2011年普通高中数学新课程教师远程培训考试卷之一

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题： (1)复数212ii+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ） （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（ ）（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B ） （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P MN =，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==，∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，||AB =12，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =，则焦点坐标为(,0)2p ，将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12，∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6，所以ABP ∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，所以()43xf x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ， 所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z )．12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴(+a b )·(k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =． 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4，-5)时，min 6z =-．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=， 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=． 因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 【答案】13【解析】设球心为1O ，半径为1r ，圆锥底面圆圆心为2O ，半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =，所以1122r O O ==， 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．(Ⅰ)n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；(Ⅱ)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC //AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD =1，则BD =3，PB =2，根据BE ·PB =PD ·BD ，得DE =23， 即棱锥D —PBC 的高为.2319．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表(Ⅰ)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(Ⅱ)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥，由试验结果知，质量指标值94t ≥的频率为0．96．所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96． 用B 配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=(元)．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（Ⅱ）设A (11,y x )，B (22,y x )，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而2120,422121+-=-=+a a x x a x x①由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解析】（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以 )1ln 2(111ln )(22xx x x x x x f -+-=-=考虑函数()2ln h x x =+xx 12-(0)x >，则22222)1()1(22)(xx x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得当),1(+∞∈x 时，;0)(11,0)(2>-<x h xx h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x xx f x x x f x x 即且请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．EB(Ⅰ)证明：,,,C B D E 四点共圆；(Ⅱ)若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．【解析】(Ⅰ)连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即AD AEAC AB=． 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆． 因此ADE ACB ∠=∠． 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(Ⅱ)4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =． 故2AD =，12AB =．取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH ． 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()112252DF =-=． 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． (Ⅰ)求2C 的方程；ADB C GEM(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .【解析】(Ⅰ)设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩． 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为｛x |1}x ≤-，求a 的值． 【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-． (Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩．由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩．由题设可得12a-=-，故2a =．。

2011年普通高中数学新课程教师远程培训考试卷之一一、判断题1.教学设计就是教师对教学过程进行规划和安排的一种预设过程，所以只需关注“教什么、如何教、教的怎么样”这三个方面即可。

