【K12教育学习资料】2017_2018版高中数学第一章算法初步章末复习课学案苏教版必修3

1．2.3 循环结构学习目标 1.掌握当型和直到型两种循环结构的流程图的画法；2.了解两种循环结构的区别，能进行两种循环结构流程图间的转化；3.能正确读流程图．知识点一循环结构思考用累加法计算1＋2＋3＋…＋100的值，其中有没有重复操作的步骤？梳理循环结构的定义：在算法中，需要重复执行同一操作的结构称为循环结构．知识点二常见的两种循环结构类型一如何实现和控制循环例1 设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出流程图．反思与感悟变量S作为累加变量，来计算所求数据之和．当第一个数据送到变量i中时，累加的动作为S＝S＋i，即把S的值与变量i的值相加，结果再送到累加变量S中，如此循环，则可实现数的累加求和．跟踪训练1 设计一个计算1＋3＋5＋…＋(2n－1)(n∈N*)的值的算法，并画出流程图．类型二当型循环与直到型循环的转化例2 例1中流程图用的是当型循环结构，如果用直到型循环结构表示，则流程图如何？反思与感悟当型循环是满足条件则循环，直到型循环是满足条件则终止循环，故两种结构相互转化时注意判断框中的条件变化．跟踪训练2 试把跟踪训练1中的流程图改为直到型循环结构．类型三读图例3 某班一共有40名学生，如图中s代表学生的数学成绩．若该班有5名90分以上的学生，20名80分以上的学生，则输出的m＝________，n＝________.反思与感悟读流程图的办法就是严格按图操作．有循环结构时不一定从头执行到尾，只要执行几圈找到规律，最后确认何时终止即可．跟踪训练3 阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的值等于________．1．在循环结构中，每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止，这样的循环结构是________．2．执行如图所示的流程图，输出的S值为________．3．执行如图所示的流程图，输出的S值为________．来并输出，试画出该问题的流程图．1．当反复执行某一步骤或过程时，应用循环结构．当型循环是先判断条件，条件满足再执行循环体，不满足退出循环；直到型循环是先执行循环体，再判断条件，不满足条件时执行循环体，满足时退出循环．2．应用循环结构前：(1)确定循环变量和初始条件；(2)确定算法中反复执行的部分，即循环体；(3)确定循环的终止条件．答案精析问题导学知识点一思考用S表示每一步的计算结果，S加下一个数得到一个新的S，这个步骤被重复了100次．知识点二成立执行A仍成立题型探究例1 解算法如下：S1 令i←1，S←0.S2 若i≤100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法．S3 S←S＋i.S4 i←i＋1，返回S2.流程图如图：跟踪训练1 解算法如下：S1 输入n的值．S2 i←1，S←0.S3 若i≤2n－1成立，则执行S4；否则，输出S，结束算法．S4 S←S＋i，i←i＋2，返回S3.流程图如图：例2 解流程图如图：跟踪训练2 解流程图如图：例3 5 15解析该流程图是用循环结构实现40个成绩的输入，每循环一次就输入一个成绩s，然后对s的值进行判断．如果s>90，则m的值增加1，如果80<s≤90，则n的值增加1，故m是用来统计90分以上人数的，n是用来统计分数在区间(80，90]上的人数的．由已知得，m＝5，n＝20－5＝15.跟踪训练3 4解析 当i ＝1时，a ＝2，S ＝2，i ＝1＋1＝2，由于2>11不成立，因此继续循环，当i ＝2时，a ＝2×22＝8，S ＝10，i ＝3，由于10>11不成立，因此继续循环，当i ＝3时，a ＝3×23＝24，S ＝34，i ＝4，此时，S ＝34>11，满足条件，跳出循环，最后输出i ＝4，故答案为4. 当堂训练 1．当型循环 2.1321解析 执行第一次循环后S ＝23，i ＝1；执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321.3．8解析 执行第一次循环后S ＝1，k ＝1； 执行第二次循环后S ＝2，k ＝2； 执行第三次循环后S ＝8，k ＝3， 3<3不成立．即条件不成立，输出S ， 即S ＝8.4．解 流程图如图所示：。

第一章算法初步知识点一算法、流程图、算法语句1．算法的概念：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的__________、__________计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决______________．2．流程图：流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．3．算法语句：基本算法语句有________语句、________语句、________语句、________语句、________语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的____________，条件语句应注意If与________________配套使用，缺一不可，而________可选；循环语句应注意____________的准确表达以及____________的步长设置．知识点二算法案例本章涉及的辗转相除法、更相减损术是用来求________________________________的，秦九韶算法是用来________________________的，二进制在计算机上的应用受到我国周易八卦的影响和启发，都是我国古代灿烂的数学文明的体现．对这些案例，应该知其然，还要知其所以然，体会其中蕴含的____________．类型一算法设计1．算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题一般解法的抽象与概括．它在解决某个问题的基础上，要考虑这类问题的所有可能情形．我们一般将问题分为数值性问题和非数值性问题．对于数值性问题，我们可采用数值分析法进行处理，这里有许多固定的解法和算法可以应用，也就是先建模，再用数学语言描述解决过程，最后转化成算法．非数值性问题，要根据实际操作模型分析、设计算法，也可以选择一些成熟的办法处理．2．算法设计应注意：(1)与解决问题的一般方法有联系，从中提炼出算法．(2)将解决问题的过程分为若干个可执行步骤．(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达．(4)用最简练的语言将各个步骤表达出来．(5)算法的执行要在有限步内完成．例1 已知平面直角坐标系中的两点A (－1，0)、B (3，2)，写出求线段AB 的垂直平分线方程的一个算法．反思与感悟 该算法步骤的设计依据解析几何中求线段垂直平分线的一般方法．设计算法时，对于数值型问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中有许多现成的固定算法，我们可以直接使用，当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法．对于非数值型问题，根据过程模型分析算法并进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理，如排序、递推等． 跟踪训练1 已知函数y ＝2x 4＋8x 2－24x ＋30，写出连续输入自变量的11个取值，分别输出相应的函数值的算法．类型二 条件语句与流程图1．流程图表示算法更加准确、清晰、直观．2．算法设计是画流程图的基础，我们要通过对问题的分析，先写出算法步骤，然后分析算法的基本结构和各步骤的功能(输入、输出、判断、赋值、计算)，画出相应的流程图．3．对于复杂的流程图可以采取“逐步取精”的思想设计框图，先将问题中的简单部分明确出来，再逐步对复杂部分进行细化，然后一步一步向前推进画出流程图．4．条件语句对应算法中的选择结构，用于需要进行条件判断，根据是否满足条件来确定执行步骤的算法．例2 输入一学生成绩，评定其等级．方法是：90～100分为“优秀”，80～89分为“良好”，60～79分为“及格”，60分以下为“不合格”．写出其算法的伪代码，并画出流程图．跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1， x >0，2x ＋1， x ＝0，－2x 2＋4， x <0，要求对每一个输入的x ，求出相应的函数值，画出流程图，写出伪代码．类型三 循环语句与流程图利用顺序结构绘制算法流程图，利用赋值语句和输入、输出语句书写算法伪代码．当所要解决的问题较为简单，只需依次进行多个处理就能完成，绘制算法流程图，通常通过顺序结构来实现，书写算法伪代码也常利用赋值语句和输入、输出语句来表达．在写伪代码时，可根据条件选择“While”语句，“Do”语句，“For”语句．例3 根据下面的算法伪代码，绘制流程图，指出输出的最后结果是什么？并分别将它们改为另一种循环，画出相应流程图．伪代码：S←0I←3While I≤99S←S＋I3I←I＋2End WhilePrint S跟踪训练3 计算：102＋202＋302＋…＋1002，写出解决该问题的算法伪代码，并画出相应的算法流程图．从近几年高考试题中可以看出，本部分命题呈现以下特点：(1)考题以填空题为主，分值为5分，属中低档题．(2)考查内容主要是流程图，一般要求出按流程图执行后的结果．流程图中主要以选择结构和循环结构为主，其中循环结构是重点．但有时也考查伪代码．答案精析知识梳理 知识点一1．有限的 确切的 一类问题3．输入 输出 赋值 条件 循环格式要求 Then 、End If Else循环条件 循环变量知识点二两个正整数的最大公约数 计算多项式的值 算法思想题型探究例1 解 S1 计算x 0＝－1＋32＝1，y 0＝0＋22＝1，得AB 的中点N (1，1)； S2 计算k 1＝2－03－－1＝12，得直线AB 的斜率； S3 计算k ＝－1k 1＝－2，得线段AB 垂直平分线的斜率； S4 由点斜式得直线AB 的垂直平分线的方程为2x ＋y －3＝0，并输出．跟踪训练1 解 算法如下：S1 输入自变量x 的值；S2 计算y ＝2x 4＋8x 2－24x ＋30；S3 输出y ；S4 记录输入次数；S5 判断输入的次数是否大于11；若是，则结束算法；否则，返回S1.例2 解 伪代码如图：Read xIf x ≥90 ThenPrint “优秀”ElseIf x ≥80 ThenPrint “良好”ElseIf x ≥60 ThenPrint “及格”ElsePrint “不及格”End IfEnd IfEnd If流程图如图：跟踪训练2 解流程图如图：伪代码为Read xIf x>0 ThenPrint 2x2－1ElseIf x＝0 ThenPrint 2x＋1ElsePrint －2x2＋4End IfEnd If例3 解伪代码对应的流程图如图所示，它用的是“While”语句，最终输出的结果是33＋53＋ (993)利用“For”语句伪代码可以改为S←0For I From 3 To 99 Step2S←S＋I3End ForPrint S相应流程图如图所示：跟踪训练3 解伪代码如图：S←0For I From 10 To 100 Step 10S←S＋I2 End For Print S。

