2022-2023学年北京市昌平二中学南校区数学八年级第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷
考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在MNP ∆中，60,,P MN NP MQ PN ∠=︒=⊥，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG NQ =，若MNP ∆的周长为12，则MGQ ∆的周长是 （ ）
A ．823+
B ．83+
C ．63+
D ．623+
2．张老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班AB 型血的人数是（ ） 组别 A 型 B 型 AB 型 O 型 频率 0.4
0.35 0.1 0.15
A ．16人
B ．14人
C ．6人
D ．4人
3．能使22
x
x
x x =--成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2
B ．x ≥0
C ．x ≥2
D ．x ＞2
4．如图，在四边形ABCD 中，121,90BAD B D ∠=︒∠=∠=︒，在,BC CD 上分别找到点M ，N ，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为（ ）
A ．118°
B ．121°
C ．120°
D ．90°
5．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大
值是( ) A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
6．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,3)和(2,0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当ABC 的周长最小时，点C 的纵坐标是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．若分式229
43
x x x --+的值为零，则x 的值为( )
A ．3
B ．3或-3
C ．-3
D ．0
8．某公司招聘职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行测试．测试结果如表（满分均为10分）： 应聘者/项目 甲 乙 丙 丁 学历 7 9 7 8 经验 8 8 9 8 工作态度
9
7
9
8
如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：2：2的比例确定各人的最终得分，并以此为依据确定录取者，那么（ ）将被录取． A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
9．有下列五个命题：①如果20x >，那么0x >；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，已知∠1＝∠2，AC ＝AD ，增加下列条件：其中不能使△ABC ≌△AED 的条件（ ）
A ．A
B ＝AE B ．B
C ＝E
D C ．∠C ＝∠D D ．∠B ＝∠E
11．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）
A ．k ＞0，b ＞0
B ．k ＞0，b ＜0
C ．k ＜0，b ＞0
D ．k ＜0，b ＜0
12．下列四组数据，能组成三角形的是（ ） A ．2,2,6
B ．3,4,5
C ．359,,
D ．5,8,13
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为_______． 14．当x ________时，分式
1
x
x -无意义. 15．有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A 点处行走的路程是________．
16．分式值
2
||1
2
a a a -+-为0，则a =____________________． 17．已知a-b=3，ab=28，则3a
b 2-3a 2b 的值为_________．
18．如图,已知一次函数()0y ax b a =+≠和()0y kx k =≠的图象交于点P ,则二元一
次方程组220y ax b
y kx --=⎧⎨--=⎩
的解是 _______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，垂足为G ，且AD ＝AB ，∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ．
（1）连接BD ，求证：△ABD 是等边三角形；
（2）试猜想：线段AE 、AF 与AD 之间有怎样的数量关系？并给以证明． 20．（8分）计算及解方程组
()
1
1622793
⨯+÷-
()(
)(
)()
225132233223---+
()3解方程组：34165633x y x y +=⎧⎨
-=⎩
①
② 21．（8分）如图所示、△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D 在AB 上．
（1）求证：△AOC ≌△BOD ； （2）若AD=1，BD=2，求CD 的长．
22．（10分）如图，在直角坐标系中，()()1,530,(),4,3A B C ---，
.
（1）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △； （2）写出点1C 的坐标.
23．（10分）苏科版《数学》八年级上册第35页第2题，介绍了应用构造全等三角形的方法测量了池塘两端A 、B 两点的距离．星期天，爱动脑筋的小刚同学用下面的方法也能够测量出家门前池塘两端A 、B 两点的距离．他是这样做的：
选定一个点P ，连接PA 、PB ，在PM 上取一点C ，恰好有PA ＝14m ，PB ＝13m ，PC ＝5m ，BC ＝12m ，他立即确定池塘两端A 、B 两点的距离为15m ． 小刚同学测量的结果正确吗？为什么？
24．（10分）如图，已知ABC ADE ∆≅∆，25DAC ∠=︒，40B ∠=︒，75E ∠=︒，请你求出ACB ∠和BAD ∠的大小．
25．（12分）已知a ,b 分别是65. （1）求a ，b 的值； （2）求3a -b 2的值.
