千举万变 其道一也——一道北京高考题的改编探讨

BF ⊥面yOz ，故BM 为一圆锥的母线，其长BM =
BF 2
+槡
22
()
槡
2
=槡5（定值）．案例2
如图在平行四边
形ABCM 中，AB =AC =3，∠ACM =
π
2
，以AC 为折痕将△ACM 折起到△ACD 位置，AB 的中点为F ，
BD 的中点为N ，则F 到点N 的轨迹所在平面的距离是多少？（2019全国1卷18）
分析
在△BCD 中，取BC 中点为E ，
NE 为CD 的一半是定值，故点N 的轨迹是以E 为圆心，
Ｒ=3
2
的半圆．以MC 所在直线为x 轴，C 为原点，垂线为y 轴，z 轴建系，设∠xCD =θ，
D （3cos θ，0，3sin θ），B （3，－3，0），N （3cos θ+32，－32，3sin θ
2
）．在y 轴的一个垂面内，有x =3cos θ2，y =－32，z =3sin θ2，（2x －3）2+（2z ）2=9，即x －
32()2
+z
2
=
3
2
()
2
．故轨迹是以E
32，－3
2
，0(
)
为圆心的半圆．EF 垂直该圆面，故F 到轨迹所在平面的距离是
32
．总之几何问题代数化，折叠问题解析化，能有效建立章节间的横向联系，使知识有效整合，增强了对数学整体认识，使学生对所学知识有较好的应用，对问题有较强的分析能力，从而提高了数学空间想象能力和运算能力，加强了对数学核心素养的培养．
参考文献：
［1］史宁中，王尚志．普通高中数学课程标准（2017年版）解读［
M ］．北京：高等教育出版社，2018．［2］任子朝．高考数学能力考查与题型设计［M ］．北京：高等教育出版社，
1998．［责任编辑：李
璟］
千举万变其道一也
———一道北京高考题的改编探讨
程春暖
（北京市实验学校（海淀）
100037）
摘
要：本文通过对一道分段函数题目的改编，试图将函数的零点、对称性、单调性、极值等性质贯穿起
来，从而引导学生在解决函数问题时关注其图象与性质，学会以点带面，将知识学通．
关键词：函数；性质；图象中图分类号：G632
文献标识码：A
文章编号：1008－0333（2020）10－0032－03收稿日期：2020－01－05
作者简介：程春暖（1988．2－），女，安徽人，博士，中学一级教师，从事中学数学教学研究．
函数是高中数学课程内容的主线，是学生进入高中之后接触到的第一个难点，也是让许多学生望而生畏的数学概念．从初中的注重直观到高中的逐步抽象，学生对函数的认识在理论上应当上升了一个层次．但实际上，许多学生还是：
看到函数，慌了；没有头绪，乱了；陷于计算，凉了；
再有参数，完了．
本文以一道分段函数的单调性问题为背景，通过对题目的改编，以求让学生体会解决函数问题关注其图象与性质才是关键．
原题
（2006年北京理）已知f x ()=
3a －1()x +4a ，x ＜1log a x ，x ≥1，
{
是（－ɕ，+ɕ
）上的减函数，那么a 的
取值范围是（）．
—
23—
A．（0，1）B．（0，1
3
）
C．
17[
，13
)
D．
17
[
，1)分析
本题考查了一次函数、对数函数及分段函数
的单调性．要使函数在Ｒ上单调递减，则需要满足：①f （x ）在（－ɕ，
1）上单调递减；②f （x ）在（1，+ɕ）上单调递减；③当自变量x 从－ɕ趋近于1时，f （x ）的极限不小于f （1）．从而有3a －1＜0，
0＜a ＜1，
3a －1()+4a ≥log a 1，
{
解得17≤a ＜1
3
，故
选C ．
改编角度1单调性的定义
练习1
已知f x ()=
3a －1()x +4a ，x ＜1，
log a x ，x ≥1，
{
若对于
x 1，
