湖北省宜昌市第一中学高考数学压轴专题《平面向量及其应用》难题汇编 百度文库

一、多选题
1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．()
0a b c -⋅=
B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
2．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是
2
π 3．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．97,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．14,33⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
D ．(7，9)
4．在ABC 中，3AB =，1AC =，6
B π
=，则角A 的可能取值为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
2
π 5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A ．10,45,70b A C ==︒=︒
B ．45,48,60b c B ===︒
C ．14,16,45a b A ===︒
D ．7,5,80a b A ===︒
6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
A ．2
AB AB AC B ．2
BC CB AC C ．2AC
AB BD
D ．2
BD
BA BD
BC BD
7．在ABC 中，若30B =︒，23AB =2AC =，则C 的值可以是（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
8．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A ．22
OA OD ⋅=-
B ．2OB OH OE +=-
C ．AH HO BC BO ⋅=⋅
D ．AH 在AB 向量上的投影为22
-
9．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1
()2
AD AB AC =
+ C ．8BA BC ⋅=
D ．AB AC AB AC +=-
11．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5B ．
23
C ．23
-
D 512．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=-
13．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()
()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥
D ．(
)(
)
22
b b a b a a +-=⋅-
14．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为
起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 15．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
二、平面向量及其应用选择题
16．已知向量()
2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 17．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为αβ-
B ．a b ⋅的最大值为1
C ．2a b +≤
D ．()()
a b a b +⊥-
18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
19．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，
，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则
ABC 一定为直角三角形；④若3
B π
=
，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是
(
)
3+∞，.以上结论中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
20．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=
B ．1a b ⋅=
C ．a b =
D ．0a b ⋅=
21．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大
的数），则m 的最小值为（ ） A ．M B ．N C ．22
D ．1
22．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为
（ ） A ．1:4
B ．4:5
C ．2:3
D ．3:5
23．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =
C ．若,,,A B C
D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 25．如图，四边形ABCD 是平行四边形，
E 是BC 的中点，点
F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
3
4
B ．
58
C ．38
D ．
2
3
26．题目文件丢失！
27．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2
cos 3
A =
，则b= A 2B 3
C ．2
D ．3
28．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．-2
D ．2
29．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A ．5
B ．10
C ．4
D ．5
30．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b = ②ABC ∆的面积为
83
③ABC ∆的周长为443+ ④ABC ∆外接圆半径43
3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
31．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A ．
7 B ．
27
C ．2
D ．
21 32．如图，在ABC 中，14AD AB →
→=，12
AE AC →→
=，BE 和CD 相交于点F ，则向量
AF →
等于（ ）
A ．1277A
B A
C →→
+
B ．1377AB A
C →→
+
C ．121414
AB AC →→
+ D ．131414
AB AC →→
+ 33．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2
26,c a b =-+3
C π
=
，则
ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．
33
C ．33
D ．3
34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）
A ．1233A
B A
C -
+ B ．
21
33AB AC - C ．1233
AB AC -
D ．21
33
AB AC -
+ 35．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ⋅等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
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一、多选题 1．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．CD 【分析】
对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解
解析：CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()
2
2
2
2
2
cos cos a b
a b a b αα
⋅==，而()()
2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
3．ABC 【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选
解析：ABC 【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】
由点()4,6A ，33,2B ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，则972，
AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
选项A . 914
73023
⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫
-⨯
--⨯= ⎪⎝⎭
,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫
-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫
-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭
,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
4．AD 【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦
解析：AD 【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，
即21322
BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6
A B π
==
；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2
π. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
5．BC 【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两
解析：BC 【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B 中：因为csin sin 115B C b =
=<，且c b >，所以角C 有两解；
对于选项C 中：因为sin sin 17
b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A
B a
=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】
本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．AD
【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】
对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形
解析：AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2
cos AB AB AC AB AC A AB AC
AB AC
，故A 正确；
对于B ，
2
cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC
CB AC
，
故B 错误； 对于C ，
2
cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD
BD
AB
,故C 错误； 对于D ，2
cos BD BA BD
BA BD ABD BA BD BD BA
,
2
cos BD BC BD
BC BD CBD BC BD
BD BC
,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.
