第2届丘成桐大学生数学竞赛试题

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试

2005年3月20日 上午8∶30至10∶00

校名 班次 姓名 辅导教师 成绩____

一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共得分

答案

1、1234141524682830等于( )

A．14 B．-14 C．12 D．-12

2、已知x=3是不等式mx+2<1-4m的一个解，如果m是整数，那么m的最大值是( )

A．-1 B．0 C．1 D．-2

3、一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有( )

A．1个 B．3个 C．5个 D．6个

4、有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是( )

A．3abc B．3abc C．a+b-c D．3(a+b-c)

5、已知333411112212221A，则A与1的大小关系是( )

A．A>1 B．A = 1 C．A < 1 D．无法确定的

6、Given in the △ABC ，a，b，c are three sides of the triangle，and321abc，then ∠A is( )

第二届华杯赛初赛试题

1. “华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次．今年(1988年)是第二届．问2000年是

第几届？

2. 一个充气的救生圈（如右图）．虚线所示的大圆，半径是33厘米．实线所示的小圆，半

径是9厘米．有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行．问：

小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁？

3. 如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？

4. 有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是

2000.81．求这个四位数．

5. 如图是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6 厘

米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？

6. 如下图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这六个方框中的数字的

连乘积等于多少？

7. 如右图中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶

点．问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？

8. 有七根竹竿排成一行．第一根竹竿长1米，其余每根的长都是前一根的一半．问：这七

根竹竿的总长是几米？

9. 有三条线段A、B、C，a长2.12米，b长2.71米，c长3.53米，以它们作为上底、下底

和高，可以作出三个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大(如下图)？

10. 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃．中午12点整，电子钟响铃

又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？

11. 一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌．问:最少要抽多少张牌，才

能保证有4张牌是同一花色?

12. 有一个班的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减

少一条船，正好每条船坐9人．问：这个班共有多少同学？

13. 四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，

小猫坐在第4号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换．第二次 是在第一

第十三届华罗庚杯数学竞赛初一试题(二)

41、一根长方体木料，体积是0.078立方米。已知这根木料长1.3米，宽为3分米，高该是多少分米？孙健同学把高错算为3分米。这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少？

42、有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米。小正方形的面积是多少平方厘米？

43、有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

44、 77×13+255×999+510

45、a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整数部分是____。

46、1995的约数共有____。

47、等式“学学×好好+数学=1994”，表示两个两位数的乘积，再加上一个两位数，所得的和是1994。式中的“学、好、数”3个汉字各代表3个不同数字，其中“数”代表____。

48、如图1，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1～7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等。图中间的“好”代表____。

49、农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个*墙的长方形鸡窝（如图2）。为了防止鸡飞出，所建鸡窝高度不得低于2米。要使所建的鸡窝面积最大，BC的长应是 米。

50、小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是____。

51、1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分。已知：

（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；

（2）乙队总得分排在第一；

（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。

小机灵二年级

一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每题1分）

1.“数学”这个词来源于希腊文，意思为科学或知识。（ ）

2.在数学中，“等于”（即“=”）既可表示两个数相等，也可表示两个式子相等。（ ）

3.单价×数量=总价。（ ）

4.阿拉伯数字的发明者是古代印度人。（ ）

5.1倍数×倍数=1倍数。（ ）

二、填空题（6-10题每题5分，11-15题每题8分，16-20题每题10分）

6.把一些白旗和黑棋按下面的规律排列，那么第27个棋子是（ ）色。

●●●○○●●●○○●●●„„

7.树上原有32只麻雀，第一次飞走了一半，第二次又飞回来8只麻雀，第三次又飞走了一半。这时，树上还有（ ）只麻雀。

8.今年弟弟6岁，哥哥11岁。当弟弟的岁数和哥哥现在的岁数一样时，哥哥（ ）岁。

9.1只青蛙2分钟能吃掉7只害虫，那么2只青蛙（ ）分钟能吃掉56只害虫。

10.30颗玻璃球放在3个盒子中，第一个盒子和第二个盒子中球的总数是18颗，第2个盒子和第3个盒子中球的总数是19颗。第3个盒子中有（ ）颗球。

11.冬天到了，小熊外出捕猎野兔准备过冬。第一天捕捉到9只野兔，从第二天开始，每天比前一天少捕捉1只野兔。小熊一周能捕捉到（ ）只野兔。

12.观察下列各图中“↑”的排列规律，图7中共有（）个“↑”。

......