26．若在一个两位正整数N 的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N 的“至善数”，如34的“至善数”为354；若将一个两位正整数M 加5后得到一个新数，我们称这个新数为M 的“明德数”，如34的“明德数”为1． （1）26的“至善数”是 ，“明德数”是 ．
（2）求证：对任意一个两位正整数A ，其“至善数”与“明德数”之差能被45整除；
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分） 1、D
【解析】根据等腰三角形的性质进行求解，得到MGQ ∆各边长即可得出答案． 【详解】∵MNP △ 中，60,P MN NP ∠=︒= ∴MNP △ 是等边三角形 ∵MQ PN ⊥
∴4PM PN MN === ，2NQ NG == ，MQ α= ，30QMN =︒∠ ，
60PNM =︒∠
∵NG NQ = ∴G QMN =∠∠ ∴QG MQ = ∵MNP ∆的周长为12
∴4MN = ，2NG = ，MQ =
∴MGQ △的周长是6+ 故答案为：D ． 【点睛】
本题考查了三角形的周长问题，通过等腰三角形的性质求出各边长是解题的关键． 2、D
【分析】根据题意计算求解即可． 【详解】由题意知：共40名学生， 由表知：P （AB 型）=
0.1
0.1
0.10.40.350.10.151
． ∴本班AB 型血的人数=40×
0.1=4名．
【点睛】
本题主要考查了概率的知识，正确掌握概率的知识是解题的关键． 3、D
【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x 的取值范围即可．
【详解】由题意可得：0
20x x ≥⎧⎨-⎩
＞，解得：x ＞1．
故选D ． 【点睛】
二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据． 4、A
【分析】如图，作A 关于BC 和CD 的对称点A '，A ''，连接A A '''，交BC 于M ，交
CD 于N ，则A A '''的长度即为AMN 周长的最小值．根据121∠=︒DAB ，得出
59'''∠+∠=︒AA M A ．根据''∠=∠MA A MAA ，NAD A ''∠=∠，且''∠+∠=∠MA A MAA AMN ，NAD A ANM ''∠+∠=∠，可得
''AMN ANM MA A MAA NAD A ∠+∠=∠++∠+∠'∠'，即可求出答案．
【详解】如图，作A 关于BC 和CD 的对称点A '，A ''，连接A A '''，交BC 于M ，交
CD 于N ，则A A '''的长度即为AMN 周长的最小值．
∵121∠=︒DAB ， ∴59'''∠+∠=︒AA M A ．
∵''∠=∠MA A MAA ，NAD A ''∠=∠，且''∠+∠=∠MA A MAA AMN ，
NAD A ANM ''∠+∠=∠，
∴
()
''''2259118AMN ANM MA A MAA NAD A AA M A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=⨯︒='''︒
． 故选：A ．
本题考查两角度数和的求法，考查三角形性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 5、C
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边长的取值范围，再结合已知条件求出第三边长的最大整数值，即可求出三角形的周长最大值． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5 ∴5－2＜第三边长＜5＋2 解得：3＜第三边长＜7 ∵第三边长为整数， ∴第三边长可以为4、5、6 ∴第三边长的最大值为6
∴三角形的周长最大值为2＋5＋6=13 故选C ． 【点睛】
此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围和求三角形的周长，掌握三角形的三边关系和三角形的周长公式是解决此题的关键． 6、C
【分析】如解析图作B 点关于y 轴的对称点B′,连接AB′交y 轴一点C 点，根据两点之间线段最短，这时△ABC 的周长最小，求出直线AB′的解析式为2y x =+，所以，直线AB′与y 轴的交点C 的坐标为（0，2）.