7．BC
【分析】
由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】
由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
解析：BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得sin 2
C =，再由()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】
由正弦定理可得sin sin AB AC C B =
，所以1
sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
8．AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于
解析：AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，
对于3:11cos
4A OA OD π=⨯⨯=；故正确．
对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||42
AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
9．ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或
解析：ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2
A B π
+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】
根据正弦定理
sin sin a b
A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,
22A B =或22A B π+=. 即A B =或2
A B π
+=
,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD
【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
10．BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故
解析：BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，
()
111
++++()222
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；
对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA
⋅=⋅⋅∠=⋅⋅
=⨯=，故正确；
对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
11．AD 【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】
由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD 【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】
由正弦定理sin sin b a B A
=，可得1
20sin 22sin 153
b A B a ⨯
===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
12．AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
13．AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，
解析：AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；
对于B 选项，()
a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()
a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；
对于D 选项，(
)()
2
2
22a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
14．BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，， 设，若， 所以
解析：BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=
(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．
当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
15．AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B
解析：AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．D 【详解】
()
22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
163x π
π
+
=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项. 17．D 【分析】
由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算
()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得
1b =，
a 与
b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.
对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且
()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，
()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；
对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，(
)()
2
2
220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以，()()
a b a b +⊥-，D
选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 18．D 【分析】
先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的
大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】
因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3
B π
=，
所以3
A B π
==，所以ABC 是等边三角形.
故选：D. 【点睛】
本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 19．B 【分析】
由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】
①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2
A B π
+=
，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；
③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =， 因为0A π<<，所以2
A π
=，因此③正确；
④由正弦定理
sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A
==， 因为三角形有两解，所以
2,332
A B A πππ
>>=≠
所以sin 2A ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
，即)
b ∈，故④错误.
故选：B 【点睛】
本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 20．C 【分析】
取,a b 夹角为3
π
，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】 取,a b 夹角为3π
，则0a b -≠，12
a b ⋅=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 21．C 【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，
1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得
1ab c =⨯，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以+M a b ==
=≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，
所以+N a b ==
=≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 22．A 【解析】
分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．
详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，
由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．
点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积
的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 23．D 【分析】
根据已知条件可得()
2
2
2AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得
()
0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线
上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】
()()()
2
2
2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅
()
20BC AC AB AM ∴⋅+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=
20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥
ME ⇒为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ∆的外心 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 24．C 【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；
,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形
ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且
||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正
确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.
25．A
【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，
因为2CF DF =，所以1133DF DC AB =
=， 所以()2113
m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点，
所以1122
AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=，
所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭
， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
， 解得34
λ=
. 故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 26．无
27．D
【详解】
由余弦定理得
，
解得
（舍去），故选D. 【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
28．A
【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，
根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OC
OC OC ⋅⋅=,
即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12
a =-
. 故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
29．B
【分析】 先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.
【详解】
()22224419||=1||3m m n m n
n m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+，
令()(0x x f x x n =<≤=,则()
'1f x =，令()'0f x =，得
x =∴当0x << ()'0f x >x << ()'0f x <， ∴当
2
x =时， ()f x 取得最大值2f ⎛= ⎝⎭
，故选B. 【点睛】 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 30．C
【分析】
由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π
=或
sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．
【详解】
4c =，3C π∠=
，可得42sin 3sin 3
c R C π===，可得ABC ∆
外接圆半径3R =，④正确； ()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，
即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=
或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π
=，3C π
=，6B π
=，可得2a b =，①可能成立；
由4c =
可得3a =
，3b =
，则三角形的周长为4+
；面积为123
bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，
可得3a =
，3
b =
则三角形的周长为4a b c ++=+
11sin sin 223333
S ab C π==⋅⋅= 则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
31．C
【分析】 化简得到22AM AB AC λμ=+，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大
值.
【详解】
()
1222AM AE AF AB AC λμ=+=+， 故2222224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭ 故()()()222223134
λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立. 故选：C .
【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力. 32．B
【分析】
过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三
角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →
→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→
=和17
AN AB →
→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，
已知14AD AB →
→=，12AE AC →→
=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△， 则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC
=， 即：2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37
AM AC =， 解得：37
AM AC →→
=， 同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△，
则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD
=， 即：12NF NB AB AC =且14
NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-，
所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-
⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-， 得：17AN AB =
， 解得：17
AN AB →→
=， 四边形AMFN 是平行四边形，
∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+，
所以1377
AF AB AC →
→→
=+. 故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 33．B
【分析】
由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知：22226c a b ab =+-+，①
由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②
所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，
则ABC 的面积为11333sin 62222S ab C =
=⨯⨯=. 故选：B
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
34．A
【分析】
作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.
【详解】
如下图所示：。