图1 图2 图3 图7

13.一棵古树的树龄有一百多岁，如果把树龄的各位数字相加，和是9，如果把各位数字相乘，积等于16.这棵古树的树龄是（ ）岁。

14.用写有2、4、7、8的四张卡片，可以组成（ ）个两位数，把这些数按从大到小的顺序排列，第10个数是（ ）。

15.计算：7÷8×7×8=（ ）。

16.哥哥和弟弟都储蓄了一些钱，如果哥哥给了弟弟84元之后，弟弟反而比哥哥多36元，原来哥哥比弟弟多（ ）元。

第2届大学生物理竞赛试卷

（2009年4月25日） 时间150分钟 满分120分

一、填空题（共52分）

1、（4分）人造地球卫星绕地球作圆周运动，由于受到空气摩擦阻力，人造卫星速度____________（填减小或增大或不变），轨道半径________________（填减小或增大或不变）。

2、（4分）面积为S 的接地金属板，距板为d处有一点电荷q（q很小），则板上离点电荷最近处的感应电荷面密度为___________________________。

3、（4分）半圆形载流线圈，半径为R，电流为I与B共面，且直径与B夹角为。则线圈受的磁力矩大小为_____________________；方向___________________。

4、（3分）从单一热源吸取热量并将其完全用来对外作功，则[ ]（请选A或B并填空）

A、此过程违反热力学第二定律；

B、此过程不违反热力学第二定律，例如_______________过程就是这种情况。

5、（4分）图中MN为某理想气体的绝热曲线，ABC是任意过程，箭头表示过程进行的方向，ABC过程结束后气体的温度_______________（填增加、减小或不变）；气体所吸收的热量为_______________（填正、负或零）。

6、（6分）标准声源能发出频率为250.0oHz的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘上一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的固有频率_________________；将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在0.34Lm和1.03m时相继产生两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度_________________________。

7、（5分）一容器内储有1mol氧气，其压强为1atm，温度为27℃，则单位体积中的分子数n__________________，分子的平均速率v____________________；氧气的内能E______________________。

第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛 五年级第 2 试

一、填空题（每小题 5 分，共 60 分）

1、 计算：0.15÷2.1×56=___________。

2、 15+115+1115+„„+1111111115=____________。

3、 一个自然数除以 3，得余数 2，用所得的商除以 4，得余数 3。若用这个自然数除以 6，得余数____________。

4、 数一数，图 1 中共有____________个长方形。

5、 有一些自然数（0 除外）既是平方数（可写成两个相同的自然数的乘积），又是立方数（可写成三个相同的自然数的乘积）。如：1=1×1=1×1×1，64=8×8=4×4×4。那么在 1000 以内的自然数中，这样的数有________个。

6、 有一个自然数，它的最小的两个约数的差是 4，最大的两个约数的差是 308，则这个自然数是___________。

7、 如图 2，先将 4 黑1 白共 5 个棋子放在一个圆圈上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的 5 个棋子拿掉。如此不断操作下去，圆圈上的 5 个棋子中最多有_______个白子。

8、 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时相向而行，甲的速度是乙的速度的 3 倍，经过 60 分钟，两人相遇。然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行。那么，当甲到达 B地后，再经过____分钟，乙到达_____A 地。

9、 如图 3，将一个棱长为 1 米的正方体木块分别沿长、宽、高三个方向锯开 1，2，3 次，得到 24 个长方体木块。这 24 块长方体木块的表面积的和是_____________平方米。(18)

10.如图4，小丽和小明的桶中原来各装有 3 千克和

5 千克水。 根据图中的信息可知，小丽的桶最多可以装___________千克水， 小明的桶最多可以装____________千克水。

第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及

一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分)

（1）设(0,1),

则

lim(1)

nnn

=＿＿＿＿＿＿＿.

