是直线与面所成的角．【考点】直线与平面所成的角．2.解答下列问题：（1）求平行于直线3x+4y 2=0,且与它的距离是1的直线方程；（2）求垂直于直线x+3y 5=0且与点P( 1,0)的距离是的直线方程.【答案】（1）3x+4y+3=0或3x+4y 7="0" (2) 3x y+9=0或3x y 3=0【解析】（1）将平行线的距离转化为点到线的距离，用点到直线的距离公式求解；（2）由相互垂直设出所求直线方程，然后由点到直线的距离求解.试题解析：解：（1）设所求直线上任意一点P（x，y），由题意可得点P到直线的距离等于1，即，∴3x+4y 2=±5，即3x+4y+3=0或3x+4y 7=0．（2）所求直线方程为，由题意可得点P到直线的距离等于，即，∴或，即3x y+9=0或3x y 3=0．【考点】1.两条平行直线间的距离公式；2.两直线的平行与垂直关系3.在平面直角坐标系内，一束光线从点A（－3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），则这束光线从A到B所经过的距离为（）。

A．12B．13C．D．2+【答案】B【解析】根据题意，由于在平面直角坐标系内，一束光线从点A（－3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），，而点A关于x轴的对称点为C（-3，-5），则这束光线从A到B所经过的距离为即为BC的长度，即根据两点的距离公式可知BC=故答案为B.【考点】光的反射原理，对称性点评：研究两点的距离公式，可以结合对称性来分析，是解题的关键。

4.两条直线与垂直的充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为根据题意可知，两条直线与垂直的充要条件为，那么可知充分不必要条件是比其小的集合，那么则可知为C.【考点】两直线的垂直判定点评：结合两直线垂直的充要条件可知为来判定结论。

高二数学直线试题1.已知椭圆上的点到椭圆右焦点的最大距离为，离心率，直线过点与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，椭圆上的点到椭圆右焦点的最大距离为，离心率，可得求得a和b；（2）由（1）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），(ⅰ) 当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立；（ⅱ）当l不垂直x轴时，设l的方程为y=k（x-1），代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得和的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，因为在椭圆上，将代入椭圆方程，得，即可求出k的值和P的坐标以及l的方程．解：（1）由条件知，解得，所以，故椭圆方程为．（2）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立．由（Ⅰ）知C的方程为+=6．设（ⅰ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立．（ⅱ）将于是, =,C 上的点P使成立的充要条件是，设，则所以．因为在椭圆上，将代入椭圆方程，得：，所以，当时，，；当时，，．综上，C上存在点使成立，此时的方程为．【考点】1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的标准方程．2.已知曲线C上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为．（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程．【答案】（1）或；（2）或．【解析】（1）根据动点满足到定点的距离与到定点距离之比为，建立方程，化简可得曲线的方程；（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线的方程．（1）由题意得＝，故，化简得：（或）即为所求．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入方程得，所以，满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2，由圆心到直线的距离，解得，此时直线的方程为．综上所述，满足题意的直线的方程为：或．【考点】1、两点的距离公式；2、点到直线的距离；3、直线与圆的方程．3.如图，正三棱柱中，，则与面所成的角大小是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】关键是作出所求直线与平面所成的角.由于是正三棱柱，其中的垂直关系较多，如我们取中点，连接，，则易证平面，就是直线与面所成的角．【考点】直线与平面所成的角．4.已知，，在轴上有一点，若最大，则点坐标是 .【答案】(13,0)【解析】如图，取B关于x轴的对称点B’（5，2）,连结AB’延长交x轴于点P，可证此时最大，求得直线AB’的方程为，得点P(13,0).【考点】1.轴对称；2.直线方程5.设DABC的一个顶点是A(3,-1), ÐB, ÐC的平分线所在直线方程分别为x="0,y=x" , 则直线BC 的方程为( )A． y=2x+5B． y=2x+2C． y=3x+5D． y=-x+【答案】A【解析】先求点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为,点在直线BC上，再求直线BC方程为，即，选A.【考点】1.点关于直线对称；2.直线方程6.若直线L1:y="kx" -与L2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则L1的倾斜角a的取值范围是 .【答案】【解析】联立两直线方程得解得，因两直线的交点在第一象限，得，解得，设直线l的倾斜角为，则，故【考点】1.直线与直线交点；2.直线倾斜角与斜率.7.直线L过点(1,0)且被两条平行直线L1: 3x+y-6=0和L2: 3x+y+3=0所截得线段长为,则直线L的方程为（写成直线的一般式）【答案】【解析】当直线l的斜率存在时设斜率为k，由直线l过（1，0）得到直线l的方程为y=k（x-1）,则联立直线l与3x+y-6=0得解得，同理直线l与3x+y+3=0的交点坐标为，则所截得线段长为，解得，故直线为.当直线l的斜率不存在时，直线x=1与两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0的交点分别为（1，3）与（1，-6），此两点间距离是9，不合.综上直线l的方程为.【考点】1.两直线的交点; 2.两点间的距离; 3.直线方程8.过点且倾斜角为的直线和曲线相交于A,B两点，则线段AB的长度为【答案】【解析】设直线方程为 y="kx+b" ，k=tan30°=，又直线过（-3，0），0=-3+b，b=，所以直线方程为：y=x+，代入整理得，2x²-6x-21=0，所以，由弦长公式得，线段AB的长==。

