武汉大学考研高等数学试卷及答案!答案!

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。

A ．f f不存在，存在y 0,1 x 0,1f f存在，不存在y 0,1 x 0,1f f，均存在 x 0,1 y 0,1f f，均不存在 x 0,1 y 0,1B ．C ．D ．1,x 0 22．函数f x 1 x的原函数为（）。

x 1 cos x ,x 0 ln 1 x 2x ,x 0A ．F xx 1 cos x sin x ,x 0 ln 1 x 2x 1,x 0B ．F xx 1 cos x sin x ,x 0 ln 1 x 2x ,x 0C ．F xx 1 sin x cos x ,x 0 ln 1 x 2x 1,x 0D ．F xx 1 sin x cos x ,x 03．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0２０２３年考研《数学三》真题及答案【解析版】4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数 an 1n与bn 1n均收敛，则“级数an 1n绝对收敛”是“bn 1n绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件*5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则A E0B ＝（A ．A B *B *A *0B A * B ．B A * A *B *0A B * C ．B A * B *A *0A B * D ．A B * A *B *B A *。

）6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。

1+ x 2 1+ e 2 x ⎰⎰《高等数学 B1》考试试卷（A 卷）一、 计算题：（每题 7 分，共 56 分）1. 求由方程ln xy = e x + y 所确定的隐函数 y = y (x ) 的导数dy .dx2. 求lim 2 - 1+ cos x .3. 求 limxsin t 3dt0 .x →0-1x →0+x cos t 2dtlim 1 ⎡⎛ x + 2 ⎫ + ⎛ x + 4 ⎫ + + ⎛ x + 2n ⎫⎤ 4. 求n →∞ n ⎢ n ⎪ n⎪ n ⎪⎥ . ⎣⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭⎦5. 求不定积分⎰ 1dx .π6. 求定积分 2 x (1- sin x )dx .7. 求方程 y '+2xy = xe - x 2的通解.8. 设 f '(x ) = e - x2,lim x →+∞f (x ) = 0, 求 +∞x 2f (x )dx . 0 二、(7 分) 证明当0 < x < π 时， sin x > 2x .2 π三、(10 分) 设抛物线 y = ax 2 + bx + c 过原点，当0 ≤ x ≤ 1时，y ≥ 0. 又已知 该抛物线与x 轴及直线 x = 1所围成的图形的面积为1，试确定a ,b , c , 使3 此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。

四、(7 分) 试判断函数 f (x ) = lim x2n -1 -1 2n的间断点及其类型。

n →∞x +1五、(10 分) 设函数 f (x ), g (x ) 满足 f '(x ) = g (x ), g '(x ) = 2e x - f (x ), 且f (0) = 0,g (0) = 2, 求 f (x ), g (x ) 的表达式。

六、(10 分)设函数 f (x ) 在[0, 3] 上连续，在(0, 3) 内可导，且f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1 ，试证：必存在ξ ∈(0,3), 使 f '(ξ ) = 0.⎰ ⎰1+ e 2 x +11+ e 2 x -⎨《高等数学 B1》标准答案（A 卷）一、1、y (xe x + y -1)；2、 1；3 、 0； 4、 + ；5、 1x (1- ye x + y)+ 2 2 ；6、π 2 - ；7、x = 1 2 +1- x 2；ln C 2 1 y ( 8 2 x C )e8、⎰+∞ x 2f (x )dx = 1x 3 f (x ) +∞ - 1 ⎰+∞ x 3 f '(x )dx3 0 3 0= 1limf (x ) + 1 (x 2e - x 2 + e - x 2 -1) +∞ = - 1 + 1 lim f '(x ) = - 1 3 x →+∞ x -3 60 6 3 x →+∞ -3x -4 6 二、证明：设 f (x ) = sin x ，则 f '(x ) = x cos x -sin x = cos x(x - tan x ) < 0 ，x所以在(0, π) 内 f (x ) 单调递减，故 f (x ) > 2三、a = - 5 ,b = 3, c = 04 2⎧⎪-1, | x |< 1, x = -1, x 2 π f ( ) 2 x 2 = 2 . 即证得结论。

