辽宁沈阳二中等重点中学协作体2019高考预测-数学(理)(五)

辽宁沈阳二中等重点中学协作体2019高考预测-数学(理)
（五)
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． (1)设全集R ，若集合}
1|12|{},3|2||{>-=≤-=x x B x x A ，则)(B A C R
为 （ )
A ．}51|{≤<x x
B ．}51|{>-≤x x x 或
C ．}51|{>≤x x x 或
D ．}51|{≤≤-x x
(2）复数
i
i z -+=
1)2(2(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
（3）在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49 cm 2之间的概率为 （ ）
A ．5
1
B ．52
C ．54
D ．10
3
(4)设等比数列{}n
a 的公比为q ,前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公
比q 为 （ ）
A ．2-=q
B ．1=q
C ．12=-=q q 或
D ．12-==q q 或
(5)已知i 与j
为互相垂直的单位向量，
2a i j =-，b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角，则
实数λ的取值范围是（ ） A ．
1(,)2-∞ B ．1
(,)
2+∞ C ．
22
(2,)(,)
33
-+∞
D ．
1(,2)(2,)
2-∞--
(6）设f (x ）是R 上的奇函数, 且在(0, +∞）上递增, 若f (2
1）=0， f (log 4x ）＞0, 那么x 的 取值范围是( )
A. 21＜x ＜1
B.x ＞2 C 。

x ＞2或21＜x ＜1 D.2
1＜x ＜1或1＜x ＜2
（7
站在一起，则不同的站法有（ ）
A ．240种
B ．192种
C ．96种
D ．48 （8）如果执行下面的程序框图，那么输出的S = （ ）． Ａ．2450 Ｂ.2500 C.2550 Ｄ。

2652
(9)球面上有三个点A 、B 、C 。

A 和B ，A 和C 间的球面距离等于大圆周长的16。

B 和C 间的
球面距离等于大圆周长的14。

如果球的半径是R,那么球心到截面ABC 的距离等于（ ）
A 。

1
2
R
B 。

2R C. 2
R
D 。

13R
（10)已知x ，y 满足
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤+≥04
1
c by ax y x x ， 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为
１,则=
++a
c
b a （ ）
Ａ。

1 Ｂ．1- Ｃ．２ Ｄ． 2-
①若)(x f 是定义在［－1，1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，
)
2
,4(ππθ∈，则
).(cos )(sin θθf f >
②若锐角α、
.
2,sin cos πβαβαβ<
+>则满足
③若
.
)()(,12
cos 2)(2
恒成立对则R x x f x f x
x f ∈=+-=π
④要得到函数
.
4
2sin ,)42sin(个单位的图象向右平移只需将的图象π
πx y x y =-= A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（12)设函数
x
b ax x g x x f +
==)(,ln )(，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线,则当
1>x 时，)(x f 与)(x g 的大小关系是 （ ）
A.)()(x g x f > B 。

)()(x g x f < C.)()(x g x f = D 。

)(x f 与)(x g 的大小不确定 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分 布直方图如下图，则时速超过60km/h 的 汽车数量为__________辆。

(14）若
21n
x x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭
()
*n N ∈的二项展开式中第5项
为常数项,则n 的值是__________ . (15）已知双曲线2
2
221(0,0)x y a b a b
-=>>,若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是__________．
（16)等差数列｛a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8,a 3＋a 5＝26，记T n ＝2
n
S n
，如果存在正整
数M ，使得对一切正整数n ,T n ≤M 都成立．则M 的最小值是__________． 三、解答题：
（17)（本小题满分12分） 在ABC ∆中，已知内角
3
A π=
，边23BC =.设内角B x =，ABC ∆的面积为y 。

（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域； （Ⅱ）当角B 为何值时，ABC ∆的面积最大。

E D C
B
A
P
(18）（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A ;“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B ，求在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率;
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。

(19)（本小题满分12分）
已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点。

(Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积;
（Ⅱ）当点E 在何位置时，BD ⊥AE ？证明你的结论；
(Ⅲ）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．
（20）(本小题满分12分） 已知点R （－3,0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=,0RP PM ⋅=。

(Ⅰ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且11
1, 0x y >>，N （1,0），求实数λ，
使AB AN λ=，且163
AB ||=
.
（21）（本小题满分12分） 已知函数
.
)4()()],2ln()2ln([2
1
)(恒成立且f x f x x t x f ≥--+= （I ）求x 为何值时，]7,3[)(在x f 上取得最大值；
(II ）设)(),()1ln()(x F x f x a x F 若--=是单调递增函数，求a 的取值范围。

请考生在第(22)、（23)、（24)三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

B
（22）（本小题满分10分）选修4－1:几何证明选
讲
如图,在Rt ABC ∆中,090C ∠=，BE 平分ABC
∠交
AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥。

（I ）求证：
AC 是BDE ∆的外接圆的切线； (II
）若AD =AE =EC 的长。

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=t y m t x 2222
（是参数）．
（I)将曲线C 的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程； (II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14||=AB ，试求实数m 值．
（24)（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲 设关于x 的不等式
1x a x
-≤-.
(I) 当2a =,解上述不等式。