正确错误2.高考的要求与新课程的理念是矛盾的，如果按新课程的要求实施教学活动，就必然会影响学生的高考成绩。

正确错误3.高中数学新课程虽然淡化了数学的形式化，但是对数学符号的认识和理解仍然需要加强，不能有所放松。

正确错误4.新课程倡导表扬和鼓励，不能批评和惩罚学生。

正确错误5.高中数学新课程要求强调数学的本质，突出主线和通性通法，削减非本质的、细枝末节的、技巧性的内容。

正确错误6.数学课程不但要重视数学的知识技能、过程方法，同时也要重视数学的文化价值。

正确错误7.学习排列组合后再学古典概型，容易忽略对概率本身的理解。

排列组合的题目可以很难，学习的重点变成了如何计数，而不是如何理解随机现象。

正确错误8.校本教研就是集体备课，也就是一个备课组统一教学进度，研讨教学重难点，分析学生学习状况的教研活动。

正确错误9.高中数学新课程使教师多了一个职责：指导学生选择课程，制订学习计划。

正确错误10.接受学习是高中数学课程提倡的一种学习方式。

正确错误二、选择题11.三维课程目标指的是( )知识、技能与方法知识、方法与能力知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观知识、过程、太度12.运算与推理的关系是（）运算与推理无关运算与推理是不同的思维形式运算本身就是一种推理推理是运算的一种13.任何新课程的研制，一般都要经过哪几个阶段进行( )准备、研制、编写、推广研制、编写、实验、推广准备、研制、实验、推广准备、研制、编写、实验、推广14.《高中数学课程标准》在课程目标中提出的基本能力是( )自主探究、数据处理、推理论证、熟练解题、空间想象运算求解、数据处理、推理论证、空间想象、抽象概括自主探究、推理论证、空间想象、合作交流、动手实践运算求解、熟练解题、数学建模、空间想象、抽象概括15.高中数学新课程习题设计需要( )无需关注习题类型的多样性，只需关注习题功能的多样性只需关注习题类型的多样性，无需关注习题功能的多样性既要关注习题类型的多样性，也要关注习题功能的多样性无需关注习题类型的多样性，也无需关注习题功能的多样性16.高中数学课程在情感、态度、价值观方面的要求下面说法不正确的是( )提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心形成锲而不舍的钻研精神和科学态度开阔数学视野，体会数学的文化价值只需崇尚科学的理性精神17.高中课程改革追求基本的目标是由应试教育向素质教育的转轨，真正实施( )全民教育大众教育素质教育精英教育18.听课的根本目的在于( )观察教学行为以听课为手段来进行教学评价、教学研究教育行政和教学业务部门检查对教师做定性评价19.下面关于高中数学课程结构的说法正确的是( )高中数学课程中的必修课程和选修课程的各模块没有先后顺序的要高中数学课程包括4个系列的课程高中数学课程的必修学分为16学分高中数学课程可分为必修与选修两类20.刻画直线斜率的方式有（）用正切函数用正切函数、用两点式用正切函数、用两点式、用导数用正切函数、用两点式、用导数、用向量21.在教学中激发学生的学习积极性方法说法正确的是（）让学生大量做题，挑战难题创设问题情境，让学生有兴趣、有挑战让学生合作交流讨论、动手操作、有机会板演讲解通过数学应用的教学使学生了解数学在现实生活中的作用和意义22.《数学课程标准》提出的基本能力是下面说法不正确的是（）空间想像、运算求解能力抽象概括、推理论证能力作图能力数据处理等基本能力23.与社会、科技的进步紧密相连，体现时代精神的课程时代性的选择是指( )课程安排课程内容课程管理课程评价24.校本教研是一种( )研究取向研究组织形式研究方法研究过程25.为了保证和促进课程对不同地区、学校、学生的要求，国家实行三级课程管理体制。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年重庆理一、选择题（共10小题；共50分）1. 复数i2+i3+i41−i= A. −12−12i B. −12+12i C. 12−12i D. 12+12i2. ＂x<−1＂是＂x2−1>0＂的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知limx→∞2x−1+ax−13x=2，则a= A. −6B. 2C. 3D. 64. 1+3x n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n= A. 6B. 7C. 8D. 95. 下列区间中，函数f x=ln2−x在其上为增函数的是 A. −∞,1B. −1,43C. 0,32D. 1,26. 若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足a+b2−c2=4，且C=60∘，则ab的值为 A. 43B. 8−43 C. 1 D. 237. 已知a>0，b>0，a+b=2，则y=1a +4b的最小值是 A. 72B. 4 C. 92D. 58. 在圆x2+y2−2x−6y=0内，过点E0,1的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 A. 52B. 102C. 152D. 2029. 高为24的四棱锥S−ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 A. 24B. 22C. 1D. 210. 