x 2∈Ｒ，f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1＜0（或 x 1，x 2∈Ｒ，（x 2－x 1）（f x 2()－f x 1()）＜0），求a 的取值范围．
本练习在原题的基础上考查了函数单调性的定义．作为第一种变形，知识跨度较小，易于理解，学生接受度也较高．
改编角度2
单调性与零点的关系
零点是函数的重要性质，零点个数与函数的单调性之间有密切关系，因此将问题定位在零点个数考查单调性也是一种常见的方式．
练习2．1
已知f x ()=3a －1()x +4a ，x ＜1，
log a x ，x ≥1，
{
若对于任
意m ∈Ｒ，f x ()=m 至多有1个根，求a 的取值范围．
分析
因为
“任意m ∈Ｒ，f x ()=m 至多有1个根”，所以f x ()在Ｒ上必是单调函数．若f x ()在Ｒ上单调递减，则同原题，得a ∈
17[，1
3)
；若f x ()在Ｒ上单调递增，由分段函数的单调性可知3a －1＞0，
a ＞1，
3a －1()+4a ≤log a 1，
{
此方程
组无解．综上，
a ∈17[，13
)
．数学解题本质上就是一个不断转化的过程，将未知的问题转化为已知的问题．这种思想可以帮助我们解题，也可以帮助我们改编题目．沿着此思路，就函数的零点，笔者又进行了如下的变形设计：
练习2．2
已知f x ()=3a －1()x +4a ，x ＜1，
log a x ，x ≥1，
{
若对于任
意m ∈Ｒ，f x ()=m 有且只有1个根，求a 的取值范围．
分析
本题条件由练习2．1中的“至多1个根”改为
“有且只有1个根”，对函数的要求由“单调”增强为“单调且连续”．结合练习2．1的分析可知：3a －1()+4a =log a 1，a =1
7
．经检验，
a =17时，f x ()单调递减且连续，所以a =1
7
．函数单调的情况研究清楚了，不单调的情况自然也就了然于心了．考虑此，笔者设计了如下的变式练习：
练习2．3
已知f x ()=3a －1()x +4a ，x ＜1，
log a x ，x ≥1，
{
若存在m
∈Ｒ，使得f x ()=m 有2个不同的根，求a 的取值范围．
分析“存在m ∈Ｒ，使得f x ()=m 有2个不同的根”意味着f x ()在Ｒ上不单调．因此由练习2．1及对数函数对a 的要求（a ＞0且a ≠1）可得a ∈0，
17()∪
1
3
，1)[
∪1，
+ɕ()．练习2．4
已知f x ()=
3a －1()x +4a ，x ＜1，
log a x ，x ≥1，
{
若f x ()有
2个零点，求a 的取值范围．
分析
由于该分段函数在－ɕ，
1()及1[，+ɕ)内分别都是单调函数，所以要使得f x ()有2个零点，只能在
－ɕ，1()及1[，+ɕ)分别有1个零点．又因为log a 1=0，故只需考虑－ɕ，1()即可．要使得f x ()在－ɕ，1()内有1个零点，则3a －1＞0，
3a －1()+4a ＞0，{
或3a －1＜0，3a －1()+4a ＜0，
{
解得a ＞1
3或
a ＜
17．注意到a ＞0且a ≠1，所以a ∈0，1
7()∪
1
3
，1()
∪1，
+ɕ()．改编角度3利用单调性求参数范围
练习3
已知f x ()=4－x
4，x ＜1，－log 4x ，x ≥1，
{
f a 2－a ()＞－12
，求a
的取值范围．
原题是函数中有字母考查单调性，反过来，在已知单调性的基础上考查其应用尤其是与不等式相关的问题亦是一个常见的角度，故此在原题中取a =
1
4
设置了如上的变形
．分析
函数解析式是
自变量与因变量之间的对应关系，通过对解析式的分析可以得到该函数的相关性质．同时我们也应注意