（2）若曲线()yyx

由+cos

+sin1yxtt

etyt





确定，则此曲线在0t对应点处的切线方程为

（3）2

23/2ln(1)

(1)xx

dx

x

=

（4）3

2

01coscos2cos3

lim

xxxx

x

=＿＿＿＿＿＿＿.

ft()0t(1)0f

二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导，且，求函数

fxy22()，

使得曲线积分2222

Ly(2f(xy))

dxxf(xy)dy

与路径无关，其中L

为任一不与直

yx

线相交的分段光滑闭曲线. fx()0,11)3(fx

三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续，且 .证明：

11

0014

1

)3f(x)dxdx

(fx

.

四 (本题满分12分)计算三重积分22xy()dV

（V）（V），其中是由222xy(z2)4，

222xy(z1)9，0z所围成的空心立体. 五 (本题满分14分) 设(,)fxy在区域D

内可微，且2

2ff

M

xy









，

11(,)Axy，

22(,)Bxy是D

内两点，线段AB包含在D

内。证明：

1122|(,)(,)|||fxyfxyMAB，其

AB||AB中表示线段的长度.

)0(fx六(本题满分14分) 证明：对于连续函数，有11

00lnf(x)dxlnf(x)dx.七 (本题满分14分) 已知{}

ka，{}

kb是正项数列，且

10,

kkbb

，为

一常数.证明：若级数

1k

ka



收敛，则级数1212

1

1()()k

kk

k

kkkaaabbb

bb





收敛. 1,2,k

第1页/共4页 不考钻牛角尖的题记第2届丘成桐大学生数学竞赛

“什么是你最喜欢的定理？”

“你把这个原理再解释一下。”

“几何、拓扑和代数内容，你在大学都学了什么?”

“你的几何课，是哪位老师教的？”

8月19日至20日，丘成桐先生在第二届丘成桐大学生数学竞赛口试考场——中国科学院数学与系统科学研究院七层教室里，不时地向前来参加面试的学生提出上述问题。

这次竞赛考察学生在“分析与微分方程”，“几何与拓扑”，“代数、组合与数论”，“计算、统计与应用数学”四个方面的能力。竞赛的方式和题目，都是经过世界一流数学大师精心研究的。所以，对学生们来说，能参加这样的竞赛活动，确实是一件荣幸的事情。

个人全能冠军获得者——北京大学张瑞祥说：“过去的两天里非常愉快，要感谢丘成桐先生，他的想法非常好，把大家聚集到一起。老师们的提问，也给了我很多的启发。”

来自北京大学的叶立早，是温州乐清人，曾是2019年第一届丘成桐中学生数学竞赛和2009年全国数学奥赛的金牌获得者，前年被保送到北京大学数学系学习，在今年的竞赛中获得个人全能银牌。

在19日上午面试之后，叶立早谈了自己的感想：“为了这次第2页/共4页 考试，自学了不少课外的基础知识。因为这次考试，是向西方一流大学的博士生资格考试看齐。这样的竞赛很有意义，考的都是基础知识，可以检验一下自己到底学得怎么样！”他说自己代数笔试考得不大理想，分析的口试部分回答得还比较好。

今年要上大四的北京大学数学系学生杨奔，以前是人大附中数学班的尖子生，在2019年也曾获得全国奥赛冠军。他说：“这次北大有20多人报名，考题虽然不算难，但内容很多。”

很明显，这次考试内容完全不同于奥数竞赛的那种偏题、怪题，而是考大学数学教材中的基本知识内容。“我们不考钻牛角尖的题，而是要考最基本、最实用的题目。”丘成桐说。

丘成桐认为，国内数学教育启发性、创造性不够。所以，竞赛从一开始就设置了口试部分。他说：“这是很重要的，可以从另一个角度考察学生的能力，比如应变和阐释能力。这对于一个数学家来说也是非常重要的方面，很多人出了成果，如果讲不明白自己的成果，那么他的成果也就无法得到别人的承认。”

第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及

一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分)

（1）设(0,1),

则

lim(1)

nnn

=＿＿＿＿＿＿＿.

