常见的四面体外接球问题.高中数学辅导

常见的四面体外接球问题.高中数学辅导
(南宁许兴华选编)
我们知道 , 每个四面体都有外接球 , 球心就是各条棱的中垂面的交点 , 这个点到各个顶点的距
离都相等 . 而给出一个四面体求它的外接球半径 , 是一类常见的问题 . 下面以近几年的高考题为例来
说明几类特殊四面体的外接球半径的求法 .
1.等腰四面体的外接球
三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面体 , 从长方体的一个顶点出发的三条面对角线 , 以
及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个等腰四面体 .
设等腰四面体的三条棱长分别是 a , b , c , 通过构造长方体 , 可以求得它的外接球半径为
2 .直角四面体的外接球
同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫做直角四面体 . 从长方体的一个顶点出发的三条棱 ,
以及另三个端点的连线可以构成一个直角的四面体 .
设直角四面体的三条直角边长分别是 a , b ,c , 通过构造长方体 , 可以求得它的外接球半径为
[评注] 求一个特殊四面体的外接球半径 , 关键是要分析清楚三棱锥的结构特征 .
3 . 正三棱锥的外接球
底面是正三角形 , 且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥叫做正三棱锥 .
设正三棱锥的底面边长 a , 高为 h , 则它的外接球半径为
[评注] 本题通过确定球心的位置与构造球心与侧棱所在截面的直角三角形得出外接球半径与
三棱锥侧棱之间的关系 .
4. 矩形折成的四面体的外接球
例 4 . 矩形 ABCD 中 ,AB = 4 , BC = 3 , 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角B -AC - D , 则四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( )
这说明若将一个矩形沿对角线折成四面体 , 则这些四面体有相同的外接球 , 并且矩形的对角线就是外接球的直径 . 更一般地 , 如果一个圆内接四边形有一条对角线是它的外接圆直径 . 如图 6 , 那么将这个四边形沿着这条对角线折成的四面体有相同的外接球 , 并且四边形的外接圆直径就是折成的四面体外接球的直径 .
由以上各例可以看出 , 求一个特殊四面体的外接球半径 , 通常有以下几种思路 : 一是构造法 ,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 ,可通过构造一个球内接长方体得到 ; 二是截面法 ,比如求正三棱锥的外接球径 , 可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到 ; 三是观察法 , 比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体 , 它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 .关于一般四面体的外接球半径问题 , 可以用解析法求出 . 方法如下 : 先建立适当的空间直角坐标系 , 并写出这个四面体四个顶点的坐标.。