1．2.1 顺序结构学习目标 1.熟悉各种图框及流程线的功能和作用；2.能够读懂简单的流程图；3.能用流程图表示顺序结构的算法．知识点一流程图思考许多办事机构都有工作流程图，你觉得要向来办事的人员解释工作流程，是用自然语言好，还是用流程图好？梳理流程图的概念：(1)流程图是由一些________和__________组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的____________．(2)常见的图框、流程线及各自表示的功能知识点二顺序结构1．顺序结构的定义依次进行多个处理的结构称为______________．它是一种最简单、最基本的结构．2．结构形式类型一 把自然语言描述的算法翻译成流程图 例1 已知一个算法如下： S1 输入x . S2 y ←2x ＋3. S3 d ←x 2＋y 2. S4 输出d .把上述算法用流程图表示．反思与感悟 画流程图的规则： (1)使用标准的图形符号．(2)流程图一般按从上到下，从左到右的方向画． (3)描述语言写在图框内，语言清楚、简练． 跟踪训练1 算法如下，画出流程图． S1 输入a ，b ，c 的值－1，－2，3. S2 max←4ac －b24a .S3 输出max.类型二 顺序结构例2 一个笼子里装有鸡和兔共m 只，且鸡和兔共n 只脚，设计一个计算鸡和兔各有多少只的算法，并画出流程图．反思与感悟 顺序结构的流程图的基本特征：(1)必须有两个起止框，穿插输入、输出框和处理框，没有判断框． (2)各图框从上到下用流程线依次连接． (3)处理框按计算机执行顺序沿流程线依次排列．跟踪训练2 已知一个三角形三条边的边长分别为a ，b ，c ，利用海伦－秦九韶公式(令p ＝a ＋b ＋c2，则三角形的面积S ＝p p －a p －b p －c ，设计一个计算三角形面积的算法，并画出流程图．类型三读懂流程图例3 一个算法如图，它的功能是什么？反思与感悟流程图本就是为直观清晰地表达算法而生，故只需弄清各种图框、流程线的功能，再依次执行一下程序，不难读懂该图所要表达的算法．跟踪训练3 写出下列算法的功能：(1)图①中算法的功能是(a>0，b>0)__________________________________；(2)图②中算法的功能是________________．1．下面的流程图是顺序结构的是________．2．如图是一个算法的流程图，已知输入a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．3．已知一个算法：S1 m←a.S2 如果b<m，则m←b，输出m；否则执行S3.S3 如果c<m，则m←c，输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是________．4．如图的流程图，其运行结果为________．1．在设计计算机程序时要画出程序运行的流程图，有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此流程图是我们设计程序的基本和开端．2．规范流程图的表示：(1)使用标准的图形符号；(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范；(3)除判断框外，其他图形符号只有一个进入点和一个退出点；(4)在图框内描述的语言要非常简练、清楚．答案精析问题导学 知识点一思考 使用流程图好．因为使用流程图表达更直观准确．梳理 (1)图框 流程线 先后次序 (2)表示算法的开始或结束 表示输入、输出操作 表示赋值或计算 判断框 知识点二 1．顺序结构 题型探究例1 解 流程图如图：跟踪训练1 解 流程图如图：例2 解 算法分析： 设鸡和兔各有x ，y 只，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝m ，2x ＋4y ＝n ，解得x ＝4m －n 2.算法： S1 输入m ，n .S2 计算鸡的只数x ←4m －n2.S3 计算兔的只数y ←m －x . S4 输出x ，y . 流程图如图所示：跟踪训练2 解 算法步骤如下： S1 输入三角形三条边的边长a ，b ，c . S2 p ←a ＋b ＋c2.S3 S ←p p －a p －b p －c .S4 输出S .流程图如图：例3 解 其功能是求点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离． 跟踪训练3 (1)求以a ，b 为直角边的直角三角形斜边c 的长 (2)求两个实数a ，b 的和 当堂训练 1．①解析 由于表示的是依次执行的几个步骤，故①为顺序结构． 2．11解析从流程图中可知b＝a1＋a2＝14，因为a1＝3，所以a2＝11.3．2解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2.4．6解析从流程图中可知，先是m←1，然后p←3，接着把p＋3的值6赋给m，所以输出的值为6.。

1.1.1 算法的概念1．通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)2．了解算法的含义和特征．(难点)3．会用自然语言表述简单的算法．(易错易混点)[基础·初探]教材整理1 算法的概念阅读教材P2～P3“例1”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个算法可解决某一类问题．( )(2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无．( )(3)同一个问题可以有不同的算法．( )【解析】(1)√.根据算法的概念可知．(2)×.算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无．(3)√.例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元法”．【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 算法的特征阅读教材P3～P4“例1”至“例2”的内容，完成下列问题．1．有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限步操作之后停止，不能是无限的．2．确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．3．顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．4．不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．5．普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．下列可以看成算法的是( )A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题B．今天餐厅的饭真好吃C．这道数学题难做D．方程2x2－x＋1＝0无实数根【解析】A是学习数学的一个步骤，所以是算法．【答案】 A教材整理3 算法与计算机阅读教材P5结尾部分，结合本节内容完成下列问题．1．算法设计的目的计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．2．算法设计的要求(1)设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；(2)算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不能含糊不清；(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去；(4)设计的算法的步骤应当是最简练的，即最优算法．3．算法与数学中的解法的联系和区别(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决．算法是“傻瓜化”的，相对于某一类问题的算法，不能省略任何一个小步骤，不能忽略任何一种可能的情况，否则计算机都不能完成执行过程，而只要按照算法一步一步进行，这类问题都会得到解决．加减乘除运算法则、多项式的运算法则以及我们学过的许多数学公式等都是算法． (2)区别：算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步，令A ＝89，B ＝96，C ＝99. 第二步，计算总分S ＝____①____. 第三步，计算平均分M ＝____②____. 第四步，输出S 和M . 【答案】 ①A ＋B ＋C ②S3[小组合作型](1)A ．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤 B ．洗衣机的使用说明书 C ．解方程2x 2＋x －1＝0D ．利用公式S ＝πr 2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42(2)下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ③算法执行后一定产生明确的结果． 其中正确的是( ) A ．1个B ．2个C．3个D．0个【精彩点拨】判断对算法的阐述是否正确，应当以算法的概念为标准，衡量各种阐述是否符合算法特点．【尝试解答】(1)A，B，D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．(2)根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．【答案】(1)C (2)B1．算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．[再练一题]1．下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京；④3x>x＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….能称为算法的有________．【解析】根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x ＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．【答案】①②③【精彩点拨】依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．【尝试解答】第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7. 第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7. 第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7. 因此，7是质数．设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；借助有关变量或参数对算法加以表述；将解决问题的过程划分为若干步骤；用简练的语言将这个步骤表示出来.[再练一题]2．设计一个算法，判断35是否为质数．【解】 第一步，用2除35，得到余数1，所以2不能整除35. 第二步，用3除35，得到余数2，所以3不能整除35. 第三步，用4除35，得到余数3，所以4不能整除35. 第四步，用5除35，得到余数0，所以5能整除35. 因此，35不是质数．设计算法，给定任一x 的值，求y 的值，其中y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，x 2＋1，x >0.【精彩点拨】 题目中的函数为分段函数，求函数值时，应对x 进行分类讨论．判断给定的x 的值与0的大小关系，再代入相应关系式求函数值．【尝试解答】 第一步，输入x 的值．第二步，判断x 是否大于零，若x >0，执行第三步；否则，执行第四步． 第三步，计算y ＝x 2＋1的值，转去执行第五步． 第四步，计算y ＝2x －1的值． 第五步，输出y 的值．分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤.[再练一题]3．已知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，x ＋1，x ＜0.写出给定变量x 的值，求函数值y 的算法.【解】 算法如下： 第一步，输入x 的值．第二步，若x ＞0，则y ＝－x ＋1，然后执行第四步；否则执行第三步． 第三步，若x ＝0，则y ＝0；然后执行第四步，否则y ＝x ＋1. 第四步，输出y 的值．[探究共研型]探究1 【提示】 是．因为算法的步骤是明确的，有时可能需要大量重复的计算，但只要按部就班地去做，总能得到确定的结果．探究2 书写算法时，能使用“……”、“同理”、“类似地”等词语吗？【提示】 不能．书写算法时，要注意算法的确定性，步骤要清晰、明确，“……”、“同理”、“类似地”等所代表的部分是无法执行的．探究3 一个具体问题的算法唯一吗？【提示】 一个具体问题的算法不唯一．如解二元一次方程组的算法就有消元法、代入法两种．由于传统数学问题的解法不唯一，使得求解某一个问题的算法也不唯一．探究4 写算法应该注意什么？【提示】 算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言．写算法应注意以下几点：1．写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n (n ＞1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；…)，并且能够重复使用．2．要使算法尽量简单、步骤尽量少．3．要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的．再如：用自然语言描述求y ＝－x 2－2x ＋3的最大值的算法． 一般同学会这样写：第一步，配方得y ＝－(x ＋1)2＋4. 第二步，函数的最大值为4.实际上，作为一个具体问题来说，上述解法没有什么错误，但是我们要描述的是求这一类问题的算法，它可以用来解决这个问题，也可以用来求这一类问题，则上述解法就欠妥了．应就y ＝ax 2＋bx ＋c 作一般讨论．本题算法应该这样写： 第一步，给a ，b ，c 赋值．第二步，判断a ≥0是否成立，若成立，则输出“函数无最大值”，结束算法；否则执行第三步．第三步，计算4ac －b24a，并将结果赋给max.第四步，输出max ，结束算法．(算法执行过程中，依次给a ，b ，c 取值－1，－2,3)1．下列关于算法的说法中正确的个数有( )①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x 2－x ＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果；⑤对于像“喝一碗水”这类含有动作的语言能出现在算法的一个步骤中．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 因为x 2－x ＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的．依据算法的多样性(不唯一性)知①错误，由算法的有限性知②正确，由于算法具有可执行性，算法的每一步必须是计算机能执行的，所以⑤是错误的，正确的有②④.【答案】 B 2．结合下面的算法： 第一步，输入x .第二步，判断x 是否小于0.若是，则输出x ＋2，否则执行第三步． 第三步，输出x －1.当输入的x 的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( ) A ．－1,0,1 B ．－1,1,0 C ．1，－1,0D ．0，－1,1【解析】 根据x 值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x ＝－1时，输出x ＋2，即输出1；当x ＝0时，输出x －1，即输出－1；当x ＝1时，输出x －1，即输出0.【答案】 C3．输入一个x 值，利用y ＝|x ＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整： 第一步，输入x ；第二步，________； 第三步，计算y ＝－x －1； 第四步，输出y .【解析】 含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当x ≥－1时y ＝x ＋1；当x ＜－1时y ＝－x －1，由此可完善算法．【答案】 当x ≥－1时，计算y ＝x ＋1，否则执行第三步4．已知长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c .写出求对角线长l 的算法如下： 第一步，输入长、宽、高a ，b ，c 的值． 第二步，计算l ＝a 2＋b 2＋c 2的值． 第三步，________.将算法补充完整，横线处应填________．【解析】 算法要有输出，故第三步应为输出结果l 的值． 【答案】 输出对角线长l 的值5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积． 【解】 算法一： 第一步，取S ＝16π. 第二步，计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)．第三步，计算V ＝43πR 3.第四步，输出运算结果． 算法二：第一步，取S ＝16π. 第二步，计算V ＝43π⎝⎛⎭⎪⎫S 4π3.第三步，输出运算结果．。