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典2.3直线的交点坐标与距离公式（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单项选择题（本题共6小题，每小题满分5分）1．若||y a x =与 (0)y x a a =+>的图形有两个交点，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．01a <<C ．∅D ．01a <<或1a >【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知||y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，(0)y x a a =+>表示斜率为1，在y 轴上的截距为(0)a a >的直线，画出图形，分析判断即可求出a 的取值范围. 【详解】解：||y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，(0)y x a a =+>表示斜率为1，在y 轴上的截距为(0)a a >的直线，根据题意，画出大致图形，如下图，若||y a x =与y x a =+的图形有两个交点，且0a >，则根据图形可知1a >． 故选：A ．【点睛】本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.2．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P αα到直线20mx y +-=的距离，当α，m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离表示出d ，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得2211d m ≤++，即可求出d 的最大值. 【详解】由题意，点P 到直线20mx y +-=的距离为d ，则()2222221sin 2cos sin 2111111m m m d m m m m αϕαα++-+-+==≤=++++，其中，tan m ϕ=，所以当且仅当()sin 1αϕ+=-，0m =时，d 取得最大值， 即max 3d =. 故选：C 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.3．已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12k P P 、、如何,总是无解B ．无论12k P P 、、如何,总有唯一解C ．存在12k P P 、、，使之恰有两解D ．存在12k P P 、、，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点， 直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠，且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．4．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( )A ．25B ．33C ．6D ．10【答案】D 【解析】 【分析】设点P 关于y 轴的对称点P'，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点"P ，由对称点可求P'和"P 的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为'"P P . 【详解】点P 关于y 轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点()",P a b ，由()0112204022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩， 故光线所经过的路程()22'"242210P P =--+=，故选D .【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，(),P x y 关于直线l 的对称点()',P m n ，利用1l y n k x m -⨯=--，且 点,22x m y n ++⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴l 上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．101- B ．221- C ．22 D ．10【答案】A 【解析】 【分析】先求出点A 关于直线3x y +=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短. 【详解】解：设点A 关于直线3x y +=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为2(,)22a b +，AA bk a 2'=- 故•(1)122322ba ab ⎧-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得31a b =⎧⎨=⎩，要使从点A 到军营总路程最短， 即为点A '到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为22311101+-=-，故选A. 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题. 6．已知,αβ∈R ，两条不同直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】联立方程求交点，根据交点在在直线y x =-上，得到三角关系式，化简得到答案. 【详解】1sin sin sin cos 1cos sin cos cos 1111()()0sin sin cos sin sin cos cos cos x y x y x y αβαβαβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪++⎪⎨⎪+=⎪++⎩⇒-+-=++++交点在直线y x =-上sin sin cos s 111in sin cos cos co 1s αβαβαβαβ-=-++⇒++sin sin cos c 111os cos sin sin co 1s αβαβαβαβ+=+++⇒++sin cos sin cos sin cos sin cos (sin sin )(cos cos )(cos sin )(sin cos )ααββααββαβαβαβαβ++++++=++⇒++观察分母(sin sin )(cos cos )αβαβ++和(cos sin )(sin cos )αβαβ++不是恒相等故sin cos sin cos 0ααββ+++=故答案选C 【点睛】本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力.7．