7.正切函数的性质与图像-【新】人教B版高中数学必修第三册演示PPT

2．解正切不等式的两种方法 (1)图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出 符合条件的角的集合； (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线， 得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函 数的定义域．
[跟进训练] 1．求函数 y＝ tatnanx＋x－π61 的定义域．
第七章 三角函数
7.3 三角函数的性质与图像 7.3.4 正切函数的性质与图像
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图像．(一般) 1.通过正切函数图像与性质的
2．会利用 y＝tan x 的性质确定与正切 学习，培养学生直观想象核心
函数有关的函数性质．(难点) 素养．
3．会利用正切函数的单调性比较函 2．借助正切函数图像与性质的
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于 原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f(－ x)与 f(x)的关系．
[跟进训练] 2．(1)求 f(x)＝tan2x＋π3的周期； (2)判断 y＝sin x＋tan x 的奇偶性． [解] (1)因为 tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3， 即 tan2x＋π2＋3π＝tan2x＋π3， 所以 f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2.
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(2)正切函数的图像叫做 正切曲线
．
(3＋kπ，0(k∈Z)
线隔开的无穷多支曲线所组成．
且与 y轴
平行的直
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2．函数 y＝－3tan x＋7 的值域是( )
A．R C．(0，＋∞)
B．xx≠kπ＋π2，k∈Z D．－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)
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(3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为k2π，0，k∈Z. (4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为 x ＝kπ＋π2，k∈Z.
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3．正切函数的图像 (1)正切函数的图像 y＝tan xx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z 的图像如图．
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在－π2，π2上满足上述不等式的 x 的取值范围是－4π，π4. 又 因 为 y ＝ tan x 的 周 期 为 π ， 所 以 所 求 x 的 定 义 域 为
x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
.
(2)因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]⊆－π2，π2， 所以 y＝tan x 在[－1,1]上是增函数， 因此 tan(－1)≤tan x≤tan 1， 即函数 y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．]
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思考：(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗？ (2)函数 y＝Atan (ωx＋φ)的周期是多少？ [提示] (1)不是．正切函数在每一个区间－π2＋kπ，π2＋kπ (k∈Z)上都是单调递增函数，但是不能说在定义域上是增函数． (2)T＝|ωπ |.
合作 探究 释疑 难
正 切函数 的定义 域、值 域问题
【 例 1 】 (1) 函 数 y ＝ tan x＋1 ＋ lg(1 － tan x) 的 定 义 域 是 ________．
(2)函数 y＝tan(sin x)的值域为________． (3)求函数 y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈－π3，π3的值域．
2．正切函数的性质
定义域、值域
定义域为
xx≠π2
＋kπ，k∈Z
，
值域为
R
奇偶性 周期
奇函数 _π _
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单调性 零点
单调增区间__－__π2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π_ __(k∈Z) kπ，k∈Z
数值大小．(难点、易错点) 应用，提升学生直观想象和数
4．掌握正切函数的定义域及正切曲 学运算核心素养.
线的渐近线．(重点)
情境 导学 探新 知
孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出 沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者 凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原 因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相 同的时间、相等的面积里，物体在直线状态下比在 斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．
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[拓展] (1)正切曲线在 x 轴上方的部分下凸，在 x 轴下方的部分 上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性．
(2)正切曲线是被与 y 轴平行的一系列直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 所隔 开的无穷多支形状相同的曲线组成的．这一系列直线也称为正切曲线 的渐近线，即无限接近但不相交．
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1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)正切函数既没有最大值也没有最小值． (2)正切函数的对称中心是(kπ，0)，k∈Z. (3)函数 y＝tan 2x 的周期是 2π.
() () ()
(2)定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z
，
关于原点对称，
因为 f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x
＝－f(x)，所以函数是奇函数．
正 切函数 的单调 性
角度一 求正切函数的单调区间 【例 3】 求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间． [思路探究] 由于 x 的系数小于零，故应将其进行变形，化为系 数为正，再根据正切函数单调性求解．
1．求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的 一般要求外，还要保证正切函数 y＝tan x 有意义即 x≠π2＋kπ，k∈Z； (2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域， 在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常 利用换元法，但要注意新“元”的范围．
(3)[解] 令 t＝tan x， 因为 x∈－π3，π3，所以 t＝tan x∈[－ 3， 3)， 所以 y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为 t＝1，所以 t＝1 时，y 取最大值 6， t＝－ 3时，y 取最小值 2－2 3， 所以函数 y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈－π3，π3时的值域为[2－ 2 3，6]．
4．函数 y＝tanx＋π4的单调增区间为________． kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z [令 kπ－π2<x＋π4<kπ＋π2，k∈Z， 得 kπ－34π<x<kπ＋π4， 即 y＝tanx＋π4的单调增区间为 kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z.]
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[提示] (1)√.正切函数的值域为 R，既没有最大值也没有最小 值．
(2)×.正切函数的对称中心是k2π，0，k∈Z. (3)×.函数 y＝tan 2x 的周期是π2. [答案] (1)√ (2)× (3)×
所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数定义域为
xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z
，
关于原点对称，
又 f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4＝－f(x)， 所以函数是奇函数．
1．函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：对于函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期 T＝|ωπ |. (3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函 数值重复出现．
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1．正切函数的定义 对于任意一个角 x，只要 x≠
π2＋kπ
，k∈Z，就有
唯一
确
定的正切值 tan x 与之对应，因此 y＝tan x 是一个函数，称为正切函
数．
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3．y＝tan2x－π4定义域为________．
xx≠k2π＋38π，k∈Z
[因为 2x－π4≠kπ＋π2，k∈Z，
所以 x≠k2π＋38π，k∈Z.]
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[答案] A [因为 y＝tan x，x∈R 的值域为 R，所以 y＝－3tan x ＋7 的值域也为 R.]
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[思路探究] (1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身 的定义域．
(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域． (3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
(1)x －π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
(2)[－tan 1，tan 1]
[(1)要使函数 y
＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)有意义，则t1a－n xta＋n 1x≥ >00，， 即－1≤tan x<1.
那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？
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问题 类比 y＝sin x，y＝cos x 的图像与性质． (1)y＝tan x 是周期函数吗？有最大(小)值吗？ (2)正切函数的图像是连续的吗？ 提示 (1)y＝tan x 是周期函数，且 T＝π，无最大值，也无最小 值． (2)正切函数的图像在定义域上不是连续的．
[思路探究] (1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数 图像来求．
(2)可按定义法的步骤判断．
π (1)3
[由于 ω＝3，故函数的周期为 T＝|ωπ |＝π3.]
(2)[解] ①由x≠kπ＋π2，k∈Z， tan x≠1，
得 f(x)的定义域为
xx≠kπ＋π2且x≠kπ＋π4，k∈Z
，
不关于原点对称，
[解] 根据题意，
tan x≥1， 得tanx＋π6≠0，
x＋π6≠π2＋kπk∈Z，
π4＋kπ≤x<2π＋kπ， 解得x≠－π6＋kπ，
x≠3π＋kπ，
(k∈Z)．
所以函数的定义域为π4＋kπ，3π＋kπ∪π3＋kπ，2π＋kπ(k∈Z)．
正 切 函 数 的 奇偶性 、周期 性
【例 2】 (1)函数 y＝4tan3x＋π6的周期为________． (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝tanta2nx－x－ta1n x； ②f(x)＝tanx－π4＋tanx＋π4.