【详解】作B 点关于y 轴的对称点B′,连接AB′交y 轴一点C 点，如图所示：
∵点A 、B 的坐标分别为(1,3)和(2,0)， ∴B′的坐标是（-2,0）
∴设直线AB′的解析式为y kx b =+，将A 、B′坐标分别代入，
302k b k b =+⎧⎨
=-+⎩解得1
2k b =⎧⎨=⎩
∴直线AB′的解析式为2y x =+ ∴点C 的坐标为（0,2） 故答案为C. 【点睛】
此题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何问题的综合，解题关键是根据两点之间线段最短得出直线解析式. 7、C
【分析】分式值为零的条件：分子为0且分母不为0时，分式值为零．
【详解】解：由题意得2290430
x x x ⎧-=⎨-+≠⎩，解得31 3x x x =±⎧⎨≠≠⎩，，则x=-3
故选C ． 【点睛】
本题考查分式值为零的条件，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式值为零的条件，即可完成． 8、C
【分析】根据加权平均数的公式112212n n
n
x w x w x w w w w ++++++ 分别计算出四人的平均得分，
从而得出答案．
【详解】解：甲的平均得分为718292
8.25
⨯+⨯+⨯=（分），
乙的平均得分为918272
7.85
⨯+⨯+⨯=（分），
丙的平均得分为719292
8.65
⨯+⨯+⨯=（分），
丁的平均得分为818282
8.05
⨯+⨯+⨯=（分），
∵丙的平均得分最高， ∴丙将被录取 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的求法是解题的关键． 9、A
【分析】①根据任何非零数的平方均为正数即得； ②根据两直线平行内错角相等即得；
③根据直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短即得； ④根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即得；
⑤根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角即得． 【详解】∵当0x <时，20x > ∴命题①为假命题；
∵内错角相等的前提是两直线平行 ∴命题②是假命题；
∵直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，简称“垂线段最短” ∴命题③是真命题；
2=有理数 ∴命题④是假命题；
∵在一个钝角三角形中，与钝角相邻的外角是锐角，且这个锐角小于钝角 ∴命题⑤是假命题． ∴只有1个真命题． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了平方根的性质，平行线的性质，垂线公理，无理数的定义及三角形外角的性质，正确理解基础知识的内涵和外延是解题关键． 10、B
【解析】∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB ， ∴∠CAB=∠DAE ，
A 、添加AB=AE 可利用SAS 定理判定△ABC ≌△AED ，故此选项符合题意；
B 、添加CB=DE 不能判定△AB
C ≌△AE
D ，故此选项符合题意；
C 、添加∠C=∠
D 可利用ASA 定理判定△ABC ≌△AED ，故此选项符合题意； D 、添加∠B=∠
E 可利用AAS 定理判定△ABC ≌△AED ，故此选项符合题意； 故选B ．
【点睛】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若
有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11、C
【解析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【详解】∵一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限，
∴k ＜0，b ＞0，
故选C ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数
y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，b ＞0时图象在一、二、四象限．
12、B
【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
【详解】A. ∵2+2<6，∴2，2，6不能组成三角形；
B.∵3+4>5，∴3，4，5能组成三角形；
C.∵3+5<9，∴3，5，9不能组成三角形；
D.∵5+8=13，∴5，8，13不能组成三角形；
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、50+0.3x≤1200
【分析】至多意思是小于或等于．本题满足的不等关系为：制版费+单张印刷费×数量≤1．
【详解】解：根据题意，该公司可印刷的广告单数量x(张)满足的不等式为：500.3x 1200+≤
故答案为：500.3x 1200+≤．
14、x =1
【解析】分式的分母等于0时，分式无意义.
【详解】解：当10x -=即1x =时，分式无意义.
故答案为：1x =
【点睛】
本题考查了分式无意义的条件，理解分式有意义无意义的条件是解题的关键.
15、30米
【分析】利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A 点时，恰好沿着360°
÷24°=15
边形的边走了一圈，即可求得路程．
【详解】解：2×
（360°÷24°）=30米． 故答案为30米．
【点睛】
本题需利用多边形的外角和解决问题．
16、-1
【分析】根据分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0，列出方程和不等式即可得出结论． 【详解】解：∵分式2||12
a a a -+-的值为0 ∴21020a a a ⎧-=⎨+-≠⎩
解得：a=-1
故答案为：-1．
【点睛】
此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0是解决此题的关键．
17、-252
【分析】先把3ab 2-3a 2b 进行化简，即提取公因式-3ab ，把已知的值代入即可得到结果.
【详解】解：因为a-b=3，ab=28，
所以3ab 2-3a 2b=3ab(b-a)= -3ab(a-b)= -3×
28×3=-252 【点睛】
本题主要考查了多项式的化简求值，能正确提取公因式是做题的关键，要把原式化简成与条件相关的式子才能代入求值.
18、40
x y =-⎧⎨=⎩ 【分析】2y ax b --=是()0y ax b a =+≠图像上移2个单位，20y kx --=是()0y kx k =≠图像上移2个单位，所以交点P 也上移两个单位，据此即可求得答案.
【详解】解：∵2y ax b --=是()0y ax b a =+≠图像上移2个单位得到， 20y kx --=是()0y kx k =≠图像上移2个单位得到，
∴ 交点P （-4，-2），也上移两个单位得到P ＇(-4，0)，
∴
++2
+2
y ax b
y kx
=
⎧
⎨
=
⎩
的解为
4
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
即方程组
2
20
y ax b
y kx
--=
⎧
⎨
--=
⎩
的解为
4
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
故答案为：
4
x
y
=-⎧
⎨
=
⎩
.