设m，k为整数，方程mx2−kx+2=0在区间0,1内有两个不同的根，则m+k的最小值为A. −8B. 8C. 12D. 13二、填空题（共5小题；共25分）11. 在等差数列a n中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=．12. 已知单位向量e1，e2的夹角为60∘，则2e1−e2=．13. 将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．14. 已知sinα=12+cosα，且α∈0,π2，则cos2αsin α−π4的值为．15. 设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为．三、解答题（共6小题；共78分）16. 设a∈R，f x=cos x a sin x−cos x+cos2π2−x 满足f −π3=f0，求函数f x在π4,11π24上的最大值和最小值．17. 某市公租房的房源位于A,B,C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：（1）恰有2人申请A片区的房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．18. 设f x=x3+ax2+bx+1的导数fʹx满足fʹ1=2a，fʹ2=−b，其中常数a,b∈R．（1）求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程；（2）设g x=fʹx e−x，求函数g x的极值．19. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30∘．（1）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积；（2）若二面角C−AB−D为60∘，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．20. 如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=22，一条准线的方程为x=2．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P满足：OP=OM+2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为−12．问：是否存在两个定点F1，F2，使得PF1+PF2为定值?若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21. 设实数数列a n的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n n∈N∗．（1）若a1，S2，−2a2成等比数列，求S2和a3；（2）求证：对k≥3有0≤a k+1≤a k≤43．答案第一部分 1. C 2. A3. D【解析】依题意得左边=lim x→∞ax 2− a−5 x +13x x−1 =limx→∞a−a −5 x +1x 23 1−1=a3=2，∴a =6．4. B【解析】 1+3x n 的展开式的通项是T r +1=C n r ⋅1n−r ⋅ 3x r =C n r⋅3r ⋅x r ，于是依题意有C n 5⋅35=C n 6⋅36，即n n −1 n −2 n −3 n −4 ⋅35=3⋅n n −1 n −2 n −3 n −4 n −5 ⋅35n ≥6 ,由此解得n =7．5. D6. A 【解析】依题意，得 a +b 2−c 2=4,a 2+b 2−c 2=2ab cos60∘=ab ,两式相减，得ab =43． 7. C【解析】依题意得1+4=1 1+4a +b =1 5+ b +4a ≥12 5+2 b a ×4a b =92,当且仅当a +b =2,b =4a ,a >0,b >0,即a =23，b =43时取等号，所以1a+4b的最小值是92．8. B 【解析】圆的圆心坐标是 1,3 ，半径是 10，且点E 0,1 位于该圆内，由平面几何可知，过点E 0,1 的最短弦长等于BD =2 10− 12+22 =2 5,又最长的弦为直径，故 AC =2 10．又AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12 BD × AC =12×2 5×2 10=10 2. 9. C【解析】设球的球心为O ，球心O 与顶点S 在底面ABCD 上的射影分别是O 1，E ，则有OC=OS=1，点O1是底面正方形ABCD的中心，OO1∥SE，且OO1= OC2−O1C2=12−222=22，SE=24．在直角梯形OO1ES中，作SF⊥OO1于点F，则四边形SFO1E是矩形，OF=OO1−O1F=22−24=24．在△SFO中，SF2=OS2−OF2=1−242=78．在矩形SFO1E中，SF=O1E，故SO1= SE2+O1E2=242+78=1．10. D【解析】记f x=mx2−kx+2，其中m>0，则有m>0,f1=m−k+2>0,0<k2m<1,Δ=k2−8m>0, ⋯⋯①即m>0,k>0,k<m+2,k<2m,k>22m.通过验证发现当m=1,2均不存在满足不等式①的整数k．当m>2时，显然有m+2<2m，此时不等式组①可化为m>0,k>0,m+2>k>22m,又m，k均为整数，故可进一步化简为m>0,k>0,m+1≥k>22m, ⋯⋯②要使②成立，必有m+1>22m；又m>2，因此有m>3+22．