设两条直线的方程分别为0x y a ++=,0x y b ++=,已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根,且108c ≤≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) A ．3233, B ．3133, C ．2122, D ．2223, 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理求出1,a b ab c +=-=，然后求出2||()4a b a b ab -=+-的范围，即可求得两平行线间的距离范围. 【详解】由已知得两条直线的距离是||2a b d -=， 因为,a b 是方程20x x c ++=的两个根，所以1,a b ab c +=-=， 则2||()4=14a b a b ab c -=+--， 因为108c ≤≤，所以1||2222a b -，即1222d . 故选：C 【点睛】本题考查平行线间的距离公式，韦达定理和不等式，属于基础题.8．在平面直角坐标系中，定义(){}1212max d A B x x y y =--，，为两点A ()11x y ，、B ()22x y ，的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ,称()d P Q ，的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作()d P l ，,给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有()()()d C A d C B d A B +≥，，，；②已知点P (2,1)和直线:220l x y --=,则()83d P l =，；③定点()()1200F cF c -，、，，动点P ()x y ，满足()()()122220d P F d P F a c a -=，，＞＞，则点P的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】 【分析】①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断； ②设点Q 直线:220l x y --=一点，且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论即可得出(),d P l 即可判断；③讨论点P 在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】解：①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y ，如图，结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B 分别为AN ,CM ,AK 或CN ,BM ,BK ， 则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +=；若B ,C 或A ,C 对调，可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +>； 若它们不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； 故①正确；②设点Q 直线:220l x y --=一点，且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 由222x x -≤-，解得803x ≤≤，即有(),22x d P Q =-， 当83x =时，取得最小值23； 由222x x ->-，解得0x <或83x >，即有(),2d P Q x =-， (,)d P Q 的范围是()222,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无最值， 综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23， 故②错误；③定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足()()()122220d P F d PF a c a -=，，＞＞， 可得P 不y 轴上，P 在线段12F F 间成立， 可得()2x c c x a +--=，解得x a =，由对称性可得x a =-也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足()()122d P F d P F a -=，，即为2x c y a +-=，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数）有且仅有2个公共点， 故③正确；∴真命题的个数是2，故选：C ． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k 的值可以是（ ） A ．0 B ．2C ．1-D ．2-【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意分类讨论，再分别求出实数k 的值即可解题. 【详解】解：因为平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=将平面分为六部分，（1）直线210x y -+=和直线10x -=的交点是(1,1)，直线0x ky +=过另两条直线的交点，所以1k =-；（2）直线0x ky +=与直线10x -=平行或与直线210x y -+=平行，此时0k =或2-. 所以实数k 的取值集合是{0,1,2}--. 故选：ACD 【点睛】本题考查直线与直线的位置关系求参数，是基础题.10．某同学在研究函数()1f x x =-的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为()f x =）A ．函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，()1,+∞上单调递增B ．函数()f x ，没有最大值C ．存在实数t ，使得函数()f x 的图象关于直线x t =对称D ．方程()2f x =的实根个数为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点(1,0)A ，(0,1)B ，函数()f x 表示x 轴上的点(,0)P x 到A 、B 两点的距离之和，让点P 在x 轴上移动，可观察出()f x 的变化情况，从而判断出各选项的正确性. 