第一章算法初步[自我校对]①顺序结构②条件结构③循环结构④条件语句⑤循环语句⑥秦九韶算法⑦进位制1.它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．2．对于给定的问题，设计其算法时应注意以下四点：(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼与概括步骤；(2)将解决问题的过程划分为若干步骤；(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表述；(4)用简练的语言将各个步骤表达出来；(5)算法的执行要在有限步内完成．设计一个算法，求方程x 2－4x ＋2＝0在(3,4)之间的近似根，要求精确度为10－4，算法步骤用自然语言描述．【精彩点拨】 可以利用二分法的步骤设计算法． 【规范解答】 算法步骤如下：第一步，令f (x )＝x 2－4x ＋2，由于f (3)＝－1<0，f (4)＝2>0，所以设x 1＝3，x 2＝4. 第二步，令m ＝x 1＋x 22，判断f (m )是否等于0，若f (m )＝0，则m 为所求的根，结束算法；若f (m )≠0，则执行第三步．第三步，判断f (x 1)f (m )>0是否成立，若成立，则令x 1＝m ；否则令x 2＝m .第四步，判断|x 1－x 2|<10－4是否成立，若成立，则x 1与x 2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若不成立，则返回第二步．[再练一题]1．已知平面坐标系中两点A (－1,0)，B (3,2)，写出求线段AB 的垂直平分线方程的一个算法．【解】 第一步，计算x 0＝－1＋32＝22＝1，y 0＝0＋22＝1， 得AB 的中点N (1,1)． 第二步，计算k 1＝2－03－－＝12， 得AB 的斜率．第三步，计算k ＝－1k 1＝－2，得AB 垂直平分线的斜率．第四步，由点斜式得直线AB 的垂直平分线的方程：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.精”，步骤如下：(1)把一个复杂的大问题分解成若干相对独立的小问题．若小问题仍较复杂，则可以把小问题分解成若干个子问题．这样不断地分解，使小问题或子问题简单到能直接用程序的三种基本结构甚至是五种基本语句表达清楚为止．(2)对应每一个小问题或子问题编写出一个功能上相对独立的程序块来． (3)把每一个模块统一组装，完成程序．某高中男子体育小组的50 m 赛跑成绩(单位：s)如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5,7.6,6.3,6.4,6.4,6.5,6.7,7.1,6.9,6.4,7.1,7.0.设计一个程序，从这20个成绩中搜索出小于6.8 s 的成绩．并画出程序框图．【精彩点拨】 明确问题的含义，判断好程序框图的结构，然后写出程序． 【规范解答】 程序如下： i ＝1WHILE i<＝20IF Gi<6.8 THEN PRINTi ，Gi ELSE END IF i ＝i ＋1WEND END程序框图如下图：[再练一题]2．请写出如图1­1所示的程序框图描述的算法的程序．图1­1【解】 这是一个求分段函数：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x >1，2x ＋1， －1≤x ≤1，x ＋1， x <－1的函数值的算法，输入、输出框分别对应输入、输出语句，判断对应条件语句． 所以算法程序为：INPUT xIF x>1 THEN y ＝x －1ELSEIF x<－1 THEN y ＝x ＋1ELSEy ＝2*x ＋1 END IF END IFPRINT y END(1)考题以选择题、填空题为主，属中低档题．(2)考查内容是程序框图，或者要求补充完整框图，或者要求求出按程序框图执行后的结果．程序框图中主要以条件结构和循环结构为主，其中循环结构是重点．如图1­2所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S ＝720，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是( )图1­2A ．k ≥6?B ．k ＝7?C ．k ≥8?D ．k ≥9?【精彩点拨】 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的地方是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k ＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S 的输出结果为720.【规范解答】 第一次运行结果为S ＝10，k ＝9；第二次运行结果为S ＝10×9＝90，k ＝8；第三次运行结果为S ＝720，k ＝7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k ≥8？.故选C.【答案】 C[再练一题]3．阅读如图1­3所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的s ∈(10,20)，那么n 的值为( )图1­3A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 逐项验证．若n ＝3，输出s ＝7∉(10,20)． 若n ＝4时，s ＝15∈(10,20)． 【答案】 B并逐类求解，然后综合得结论，这就是分类讨论思想．在具体问题的算法设计中，往往需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如条件结构和循环结构)，这实际上运用了分类讨论的数学思想方法．某商场实行优惠措施，若购物金额x 在800元以上(包括800元)，则打8折，若购物金额x 在800元以下500元以上(包括500元)，则打9折；否则不打折．设计算法的程序框图，要求输入购物金额x ，能输出实际交款额，并写出程序语句．【精彩点拨】 先把实际问题转化为数学问题，再画出程序框图，写出程序． 【规范解答】 本题的实质是求函数 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.8x ，x ≥800，0.9x ，500≤x <800，x ，x <500的值程序框图如下：程序如下：INPUT “x＝”；x IF x≥800 THEN y ＝0.8x ELSEIF x≥500 THEN y ＝0.9xELSEy ＝x END IF END IFPRINT “y＝”；y END[再练一题]4．编写一个程序，对于函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x <12x －1， 1≤x <10，3x －11， x ≥10，输入x 的值，输出相应的函数值． 【解】INPUT “x＝”；xIF x<1 THEN y ＝x ELSEIF x<10 THEN y ＝2*x －1ELSE y ＝3*x －11 END IF END IFPRINT “y＝”；y END1．执行下面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )图1­4A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x【解析】 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36；运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 【答案】 C2．执行如图1­5所示的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝( )图1­5A ．3B ．4C ．5D ．6 【解析】 a ＝4，b ＝6，n ＝0，s ＝0，第一次循环：a ＝b －a ＝6－4＝2，b ＝b －a ＝6－2＝4，a ＝b ＋a ＝4＋2＝6，s ＝s ＋a ＝0＋6＝6，n ＝n ＋1＝1，不满足s >16；第二次循环：a ＝b －a ＝4－6＝－2，b ＝b －a ＝4－(－2)＝6，a ＝b ＋a ＝6－2＝4，s ＝s＋a ＝6＋4＝10，n ＝n ＋1＝1＋1＝2，不满足s >16；第三次循环：a ＝b －a ＝6－4＝2，b ＝b －a ＝6－2＝4，a ＝b ＋a ＝4＋2＝6，s ＝s ＋a ＝10＋6＝16，n ＝n ＋1＝2＋1＝3，不满足s >16；第四次循环：a ＝b －a ＝4－6＝－2，b ＝b －a ＝4－(－2)＝6，a ＝b ＋a ＝6－2＝4，s ＝s ＋a ＝16＋4＝20，n ＝n ＋1＝3＋1＝4，满足s >16，输出n ＝4.【答案】 B3．执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1­6A ．5B ．6C ．7D ．8 【解析】 逐次运行程序，直至输出n .运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )图1­7A．0 B．2C．4 D．14【解析】逐次运行程序，直至程序结束得出a值．a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14＜18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14＞4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10＞4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6＞4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2＜4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.【答案】 B。