显然5<3+22<6，于是有m≥6．当m=6时，由②式得k=7，此时方程mx2−kx+2=6x2−7x+2=0的根是12,23，满足题意．又当m进一步增大时，满足②式的k不会减小，所以m+k取最小值时，必须m也取最小值，也就是说，当m=6，k=7时，m+k取最小值13．第二部分11. 74【解析】依题意得a2+a4+a6+a8=a2+a8+a4+a6=2a3+a7=74．此题还可考虑将数列特殊化为常数数列，此时a n=372，因此有a2+a4+a6+a8=4×372=74．12. 3【解析】依题意得2e1−e22=4e12+e22−4e1⋅e2=4+1−4×12cos60∘=3．所以2e1−e2= 3．13. 1132【解析】依题意得，所求的概率等于C64⋅126+C65⋅126+C66⋅126=1132．14. −142【解析】依题意得sinα−cosα=12，sinα+cosα2+sinα−cosα2=2，sinα+cosα2+122=2，sinα+cosα2=74．又α∈0,π2，因此有sinα+cosα=72，所以cos2αsin α−4=2222=− 2sinα+cosα=−14.15. 6−1【解析】依题意，结合图形分析可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，只有当圆心位于x轴上时才有可能，因此设圆心坐标是a,00<a<3，圆的方程是x−a2+y2=3−a2，则由x−a2+y2=3−a2,y2=2x,消去y，得x2+21−a x+6a−9=0，结合图形分析可知，当Δ=21−a2−46a−9=0，其中0<a<3，即a=4−6时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3−a=6−1．第三部分16. f x=a sin x cos x−cos2x+sin2x=a2sin2x−cos2x．由f −π3=f0，得−32⋅a2+12=−1,解得a=2 3.因此f x=3sin2x−cos2x=2sin2x−π.当x∈π4,π3时，2x−π6∈π3,π2，f x为增函数，当x∈π3,11π24时，2x−π6∈π2,3π4，f x为减函数．所以f x在π4,11π24上的最大值为fπ3=2．又因f π=3,f11π=2,故f x在π4,11π24上的最小值为f11π24=2．17. （1）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C42⋅22种．从而恰有2人申请A片区房源的概率为C42⋅22 34=8 27.解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．记“申请A片区房源”为事件A，则P A=1 .从而，由独立重复试验中事件A恰当发生k的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P42=C42132232=827.（2）ξ的所有值为1,2,3．又Pξ=1=34=1,Pξ=2=C32C21C43+C42C2234=1427,Pξ=3=C31C42C2134=49.综上知，ξ有分布列ξ123P 127142749从而有Eξ=1×127+2×1427+3×49=6527.18. （1）因为f x=x3+ax2+bx+1，所以fʹx=3x2+2ax+b.令x=1，得fʹ1=3+2a+b，由已知fʹ1=2a，因此3+2a+b=2a,解得b=−3．又令x=2，得fʹ2=12+4a+b,由已知fʹ2=−b，因此12+4a+b=−b.解得a=−32．因此f x=x3−3x2−3x+1.从而f1=−52．又因为fʹ1=2× −3=−3,故曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为y− −5=−3x−1,即6x+2y−1=0.（2）由（1）知g x=3x2−3x−3e−x,从而有gʹx=−3x2+9x e−x.令gʹx=0，得−3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3．当x∈−∞,0时，gʹx<0，故g x在−∞,0上为减函数；当x∈0,3时，gʹx>0，故g x在0,3上为增函数；当x∈3,+∞时，gʹx<0，故g x在3,+∞上为减函数；从而函数g x在x1=0处取得极小值g0=−3,在x2=3处取得极大值g3=15e−3.19. （1）如图，设F为AC的中点．由于AD=CD，所以DF⊥AC，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=AD sin30∘=1,AF=AD cos30∘= 3.在Rt△ABC中，因AC=2AF=23，AB=2BC．由勾股定理易知BC=2155,AB=4155.故四面体ABCD的体积V=13⋅S△ABC⋅DF=1×1×415×215=4 5 .（2）解法一：如图，设G，H分别为边CD，BD的中点，连接FG，GH．则FG∥AD，GH∥BC．从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角．设E为边AB的中点，连接DE，EF，BF．则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，由（1）有DF⊥平面ABC，故知DE⊥AB．所以∠DEF为二面角C−AB−D的平面角．