【详解】设点(1,0)A ，(0,1)B ，函数()()()()()2222001100f x x x =-+-+-+-表示x 轴上的点(,0)P x 到A 、B两点的距离之和，由图可知，当点P 由x 的负半轴方向向原点O 移动时，PA PB +的和逐渐变小，即函数()f x 区间(),0-∞上单调递减，当点P 由点A 向x 的正半轴方向移动时，PA PB +的和逐渐变大，即函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，故A 正确；当点P 移动到点A 时，PA PB +2，没有最大值，即函数()f x 的最小值2，没有最大值，故B 正确；()()211f t x t x t x +=+++-，而()()211f t x t x t x -=-+--，显然()()f t x f t x +≠-，故不存在存在实数t ，使得函数()f x 的图象关于直线x t =对称，故C 错误； 方程()2f x =2112x x +-=，解之得：1x =-或0x =，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查函数的性质，解题关键是将函数转化为x 轴上的点(,0)P x 到A 、B 两点的距离之和，这样通过点的移动可以直观地得到函数的性质，考查逻辑思维能力和计算能力，考数形结合思想和转化思想，属于中档题.11．如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点，分别以HF ，EG 为x ，y 轴建立直角坐标系，设E R 与GR '､ER 与GT '分别交于1L ，2L ，ES 与GS '､ES 与GT '交于1M ，2M ，ET 与GT '交于点N ，则下列关于点1L ，2L ，1M ，2M ，N 与两个椭圆:1Γ:221169x y +=，2Γ:2231329x y +=的位置关系叙述正确的是( )A ．三点1L ，1M ，N 在1Γ，点2M 在2Γ上B ．1L ，1M 不在1Γ上，2L ，N 在1Γ上C ．点2M 在2Γ上，点1L ，2L ，1M 均不在2Γ上D ．1L ，1M 在1Γ上，2L ，2M 均不在2Γ上 【答案】AC 【解析】 【分析】求出1L 的坐标，证明1L 在1Γ上；求出2M 的坐标，证明点2M 在2Γ上.即得解. 【详解】由题得E （0，-3），R （1,0），所以直线ER 的方程为1,333yx y x +=∴=--. 由题得G （0,3），9(4,)4R '，所以9334416GR k '-==-， 所以直线GR '的方程为3316y x =-+， 联立13396135,(,)16515133y x L y x ⎧=-+⎪∴⎨⎪=-⎩,1L 的坐标满足椭圆1Γ:221169x y +=，所以1L 在1Γ上.由题得ES 的方程为1,32623x y x y +=∴-+=--. 由题得3(0,3),(4,)4G T ',所以3394,416GT k '-==- 所以直线GT '的方程为9316y x =-+， 联立直线ES 和GT '方程得23215(,)1111M ,23215(,)1111M 满足2Γ:2231329x y +=，所以点2M 在2Γ上.所以选项BD 错误.由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确. 故选：AC 【点睛】本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题（3道小题，每小题满分5分）12．在直线x －y ＋4＝0上取一点P ，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________. 【答案】35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】根据点在直线上，可设P 的坐标为(),4x x +，利用两点间的距离公式列方程，求出x 、y 的值即可． 【详解】设直线40x y -+=上一点(),4P x x +，则P 到点()24M --，，()46N ，的距离相等， ∴()()()()2222244446x x x x ++++=-++-解得32x =-，∴35422y =-+=， ∴点P 的坐标为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线方程以及两点间的距离应用问题，设出点P 坐标得到方程组是解题的关键，是基础题．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:0++=l x y a 与点(2,0)A ，若直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是________【答案】24224233⎡-+⎢⎣⎦【解析】 【分析】先设(,)--M x x a ，根据(2,0)A ，2=MA MO ，得到226(64)340x a x a +++-=，再由题意，得到()22(64)24340∆=+--≥a a ，求解，即可得出结果. 【详解】由题意设(,)--M x x a ， 因为点(2,0)A ，2=MA MO ，所以2222(2)()2()-+--=+--x x a x x a ， 整理得：226(64)340x a x a +++-=①因为直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，所以方程①有解，因此()22(64)24340∆=+--≥a a ，242242-+≤≤a 故答案为242242,33⎡-+⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.14．已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则11221122x y x y +-+-______．23【解析】 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB=11112x y +-2212x y +-的几何意义为点A ，B两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值． 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上， 且OA •OB =1×1×cos ∠AOB=12， 即有∠AOB=60°， 即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，1112x y +-+2212x y +-的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x +y=1平行， 可设AB ：x +y+t=0，（t ＞0）， 由圆心O 到直线AB 的距离d=2t ，可得2212t -=1，解得t=62， 即有两平行线的距离为6122+=232+， 即1112x y +-+2212x y +-的最大值为2+3，故答案为2+3． 