1.1.2 第一课时 程序框图、顺序结构(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．算法的三种基本结构是( ) A ．顺序结构、流程结构、循环结构 B ．顺序结构、条件结构、循环结构 C ．顺序结构、条件结构、嵌套结构 D ．顺序结构、嵌套结构、流程结构 【解析】 由算法的特征及结构知B 正确． 【答案】 B2．程序框图中，具有赋值、计算功能的是( ) A ．处理框 B ．输入、输出框 C ．终端框D ．判断框【解析】 在算法框图中处理框具有赋值和计算功能． 【答案】 A3．如图1­1­7程序框图的运行结果是( )图1­1­7A.52 B.32 C ．－32D ．－1【解析】 因为a ＝2，b ＝4，所以S ＝a b －b a ＝24－42＝－32，故选C.【答案】 C4．如图所示的程序框图是已知直角三角形两直角边a ，b 求斜边c 的算法，其中正确的是( )【解析】A项中，没有起始、终端框，所以A项不正确；B项中，输入a，b和c＝a2＋b2顺序颠倒，且程序框错误，所以B项不正确；D项中，赋值框中a2＋b2＝c错误，应为c＝a2＋b2，左右两边不能互换，所以D项不正确；很明显C项正确．【答案】 C5．程序框图符号“”可用于( )A．输出a＝10 B．赋值a＝10C．判断a＝10 D．输入a＝1【解析】图形符号“”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是输出、判断和输入的，故选B.【答案】 B二、填空题6．下列说法正确的是________．①程序框图中的图形符号可以由个人来确定；②也可以用来执行计算语句；③输入框只能紧接在起始框之后；④长方形框是执行框，可用来对变量赋值，也可用来计算．【解析】程序框是由通用图形符号构成，并且有特殊含义，①不正确；菱形框是判断框，只能用来判断，所以②不正确；输入框可用在算法中任何需要输入的位置，所以③也不正确；由程序框的功能可知④项正确．【答案】④7．阅读程序框图如图1­1­8所示，若输入x＝3，则输出y的值为________.图1­1­8【解析】输入x＝3，则a＝2×32－1＝17，b＝a－15＝17－15＝2，y＝a×b＝17×2＝34，则输出y的值为34.【答案】348．如图1­1­9所示的程序框图，若输出的结果是2，则输入的m＝________.图1­1­9【解析】根据程序框图知，lg m＝2，故m＝100.【答案】100三、解答题9．写出求函数y＝2x＋3图象上任意一点到原点的距离的算法，并画出相应的程序框图．【解】算法如下：第一步，输入横坐标的值x.第二步，计算y＝2x＋3.第三步，计算d＝x2＋y2.第四步，输出d.程序框图：10．如图1­1­10所示的程序框图，要使输出的y 的值最小，则输入的x 的值应为多少？此时输出的y 的值为多少？图1­1­10【解】 将y ＝x 2＋2x ＋3配方，得y ＝(x ＋1)2＋2，要使y 的值最小，需x ＝－1，此时y min ＝2.故输入的x 的值为－1时，输出的y 的值最小为2.[能力提升]1．如图1­1­11所示的是一个算法的程序框图，已知a 1＝3，输出的b ＝7，则a 2等于( )图1­1­11A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 由题意知该算法是计算a 1＋a 22的值，所以3＋a 22＝7，得a 2＝11.故选C.【答案】 C2．给出如图1­1­12程序框图：图1­1­12若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是( )A．x＝2 B．b＝2C．x＝1 D．a＝5【解析】因结果是b＝2，所以2＝a－3，即a＝5.当2x＋3＝5时，得x＝1.故选C.【答案】 C3．写出图1­1­13中算法的功能．图1­1­13【解】求过横坐标不相同的两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线的斜率k. 4．如图1­1­14所示的程序框图，当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个问题．图1­1­14(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为3时，求输出的f(x)的值．(3)要想使输出的值最大，求输入的x的值．【解】(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x.因为f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)max＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.。

1．1.1 算法的概念[学习目标]1．通过解二元一次方程组的方法，体会算法的基本思想．2．了解算法的含义和特征．3．会用自然语言表述简单的算法．[知识链接]1．初中时，可以通过消去法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－1 ①2x ＋y ＝1 ②.2．只能够被1和本身整除的大于1的整数叫质数．3．对于区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数f (x )，通过不断把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[预习导引]1．算法(1)算法的定义 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．(2)描述算法的方式描述算法可以有不同的方式．例如可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言(算法语言)给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌．我们在描述算法时，用英文Step1，Step2，…来表示S1，S2，…，也可以简写为S1，S2，….2．算法设计的目的设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到计算机执行的目的．3．算法设计的要求(1)写出的算法，必须能解决一类问题(例如解任意一个二元一次方程组)，并且能重复使用；(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少；(3)要保证算法正确，且计算机能够执行.要点一算法的概念例1 下列关于算法的说法，正确的个数有( )①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析由于算法具有有限性、确定性、输出性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错．规律方法 1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性与正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．跟踪演练1 下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到沈阳观看全运会开幕式；④3x>x＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….能称为算法的有________．答案①②③解析根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合明确性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．要点二算法的设计例2 (1)设计一个算法，判断7是否为质数．(2)设计一个算法，判断35是否为质数．解(1)S1 用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.S2 用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.S3 用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.S4 用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.S5 用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.因此，7是质数．(2)S1 用2除35，得到余数1，所以2不能整除35.S2 用3除35，得到余数2，所以3不能整除35.S3 用4除35，得到余数3，所以4不能整除35.S4 用5除35，得到余数0，所以5能整除35.因此，35不是质数．规律方法设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．跟踪演练2 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？解S1 给定一个大于2的整数n.S2 令i＝2.S3 用i除n，得到余数r.S4 判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．S5 判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回S3.要点三算法的应用例3 一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河．河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西．在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？试设计一种算法．解包包大人采取的过河的算法可以是：S1 包包大人带懒羊羊过河；S2 包包大人自己返回；S3 包包大人带青草过河；S4 包包大人带懒羊羊返回；S5 包包大人带灰太狼过河；S6 包包大人自己返回；S7 包包大人带懒羊羊过河．规律方法对于像查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．跟踪演练3 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？解法一算法如下：S1 任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行S2.S2 取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．法二算法如下．S1 把9枚银元平均分成3组，每组3枚．S2 先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组．S3 取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元.1．下列关于算法的描述正确的是( )A．算法与求解一个问题的方法相同B．算法只能解决一个问题，不能重复使用C．算法过程要一步一步执行D．有的算法执行完以后，可能没有结果答案 C解析算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对．算法能够重复使用，故B不对．每一个算法执行完以后，必须有结果，故D不对．2．下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是( )A．在家里一般是妈妈做饭B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤C．在野外做饭叫野炊D．做饭必须要有米答案 B解析算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故选B.3．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是( )A．这个算法可以求所有的零点B．这个算法可以求任何方程的零点C．这个算法能求所有零点的近似解D．这个算法可以求变号零点近似解答案 D解析二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．4．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( )①S＝1＋2＋3＋…＋100；②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，n∈N)．A．①②B．①③C．②③D．①②③答案 B解析由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结果．5．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求它的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充完整：S1 取A＝89，B＝96，C＝99.S2 ____________________.S3 ____________________.S4 输出计算结果．答案计算总分D＝A＋B＋C计算平均分E ＝D 31．算法的特点：(1)有限性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束．(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的，既不能含糊其词，也不能有二义性．(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．2．算法没有一个固定的模式，但有以下几个基本要求：(1)符合运算规则，计算机能操作；(2)每个步骤都有一个明确的计算任务；(3)对重复操作步骤作返回处理；(4)步骤个数尽可能少；(5)每个步骤的语言描述要准确、简明.。