（2）若曲线()yyx

由+cos

+sin1yxtt

etyt





确定，则此曲线在0t对应点处的切线方程为

（3）2

23/2ln(1)

(1)xx

dx

x

=

（4）3

2

01coscos2cos3

lim

xxxx

x

=＿＿＿＿＿＿＿.

ft()0t(1)0f

二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导，且，求函数

fxy22()，

使得曲线积分2222

Ly(2f(xy))

dxxf(xy)dy

与路径无关，其中L

为任一不与直

yx

线相交的分段光滑闭曲线. fx()0,11)3(fx

三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续，且 .证明：

11

0014

1

)3f(x)dxdx

(fx

.

四 (本题满分12分)计算三重积分22xy()dV

（V）（V），其中是由222xy(z2)4，

222xy(z1)9，0z所围成的空心立体. 五 (本题满分14分) 设(,)fxy在区域D

内可微，且2

2ff

M

xy









，

11(,)Axy，

22(,)Bxy是D

内两点，线段AB包含在D

内。证明：

1122|(,)(,)|||fxyfxyMAB，其

AB||AB中表示线段的长度.

)0(fx六(本题满分14分) 证明：对于连续函数，有11

00lnf(x)dxlnf(x)dx.七 (本题满分14分) 已知{}

ka，{}

kb是正项数列，且

10,

kkbb

，为

一常数.证明：若级数

1k

ka



收敛，则级数1212

1

1()()k

kk

k

kkkaaabbb

bb





收敛. 1,2,k

第十三届" 小机灵 " 杯数学竞赛决赛二年级组试题

（第一部分1~5每题6分；第二部分7~10每题8分；第三部分11~15每题10分）

1. 小刚去买牛奶，发现这天牛奶特价，每袋 2 元 5 角，买二送一，小刚有 30 元，最多可以

买 _____ 袋牛奶。

2. 一支足球队一个赛季共打了 14 场比赛，其中赢的场数比平的场数和输的场数都要少，那

么，这支球队这个赛季最多赢了 _____ 场。

3. 一个数列 1,2,3,2,5,2,7,2,9,2 ，…的前 20 个数的和是 _____ 。

4. 某件商品标价 80 元， 买一件这样的商品若用 10 元， 20 元， 50 元三种面值的货币来付款。 不同的付款方式有 ____ 种。

5. 猴王将 75 个桃子分给一些小猴，其中一定有一只小猴分到 5 个或更多的桃子，小猴最多

有 ____ 只。

6. 一个盒子理由 10 只黑球， 9 只白球， 8 只红球。如果闭上眼睛从盒子中取球，要想保证取

出的球中至少有 1 只红球和 1 只白球，那一次至少要取 __________ 只球。

7. 有一些两位数， 在它的两个数字中间添上一个 0 ， 这个数就比原来那个数大 720. 这样的数 分别是 _____________ 。

8. 将 2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 12 、 14 这七个数填入图中的圆圈内，使得每排上三个数之和相等， 那么，这个相等的和是 _________________ （写出所有可能。）

第8题图 第13题图

9. 某张荣誉证书的编号是一个十位数，那分数位上的数字写在下面的方框内。已知这个数 的每三个相邻数字之积都是 24 ，那么这个十位数是_________________？

10. 有甲乙两个整数，甲的各位数字之和是 19 ，乙的各位数字之和是 17 ，两数相加时进位

第十三届华罗庚杯数学竞赛初一试题(二)

41、一根长方体木料，体积是0.078立方米。已知这根木料长1.3米，宽为3分米，高该是多少分米？孙健同学把高错算为3分米。这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少？

42、有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米。小正方形的面积是多少平方厘米？

43、有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

44、 77×13+255×999+510

45、a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整数部分是____。

46、1995的约数共有____。

47、等式“学学×好好+数学=1994”，表示两个两位数的乘积，再加上一个两位数，所得的和是1994。式中的“学、好、数”3个汉字各代表3个不同数字，其中“数”代表____。