到，图象也是函数的重要表达形式，且从图象观察性质更形象直观．对于不需要严谨推理证明过程的小题，借助图象可以更快捷方便．本题
—
33
—
f x ()的图象如图所示，由图象可知f x ()在Ｒ上单调递减．
故若想求解f a 2
－a ()＞－
12只需求得函数值为－1
2
的自变量即可．又由图象可知函数值为－1
2的自变量必大于1，因
此由－log 4x =－
12
求得x =2，从而a 2
－a ＜2，解得－1＜a ＜2．改编角度4单调性与对称性
练习4
已知f x ()=3a －1()x +4a ，x ＜1，
log a x ，x ≥1，
{
若存在x ＞
1，使得f x ()=f （2－x ），求a 的取值范围．
分析
因为存在x ＞1，使得f x ()=f （2－x ），即f x ()的
图象上存在关于x =1对称的两点，所以f x ()在Ｒ上不单
调．由练习2．3可得a ∈0，
17
()∪
1
3
，1)[
∪1，
+ɕ()．接下来为了更好地观察对称性，我们借助函数的图象：
a ∈0，
1
7
()时
a =
1
3
时a ∈
1
3
，1(
)
时
a ∈1，
+ɕ()时因为存在x ＞1，使得f x ()=f （2－x ），所以y =
3a －1()x +4a （x ＜1）关于x =1对称的图象与y =log a x （x ≥1）的图象必有交点．结合图象可以看出：a ∈0，
1
7
()∪
1
3
，1()
∪1，
+ɕ()．由本题可以进一步体会图象的重要性．若单纯地借助解
析式进行代数推导将陷入复杂没有头绪的计算之中．
改编角度5单调性与极值、最值
练习5
已知f x ()=3a －1()x +4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，{
若f x ()有极
值点，求a 的取值范围．
分析
由于该分段函数在－ɕ，
1()及1[，+ɕ)内分别都是单调函数，故f x ()若存在极值点，极值点必在分段点x =1处产生，从而f x ()在Ｒ上一定是不单调的．结合练习4的图象及极值（点）的定义，可得a ∈0，
17
()时，x =1
为极大值点；a ∈1，
+ɕ()时，x =1为极小值点；其余情况下f x ()都不存在极值点．故a ∈0，1
7
()∪1，
+ɕ()．将原题改为f x ()=
3a －1()x +4a ，x ≤1，
log a x ，x ＞1，
{
则a ∈
0，17()
时，
x =1为极小值点；a ∈17[
，1
3
)
时，f x ()单调递减，无极值点；a =
1
3
时，f x ()无极值点；a ∈13
，1()
∪1，+ɕ()时，x =1为极大值点．（读者可根据图象自行判
断）
感悟
1．解析式与与图象是函数的两种非常重要的
表示方法，通过解析式研究性质可以锻炼学生的逻辑思维、数学抽象，要求学生对概念有深刻的认识，对函数有本质的理解，而通过图象获取函数的性质在解决小题时的优点更为显著．图象提供了更多的形象思维，更直观、易于理解，且性质一目了然．笔者在教学过程中针对此类题
目总结了如下的口诀，深受学生喜欢．
遇见函数心莫慌，借助图象来帮忙．慧眼识珠多发现，性质利用是关键．含有参数困难增，留心观察变不变．困难就像雾霾天，大风起兮蓝天见！
2．作为教师，要勤于思考，善于改编，用尽量少的题面帮助学生梳理尽量多的知识
．教师的首要职责之一是不能给学生下列印象：数学题相互之间几乎没有什么联系，与其他事物也根本毫无联系．因此在同样的问题背景下改编设问，知识之间的联系更容易产生，知识网络更容易形
成，更有利于学生的整体认知及思维形成．
参考文献：
［1］G．波利亚．怎样解题［M ］．上海：上海科技教育出版社，
2002．［责任编辑：李
璟］
—
43—。