第3课时循环结构、程序框图的画法[学习目标] 1.掌握两种循环结构的程序框图的画法，能进行两种循环结构程序框图间的转化.2.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图．知识点一循环结构的含义1．循环结构的定义在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．反复执行的步骤称为循环体．2．循环结构的特点(1)重复性：在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同．(2)判断性：每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．(3)函数性：循环变量在构造循环结构中起了关键作用，蕴含着函数的思想．知识点二两种循环结构的比较常见的两种循环结构设计一个算法的程序框图的步骤(1)用自然语言表述算法步骤；(2)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示，得到该步骤的程序框图；(3)将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图．思考(1)循环结构的程序框图中一定含有判断框吗？(2)任何一个算法的程序框图中都必须含有三种基本逻辑结构吗？答(1)循环结构的程序框图中一定含有判断框．(2)不一定．但必须含有顺序结构．题型一当型循环结构与直到型循环结构例1 设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出程序框图．解方法一第一步，令i＝1，S＝0.第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法．第三步，S＝S＋i.第四步，i＝i＋1，返回第二步．程序框图：方法二第一步，令i＝1，S＝0.第二步，S＝S＋i.第三步，i＝i＋1.第四步，若i＞100不成立，则返回第二步；否则，输出S，结束算法．程序框图：反思与感悟两种循环结构的联系和区别(1)联系：①当型循环结构与直到型循环结构可以相互转化；②循环结构中必然包含条件结构，以保证在适当的时候终止循环；③循环结构只有一个入口和一个出口；④循环结构内不存在死循环，即不存在无终止的循环．(2)区别：直到型循环结构是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体，当型循环结构是先判断是否执行循环体；直到型循环结构是在条件不满足时执行循环体，当型循环结构是在条件满足时执行循环体．要掌握这两种循环结构，必须抓住它们的区别．跟踪训练1 设计一个算法，求13＋23＋33＋…＋1003的值，并画出程序框图．解算法如下：第一步，使S＝0.第二步，使I＝1.第三步，使S＝S＋I3.第四步，使I＝I＋1.第五步，若I＞100，则输出S，算法结束；否则，返回第三步．程序框图如图所示：题型二 求满足条件的最大(小)整数问题例2 写出一个求满足1×3×5×7×…×n ＞50000的最小正整数n 的算法，并画出相应的程序框图． 解 算法如下： 第一步，S ＝1. 第二步，n ＝3.第三步，如果S ≤50000，那么S ＝S ×n ，n ＝n ＋2，重复第三步；否则，执行第四步． 第四步，n ＝n －2. 第五步，输出n . 程序框图如图所示：反思与感悟 (1)在使用循环结构时，需恰当地设置累加(乘)变量和计数变量，在循环体中要设置循环终止的条件．(2)在最后输出结果时，要避免出现多循环一次或少循环一次的情况．跟踪训练2 看下面的问题：1＋2＋3＋…＋( )＞10000，这个问题的答案虽然不唯一，但我们只要确定出满足条件的最小正整数n 0，括号内填写的数只要大于或等于n 0即可．试写出寻找满足条件的最小正整数n 0的算法，并画出相应的程序框图． 解 方法一 第一步，p ＝0. 第二步，i ＝0. 第三步，i ＝i ＋1. 第四步，p ＝p ＋i .第五步，如果p ＞10000，则输出i ；否则执行第六步．第六步，返回第三步，重新执行第三步、第四步、第五步．该算法的程序框图如图①所示． 方法二 第一步，取n 的值等于1. 第二步，计算n n ＋2.第三步，如果n n ＋2的值大于10000，那么n 即为所求；否则，让n 的值增加1后转到第二步重复操作．根据以上的操作步骤，可以画出如图②所示的程序框图．题型三 循环结构程序框图的识别与解读例3 如图是为求1～1000的所有偶数的和而设计的一个程序框图，将空白处补上，并指明它是循环结构中的哪一种类型，并画出它的另一种循环结构框图．解 ∵当i ≤1000时开始执行①②两部分，结合循环结构的形式可知，该程序为当型循环结构，又i ＝2，S ＝0，且计算2＋4＋6＋…＋1000的值，故①②两处分别填S ＝S ＋i ，i ＝i ＋2.直到型循环结构如图所示．反思与感悟解决此类问题的关键是根据程序框图理解算法的功能．考试考查的重点是程序框图的输出功能、程序框图的补充，以及算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力，题目难度不大，大多可以按照程序框图的流程逐步运算而得到．跟踪训练3 执行如图的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，i＝6，n＝1；第二次循环a＝－6＋4＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，i＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，i＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，i＝20，n＝4，满足题意，结束循环．题型四循环结构的实际应用例4 某工厂2016年生产小轿车200万辆，技术革新后预计每年的生产能力都比上一年增加5%，问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过300万辆？写出解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图．解算法如下：第一步，令n＝0，a＝200，r＝0.05.第二步，T＝ar(计算年增量)．第三步，a＝a＋T(计算年产量)．第四步，如果a≤300，那么n＝n＋1，返回第二步；否则执行第五步．第五步，N＝2016＋n.第六步，输出N.程序框图如图所示．反思与感悟这是一道算法的实际应用题，解决此类问题的关键是读懂题目，建立合适的模型，找到解决问题的计算公式．在画程序框图时，注意循环结构的选择．跟踪训练4 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问他需要什么．发明者说：“陛下，在国际象棋的第一个格子里面放1粒麦子，在第二个格子里面放2粒麦子，第三个格子放4粒麦子．以后每个格子中的麦粒数都是它前一个格子中麦粒数的二倍，以此类推(国际象棋棋盘共有64个格子)．请将这些麦子赏给我，我将感激不尽．”国王想这还不容易，就让人扛了一袋小麦，但不到一会就没了，最后一算结果，全印度一年生产的粮食也不够．国王很奇怪，小小的“棋盘”，不足100个格子，如此计算怎么能放这么多麦子？试用程序框图表示一下算法过程．解该问题就是求1＋2＋22＋23＋24＋…＋263的和．累加变量和计数变量的应用例5 画出求满足12＋22＋32＋…＋n2＞20152的最小正整数n的程序框图．错解错解分析累加变量的初始值为1，第一次运算为S＝1＋12导致错误．一般把计数变量的初始值设为1，累加变量的初始值设为0，本例中S＝0，i＝1.正解程序框图如图所示：1．下列关于循环结构的说法正确的是( )A．循环结构中，判断框内的条件是唯一的B．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行C．循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”D．循环结构就是无限循环的结构，执行程序时会永无止境地运行下去答案 C解析由于判断框内的条件不唯一，故A错；由于当型循环结构中，判断框中的条件成立时执行循环体，故B错；由于循环结构不是无限循环的，故C正确，D错．2.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析借助循环结构进行运算，直至满足条件并输出结果．S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.3．如图所示的程序框图输出的S是126，则①应为( )A．n≤5? B．n≤6? C．n≤7? D．n≤8?答案 B解析2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6？”．4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )A．1B．2C．4D．7答案 C解析当i＝1时，s＝1＋1－1＝1；当i＝2时，s＝1＋2－1＝2；当i＝3时，s＝2＋3－1＝4；当i＝4时，退出循环，输出s＝4；故选C.第4题图第5题图5．如上程序框图，当输入x的值为5时，其输出的结果是________．答案 2解析∵x＝5>0，∴x＝5－3＝2，∵x＝2>0，∴x＝2－3＝－1.∴y＝0.5－1＝2.1.(1)循环结构是指在算法中需要重复执行一条或多条指令的控制结构；(2)在循环结构中，通常都有一个起循环计数作用的变量，即计数变量；(3)循环变量、循环体、循环终止条件称为循环结构的三要素．2．画程序框图要注意：(1)使用标准的框图符号；(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；(3)除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；(4)框图中若出现循环结构，一定要分清当型和直到型结构的不同；(5)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚．。

1.1 算法的含义学习目标 1.了解算法的特征；2.初步建立算法的概念；3.会用自然语言表述简单的算法．知识点一算法的概念思考1 有一碗酱油，一碗醋和一个空碗．现要把两碗盛的物品交换过来，试用自然语言表述你的操作办法．思考2 某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是一个算法吗？梳理算法概念：知识点二算法的特征思考1 设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？梳理算法特征：有穷性、可行性、顺序性、不唯一性、普遍性．思考2 求解某一个问题的算法是不是唯一的？思考3 任何问题都可以设计算法解决吗？梳理算法的设计要求：(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单、通俗易懂．(3)要保证算法正确，且计算机能够执行．类型一算法的特征例1 一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案．反思与感悟算法的特点：(1)有穷性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束．(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的．(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．跟踪训练1 某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜．请设计安全过河的算法．类型二算法的阅读理解例2 下面算法要解决的问题是______________________________________________．第一步输入三个数，并分别用a、b、c表示．第二步比较a与b的大小，如果a<b，则交换a与b的值．第三步比较a与c的大小，如果a<c，则交换a与c的值．第四步比较b与c的大小，如果b<c，则交换b与c的值．第五步输出a、b、c.反思与感悟一个算法的作用往往并不显然，这需要我们结合具体数值去执行一下才知道．跟踪训练2 下面给出了一个问题的算法：第一步输入a.第二步若a≥4，则执行第三步，否则执行第四步．第三步输出2a－1.第四步输出a2－2a＋3.这个算法解决的问题是____________________________________________________．类型三算法的步骤设计例3 设计一个算法，判断7是否为质数．反思与感悟设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法．(2)借助有关变量或参数对算法加以表述．(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．跟踪训练3 设计一个算法，判断35是否为质数．1．下列不是算法的是________．(填序号)①解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1；②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机；③解方程2x2＋x－1＝0；④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积．2．下列对算法的理解正确的是________．(填序号)①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)；②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；④任何问题都可以用算法来解决．3．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步取A＝89，B＝96，C＝99；第二步____________________；第三步____________________；第四步输出计算的结果．4．已知算法：第一步，输入n.第二步，判断n是不是2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．第三步，依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．该算法的功能是____________________．1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．算法设计的要求：(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．答案精析问题导学知识点一思考1 先把醋倒入空碗，再把酱油倒入原来盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原来盛酱油的碗，就完成了交换．思考2 是．梳理算术运算机械统一计算机程序知识点二思考1 若有无限步，必将陷入死循环，解决不了问题．故算法必须在有限步内解决问题．思考2 解决一个问题的算法可以有多个，只是有优劣之分，结构简单，步骤少，速度快的算法就是好算法．思考3 不可以，只有能按照一定规则解决的、明确的、有限的操作步骤的问题才可以设计算法，其他的问题一般是不可以的．题型探究例1 解第一步两个小孩同船过河去．第二步一个小孩划船回来．第三步一个大人划船过河去．第四步对岸的小孩划船回来．第五步两个小孩同船渡过河去．跟踪训练1 解第一步人带羊过河．第二步人自己返回．第三步人带青菜过河．第四步人带羊返回．第五步人带狼过河．第六步人自己返回．第七步人带羊过河．例2 输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出解析第一步是给a、b、c赋值．第二步运行后a>b.第三步运行后a>c.第四步运行后b>c，所以a>b>c.第五步运行后，显示a、b、c的值，且从大到小排列．跟踪训练2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1， x ≥4，x 2－2x ＋3， x <4当x ＝a 时的函数值f (a )例3 解 第一步 用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.第二步 用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.第三步 用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.第四步 用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.第五步 用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.因此，7是质数．跟踪训练3 解 第一步 用2除35，得到余数1，所以2不能整除35.第二步 用3除35，得到余数2，所以3不能整除35.第三步 用4除35，得到余数3，所以4不能整除35.第四步 用5除35，得到余数0，所以5能整除35.因此，35不是质数．当堂训练1．③解析 ③不是算法，没有给出解这个方程的步骤．2．①②③解析 由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题，所以并不是任何问题都可以用算法解决．例如求1＋12＋13＋14＋ (1)＋…，故④不正确． 3．计算x ＝A ＋B ＋C 计算y ＝x 3解析 求三个数的平均数必须是先计算三个数的总和，再被3除．4．判断所给的数是否为质数解析 因为2是质数，且大于2的任何数，只要它不能被2，3，…，n －1，整除，则n 一定为质数．故上述步骤是判断n 是否为质数的算法．。