一、武汉大学873线性代数考研真题汇编1．武汉大学873线性代数1998、2000、2002-2023、2023年考研真题，其中2023-2023、2023年有答案。

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二、2023年武汉大学873线性代数考研资料2．北京大学《高等代数》考研相关资料（1）北京大学《高等代数》[笔记+课件+提纲]①2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》考研复习笔记。

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②2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》本科生课件。

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③2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》复习提纲。

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（2）北京大学《高等代数》考研核心题库（含答案）①2023年武汉大学873线性代数考研核心题库之北京大学《高等代数》解答题精编。

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（3）北京大学《高等代数》考研题库[仿真+强化+冲刺]①2023年武汉大学873线性代数之高等代数考研专业课五套仿真模拟题。

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②2023年武汉大学873线性代数之高等代数考研强化五套模拟题及详细答案解析。

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武汉大学2020-2021第一学期高等数学B1期末试卷 A 卷1、（9分） 求极限: 011lim e 1x x x →⎛⎫− ⎪−⎝⎭. 2、（9分）已知曲线满足方程2e 0xy x y ++=，求曲线在点(0,1)−处的法线方程. 3、（10分）求由曲线e ,ln ,1,2x y y x x x ====所围成的图形的面积. 4、（10分）（1）求齐次线性微分方程20y y y ''''''−−=的通解；（2）求该方程满足初始条件(0)0,(0)(0)3y y y '''===的特解.（3）对于非齐次方程221e x y y y x ''''''−−=+，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.5、（9分）求极限lim nn n →∞⎛ ⎪⎝⎭.6、（7分）求不定积分x ⎰.7、（7分）设2()ln(1)f x x =+，计算反常积分20()d ()+2()5f x x f x f x +∞'+⎰.8、（7分） 求极限:2cos 1e d lim (sin )xt x tx x x −→+⎰.9、（7分）等角螺线的极坐标方程为e θρ=，在0θ=附近，其在直角坐标系下可由函数()y y x =表示，试求0d d y x θ=以及220d d yx θ=.10、（7分）计算星形线33cos ,sin x a t y a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的弧长，其中0,[0,2]a t π>∈. 11、（7分）计算函数231sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数；并讨论：是否存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ−内单调递增？说明理由. 12、（6分）求解常微分方程：532e 0x xy y x y '++=.13、（5分）设函数()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+−⎛⎫''=−+⎪⎝⎭⎰.武汉大学2019-2020第一学期高等数学B1期末试卷 A 卷 参考解答1、（9分） 求极限011lim e 1xx x →⎛⎫− ⎪−⎝⎭. 解： 200011e 1e 1lim lim lim e 1(e 1)x x x xx x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫−−−−⎛⎫−== ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5分0e 11lim 22x x x →⎛⎫−== ⎪⎝⎭ 9分2、（9分）已知曲线满足方程2e 0xy x y ++=，求曲线在点(0,1)−处的法线方程. 解：对方程2e 0xy x y ++=两边关于x 求导得：212e ()0xy y y xy ''+++=，4分 代入0,1x y ==−解得0,11x y y ==−'=.7分 因此，法线的斜率为1−,在点(0,1)−处的法线方程为：1y x =−−.9分3、（10分）求由曲线e ,ln ,1,2x y y x x x ====所围成的图形的面积. 解：显然当[1,2]x ∈时有e ln x x >，因此面积()21e ln d x S x x =−⎰5分22221111e d ln d e ln d x x x x x x x =−=−⎰⎰⎰8分 222211e e ln d ln e e 2ln 21x x x x =−−+=−−+⎰10分4、（10分）（1）求齐次线性微分方程20y y y ''''''−−=的通解；（2）求该方程满足初始条件(0)0,(0)(0)3y y y '''===的特解.（3）对于非齐次方程221e x y y y x ''''''−−=+，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.解：(1) 该微分方程的特征方程为：3220λλλ−−=， 4分它有特征根：00,λ=21,λ=−32,λ=故而该齐次线性微分方程的通解为：2123e e x x y C C C −=++6分 （2）代入初值条件得方程组：12323230,23,43C C C C C C C ++=−+=+=，解得：1230,1,1C C C ==−=，得微分方程的特解为：2e e x x y −=−. 