1.2命题及其关系,充分必要条件

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；

(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；

(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；

(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．

【知识拓展】

从集合角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；

(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；

(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(×)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)

(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．(√)

(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)

(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)

(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)

1．下列命题中为真命题的是()

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

答案 A

解析对于A，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.

2．(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()

A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2

C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2

答案 B

解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

3．(教材改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析由(x－1)(x＋2)＝0可得x＝1或x＝－2，

∵{1}{1，－2}，

∴“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．

4．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案 D

解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．

5．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；

②“⎩⎪⎨⎪⎧

a >0，Δ＝

b 2－4a

c ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．

答案 ①②

解析 易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.

题型一 命题及其关系

例1 (2016·宿州模拟)下列命题：

①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题；

②“全等三角形面积相等”的逆命题；

③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题．

其中正确的命题是( )

A ．③④

B ．①③

C ．①②

D ．②④

答案 A

解析 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.

思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

(1)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是( )

A ．若x >0，则x 2≤0

B ．若x 2>0，则x >0