第1课时排列与排列数公式学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义思考1 若A，B，C三名同学排成一行照相，有哪些站法？请列举出来．思考2 ABC与ACB是同一种站法吗？梳理排列的定义从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫作____________________________________________的一个排列．知识点二排列数及排列数公式思考1 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？思考2 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种不同排法？梳理排列数类型一 排列的概念例1 下列问题是排列问题的为________． ①选2个小组分别去植树和种菜； ②选2个小组分别去种菜； ③某班40名同学在假期互发短信； ④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除； ⑤10个车站，站与站间的车票．反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？类型二列举法解决排列问题例2 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数，写出所得到的所有的三位数．反思与感悟在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素为首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．跟踪训练2 A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．类型三排列数及其应用命题角度1 由排列数公式进行化简与求值例3 计算下列各题：(1)A310；(2)A59＋A49A610－A510；(3)A m－1n－1·An－mn－mA n－1n－1.反思与感悟 (1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数．(2)利用排列数公式进行计算时可利用连乘形式也可利用阶乘形式．当A mn 中m 已知且较小时用连乘形式，当m 较大或为参数时用阶乘形式．(3)应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系．解题时的常用变式 ①n ！＝n (n －1)！. ②A mn ＝n A m －1n －1.③n ·n ！＝(n ＋1)！－n ！. ④n －1n ！＝1n －！－1n ！. 跟踪训练3 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N ＋，且n <55)＝________； (2)计算2A 34＋A 44＝________.命题角度2 与排列数有关的方程、不等式的求解 引申探究把本例的方程改为不等式“A 42x ＋1<140A 3x ”，求它的解集．例4 解方程A 42x ＋1＝140A 3x .反思与感悟 利用排列数公式展开即得到关于x 的方程(或不等式)，但由于x 存在于排列数中，故应考虑排列数对x 的制约，避免出现增根． 跟踪训练4 不等式A x8<6A x －28的解集为( ) A ．[2,8] B ．[2,6] C ．(7,12) D ．{8}1．20×19×18×…×9等于( )A．A1220 B．A1120 C．A1020 D．A9202．下列问题中属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④ B．①②C．④ D．①③④3．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )A．6个B．10个C．12个D．16个4．已知A2x＝30，则x＝________.5．从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．1．判断一个问题是否是排列问题的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．2．关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A m n＝n！n －m！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N＋，m≤n”的运用．答案精析问题导学 知识点一思考1 ABC ，BCA ，CAB ，ACB ，CBA ，BAC . 思考2 不是．梳理 一定顺序 从n 个不同的元素中任意取出m 个元素． 知识点二思考1 4×3×2＝24(个)．思考2 n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)种． 梳理 所有排列的个数 A mnn (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)n ！n －m ！(n ，m ∈N ＋，m ≤n ) n ！ 1题型探究 例1 ①③④⑤跟踪训练1 解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a >b 还是a <b ，方程x 2a 2－y 2b2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 例2 解 画出下列树形图，如下图．由上面的树形图知，所有的三位数为123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，共24个三位数．跟踪训练2 解 因为A 不排第一，排第一位的情况有3类(可以从B ，C ，D 中任选一人排)，而此时兼顾分析B 的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是BACD ，BADC ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA .例3 解 (1)A 310＝10×9×8＝720. (2)A 59＋A 49A 610－A 510＝9×8×7×6×5＋×9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 ＝9×8×7×6×5＋110×9×8×7×6×5－1＝610×4 ＝320. (3)A m －1n －1·A n －mn －m A n －1n －1＝n －1！[n －1－m －1]！·(n －m )！·1n －1！＝1.跟踪训练3 (1)A 1569－n (2)72 例4 解 根据题意，原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N＋，x ＋x x －x－＝140x x －x －，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ∈N ＋，x ＋x －＝x －，整理得4x 2－35x ＋69＝0(x ≥3，x ∈N ＋)， 解得x ＝3(x ＝234∉N ＋，舍去)．引申探究解 由A 42x ＋1<140A 3x 知x ≥3且x ∈N ＋， 由排列数公式，原不等式可化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)<140x ·(x －1)(x －2)， 解得3<x <234，因为x ∈N ＋，所以x ＝4或x ＝5. 所以不等式的解集为{4,5}． 跟踪训练4 D 当堂训练1．A 2.A 3.C 4.65．解 (1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数． 画出下列树状图：由树状图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321. (2)直接画出树状图：由树状图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.。

1.3 算法案例[提出问题]问题1：如何求18与54的最大公约数？提示：短除法．问题2：要求6 750与3 492的最大公约数，上述法还好用吗？提示：数值太大，短除法不方便用．问题3：还有没有其他方法，可用来解决“问题2”中的问题？提示：有．[导入新知]1．辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第二步．2．更相减损术(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．(2)其基本过程是：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．[化解疑难]辗转相除法与更相减损术的比较[提出问题]已知多项式f(x)＝x5＋3x4－3x3＋4x2－x－1.问题1：求f(1)．提示：f(1)＝1＋3－3＋4－1－1＝3.问题2：若求f(39)，再代入运算出现什么情况？提示：运算量太大，不易运算．问题3：当x的值较大时，有没有更好的方法求函数值呢？提示：有．可将f(x)转化为求一次多项式的值．[导入新知]秦九韶算法的算法原理把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0.这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．[化解疑难]秦九韶算法的步骤[提出问题]问题1：今天是星期二，那么20天后是星期几？提示：20天后是星期一．问题2：每周七天，逢七便又是一循环，这与我们所学过的十进制，逢十进一是否有相似之处？提示：其实一周七天，与十进制一样，相当于逢七进一，是七进制论法．[导入新知]1．进位制(1)概念：进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制．(2)基数：几进制的基数就是几．2．不同进位制之间的互化(1)k进制化为十进制的方法：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k＋a0(a n，a n－1，…，a1，a0∈N，0＜a n＜k,0≤a na1，a0＜k)．－1，…，(2)十进制化为k进制的方法——除k取余数．[化解疑难]常见的进位制(1)二进制：①只使用0和1两个数字；②满二进一，如1＋1＝10.(2)八进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同的数字；②满八进一，如7＋1＝10.(3)十六进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；②满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10.[例1][解] (1)辗转相除法：779＝209×3＋152，209＝152×1＋57，152＝57×2＋38，57＝38×1＋19，38＝19×2.所以，779与209的最大公约数为19.(2)更相减损术：779－209＝570，152－57＝95，570－209＝361, 95－57＝38，361－209＝152, 57－38＝19，209－152＝57, 38－19＝19.所以779和209的最大公约数为19.[类题通法]1．用辗转相除法求最大公约数的步骤2．用更相减损术求最大公约数的步骤第一步，给定两个正整数m，n(m＞n且m，n不全是偶数)．第二步，计算m－n所得的差k.第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．[活学活用]用辗转相除法和更相减损术求1 515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为( )A ．4,15B ．5,14C ．5,13D ．4,12解析：选B 辗转相除法：1515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．用更相减损术法：1515－600＝915，915－600＝315,600－315＝285，315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15，故最大公约数为15，且需计算14次.[例2] x ＝2时的值． [解] f (x )＝(((((6x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， 当x ＝2时，有v 0＝6，v 1＝6×2＋5＝17， v 2＝17×2＋4＝38， v 3＝38×2＋3＝79， v 4＝79×2＋2＝160， v 5＝160×2＋1＝321， v 6＝321×2＝642，故当x ＝2时，多项式f (x )＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为642. [类题通法]秦九韶算法原理及注意事项(1)秦九韶算法的原理是⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，(k ＝1,2，…，n )．(2)在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，那么下一步，一直到最后一步就会全部算错，同学们在计算这种题时应格外小心．[活学活用]用秦九韶算法计算多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1.当x ＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,5解析：选A f (x )＝(((((3x ＋4)x ＋5)x ＋6)x ＋7)x ＋8)x ＋1，所以需要进行6次乘法和6次加法．[例3] (1)将(2)(2)将235(7)转化为十进制数；(3)将137(10)转化为六进制数；(4)将53(8)转化为二进制数．[解] (1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10)．(2)235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10)．(3)∵137＝3×62＋4×6＋5，∴137(10)＝345(6)．(4)53(8)＝5×81＋3×80＝43(10)．∴53(8)＝101 011(2)．[类题通法]1．k进制数化为十进制数的步骤(1)把k进制数写成不同数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式．(2)按十进制数的运算规则运算出结果．2．十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤[活学活用]若六进制数13m502(6)化为十进制数等于12 710，求数字m的值．解：因为13m502(6)＝1×65＋3×64＋m×63＋5×62＋0×61＋2×60＝216m＋11 846，令216m＋11 846＝12 710，所以m＝4.2.利用秦九韶算法求值的易错点[典例] 利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值( )A．121 B．283C．321 D．239[解析] 原多项式可化为：f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1.当x＝3时，v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，v5＝94×3＋1＝283.所以，当x＝3时f(3)＝283.[答案] B[易错防范]当多项式中间出现空项时，用秦九韶算法求函数值要补上系数为0的相应项，否则，本题极易出现如下所示的错误算法，从而误选A.∵f(x)＝(((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，∴当x＝3时，v0＝1，v1＝3＋1＝4，v2＝4×3＋1＝13，v3＝13×3＋1＝40，v4＝40×3＋1＝120＋1＝121，所以当x＝3时，f(3)＝121.[成功破障]用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解：根据秦九韶算法，将f(x)写为：f(x)＝((((x＋0)x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝0.3时的值：v0＝1；v1＝v0×0.3＋0＝0.3；v2＝v1×0.3＋0.11＝0.2；v3＝v2×0.3＋0＝0.06；v4＝v3×0.3－0.15＝－0.132；v5＝v4×0.3－0.04＝－0.079 6.所以，当x＝0.3时，多项式的值为－0.079 6.[随堂即时演练]1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )A．4 B．12C．16 D．8解析：选A 根据更相减损术的方法判断．2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是( )A．－4 B．－1C．5 D．6解析：选 D n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6.3．将51化为二进制数得________．解析：答案：110 011(2)4．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________．解析：294＝84×3＋42，84＝42×2.答案：25．将1 234(5)转化为八进制数．解：将1 234(5)转化为十进制数：1 234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.再将十进制数194转化为八进制数：所以1 234(5)＝302(8)．[课时达标检测]一、选择题1．4 830与3 289的最大公约数为( )A．23 B．35C．11 D．13答案：A2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3的值时，需要进行乘法运算和加减运算的次数分别为( )A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2答案：C3．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法的次数为( )A．4 B．3C．5 D．6答案：B4．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )A．4 B．5C．6 D．7答案：B5．下列各数，化为十进制后，最大的为( )A．101 010(2)B．111(5)C．32(8)D．54(6)答案：A二、填空题6．用更相减损术求三个数168,54,264的最大公约数为________．解析：为简化运算，先将3个数用2约简为84,27,132.由更相减损术，先求84与27的最大公约数.84－27＝57，57－27＝30,30－27＝3,27－3＝24,24－3＝21,21－3＝18，18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3.故84与27的最大公约数为3.再求3与132的最大公约数，易知132＝3×44，所以3与132的最大公约数就是3. 故84,27,132的最大公约数为3；168,54,264的最大公约数为6. 答案：67．三位七进制数表示的最大的十进制数是______．解析：最大的三位七进制数表示的十进制数最大，最大的三位七进制数为666(7)，则666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝342.答案：3428．按照秦九韶算法求多项式f (x )＝1.5x 5＋3.5x 4－4.1x 3－3.6x ＋6当x ＝0.5时的值的过程中，令v 0＝a 5，v 1＝v 0x ＋a 4，…，v 5＝v 4x ＋a 0，则v 4＝________.解析：由题意，有v 0＝1.5，v 1＝1.5×0.5＋3.5＝4.25，v 2＝4.25×0.5－4.1＝－1.975，v 3＝－1.975×0.5＋0＝－0.987 5，v 4＝－0.987 5×0.5－3.6＝－4.093 75.答案：－4.093 75 三、解答题9．10x 1(2)＝y 02(3)，求x 、y 的值．解：因为10x 1(2)＝1×20＋x ×21＋0×22＋1×23＝9＋2x ，y 02(3)＝2×30＋y ×32＝9y ＋2，所以9＋2x ＝9y ＋2且x ∈{}0，1，y ∈{}1，2，所以x ＝1，y ＝1.10．用秦九韶算法计算当x ＝2时，多项式f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64的值．解：将f (x )改写为f (x )＝(((((x －12)x ＋60)x －160)x ＋240)x －192)x ＋64， v 0＝1，v 1＝1×2－12＝－10，v 2＝－10×2＋60＝40， v 3＝40×2－160＝－80，v 4＝－80×2＋240＝80， v 5＝80×2－192＝－32，v 6＝－32×2＋64＝0.所以f (2)＝0，即x ＝2时，原多项式的值为0.11．用秦九韶算法求多项式f (x )＝5x 5＋7x 4＋6x 3＋3x 2＋x ＋1，当x ＝3时的值． 解：f (x )＝5x 5＋7x 4＋6x 3＋3x 2＋x ＋1 ＝(5x 4＋7x 3＋6x 2＋3x ＋1)x ＋1 ＝((5x 3＋7x 2＋6x ＋3)x ＋1)x ＋1 ＝(((5x 2＋7x ＋6)x ＋3)x ＋1)x ＋1配套K12内容资料＝((((5x＋7)x＋6)x＋3)x＋1)x＋1∴f(3)＝((((5×3＋7)×3＋6)×3＋3)×3＋1)×3＋1 ＝1 975.配套K12内容资料。