8分 （3）特解的形式为：2123()e x y C x x C C x *=++.10分5、（9分）求极限lim nn →∞⎝⎭.解： lim ln lim 1lim een n nn n n n →∞→∞⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭→∞== ⎪⎝⎭5分12eee n n n===9分6、（7分）求不定积分x ⎰.解：()21d arcsin arcsin x x x =⎰4分 1arcsin C x=−+7分7、（7分）设2()ln(1)f x x =+，计算反常积分2()d ()+2()5f x x f x f x +∞'+⎰. 解： 2200()1d d ()()+2()5(()+1)4f x x f x f x f x f x +∞+∞'=++⎰⎰ 3分 2001()11ln(1)1arctan arctan 2222f x x +∞+∞+++==5分 11arctan 222π⎛⎫=− ⎪⎝⎭7分8、（7分） 求极限:2cos 1e d lim (sin )xt x tx x x −→+⎰.解：22cos cos 112e d e d lim lim(sin )2xxt t x x ttx x x x−−→→=+⎰⎰3分2cos 0e sin lim 4x x xx−→−= 5分11e 4−=− 7分9、（7分）等角螺线的极坐标方程为e θρ=，在0θ=附近，其在直角坐标系下可由函数()y y x =表示，试求0d d y x θ=以及220d d yx θ=.解：可以将方程改写成参数方程e cos e sin x y θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则d d d 0d 0e cos e sin cos sin e co 1s e sin cos d n d si y xyx θθθθθθθθθθθθθθθθθθ=======+−−=+4分()()222(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )2s d d d 2d d d d d d d co s n 0i d c =2e os e sin d y x x x yx θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ====−+++−−=−== 7分10、（7分）计算星形线33cos ,sin x a t y a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的弧长，其中0,[0,2]a t π>∈. 解：曲线弧长220s t t ππ==⎰⎰4分220312cos sin d 6a t a t t t a ππ===⎰⎰7分11、（7分）计算函数231sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数；并讨论：是否存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ−内单调递增？说明理由.解：当0x ≠时，323131()12sincos f x x x x x'=+−，另一方面， 2301sin(0)lim1x x x x f x→+'==，因此32313112sin cos ,0()1,0x x f x x x x x ⎧+−≠⎪'=⎨⎪=⎩ 3分对任意0δ>，取0x =，显然00x δ<<且01x <，代入()f x '可得： 003()10f x x '=−<，由于导函数()f x '在0x 处连续，存在0ε>使得00[,](,)x x εεδδ−+⊂−，且()f x '在区间00[,]x x εε−+内小于0，即有()f x 在区间00[,]x x εε−+单调递减，因此，不存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ−内单调递增.7分12、（6分）求解常微分方程：532e 0x xy y x y '++=.解：显然0y ≡是方程的特解；当0y ≠时方程两边同除以3xy 的方程：3242e 0x y y y x x−−'++=， 令2z y −=，有3d d 2d d z y y x x−=−，原方程就可化为如下线性方程： 3分2442e x z y x x−'=+，用一阶线性微分方程的求解公式得：24(2e )x y z x C −==+ 6分13、（5分）设函数()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+−⎛⎫''=−+⎪⎝⎭⎰. 证明：令()()d x aF x f t t =⎰，由于()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，因此()F x 在区间[],a b 上有连续的三阶导数，取02a bx +=，由泰勒公式得： 23010000010()()()()()()()(),(,)2!3!F x F F a F x F x a x a x a x a x ξξ''''''=+−+−+−∈ 23020000020()()()()()()()(),(,)2!3!F x F F b F x F x b x b x b x x b ξξ''''''=+−+−+−∈3分利用00()b x a x −=−−，上述两式相减得：31201020()()()()()(),(,),(,)3!2F F b a F b F a F x b a a x x b ξξξξ''''''+−⎛⎫'−=−+∈∈ ⎪⎝⎭即有：312()()()()d ()2242baf f a b b a f x x b a f ξξ''''++−⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 由于()f x ''在区间[],a b 上连续，由介值定理可知至少存在一点(,)a b ξ∈使得12()()()2f f f ξξξ''''+''=. 因此3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+−⎛⎫''=−+⎪⎝⎭⎰. 5分。