【点睛】
此题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图像的交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）AE+AF＝AD.证明见解析．
【分析】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝
1
120=60
2
⨯︒︒，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出AF＝BE，即可求解．
【详解】（1）证明：连接BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝1
2
∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴
1
120=60
2
BAD DAC
∠∠⨯︒︒
＝＝，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）猜想：AE+AF＝AD，
理由如下：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，AB＝BD＝AD ∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE 与△ADF 中，
60DBE DAF BD AD BDE ADF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BDE ≌△ADF （ASA ），
∴AF ＝BE ，
∴AB ＝BE +AE ＝AF +AE ＝AD
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
20、(
)13；(
)2-()6312x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
． 【分析】（1）根据二次根式四则混合运算法则运算即可；
（2）先运用完全平方公式和平方差公式计算，然后计算加减即可；
（3）运用加减消元法解答即可．
【详解】()1
解：原式=
=
=
； ()2
原式()511812=---
66=-
=- ()341635633x y x y +=⎧⎨-=⎩
①② 解:3⨯①得91248,x y +=③
2⨯②得,101266,x y -=④
③+④得：19114,x =
解得：6,x =
把6,x =代入①得：12y 则方程组的解为612x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
． 【点睛】
本题考查了二次根式的四则混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则和方法是解答本题的关键．
21、（1）证明见解析；（2）CD
．
【分析】（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC ，又因为△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，所以OC=OD ，OA=OB ，则△AOC ≌△BOD ；
（2）由（1）可知△AOC ≌△BOD ，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°
，则CD ===
【详解】（1）证明：∵∠DOB=90°
-∠AOD ，∠AOC=90°-∠AOD ， ∴∠BOD=∠AOC ，
又∵OC=OD ，OA=OB ，
在△AOC 和△BOD 中，
OC OD AOC BOD OA OB ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝
∴△AOC ≌△BOD （SAS ）；
（2）解：∵△AOC ≌△BOD ，
∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，
∴CD ==22、（1）见解析；（2）（4，3）
【分析】（1）根据轴对称的定义确定出A 1，B 1，C 1的位置，然后用线段顺次连接即可； （2）由点位置直接写出坐标．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）点C 1的坐标为：（4，3）．
【点睛】
此题主要考查平面坐标系有关知识、轴对称变换，正确理解轴对称的定义是解题的关键．
23、小刚同学测量的结果正确，理由见解析.
【分析】由勾股定理的逆定理证出△BCP 是直角三角形，∠BCP=90°，得出∠ACB=90°，再由勾股定理求出AB 即可．
【详解】解：小刚同学测量的结果正确，理由如下：
∵PA ＝14m ，PB ＝13m ，PC ＝5m ，BC ＝12m ，
∴AC ＝PA ﹣PC ＝9m ，PC 2+BC 2＝52+122＝169，PB 2＝132＝169，
∴PC 2+BC 2＝PB 2，
∴△BCP 是直角三角形，∠BCP ＝90°，
∴∠ACB ＝90°，
∴AB 22A BC C +22912+＝15（m ）．
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
24、75︒；40︒
【分析】根据全等三角形的性质及三角形的内角和即可求解.
【详解】∵ABC ADE ∆≅∆
∴ACB ∠=75E ∠=︒，40D B ∠=∠=︒
∴18065BAC EAD D E ∠=∠=︒-∠-∠=︒
∵25DAC ∠=︒
∴BAD ∠=40BAC DAC ∠-∠=︒.
【点睛】
此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知全等三角形的性质.
25、（1）
【分析】（1范围，再两边都乘以-1，再两边都加上6，即可求出a、b；（2）把a、b的值代入求出即可．
【详解】（1）∵23，
∴-3＜-2，
∴3＜4，
∴a=3，
（2）3a-b2=3×3-（2．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小和有理数的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．26、（1）236，2；（2）见解析.
【分析】（1）按照定义求解即可；
（2）设A的十位数字是a，个位数字是b，表示出至善数和明德数，作差即可证明．【详解】（1）26的至善数是中间加3，故为236，明德数是加3，故为2．
故答案为：236，2；
（2）设A的十位数字是a，个位数字是b，则它的至善数是100a+30+b，明德数是
10a+b+3．
∵100a+30+b﹣（10a+b+3）=90a+43=43（2a+1）
∴“至善数”与“明德数”之差能被43整除．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，理解“明德数”、“至善数”的定义是解答本题的关键．。