微积分下08中考a

共五大
题）
一·讨论、简答
题（20%）（要
反证法：
[]
.
)v u (.
,v )v u (u )v u (u u )v u (n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 发散与题设矛盾收敛则已收敛，
收敛，若∑∑∑∑∑∑∑∞
=∞
=∞
=∞=∞
=∞
=∞=-∴=--=---1
11
1
11
1
4．确定k 的范围，以便广义积分⎰∞e
k
x x dx
)
(ln 收敛。

解：
.
k t dt )x (ln x ln d )x (ln x dx
t x ln k e k e k 时积分收敛当令11>===⎰⎰⎰∞∞∞ 5．若p>0,讨论级数∑
∞
=+-1
1
1n n n
np )(何时绝对收敛、条件收敛、发散。

解：
().n )(,p ,p ,p p p n n lim np )(p n )(lim n n
n n n
n n n ，条件收敛原级数为：当原级数发散，
当原级绝对收敛，当∑∞
=∞→+++∞→-=<<>=+=-+-1
12
1
11101111111
二．求极限与导数（10%）
1．0
23
sin lim
x
x t dt x
→⎰
解：
原式()()0
22
2
3
sin sin 1lim
lim 33
→→'
-===-'
⎰x
x x t dt
x
x x 2．设⎰-=2
2
)(x x
t
dt e x F ，求).(x F '
解：4222
2200x x x t x t xe e dt e dt e )x (F +='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-='⎰⎰-
三．求积分（30%） 1．dx x x ⎰-12
222
1 解：
4
14
14
222
12
4
24
2
24
2
π
π
ππ
π
ππ
ππ
π-
=-
-=-==
=⇒==
⇒===⎰⎰t cot dt t csc
tdt cot
u x ,t x tdt cos dx ,t sin x 原式令
2．
⎰
40
2π
xdx sec x tan
解：
2
12402
40
40
2=
==⎰⎰
π
π
π
x tan x tan xd tan xdx
sec x tan
3．⎰20
2π
xdx cos e x
解：
5
2
5442122222
220220
22
0220
220220
2-
=⇒-+--=+='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎰
⎰⎰⎰⎰
ππ
π
π
π
π
π
π
π
e xdx cos e xdx
cos e
x sin e e xdx
sin e x cos e xdx cos e xdx
cos e x
x x
x
x
x x
4．dx x ⎰
-1
12
1 解：
原式发散
∴∞
=-=-=+=++→--⎰⎰⎰⎰111111101
01
021020121
12x
lim x dx x dx x
dx x dx x x
5．⎰-++++1
122
4341
1dx x x x x tan )x ( 解：
3
2212101
111110102
224112241123
422
42
34⎰⎰⎰⎰==++=++=∴=++∴++++--dx x dx x x x dx x x x dx x x tan )x (x x x x x tan )x (原式为偶函数为奇函数，
6．dx )
x (x ⎰
∞++1
11
解：
24222112211
1
121
2
πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+=+==∞+∞
+∞+⎰⎰
t arctan dt t tdt )
t (t t x 原式令
四．应用题（15%）
1．设平面区域由抛物线2x y -=与直线x y =围成，求：
（1）的面积； （2）绕轴旋转所成旋转体的体积.
解：
图略。

()
(
)
15
26
101
4201
2
π
π=
-==
--=⎰
⎰
--dx x x V dx x x
S x 2．某产品的边际利润为()4L L x x ''==-（万元/百台）。

若在已获最大利润的产量基础上，再生产一百台，
总利润将改变多少？
解：
()404''==-=⇒=L L x x x
()5
4
40.5()=-=-⎰万台L x dx
五．级数敛散性判别（25%）
1．
2
1
sin n n n π
∞
=∑ 解：
事实上211
sin 0π
∞∞
==≡∑∑n n n n ，级数收敛
或者
22
2
111
sin 1
1
,π∞
∞∞
===<∑
∑∑收敛，
n n n n n n
n 所以原级数绝对收敛， 2．∑∞
=1!
3n n n n
n
解：原级发散
∴>=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∞→+∞→1
3131e n n lim u u lim n
n n n n
3．
21
ln ∞
=∑n n
n 解：
()0.5 1.5 1.5
1ln ln 0,ln ln .
∞
==→→∞∴∑收敛原级数收敛n n
n n n n n n n
n
4．
)1()
1(11
∑∞
=--+-n n n n
解：
().
n n n ,n n n n n n n ,
n ,n
n n
n )()
n n ()
(n n n n n n 原式条件收敛发散，
发散
且原式收敛。

且∴++∴++>++∴+++>
++∞→→++++-=-+-∑∑∑∑∞
=∞
=∞=-∞
=-11
11
12111121
11011
11
1111
11
11
1
5．已知正项级数1
n n u ∞=∑收敛，而数列{v n }有界，试用比较判别法证明数项级数1
n n n v u ∞
=∑一定是收敛的。

解：因为数列{v n }有界，所以0,,∃>∀<n 使得对n,v M M ∴<n n n v u Mu
1
1
.∞∞
==∑∑收敛，则正项级数收敛n
n n
n n Mu v u 1
∞
=∴∑一定收敛，且为绝对收敛.n n n v u
)1(111≠++=+⎰a C x a dx x a a
，C x dx x +=⎰||ln 1，C a a dx a x x
+=⎰ln ，C x xdx +-=⎰cos sin
C x xdx +=⎰sin cos ，C x xdx +=⎰tan sec 2，C x xdx +-=⎰cot csc 2
，C x dx x +=+⎰arctan 112，
C x dx x +=-⎰arcsin 11
2。

对正项级数，0lim ≠=∞→ρn
n n v u ，则∑∑n n v u ,敛散性同；0=ρ，则∑n v 敛必∑n u 敛；∞=ρ，则∑n v 散必∑n u 散。

若1||
lim 1
<=+∞
→ρn
n n u u ，则∑n u 绝对收敛；∞>或1ρ，则∑n u 发散。