2000年数学分析一.证明：由0<y 0<1及y 1n +=y n (2 -y n )得0<y 1≤(2)y 2(y 00-+)2=1,进而由归纳法易证0<y n 1≤(n=0,1,) .再由y 1n +=y n (2 -y n )得n 1n y y +=2-y n 1≥( n=0,1,) ,于是{y n }为单调上升且有上界数列，因此∞→n lim y n =a 存在.对递归关系y 1n +=y n (2 -y n )两边取极限得a=a(2-a),解得a=1(或a=0舍去)，故∞→nli m y n =1.二.证明：由题设知f(x)在[0,+)∞上必有界,设)x (f M ≤.对ε∀>0,有l dt )t (f x1x-⎰=⎰-1dy )l )yx (f (dy L )yx (f )L M (20⎰+-≤ε+dy L )yx (f 1)L M (2⎰+-ε,由L )x (f lim x =+∞→知对上述,0X ,01>∃>ε使得当x>X 1时有2L )x (f ε<-，令X=1X )L M (2ε+,则当x>X 时有dy L )yx (f 1)L M (2⎰+-ε<2ε,于是l dt )t (f x1x-⎰<22εε+=ε.因此+∞→x liml dt )t (f x1x=⎰.三.解：由f(x)=arctgx 知f '(x)=2x11+,f(0)=0,于是由Lagrange 中值公式得arctgx=2)x (1x θ+,从而a r c t g xx a r c t g x x 22-=θ,因arctgxx arctgx x lim20x -+→=30x xarctgxx lim-+→=220x x3x111lim+-+→=31,故31lim 0x =+→θ.四.解:作Lagrange 函数L(x,y,z,λ)=x )1cz by ax (z y 222-+++++λ,并依次令L 对x,y,z,λ的偏导数为零得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=01cz by ax L 0c z 2L 0b y 2L 0a x 2L z yx λλλλ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=++=++=++=----1222122212221222)c b a (2)c b a (c z)c b a (b y)c b a (a x λ易知在题设条件下f 必有最小值，于是f 的最小值为f min =)c b a (1222++.五.解：利用高斯公式有 A=⎰⎰∑++dxdyz dzdx y dydz x222=21I I dv )]c z ()b y ()a x [(2dv )c b a (2dv)z 2y 2x 2(+=-+-+-+++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ由对称性知I 2=0,于是A=2)c b a (r 38dv )c b a (3++=++⎰⎰⎰Ωπ六.证明：因为t ),0[+∞∈时,)1u (eu1t e t sin e 12tu tu 22≥≤≤---,而且111121euedu ue-+∞-∞+-=-=⎰收敛,故由Weierstrass 判别法知含参变量的广义积分⎰+∞-1tutdu sin e2在t ),0[+∞∈中一致收敛从而⎰+∞-0tutdu sin e 2在t ),0[+∞∈中一致收敛.七.证明：由)x (ψ是连续有界函数知，存在M>0,使得)x (ψM ≤, 再由ϕ满足Lipschitz 条件)()(1x y x y n n -+=))(())((1x y x y n n --ϕϕ≤α)()(1x y x y n n --≤≤ nα)()(01x y x y -≤ n α（M+00)(y y -ϕ），于是)x (y )x (y )x (y )x (y )x (y )x (y )x (y )x (y n 1n 2p n 1p n 1p n p n n p n -+-+-≤-+-+-+-+++ ααϕ--+≤1)y )y (M (n000>∀ε ,令N=[ln]ln /)()1(00αϕαεy y M -+-,则当n>N 时，对一切自然数p 及x R ∈有ε<-+)x (y )x (y n p n .由此知{y )x (n }在(-,∞+∞)上一致收敛。