(II）若上述关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.
参考答案及评分标准
一、选择题:
（1） C (2) B (3) A (4) A （5)D (6） C （7） B (8) C (9) B (10）D (11） A （12) B
二、填空题：
（13) 76 （14) 6
(15)
（16） 2 三、解答题：
(17）解:（Ⅰ)ABC ∆的内角和A B C π++=
3A π=
∴
203B π<< 。

即203
x π<<
sin sin AC BC B A = ∴ sin 4sin sin BC
AC B x A
=
= 12sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<< ……………… 6分
（Ⅱ
)
y
=
21
sin()(cos sin )
322
x x x x x π-=
+
26sin cos x x
x
=
+7)2)
6666
x x πππ
π=--<-< 当
26
2
x π
π-
=
即
3
x π=
时,y 取得最大值。

所以当角B 为3
π
时，ABC ∆的面积取得最大值为…………… 12分
（18）解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是
红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D 。

由于事件C 、D 互斥，
则21132422
464()15C C C P C C C ==, 12
3422461
()5C C P D C C ==。

………………… 3分 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
417()()()15515
P C D P C P D +=+=+=
. ……………………………… 4分
（Ⅱ）解法一：由题可知1113241()2
C C P A C =
=
,1()()5P A B P D ==，则
正视图
E
D C
B
A
P
()2()()5
P A B P B A P A ==。

……………… 8分
解法二:由于事件A 、B 相互独立，故
24262
()()5
C P B A P B C ===。

……………… 8分
（Ⅲ）设ξ可能的取值为0,1,2，3。

由（Ⅰ）、（Ⅱ)得
22
3422461
(0)5
C C P C C ξ===
，
7(1)15P ξ==，13224611(3)30
C P C C ξ==⋅=
. 所以3(2)1(0)(1)(3)10
P P P P ξξξξ==-=-=-==。

………………… 11分
∴ξ的分布列为
∴
ξ
的数学期望
17317012351510306
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
……… 12分
(19）
（Ⅰ）解:由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2。

∴
123
3
P ABCD
ABCD V S PC -=⋅=
-—--————-—--—-———--———--—---2分
(Ⅱ） 不论点E 在PC 上何位置，都有BD ⊥AE-—---——------——-—-——---—-———-—--—-——---3分
证明如下:连结AC,∵ABCD 是正方形
∴BD ⊥AC ∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC ——--———-—
-—5分
又∵AC
PC C =∴BD ⊥平面PAC
∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC
∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ——-—---—-—-——-—-—-—-——----—-—--———--——--——-—--7分
(Ⅲ） 解法一：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G,连结BG ∵CD=CB ，EC=EC, ∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆ ∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA ≌△EBA
∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角—-——----—-----——-—-—---—-—10分
∵BC ⊥DE, AD ∥BC ∴AD ⊥DE 在R ｔ△ADE 中
AD DE DG AE ⋅=
==BG
在△DGB 中，由余弦定理得
2222
22
13cos 22223
DB BG BD DGB DB BG ⨯-+-∠===-
⋅⨯ ∴DGB ∠=23
π—————-———--—-——--————--12分
［解法二:以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示： 则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从
(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===-
设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==
由
0,0DE m DA m ⋅=⋅=可得：0,0a c b -+==，
同理得：'0,''0a b c =-+=。

令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-, ∴
(1,0,1),(0,1,1)m n ==-----—-—10分
设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则
1
cos 2||||
m n m n θ⋅==-
⋅ ∴
23
πθ=
--————12分
（20）解:（Ⅰ）设点M(x ，y ），由230PM MQ +=得P （0，
2y -
）
，Q(,0
3
x ). 由0,RP PM ⋅=得（3,2y -)·(x ,32
y ）＝0,即x y 42=
又点Q 在x 轴的正半轴上，0>∴x 故点M 的轨迹C 的方程是24(0)y x x =>.……6分 （Ⅱ）解法一:由题意可知N 为抛物线C:y 2＝4x 的焦点,且A 、B 为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点.
当直线AB 斜率不存在时，得A(1，2)，B(1,—2)，|AB|
1643
=<
，不合题意;……7分
当直线AB 斜率存在且不为0时，设: (1)AB l y k x =-，代入24y x =
得22222(2)0k x k x k -++= 则｜AB ｜
212222(2)4162243k x x k k
+=++=+=+=
,解得32
=k ………………
10分
代入原方程得031032=+-x x ，由于11>x ，所以1213,3
x x ==
,
由AB AN λ=，得
2111343313
N x x x x λ-
-==
=--。