第一章算法初步1 算法概念解读1．对算法含义的理解(1)算法是机械的算法的设计要“面面俱到”，不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成．(2)算法是普遍存在的实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．例1 现有9个乒乓球，只有其中一个重量稍轻，请写出找到较轻乒乓球的一个算法．解算法如下：S1 将9个乒乓球分成三组，每组3只．S2 将两组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的小的乒乓球在另一组，执行S3，若不平衡，则较轻的小球在较轻的一组，执行S3.S3 取出含较轻小球的一组，任取两球放在天平上，若左右不平衡，则较轻的小球找到；若天平平衡，则另一只是较轻的小球．2．算法与数学问题解法的区别与联系(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如教材中由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤．同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．(2)区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．例2 写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．分析本题是求一元二次方程解的问题，方法很多．要注意设计算法时算法的逻辑性和有穷性．解算法1：利用配方法设计算法如下：S1 移项，得x2－2x＝3.①S2 ①两边同时加1，并配方，得(x－1)2＝4.②S3 ②式两边开方，得x－1＝±2.③S4 解③得x＝3或x＝－1.算法2：利用公式法设计算法如下：S1 计算方程的判别式，判断其符号Δ＝22＋4×3＝16>0.S2 将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝－b±b2－4ac，得x1＝3，x2＝－1.2a2 流程图画法全知晓1．画流程图的基本步骤第一步，设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以画流程图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本算法结构(顺序结构、选择结构、循环结构)完成．第二步，把算法步骤转化为对应的图框，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．第三步，将所有步骤的图框用流程线连接起来并加上终端框，得到表示算法的流程图．2．画流程图的规则(1)使用标准的图形符号．(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向来画．(3)除判断框外，大多数图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号．(4)在图形符号内描述的语言要简练清楚．3．典例分析(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的结构．若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画流程图时，可直接由顺序结构完成．因为在其他的结构中都会涉及到顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述．(2)选择结构设计流程图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入选择结构．例1 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的路程为x(0<x<12)，△APB的面积为y，画出y关于x的关系式的流程图．分析 先根据题意写出算法，再根据算法画出流程图．即：第一步，按照题意，y 与x 的关系满足分段函数：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0<x ≤4，8，4<x ≤8，－x ，8<x <12.第二步，用合适的含选择结构的流程图表示该分段函数．解 流程图如图所示．点评 该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框．至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应．同时，在画流程图时，要特别注意图形符号的规范性．(3)循环结构如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决．例2 用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购买冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？画出流程图．分析 这里有一个每月付50元，加上欠款的利息的重复过程，可以用循环结构解决．但是欠款利息是变化的，所以需要把欠款利息用循环变量来表示．解 购买时付款150元，余款1 000元分20次付清，每次的付款数组成一个数列{a n }． a 1＝50＋(1 150－150)×1%＝60(元)，a 2＝50＋(1 150－150－50)×1%＝59.5(元)，…a n ＝50＋[1 150－150－(n －1)×50]×1%＝60－12(n －1)(n ＝1，2，…，20)． ∴a 20＝60－12×19＝50.5. 总和S ＝150＋60＋59.5＋…＋50.5.流程图如图：点评 在本例中，给出了当型循环结构，直到型循环结构，同学们可以自行完成．3 例说选择结构选择结构是三种基本算法结构之一，可以解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等．在此就其应用略举两例，供同学们学习时参考．1．分段函数求值问题例1 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1，x >0，0，x ＝0，x ＋3，x <0，请设计流程图，要求输入自变量x ，输出函数值y .分析 输入自变量x 的值，首先判断x 与0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值． 解 流程图如图．点评求分段函数的函数值，需先判断再执行步骤，需要引入选择结构．注意画流程图时，判断条件不同，框图中表达式的位置也不同．2．实际应用问题例2 邮政电子汇款单笔最高限额为1万元，每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%，最低收费2元，最高收费为50元．试编写一流程图求出当汇款x (0<x≤10 000)元时，应交纳资费多少元．分析由题意分析，当x≤200时，应交纳资费2元，当x≥5 000时，应交纳资费50元，所以引入选择结构，200和5 000是两个分段点．解流程图如图．点评在一些需要判断的实际问题中，一般都会用到选择结构，在设计流程图时，可先根据题意，设计算法，再根据算法画出流程图．4 两种循环结构辨与析在我们学习的三种基本算法结构中，循环结构尤其重要，其算法设计又相对困难，因此就循环结构的流程图的设计问题及解题思路加以剖析，以期达到明辨结构、合理选择、准确解题的目的．1．循环结构要点分析(1)循环结构解决的是大量的重复性的问题，适用于累加求和、累乘求积等问题．(2)循环结构有两种形式，即当型循环和直到型循环，它们在流程图的表示上是有所区别的．(3)设计流程图时，我们按照“确定循环体”、“初始化变量”、“设定循环控制条件”的顺序来构造．2．两种循环结构的区别与联系区别：(1)循环体执行的先后顺序不同：当型循环是先判断后循环；直到型循环是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体．(2)循环的条件不同：当型循环是在条件满足时执行循环体，而直到型循环是在条件不满足时执行循环体，条件满足时退出循环体．(3)循环体执行的次数不同：若当型循环结构的循环条件一开始就不成立，则直接退出循环；直到型循环是先执行一次循环体，再判断条件．这就是说，当型循环可能一次也不执行，而直到型循环至少执行一次．联系：很多情况下，这两种形式的流程图是可以相互转化的，但要注意判断框中的条件是有区别的．3．典例精析例设计计算12＋32＋52＋…＋992的值的流程图．分析为了方便表示，可应用循环结构引入两个变量：一个是累加变量，为每一次加法运算提供初始值；一个是计数变量，用来控制循环次数．解当型循环结构的流程图如图1，直到型循环结构的流程图如图2.点评在进行当型循环和直到型循环结构的互化时，不能仅通过将图1中判断框内的“i≤99”，改为“i>99”，同时调换“Y”、“N”的位置完成(或是图2中作类似的变换)．同学们一定要在理解的基础上，牢记两种循环结构的条件和“Y”、“N”的位置．同一算法中，当型循环和直到型循环判断框中的条件恰恰相反.5 走出流程图中的误区1．忽视选择结构中“N”的意义导致错误例1 已知x ，y 满足y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1， x <0，x 2， 0≤x ≤1，x 3， x >1，画出给出x 求y 的流程图．错解 流程图如图所示：错解剖析 判断框中0≤x ≤1处应填x ≤1，因为“N”的意义就是指x <0的反方面，即表示x ≥0，再写x ≥0则画蛇添足．正解 流程图如图所示：2．循环结构忽视初始值和循环条件例2 设计一个计算1×2×3×…×40的值的流程图．错解 流程图如图所示：错解剖析在给变量赋初值时一定要注意与题目中的已知相对应，同时还要注意是要求和还是求积．一般来说，在解连加问题时存放累加和的变量初值常取0，而在解连乘问题时，存放累乘积的变量初值常取 1.另外，循环终止条件的确定与流程图中的各变量的赋值顺序有关，因此确定循环终止条件时不应只看已知条件．正解流程图如图所示：6 画流程图的“三抓”1．抓特征组成任何一个流程图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”．“四框”即起止框、输入(出)框、处理框、判断框．“一线”即流程线，任意两个图框之间都存在流程线．“文字说明”即在图框内加以说明的文字、算式等，这是每个流程图不可缺少的内容．2．明规则流程图的画法规则是：①用标准，即使用标准的图形符号；②按顺序，即流程图一般按照从上到下、从左到右的顺序画；③看出入，即大多数图框只有一个入口和一个出口，判断框是唯一具有两个出口的图框，选择结构中要在出口处标明“Y”或“N”；④明循环，即循环结构要注意变量的初始值及循环终止条件；⑤辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少；⑥简说明，即在图框内的描述语言要简练清晰．3．依步骤画流程图的总体步骤是：第一步，先设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以在画流程图前，首先应在稿纸上写出相应的算法步骤，并分析算法需要哪些基本算法结构；第二步，再把算法步骤转化为对应的流程图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．例 某商场进行优惠促销：若购物金额x 在500元以上(不包括500元)，则全部货款打8折；若购物金额x 在300元以上(不包括300元)500元以下(包括500元)，则全部货款打9折；否则，不打折．写出算法并画出流程图，要求输入购物金额x 元，能输出实际交款额． 分析 由题意，实际交款额y 与购物金额x 之间的函数关系是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， 0≤x ≤300，0.9x ，300＜x ≤500，0.8x ，x ＞500.因为它需对x 进行三次判断，所以算法含有两个选择结构，写出算法步骤如下． 解 算法如下：S1 输入购物金额x .S2 判断x ≤300是否成立．若是，则y ←x ，执行S4；否则，进入S3.S3 判断x ≤500是否成立．若是，则y ←0.9x ；否则，y ←0.8x .S4 输出y ，算法结束．画法步骤 ①画顺序结构图，即起止框及输入框，并用流程线连接(如图中①)；②画选择结构图，即画判断框，里面填写“x ≤300”(如图中②)．对于“Y”流向画处理框并填入“y ←x ”，对于“N”流向下一个判断框；③再画选择结构图，即画判断框，里面填写“x ≤500”，对于“Y”流向画处理框并填入“y ←0.9x ”，对于“N”流向画处理框并填入“y ←0.8x ”(如图中③)；④画一个总的输出框并输出y ，以及起止框表示算法结束(如图中④)．最后，合成整个流程图．。