由题设知∠DEF=60∘．设AD=a，则DF=AD⋅sin∠CAD=a .在Rt△DEF中，EF=DF⋅cot∠DEF=a⋅3=3a,从而GH=1BC=EF=3a.因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a,从而，在Rt△BDF中，FH=12BD=a2，又FG=12AD=a2，从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得cos∠FGH=FG2+GH2−FH2=GH2FG=36.因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为36．解法二：如图，过F作FM⊥AC，交AB于M．已知AD=CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直．以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O−xyz．不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30∘，易知点A，C，D的坐标分别为A 0,− 3,0,C 0,3,0,D0,0,1,则AD=0,3,1．显然向量k=0,0,1是平面ABC的法向量．已知二面角C−AB−D为60∘，故可取平面ABD的单位法向量n=l,m,n．使得 n,k=60∘，从而n=1 .由n⊥AD，有+n=0，从而m=−36．由l2+m2+n2=1，得l=±63．设点B的坐标为B x,y,0，由AB⊥BC，n⊥AB，取l=63有x2+y2=3,6 3x−36y+3=0,解得x=46,y=739,或x=0,y=− 3,舍去.易知l=−63与坐标系的建立方式不合，舍去．因此点B的坐标为B469,739,0，所以CB=46,−23,0.从而cos AD⋅CB=AD⋅CB AD CB=3 −2393+14692+ −2392=−3 6 ,故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为36．20. （1）由e=ca=22,a2c=22,解得a=2,c=2,b2=a2−c2=2,故椭圆的标准方程为x2 4+y22=1.（2）设P x,y，M x1,y1，N x2,y2，则由OP=OM+2ON得x,y=x1,y1+2x2,y2=x1+2x2,y1+2y2,即x=x1+2x2,y=y1+2y2.因为点M，N在椭圆x2+2y2=4上，所以x12+2y12=4,x22+2y22=4,故x2+2y2=x12+4x22+4x1x2+2y12+4y22+4y1y2=x12+2y12+4x22+2y22+4x1x2+2y1y2=20+4x1x2+2y1y2.设k OM，k ON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知k OM⋅k ON=y1y2x1x2=−12,因此x1x2+2y1y2=0,所以x2+2y2=20.所以P点是椭圆22522102=1上的点．设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义知PF1+PF2为定值，又因为c=252−102=10,因此两焦点的坐标为F1 − 10,0,F210,0.21. （1）由题意S22=−2a1a2,S2=a2S1=a1a2,得S22=−2S2.由S2是等比中项知S2≠0．因此S2=−2.由S2+a3=S3=a3S2,解得a3=S2S2−1=−2−2−1=23.（2）证法一：由题设条件有S n +a n +1=a n +1S n ,故S n ≠1，a n +1≠1且a n +1=S nn ,S n=a n +1a n +1−1, 从而对k ≥3有a k=S k−1k−1=a k−1+S k−2a k−1+S k−2−1=a k−1+ak−1a k−1−1a k−1+a k−1a k−1−1−1=a k−12k−12k−1 ⋯⋯①因a k−12−a k−1+1= a k−1−1 2+3>0,且 a k−12≥0,由①得a k ≥0.要证a k ≤43，由①只要证a k−12a k−12−a k−1+1≤43, 即证3a k−12≤4 a k−12−a k−1+1 ,即a k−1−2 2≥0.此式明显成立．因此a k ≤4k ≥3 .最后证a k +1≤a k ，若不然a k +1=a k2a k 2−a k +1>a k , 又因a k ≥0，故a ka k 2−a k +1>1, 即 a k −1 2<0.矛盾．因此a k+1≤a k k≥3.证法二：由题设知S n+1=S n+a n+1=a n+1S n,故方程x2−S n+1x+S n+1=0有根S n和a n+1（可能相同），因此判别式Δ=S n+12−4S n+1≥0.又由S n+2=S n+1+a n+2=a n+2S n+1,得a n+2≠1且S n+1=a n+2 n+2.因此a n+22a n+2−12−4a n+2a n+2−1≥0,即3a n+22−4a n+2≤0,解得0≤a n+2≤4 .因此0≤a k≤43k≥3.由a k=S k−1S k−1−1≥0k≥3,得a k+1−a k=S kk−a k=a kS k−1a k S k−1−1−1=a kS k−1S k−12S k−1−1−1−1=−a kS k−12−S k−1+1=−a kS k−1−122+34≤0.因此a k+1≤a k k≥3.。