研究生数学导论试题答案一、选择题1. 以下哪个选项是微积分的基本定理？A. 函数在某点可导，则该点极限存在B. 连续函数在闭区间上一定可积C. 如果函数在闭区间上可积，则其在该区间上必定一致连续D. 一个函数的导数为零的点必定是局部极值点答案：B2. 线性代数中，特征值和特征向量的定义是什么？A. 一个矩阵的特征向量是该矩阵的一组基B. 一个矩阵的特征值是其行列式的值C. 一个矩阵的特征向量对应的特征值是该矩阵对该向量的线性变换的缩放因子D. 一个矩阵的特征值是其逆矩阵的条件数答案：C3. 在概率论中，条件概率和独立事件的关系如何？A. 两个独立事件的联合概率等于各自概率的乘积B. 条件概率总是大于或等于0.5C. 条件概率是某个事件在另一个事件发生的情况下的概率D. 以上都是答案：A4. 以下哪个选项是实变函数的主要特性？A. 有界性B. 连续性C. 可积性D. 可微性答案：B5. 拓扑学中的紧致性指的是什么？A. 拓扑空间中的每个序列都有一个收敛的子序列B. 拓扑空间是完备的C. 拓扑空间中的每个开覆盖都有一个有限的子覆盖D. 拓扑空间是连通的答案：C二、填空题1. 设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，其在x=1处的泰勒展开的零阶近似是__________。

答案：12. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式值为__________。

答案：-23. 在概率论中，如果事件A和B相互独立，那么P(A ∪ B) = P(A) + P(B)，除非__________。

答案：A和B同时发生4. 函数g(x) = sin(x)在区间[0, 2π]上的最大值为__________。

答案：15. 一个拓扑空间是离散的，当且仅当其每一个单点集合都是__________。

答案：开集三、解答题1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，则存在至少一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

武汉大学2018-2019年大学高等数学试题一、判断题1. 行列式的行数和列数可以相同也可以不同。

（ ）2.n 阶行列式共有n 2 个元素，展开后共有n ！项。

（ ）3. n 阶行列式展开后的n ！项中，带正号的项和带负号的项各占一半。

（ ）4. 行列式 D 中元素a ij 的余子式M ij 与其代数余子式 A ij 符号相反。

（ ）5. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积。

（ ）6. 行 列 式 与 它 的 转 置 行 列 式 符 号 相 反 。

（ ）7. 行列式中有一行的元素全部是零则行列式的值为零。

（ ）8. 行列式中有两行元素相同，行列式的值为零。

（ ）9. 行列式中有两行元素成比例，行列式的值为零。

（ ） 10．互换行列式的两行，行列式的值不变。

（ ） 11. 行列式中某一行的公因子k 可以提到行列式符号之外。

( ) 12. 行列式中若所有元素均相同，则行列式的值为零。

（ ） 13. 行列式的值等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积。

（ ）14. 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之 和 为 零 。

（ ） 15. 齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 ，则它仅有零解。

（ ）二、填空题1.x y= 。

- y x2.sin θ cos θ -cos θsin θ= 。

21 2 3 3. 2 4 6 =。

3 4 52 -2 0 4．3 1 0 =。

4 5 0a x x 5． xb x =。

x x c1 1 16. 2 34 9 x =0，则x = 。

x2 2 2 7.已知D = 03 1, 则M 11 - M 12 + M 13 =。

0 0 -5x y x + y 8． yx + yx x + y x y= 。

9．= 。

a b c 10． a 2b 2c 2 =。

b +c c + a a + b2 13 411. 已知 D =1 023 , 则 A + A + 2A=。