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题． 四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．（1）已知点P 是平面上一动点，点()1,1A ，()2,2B -是平面上两个定点，求22PA PB +的最小值，并求此时P 的坐标； （2）求函数()224131237f x x x x x =-+-+【答案】（1）最小值为5，此时31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2 【解析】【分析】(1)设()(),,P x y x R y R ∈∈，利用两点距离公式，构建关于x 、y 的22PA PB +函数，由函数式的几何意义即可得最小值及对应坐标；(2)将函数()f x 转化为动点到两定点的距离问题，结合坐标系即可求得最小值 【详解】（1）设()(),,P x y x R y R ∈∈，则PA =PB=()()()()222222221122262210PA PB x y x y x x y y ∴+=-+-+-++=-+++223122522x y ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即P 到31(,)22-距离最小时，22PA PB +最小∴当32x =，12y时，22PA PB +的值最小． 故22PA PB +的最小值为5，此时31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()f x ==设()2,3A ，()6,1B ，(),0P x ，如图，则上述问题转化为求PA PB +的最小值． 点A 关于x 轴的对称点为()2,3A '-，即可转化为P 在x 轴移动过程|'|||PA PB +最短问题PA PB PA PB A B ''+=+≥=PA PB ∴+≥ f x的最小值为【点睛】本题考查了两点距离公式，根据函数解析式的几何意义，结合坐标系求最值，需注意代数式的几何含义以及两点间线段最短等知识的应用16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ,B ,C 坐标分别为()0,1，()2,0，()0,2，E 为线段BC上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D ．（1）当E 点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭时，求直线OD 的方程； （2）求BOE ∆与ABE ∆面积之和S 的最小值. 【答案】（1）3y x =-；（232. 【解析】 【分析】（1）求出PE 的直线方程后可得A 的坐标，再求出PB 的直线方程和AC 的直线方程后可得D 的坐标，从而得到直线OD 的直线方程.（2）直线BC 的方程为20x y +-=，设(),2E a a -，求出PE 的直线方程后可得A 的坐标，从而可用a 表示S ，换元后利用基本不等式可求S 的最小值.（1）当13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线PE 的方程为1y x =+， 所以()1,0A -，直线AC 的方程为22y x =+①，又直线BP 的方程为112y x =-+②， ①②联立方程组得26,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线OD 的方程为3y x =-. (2)直线BC 的方程为20x y +-=，设(),2E a a -， 直线PE 的方程为11a y x a -=+，所以,01a A a ⎛⎫⎪-⎝⎭. 因为A 在x 轴负半轴上，所以01a <<，()122221ABE OEB a S S S a a a ∆∆⎛⎫=+=-⨯-+- ⎪-⎝⎭=()()432121a a a--- ，01a <<.令1t a =-，则01t <<，113422S t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭（当且仅当t =），而当3t =时，()10,13a =-∈，故S 2. 【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于x 的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于y 轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.直线方程中的最值问题，注意可选择合适的变量（如斜率、倾斜角、动点的横坐标或纵坐标等）构建目标函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求目标函数的最值. 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是1x ya b+=（a ，0b >）． （1）当1a =，2b =时，求曲线C 围成的区域的面积；（2）若直线l ：1x y +=与曲线C 交于x 轴上方的两点M ，N ，且OM ON ⊥，求点211,b a ⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 距离的最小值．【答案】(1)4；(2) 8． 【解析】（1）当1a =，2b =时，曲线C 的方程是12yx +=，对绝对值内的数进行讨论，得到四条直线围成一个菱形，并求出面积为4；（2）对,x y 进行讨论，化简曲线方程，并与直线方程联立，求出点,M N 的坐标，由OM ON ⊥得到,a b 的关系221122a b b=-+，再利用点到直线的距离公式求出2113d ⎛⎫-+ ⎪=，从而求得min d=8.【详解】（1）当1a =，2b =时，曲线C 的方程是12yx +=， 当0x =时，2y =±，当0y =时，1x =±，当0,0x y >>时，方程等价于112x y+=， 当0,0x y <>时，方程等价于112x y+=-， 当0,0x y <<时，方程等价于112x y +=--， 当0,0x y ><时，方程等价于112x y+=-， 曲线C 围成的区域为菱形，其面积为12442⨯⨯=；（2）当0x >，0y >时，有1x ya b+=， 联立直线1x y +=可得,a ab ab b M a b a b --⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 当0x <，0y >时，有1x ya b+=-， 联立直线1x y +=可得,a ab b ab N a b a b -+⎛⎫⎪++⎝⎭，由OM ON ⊥可得1OM ON k k =-，即有1ab b b aba ab a ab -+⋅=---， 化为221122a b b=-+，点211,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 距离2211111122b a b b d +--+== 2113242b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=， 由题意可得0a ab -<，0a b -<，0ab b -<，即a ab b <<， 可得01a <<，1b >， 可得当112b =，即2b =时，点211,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 距离取得最小值328．