2019版一轮高考数学复习练习：第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 解析 - 用于合并1

课时规范练
A组基础对点练
1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.
答案：A
2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()
A．∀x∈R，|x|＋x2＜0
B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0
D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0
解析：命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20＜0”，故选C.
答案：C
3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0
解析：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.
答案：C
4．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为()
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1
B．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1
C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1
D．∃x≤0，总有(x＋1)e x≤1
解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1的否定是綈p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.
答案：B
5．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()
A．∃x0∈R，x20＋1＞0B．∃x0∈R，x20＋1≤0
C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
解析：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”，所以选B.
答案：B
6．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()
A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x0∉R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x0
解析：全称命题的否定是特称命题：∃x0∈R，x20＝x0，选D.
答案：D
7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∉B
B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x0∉A,2x0∈B
D．綈p：∃x0∈A,2x0∉B
解析：由命题的否定易知选D，注意要把全称量词改为存在量词．
答案：D
8．命题“存在实数x0，使x0＞1”的否定是()
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x0，使x0≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x0，使x0≤1
解析：由特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对任意实数x，都有x≤1，故选C.
答案：C
9．已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．綈p∧q
C ．p ∧綈q
D ．綈p ∧綈q
解析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞1
3＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；
对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0,1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题． 综上，綈p ∧q 是真命题，故选B. 答案：B
10．已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1＞0，则綈p 是( ) A ．∀x ∈R ，e x －x －1＜0 B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0 C ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1＜0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≤0
解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1＞0，则綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0.故选B. 答案：B
11．已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0.则下面结论正确的是( )
A ．p ∧q 是真命题
B ．p ∧q 是假命题
C ．綈p 是真命题
D ．p 是假命题
解析：对于p ：取α＝π
2，则cos(π－α)＝cos α，
所以命题p 为真命题；
对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 为真命题．由此可得p ∧q 是真命题．故选A. 答案：A
12．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③
D ．②④
解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p
∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C. 答案：C
13．已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－5x 0－5≤0”则綈p 为__________． 答案：∀x ∈R ，e x －5x －5>0
14．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根． 则下列命题为真命题的是__________． ①p ∧綈q ②綈p ∧q ③綈p ∧綈q ④p ∧q
解析：命题p 为真命题，命题q 为假命题， 所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题． 答案：①
15．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π
2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x
＝π
2
对称．则下列判断正确的是__________． ①p 为真 ②綈q 为假 ③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真
⑤綈p ∧綈q 为真 ⑥綈(p ∨q )为真． 解析：p 、q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假， 綈p ∧綈q 为真，綈(p ∨q )为真． 答案：③⑤⑥
B 组 能力提升练
1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
解析：命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0，是假命题；q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，是真命题．因此p ∨q 是真命题，其他选项都不正确，故选A.
答案：A
2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )∨(綈q ) B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨q
解析：綈p ：甲没有降落在指定范围；綈q ：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，
即綈p 或綈q 发生．故选A. 答案：A
3．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有4x >0；命题q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧q
D ．p ∧(綈q )
解析：命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以p ∧q 是假命题，(綈p )∧(綈q )是假命题，(綈p )∧q 是假命题，p ∧(綈q )是真命题，故选D. 答案：D
4．(2018·开封模拟)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝3
2，
则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4
解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x
在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4≤2，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题，选C.
5．(2018·河北三市联考)命题p ：∃a ∈⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
4，使得函数f (x )＝⎪⎪⎪
⎪x ＋a x ＋1在⎣⎡⎦⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞上无零点，则下列命题中是真命题的是( )
A ．綈p
B ．p ∧q
C ．(綈p )∨q
D ．p ∧(綈q )
解析：设h (x )＝x ＋
a
x ＋1
.当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝⎛⎭⎫12＝16>0, 则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝⎛⎭⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞上有零点，即q 是假命题，故选D. 答案：D
6．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，f (x )>0 解析：∵f ′(x )＝3cos x －π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x )<f (0)＝0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x 0)≥0.故选C. 答案：C
7．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[－6，－2] C ．(2,6)
D ．(－6，－2)
解析：由题意知不等式x 2＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2－4(2m －3)≤0，解得2≤m ≤6，所以实数m 的取值范围是[2,6]，故选A. 答案：A
8．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x ＋1，则关于f (x )，g (x )的语句为假命题的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )>g (x ) B ．∃x 1，x 2∈R ，f (x 1)<g (x 2)
C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝g (x 0)
D ．∃x 0∈R ，使得∀x ∈R ，f (x 0)－g (x 0)≤f (x )－g (x )
解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝e x －1，于是当x <0时F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >0时F ′(x )>0，F (x )单调递增，从而F (x )有最小值F (0)＝0，于是可以判断选项A 为假，其余选项为真，故选A. 答案：A
9．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2
＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数
m 的取值范围为( ) A ．m ≥2
B ．m ≤－2
C ．m ≤－2或m ≥2
D ．－2≤m ≤2
解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得
⎩
⎨⎧
m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 答案：A
10．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(綈q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( ) A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名 C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
解析：(綈q )∧r 是真命题意味着綈q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D. 答案：D
11．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：由题意可知，只需m ≥tan x 的最大值．
∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，y ＝tan x 为增函数，当x ＝π
4时，y ＝tan x 取最大值1. ∴m ≥1. 答案：1
12．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π
4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 解析：由“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π
4，m ≤tan x ＋1”为真命题，可得－1≤tan x ≤1，∴0≤tan x ＋1≤2，∴实数m 的最大值为0. 答案：0
13．命题“存在x 0＞－1，x 2
0＋x 0－2 018＞0”的否定是________．
解析：特称命题的否定是全称命题，故命题“存在x 0＞－1，x 20＋x 0－2 018＞0”的否定是“任意x ＞－1，x 2＋x －2 018≤0”． 答案：“任意x ＞－1，x 2＋x －2 018≤0”
14．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为__________．
解析：由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，可得－2＜m ＜2，若命题p 、q 均为真命题，则此时－2＜m ≤－1.因为p ∧q 为假命题，所以命题p 、q 中至少有一个为假命题，所以m ≤－2或m ＞－1. 答案：m ≤－2或m ＞－1。