48、如图1，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1～7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等。图中间的“好”代表____。

49、农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个*墙的长方形鸡窝（如图2）。为了防止鸡飞出，所建鸡窝高度不得低于2米。要使所建的鸡窝面积最大，BC的长应是 米。

50、小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是____。

51、1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分。已知：

（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；

（2）乙队总得分排在第一；

（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。

第十三届华罗庚杯数学竞赛初一试题(二)

41、一根长方体木料，体积是0.078立方米。已知这根木料长1.3米，宽为3分米，高该是多少分米？孙健同学把高错算为3分米。这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少？

42、有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米。小正方形的面积是多少平方厘米？

43、有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

44、 77×13+255×999+510

45、a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整数部分是____。

46、1995的约数共有____。

47、等式“学学×好好+数学=1994”，表示两个两位数的乘积，再加上一个两位数，所得的和是1994。式中的“学、好、数”3个汉字各代表3个不同数字，其中“数”代表____。

48、如图1，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1～7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等。图中间的“好”代表____。

49、农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个*墙的长方形鸡窝（如图2）。为了防止鸡飞出，所建鸡窝高度不得低于2米。要使所建的鸡窝面积最大，BC的长应是 米。

50、小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是____。

51、1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分。已知：

（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；

（2）乙队总得分排在第一；

（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。

,第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答

（2007年10月14日 下午2：30--5：00）

注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题

一、 填空题（每小题2分，共20分）

.3.______,111,1.11mmxxxmxm解则的等价无穷小是时设当.)1()1()1(.________)1(,)()2)(1()()2)(1()(.21nnffnxxxnxxxxfn解则设

.)]11(1[lim._____)]11(1[lim,1)0,1()(.3enfnfyxfynnnn解则轴上的截距为处的切线在在点已知曲线.1.______lim.411eenknknkn原式解

π.4._________d)cos1(sin.52π2π22原式解xxxx.0232___.__________为处的切平面 (0,1) 在点 ),( 则曲面其中),(321)1,(且 ,微的某邻)1,0( 在点),(设函数6.22zyxyxfzyxoyxyxfyxfz切平面方程为解方程，域内可.1旋转转曲面方程._____________为轴旋转的旋转曲面方程绕111101线.7222zyxzzyx解直.0.____d)cos(d1||||.822原式解的正向一周，则为封闭曲线设LyyxxyxyxxL.322.______|)div(}1,2,2{)2,1,1(div,2.922223原式解的方向导数方向处沿在点则其散度设向量场MMzyxzyxzyxAllAkjiA.14._______,)1(.102222222解则的一个特解方程是二阶常系数线性微分设xxxeyyyexey

第六届（2014年）全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题

一、填空题(共有5小题，每题6分，共30分) 

1. 已知xey=

1和xxey=

1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方

程是___ _________________________________ 

2. 设有曲面222:yxzS+=和平面

022:=++zyxL。则与

L平行的

S的切

平面方程是_______________________________ 

3. 设函数

)(xyy=由方程∫−

⎟

⎠⎞

⎜

⎝⎛

=xy

dtt

x

12

4sinπ

所确定。求

=

=0xdxdy

_______________ 

4. 设∑

=+=n

kn

kk

x

1)!1(。则

=

∞→n

nxlim______________________ 

5.