(12)
分
解法二：由题设条件得
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧
=-+--=--=-==)
5(316)()()4()3()1()2(4)1(42
122121
1
211222
2121y y x x y
y y x x x x y x y λλ
分
化简后可得）
）并结合（）代入（）、（同样把（分
）代入上式并化简得
再把（）得代入（）得）、（由（11)7(3
16
)1(15439)6(1
)1(1)1(44)1(2)1()1(4311112121
2112 =+=--+=-⎩⎨
⎧-=-+=λλλλλλx x x x y y y x x x
由（6）、（7）解得
⎪⎩⎪
⎨⎧
==3
341x λ或
⎪⎩
⎪
⎨⎧==314
1x λ，又11
>x ，故
3
4=
λ. （21）解：（I ）
)
4()()],2ln()2ln([2
1
)(f x f x x t x f ≥--+=且 恒成立， )()4(),,2()(x f f x f 是且的定义域为∞∴的最小值
又
.
3.0)4(].2
1
2[21)(=='∴--+='t f x x t x f 解得 ……………………3分 ∴
.
4
4]2123[21)(2--=--+='x x x x x f
24,()0;4,()0.()(2,4),(4,).
()[3,7].
111
(3)(7)[3ln 5ln1][3ln 9ln 5][ln 625ln 729]0,
222
(3)(7).7,()[3,7].6x f x x f x f x f x f f f f x f x ''∴<<<>>∴+∞∴-=---=-<∴<=当时当时在上是减函数在是增函数在上的最大值应在端点处取得即当时取得在上的最大值分
（II)∵ F （x)是单调递增函数,0)(>'∴x f 恒成立
又
.
)
4)(1()1(45)1(441)(222--+-+-=----='x x a x x a x x x a x F
显然在0)4)(1(,),2()(2>--∞x x x f 上的定义域恒成立。

),2(0)1(45)1(2∞>+-+-∴在a x x a 恒成立. ………………………………8分
下面分情况讨论a a x x a ,),2(0)1(45)1(2上恒成立时在∞>+-+-的解的情况. 当01<-a 时，显然不可能有),2(0)1(45)1(2∞>+-+-在a x x a 上恒成立. 当),2(085)1(45)1(,012∞>-=+-+-=-在时x a x x a a 上恒成立. 当01>-a 时，又有两种情况：①0)1)(1(1652<+-+a a ； ②
.0)1(4252)1(2)
1(252
>+-⨯+⋅-<--a a a 且由①得09162<+a ，无解；由②得
.
1,01.4
1
>∴>-->a a a
B
综上所述各种情况，当),2(0)1(45)1(,12∞>+-+-≥在时a x x a a 上恒成立。

∴所求的a 的取值范围为[).,1+∞ ……………12分 (22)证明:
(I) 由DE EB ⊥知,BD 是BDE ∆的外接圆的直径，
取BD 中点O ，连结OE ，则点O 是BDE ∆的外接圆的圆心。

∴OB OE =∴ OBE BEO ∠=∠
又∵BE 平分ABC ∠， ∴OBE CBE ∠=∠, ∴BEO CBE ∠=∠ ∴BC OE ∵090C ∠=∴ OE AC ⊥
∴AC 是BDE ∆的外接圆的切线。

…………………5分
(II) 由AC 是圆O 的切线知,
2AE AD AB =
可得AB =
∴BD =
∴AO =OB = ∵BC OE ∴
AE
AO EC OB
= ∴EC = ………10分
（23）解:（I ）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：
0422=-+x y x
直线的直角坐标方程为：m x y -= ………………5分 （Ⅱ）解法一：由（1）知：圆心的坐标为(2，0）,圆的半径R=2，
∴圆心到直线l 的距离
,
2
2
)214(222=-=d
∴1
|2|2
2
2
|
02|=-⇒=--m m
∴
1
=m 或
3=m ………………10分
解法二：把
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=t y m t x 2222(是参数)代入方程0422=-+x y x ,
得
04)2(222=-+-+m m t m t ，
m m t t m t t 4),2(222121-=--=+∴．
∴
.
14)4(4)]2(2[4)(||||222122121=----=-+=-=m m m t t t t t t AB
∴1=m 或3=m ……………10分
(24）解： （I) 当2a =，上述不等式为12x x
-≤-，等价于
①
112x x x
≥⎧⎨
-≤-⎩或 ②
112x x x
<⎧⎨
-≤-⎩
由得①
312x ≤≤，由得②1x <；所以不等式解集为3(,]
2
-∞. …………5分
（II ）解法一:
当x ≥1时,不等式化为1x a x -≤-,即x ≤2
1a +．
这时不等式有解当且仅当1≤2
1a +，即a ≥1．
当x 〈1时，不等式化为1x a x -≤-,即1≤a ，这时不等式有解当且仅当a ≥1． 综上所述，关于x 的不等式
1
-+x x ≤a 有解,
则实数a 的取值范围是[)+∞,1． ………10分
解法二：不等式1x a x
-≤-等价于
1x x a
-+≤
设
()1f x x x
=-+，则
()21,(1),
()1,1.
x x f x x -≥⎧⎪=⎨
<⎪⎩
易知)(x f 的最小值为1。

关于x 的不等式
1x x a
-+≤有解,即)(x f ≤a 有解，所以a ≥1。

……10分。