2011年江苏一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合A=−1,1,2,4，B=−1,0,2，则A∩B=．2. 函数f x=log52x+1的单调增区间是．3. 设复数z满足i z+1=−3+2i（i是虚数单位），则z的实部是．4. Read a,bIf a>b Then m←aElse m←bEnd IfPrint m根据上述伪代码，当输入a,b分别为2,3时，最后输出的m的值是．5. 从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．6. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=．7. 已知tan x+π4=2,则tan xtan2x的值为．8. 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f x=2x的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是．9. 函数f x=A sinωx+φ，（A,ω,φ是常数，A>0,ω>0）的部分图象如图所示，则f0=．10. 已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a=e1−2e2，b=ke1+e2，若a⋅b=0，则k的值为．11. 已知实数a≠0，函数f x=2x+a,x<1,−x−2a,x≥1.若f1−a=f1+a，则a的值为．12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f x=e x x>0的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．13. 设1=a1≤a2≤⋯≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．14. 设集合A=x,y m2≤x−22+y2≤m2,x,y∈R ，B=x,y2m≤x+y≤2m+ 1,x,y∈R，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．（1）若sin A+π6=2cos A，求A的值；（2）若cos A=13，b=3c，求sin C的值．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60∘，E，F分别是AP，AD的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm．（1）若广告商要求包装盒侧面积S cm2最大，试问x应取何值?（2）若广告商要求包装盒容积V cm3最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB．19. 已知a,b是实数，函数f x=x3+ax,g x=x2+bx，fʹx和gʹx分别是f x，g x的导函数，若fʹx gʹx≥0在区间I上恒成立，则称f x和g x在区间I上单调性一致．（1）设a>0，若函数f x和g x在区间−1,+∞上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a<0且a≠b，若f x和g x在以a,b为端点的开区间上单调性一致，求 a−b 的最大值．20. 设M为部分正整数组成的集合，数列a n的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n−k=2S n+S k都成立．（1）设M=1,a2=2，求a5的值；（2）设M=3,4，求数列a n的通项公式．21. 如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2r1>r2，圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC为定值．22. 已知矩阵A=1121，向量β=12，求向量α，使得A2α=β．23. 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x=5cosφy=3sinφ φ为参数的右焦点，且与直线x=4−2ty=3−t t为参数平行的直线的普通方程．24. 解不等式：x+2x−1<3．25. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1−DN−M的大小为θ．（1）当θ=90∘时，求AM的长；（2）当cosθ=66时，求CM的长．26. 设整数n≥4，P a,b是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b∈1,2,3,⋯,n,a>b．（1）记A n为满足a−b=3的点P的个数，求A n；（2）记B n为满足13a−b是整数的点P的个数，求B n．答案第一部分1. −1,22. −12,+∞3. 14. 3【解析】该代码的作用是求两个数中的最大值．5. 136. 1657. 49【解析】tan x=tan x+π4−π4=tan x+π4−11+tan x+4=1 3．tan x tan2x =tan x2tan x1−tan x=1−tan2x =4.8. 4【解析】设交点分别为P x,2x 、Q −x,−2x，则PQ=2x2+4x≥4，当且仅当x=±2时取等号．9. 62【解析】由图可知，A=2，T4=7π12−π3=π4，所以T=2πω=π，ω=2．从而2×7π12+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π3，其中k∈Z．则f0=2sin2kπ+π3=62．10. 5411. −34【解析】当a>0时，f1−a=f1+a⇒2−2a+a=−1−a−2a，解得a=−32，矛盾；当a<0时，f1−a=f1+a⇒−1+a−2a=2+2a+a，解得a=−34．12. 12e+1e【解析】设P x0,e x0，则l:y−e x0=e x0x−x0．所以M0,1−x0e x0．过点P作l的垂线y−e x0=−e−x0x−x0,则N0,e x0+x0e−x0．则有t=11−x0e x0+e x0+x0e−x0=e x0+1x0e−x0−e x0,tʹ=1e x0+e−x01−x0．所以，t在0,1上单调增，在1,+∞单调减，t max=12e+1e.13. 33【解析】由题意，得1=a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤a2+2≤a1q3,即1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3,所以a2≤q≤a2+1,a2+1≤q2≤a2+2,q3≥a2+2≥3,而a2≥1，所以a2、a2+1、a2+2的最小值分别为1、2、3，故q min=33．14. 12,2+2【解析】因为A∩B≠∅，所以A≠∅，则m2≥m ,即m≥12或m≤0;显然B≠∅．因为圆x−22+y2=m2m≠0与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时，需2≤ m2≤ m ,所以2−22≤m≤2+2,①当m<0时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅；②当m=0时，点2,0不在0≤x+y≤1内，此时A∩B=∅．