已知31

0)(

1lime

xxf

xx

x=⎟

⎠⎞

⎜

⎝⎛

++

→。则

=

→2

0)(

lim

xxf

x____________________ 

二、（本题12分）设

n

为正整数，计算∫

−⎟

⎠⎞

⎜

⎝⎛

=1

21

lncos

πnedx

xdxd

I。 

三、（本题14分）设函数

)(xf在

]1,0[上有二阶导数，且有正常数

BA,使得

Bxf≤|)("|。证明：对任意

]1,0[∈x，有

22|)('|B

Axf+≤。 

四、（本题14分）（1）设一球缺高为

h，所在球半径为

R。证明该球缺体积为2)3(

3hhR−π

。球冠面积为

Rhπ2；（2）设球体

12)1()1()1(222≤−+−+−zyx被

平面

6:=++zyxP所截得小球缺为

Ω，记球冠为

Σ，方向指向球外。求第二

型曲面积分 ∫∫

Σ++=zdxdyydzdxxdydzI 

五、（本题15分）设f在],[ba上非负连续，严格单增，且存在

],[bax

n∈，使得∫

−=b

ann

ndxxf

abxf)]([1

)]([。求

n

nx

∞→lim 

六、（本题15分）设

2222221nnn

nn

nn

A

n

+++

++

+=L。求

⎟

⎠⎞

⎜

⎝⎛

−

∞→n

nAn

4limπ

第二届数学竞赛试题及答案

【试题一】

题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... +

n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \)。

【答案】

证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。

基础情况：当\( n = 1 \)时，等式左边为\( 1^3 = 1 \)，等式右边为\( \left(\frac{1(1 + 1)}{2}\right)^2 = 1 \)，等式成立。

归纳假设：假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即\( 1^3 + 2^3

+ ... + k^3 = \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 \)。

归纳步骤：我们需要证明对于\( n = k + 1 \)，等式也成立。将\( k

+ 1 \)代入等式左边，得到：

\[ 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = \left(\frac{k(k +

1)}{2}\right)^2 + (k + 1)^3 \]

根据归纳假设，我们可以将等式左边的前\( k \)项替换为\( \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 \)，然后简化：

\[ \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 + (k + 1)^3 =

\left(\frac{k(k + 1)}{2} + k + 1\right)^2 \]

简化后，我们得到：

\[ \left(\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\right)^2 \]

这正是我们需要证明的等式右边，对于\( n = k + 1 \)的情况。因此，通过数学归纳法，我们证明了等式对所有正整数\( n \)都成立。

【试题二】

题目：解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

【答案】

解：这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解它。

丘成桐考试题及答案讲解

一、选择题

1. 以下哪项是丘成桐的数学成就？

A. 证明了费马大定理

B. 证明了哥德巴赫猜想

C. 证明了卡拉比猜想

D. 发现了黎曼猜想的证明方法

答案：C

2. 丘成桐教授在哪所大学获得了博士学位？

A. 哈佛大学

B. 麻省理工学院

C. 斯坦福大学

D. 牛津大学

答案：A

二、填空题

3. 丘成桐教授是_________国籍的数学家。

答案：中国

4. 丘成桐教授的主要研究领域是_________。

答案：微分几何

三、简答题

5. 简述丘成桐教授的主要贡献。

答案：丘成桐教授的主要贡献包括证明了卡拉比猜想，为微分几何领域做出了重大贡献。他还提出了丘成桐空间的概念，对数学和物理学的交叉领域有着深远的影响。

四、计算题

6. 假设有一个曲面S，其高斯曲率为K。如果曲面S上任意一点P的切平面在P点的法向量为n，证明曲面S在点P处的曲率是K。

答案：根据高斯曲率的定义，曲面S在点P处的曲率K是曲面S在P点的两个主曲率k1和k2的乘积，即K = k1 * k2。在微分几何中，曲面S的高斯曲率可以通过第二基本形式来计算。设曲面S的参数表示为r(u, v)，则曲面S在点P处的法向量n可以通过r_u × r_v来计算，其中r_u和r_v分别是r对u和v的偏导数。根据第二基本形式的公式，可以推导出K的表达式，并证明其与k1和k2的关系。

五、论述题

7. 论述丘成桐教授在数学教育和数学普及方面所做的工作。

答案：丘成桐教授不仅在数学研究领域取得了卓越成就，还在数学教育和普及方面做出了巨大贡献。他积极参与数学竞赛的组织和评审工作，推动了数学竞赛的发展，激发了青少年对数学的兴趣。此外，丘成桐教授还通过撰写科普文章、举办公开讲座等方式，向公众普及数学知识，提高公众的数学素养。他的工作不仅提升了数学在社会中的地位，也为数学的未来发展培养了大量人才。