1.2 第1课时程序框图、顺序结构[课时作业][A组学业水平达标]1．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的( )A．处理框内B．判断框内C．输入、输出框内D．终端框内解析：由处理框的意义可知，对变量进行赋值，执行计算语句，处理数据，结果的传送等都可以放在处理框内，∴选A.答案：A2．阅读如图所示的程序框图，若输入的x＝3，则输出的y的值为( )A．24 B．25C．30 D．40解析：由程序框图知a＝x2－1＝32－1＝8，b＝a－3＝8－3＝5，y＝a×b＝8×5＝40.答案：D3．阅读如图所示程序框图．若输入x为9，则输出的y的值为( )A．8 B．3C．2 D．1解析：a＝92－1＝80，b＝80÷10＝8，y＝log2 8＝3.答案：B4．对终端框叙述正确的是( )A ．表示一个算法的起始和结束，程序框是B ．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是C ．表示一个算法的起始和结束，程序框是D ．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是 解析：由各框图的意义和作用知C 正确． 答案：C5．已知如图所示的程序框图，则该程序框图运行后输出的z 是( )A ．2B ．0C ．1D.12解析：由图可知：x ＝2，y ＝0，z ＝20＝1. 答案：C6．下列关于程序框图的说法中正确的有________． ①用程序框图表示算法直观、形象，容易理解；②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言； ③在程序框图中，起止框是任何流程图必不可少的； ④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置． 解析：由程序框图的定义可知，①②③④都正确． 答案：①②③④7．图(1)是计算图(2)中空白部分面积的一个程序框图，则①中应填________．图(1) 图(2)解析：因为图(2)中空白部分的面积S ＝π2a 2－a 2，所以①处应填S ＝π2a 2－a 2.答案：S ＝π2a 2－a 28．阅读如图所示的程序框图，说明其算法的功能．解析：把程序框图翻译成自然语言算法如下： 第一步，输入A ，B 的值． 第二步，把A 的值赋给x . 第三步，把B 的值赋给A . 第四步，把x 的值赋给B . 第五步，输出A ，B 的值．因此，本题算法是交换输入的两个数A 和B 的值，并输出交换后的值．9．已知函数f (x )＝x 2－3x －2，求f (3)＋f (－5)的值，设计一个算法并画出算法的程序框图．解析：自然语言算法如下： 第一步，求f (3)的值． 第二步，求f (－5)的值． 第三步，计算y ＝f (3)＋f (－5)． 第四步，输出y 的值． 程序框图如图所示：1．下列程序框图中，表示的是已知直角三角形两直角边a、b，求斜边c的是( )解析：A项中没有终端框，所以A项不正确；B项中，输入a，b和c＝a2＋b2顺序颠倒，且程序框错误，所以B项不正确；D项中，处理框中a2＋b2＝c错误，应为c＝a2＋b2，“＝”左右两边不能互换，所以D项不正确；显然C项正确．故选C.答案：C2．阅读如图所示的程序框图，若输入的a、b、c的值分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是( )A．75、21、32 B．21、32、75C．32、21、75 D．75、32、21解析：输入21、32、75后，该程序框图的执行过程是：输入21、32、75.x＝21.a＝75.c＝32.b＝21.输出75、21、32.答案：A3．若a>0，b>0，则如图所示的程序框图表示的算法的功能是________．(尽量具有实际意义)解析：∵c＝d＝a2＋b2＝a－2＋b－2，又∵a>0，b>0，∴c表示第一象限内的点P(a，b)到原点(0,0)的距离．答案：求第一象限内的点P (a ，b )到原点(0,0)的距离(答案不唯一) 4．写出下列程序的运算结果． (1)图①中输出S ＝__________；(2)图②中若输入R ＝8，则输出a ＝__________.解析：S ＝24＋42＝52；b ＝82＝2，a ＝2b ＝2 2.答案：(1)52(2) 2 25．如图所示的程序框图，当输入的x 的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和下列各题的条件回答下面的几个问题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题；(2)当输入的x 的值为3时，求输出的f (x )的值； (3)要想使输出的值最大，求输入的x 的值．解析：(1)该程序框图解决的是求二次函数f (x )＝－x 2＋mx 的函数值的问题． (2)当输入的x 的值为0和4时，输出的值相等， 即f (0)＝f (4)．因为f (0)＝0，f (4)＝－16＋4m ，所以－16＋4m＝0，所以m＝4.所以f(x)＝－x2＋4x.因为f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)max＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.。

_1.1算法与程序框图1．1。

1 算法的概念算法的概念[提出问题］2014年8月“青奥会”在南京开幕，某人想观看“青奥会”的开幕式，通过网络订票成功，然后按时验票入场，观看完开幕式后退场返回．问题1：观看开幕式的过程是明确的吗？提示：是明确的．问题2：观众订票的方式是唯一的吗？提示:不唯一．问题3：若你想去观看“青奥会"开幕式，如何设计你的行程?提示：首先订票,然后选择合适的交通工具按时到场,验票入场，观看开幕式．［导入新知］［化解疑难］1．对算法概念的理解（1）算法没有一个精确化的定义，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．(2）算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．事实上，算法的概念很广泛，为解决一类问题而采取的方法和步骤都称为“算法”．但我们这里讲的是计算机能实现的算法，即一类问题的机械的、统一的求解方法，如解方程（组)的算法、函数求值的算法等．2．算法的特征特征具体内容确定性算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可的正确性和算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，上一步是下一步的前提，只有执行完上一步，顺序性才能执行下一步有限性一个算法必须在执行完有限步之后结束，而不能是无限的不唯一性求解某个问题的算法不一定是唯一的，一个问题可以有不同的算法普遍性很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决，写出的算法必须能解决一类问题算法与计算机［提出问题］问题1：在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具,听音乐、看电影、玩游戏、办公、处理数据、收发邮件，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么你知道算法与计算机的关系吗？提示：算法是计算机科学的基础，计算机处理任何问题都要依赖于算法．问题2：如何设计一个利用计算机求当x取任何值时函数f(x)＝x2－x＋2的值的算法？试写出算法步骤．提示：第一步，输入x。