【点睛】解析几何的思想方法是坐标法，通过代数运算解决几何问题，本题对运算能力的要求是比较高的. 18．一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处.（1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程； （2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.【答案】（1）42 （2）57[,]42（3）21,672625,7b b S b b b +⎧≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩【解析】 【分析】（1）求出()1,2C 关于x 轴的对称点C '，进而可以求出反射光线所在直线C M l '，从而可以求出()5,2N ，求出C N '即可；（2）将8b =代入线段[],3,5y x b x =-+∈中，结合()1,2C 关于x 轴的对称点C '，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线y x b =-+垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与y x b =-+的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程． 【详解】（1）()1,2C 关于x 轴的对称点()1,2C '-，:3C M l y x '=-[]353,57y x x y x =-⎧⇒=∈⎨=-+⎩，则此时()5,2N所以光所走过的路程即C N '=（2）对于线段[]8,3,5y x x =-+∈，令其端点()()3,5,5,3A B 则75,24C A C B k k ''==， 所以反射光斜率的取值范围是57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）若反射光与直线y x b =-+垂直，光所走过的路程最短，则由332y x b b x y x =-+⎧+⇒=⎨=-⎩ ①当[]33,52b x +=∈，即67b ≤≤时，光所走过的最短路程为点C '到直线y x b =-+的距离，所以路程S ==； ②当()35,2b x +=∈+∞，即7b >时，光所走过的最短路程为线段C B '，其中()5,5B b - 所以C B S ==='综上：77b S b ⎧≤≤⎪=>【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．。

斜率互为倒数的两直线的几何特征若平面上两条直线21,l l 的斜率分别为21,k k (本文中的直线斜率均假定存在),则.12121l l k k ⊥⇔-= (*)我们容易想到:当121=k k 时,蕴藏着什么数学内容?其几何意义又是什么?命题1. ⇔=121k k 21,l l 对称轴的斜率为1±=k .该命题的证明见下面命题2的证明中③，由此知:121=k k 的几何意义是: 21,l l 对称轴的倾斜角是45°或135°.将命题1中的对称轴一般化,得命题 2. 121≠k k 且21k k ≠,21l l 与的对称轴的斜率为22121121k k k k k k k -=-+⇔. 证明:“⇒”.如图1, 21,l l 关于直线l 对称,设l 1到l 2的角为2θ(0≤2θ＜π),则l 1到l , l 到l 2的角均为θ且＜θ＜2π 21212211222211,11tg k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k -+-=--+∴+-=+-=θ整理,得)1(2))(1(21212-=+-k k k k k k . ③先证12≠k .反证:若12=k ,则由③得到0121=-k k ,与已知121≠k k 矛盾.∴12≠k .若;011,0212121≠--=-=+k k k k k 则 若;01,0)1(2,0212121≠-≠-≠+k k k k k k k 亦有则所以22121121kk k k k k -=-+. ④ “⇐”.因21k k ≠,④⇒③⇒②⇒))(1())(1(2112k k kk k k k k -+=-+.假设011=+kk ,则0))(1(12=-+k k k k .当011,211≠+=+=k kk k k 时,与假设矛盾; 当012=+k k 时,由假设知212121,,0,1k k k k k k k k k ≠=∴≠-==与矛盾.所以假设不成立,即011≠+kk .同理012≠+kk .①②∴④⇒①的后部等式.设l 1到l 的角, l 到l 2的角分别是θ1,θ2, l 是斜率为k 且过l 1, l 2交点的直线.由①的后部等式,得: 0,),,2()2,0[,.tg tg 21212211≠=∴≠∈=θθπππθθθθk k 但 ,从而k 是l 1, l 2对称轴的斜率. 命题3.等腰三角形底边斜率为213,,k k k 分别为两腰斜率. 112123212332121==-=-+⇔k k k k k k k k k 或. 如图2,只要注意到等腰三角形顶角的外角平分线与底平行,将1、2命题中的斜率k 转化为213,,k k k 不变,此命题即可获证.证明从略.例1.如果直线2+=ax y 与直线b x y -=3关于直线x y -=对称,求b a ,.解:1-=k ,由命题1知121=k k ,.31=∴a 联立x y x y -=+=与231,得交点),23,23(-.6,)23(323-=--⋅=∴b b 所求.6,31-==b a 例2.求直线x y 34=与x 轴夹角的平分线方程. 解:设平分线的斜率为x k .轴斜率为0,运用命题2,得:212)0341()034(k k -=⋅-+解之.212或-=k 因为两直线的夹角不大于2,2-=∴k π舍去. 故所求平分线的方程是x y 21=. 例3.等腰三角形一腰所在的直线l 1的方程是022=--y x ,底边所在的直线l 2的方程是 ,01=-+y x 点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直线l 3的方程.解:底的直线斜率12-=k ,运用命题3,得.2,21.13131=∴==k k k k 所求l 3的方程为042)]2([2=+---=y x x y 即.诸如直线关于直线的对称性问题、光线入射与反射问题、等腰三角形问题、角平分线问题等问题中需求直线方程或斜率，运用本文方法，都可简捷解答.限于篇幅,不再举例.。