③当12≤m≤2+2时，圆x−22+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点，此时A∩B≠∅；④当m>2+2时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅．综上所述，满足条件的m的取值范围为12,2+2．第二部分15. （1）因为sin A+π6=32sin A+12cos A=2cos A,所以sin A=A，所以A=π3．（2）因为cos A=13，b=3c，所以a2=b2+c2−2bc cos A=8c2,a=22c.由正弦定理得：22c=c,而sin A=1−cos2A=223，所以sin C=13．16. （1）因为E，F分别是AP，AD的中点，所以EF∥PD,又因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以直线EF∥平面PCD．（2）因为AB=AD，∠BAD=60∘，F是AD的中点，所以BF⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥面PAD，又BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．17. （1）S=602−4x2−60−2x2=240x−8x20<x<30,所以x=15 cm时侧面积最大．（2）V=2x 2⋅22⋅60−2x=22x230−x0<x<30,所以，Vʹ=62x20−x,当0<x<20时，V递增，当20<x<30时，V递减，所以，当x=20时，V最大．此时，包装盒的高与底面边长的比值为2260−2x2x=12．18. （1）依题意可得a=2，b=M−2,0，N 0,−．M，N的中点坐标为 −1,−22，所以k=22．（2）由y=2x,x2+2y2=4,得P 2,4,A −2,−4,C2,0,AC方程为y −43=x−23−23−23,即y=x−23．所以点P到直线AB的距离d=23−43−232=22.（3）由题意设P x0,y0，A−x0,−y0，B x1,y1，则C x0,0，因为A，C，B三点共线，所以y1 x1−x0=y02x0=y1+y0x1+x0,又因为点P，B在椭圆上，所以x02 4+y022=1,x124+y122=1,两式相减得：k PB=−x0+x1 01,所以k PA k PB=y0−x0+x101=−y1+y0x0+x11001=−1,所以PA⊥PB．19. （1）因为函数f x和g x在区间−1,+∞上单调性一致，所以，∀x∈−1,+∞,fʹx gʹx≥0,即∀x∈−1,+∞,3x2+a2x+b≥0,∵a>0，∴∀x∈−1,+∞,2x+b≥0,即∀x∈−1,+∞,b≥−2x,所以b≥2.（2）令fʹx=0，解得x=±−a 3 ,若b>0，由a<0得0∈a,b，又因为fʹ0gʹ0=ab<0,所以函数f x和g x在a,b上单调性不一致，因此b≤0.由此得当x∈−∞,0时，gʹx<0,当x∈ −∞,−−a3时，fʹx>0,因此，当x∈ −∞,−−a3时，fʹx gʹx<0,故由题设得a≥−−a3且b≥−−a3，从而−13≤a<0,于是−13≤b≤0,因此a−b ≤1 ,且当a=−13,b=0时等号成立．又当a=−13,b=0时，fʹx gʹx=6x x2−1 9 ,从而当x∈ −13,0时，fʹx gʹx>0,故函数f x和g x在 −13,0上单调性一致．因此 a−b 的最大值为13．20. （1）∵k=1，∴∀n>1,S n+1+S n−1=2S n+S1，所以S n+2+S n=2S n+1+S1,即a n+2+a n=2a n+1,所以，n>1时，a n成等差数列，而a2=2,S2=3,S3=2S2+S1−S1=7,∴a3=4，∴a5=8．（2）由题意：∀n>3,S n+3+S n−3=2S n+S3, ⋯⋯①∀n>4,S n+4+S n−4=2S n+S4, ⋯⋯②∀n>3,S n+4+S n−2=2S n+1+S3, ⋯⋯③∀n>4,S n+5+S n−3=2S n+1+S4, ⋯⋯④当n≥5时，由①②得：a n+4−a n−3=2a4, ⋯⋯⑤由③④得：a n+5−a n−2=2a4, ⋯⋯⑥由①③得：a n+4+a n−2=2a n+1, ⋯⋯⑦由②④得：a n+5+a n−3=2a n+1, ⋯⋯⑧由⑦⑧知：a n+4,a n+1,a n−2成等差，a n+5,a n+1,a n−3成等差；设公差分别为：d1,d2，由⑤⑥得：a n+5=a n−3+2d2=a n+4−2a4+2d2, ⋯⋯⑨a n+4=a n−2+2d1=a n+5−2a4+2d1, ⋯⋯⑩由⑨⑩得：a n+5−a n+4=d2−d1,2a4=d1+d2,a n−2−a n−3=d2−d1;∴a n n≥2成等差，设公差为d，在①②中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2+15d=22a1+5a2+4d,2a1+8a2+28d=22a1+7a2+9d,即4a2−7d=−2,3a2−5d=−1,∴a2=3,d=2，∴a n=2n−1n≥2，经检验，n=1时也符合．所以a n=2n−1,n∈N∗．21. 如图，连接AO1，BO1，CO2．由弦切角定理可得△AO2C∼△AO1B，所以AB=O1B2=r12.所以AB:AC为定值．22.A2=3243.设α=xy，由A2α=β，得3243xy=12,所以3x+2y=1,4x+3y=2,解得x=−1,y=2,所以α=2.23. 椭圆的普通方程为x225+y29=1，右焦点为4,0；直线的普通方程为2y−x=2，斜率为12；故所求直线方程为y=12x−4，即x−2y−4=0．24. 原不等式等价于：x−3<2x−1<3−x,解得−2<x<4 3 ,故解集为 −2,43．25. （1）以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系．则A1,0,0,A11,0,2，N12,1,0，C0,1,0．设M0,1,t，面MDN的法向量m=x1,y1,z1，则m⋅DN=0,m⋅DM=0,即x1+2y1=0,y1+tz=0,取x1=2t，则m=2t,−t,1.设面A1DN的法向量为n=x0,y0,z0，则DA1⋅n=0,DN⋅n=0,即x0+2z0=0,x0+2y0=0,取x0=2,则n=2,−1,−1,由题意得m⋅n=5t−1=0,解得t=1 5 .从而M0,1,1 ,所以AM=1−02+0−12+0−1 52=51.（2）由题意得cosθ=m⋅nm⋅n=5t−16⋅5t2+1=66,解得t=1,t=0舍.从而CM的长为12.26. （1）因为满足a−b=3,a,b∈1,2,3,⋯,n,a>b的每一组解构成一个点P,所以A n=n−3.（2）设k为正整数，记f n k为满足题设条件以及a−b=3k的点P的个数，只要讨论f n k≥1的情形．由1≤b=a−3k≤n−3k知f n k=n−3k,且k≤n−1,设n−1=3m+r，其中m∈N∗，r∈0,1,2，则k≤m,所以B n=f n kmk=1=n−3kmk=1=mn−3m m+1=m2n−3m−3,将m=n−1−r3代入上式，化简得B n=n−1n−26−r r−16,所以B n=n n−36,n3是整数, n−1n−2,n不是整数.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 解析:由图像知选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

故选D（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

2011年上海理一、填空题（共14小题；共70分）1. 函数f x=1x−2的反函数为f−1x=．2. 若全集U=R，集合A=x x≥1∪x x≤0，则∁U A=．3. 设m为常数，若点F0,5是双曲线y2m −x29=1的一个焦点，则m=．4. 不等式x+1x≤3的解集为．5. 在极坐标系中，直线ρ2cosθ+sinθ=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为．（结果用反三角函数值表示）6. 在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB=75∘，∠CBA=60∘，则A，C两点之间的距离为千米．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8. 函数y=sinπ2+x cosπ6−x 的最大值为．9. 马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123Pξ=x?!?请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管" ! "处完全无法看清，且两个" ？ "处字迹模糊，但能断定这两个" ？ "处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=．10. 行列式a bc da,b,c,d∈−1,1,2所有可能的值中，最大的是．11. 在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则AB⋅AD=．12. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）．13. 设g x是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f x=x+g x在区间3,4上的值域为−2,5，则f x在区间−10,10上的值域为．14. 已知点O0,0，Q00,1和点R03,1，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1，R1，使之满足OQ1−2OR1−2<0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2，R2，使之满足OQ2−2OR2−2<0．依次下去，得到P1，P2，⋯，P n，⋯，则limn→∞Q0P n=．二、选择题（共4小题；共20分）15. 若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 A. a2+b2>2abB. a+b≥2abC. 1a +1b>abD. ba+ab≥216. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间0,+∞上单调递减的函数是 A. y=ln1xB. y=x3C. y=2 xD. y=cos x17. 设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M的个数为 A. 0B. 1C. 5D. 1018. 设a n是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i,a i+1的矩形的面积（i=1,2,⋯），则A n为等比数列的充要条件是 A. a n是等比数列B. a1,a3,⋯,a2n−1,⋯或a2,a4,⋯,a2n,⋯是等比数列C. a1,a3,⋯,a2n−1,⋯和a2,a4,⋯,a2n,⋯均是等比数列D. a1,a3,⋯,a2n−1,⋯和a2,a4,⋯,a2n,⋯均是等比数列，且公比相同三、解答题（共5小题；共65分）19. 已知复数z1满足z1−21+i=1−i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数，求z2．20. 已知函数f x=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a,b满足a⋅b≠0．（1）若a⋅b>0，判断函数f x的单调性；（2）若a⋅b<0，求f x+1>f x时的x的取值范围．21. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；（2）若点C到平面AB1D1的距离为4，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．322. 已知数列a n和b n的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7n∈N∗．将集合x x=a n,n∈N∗∪x x=b n,n∈N∗中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,⋯,c n,⋯．（1）写出c1,c2,c3,c4；（2）求证：在数列c n中，但不在数列b n中的项恰为a2,a4,⋯,a2n,⋯；（3）求数列c n的通项公式．23. 已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d P,l．（1）求点P1,1到线段l:x−y−3=03≤x≤5的距离d P,l；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D=P d P,l≤1所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω=P d P,l1=d P,l2，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A1,3，B1,0，C−1,3，D−1,0．②A1,3，B1,0，C−1,3，D−1,−2．③A0,1，B0,0，C0,0，D2,0．答案第一部分1. 1x+22. x0<x<13. 164. x x<0 或x≥12【解析】x+1x ≤3⇒1−2xx≤0⇒x<0或x≥12．5. arctan12【解析】因为两直线的一般方程分别为2x+y=2、x=1，所以两条直线的夹角为arctan12．6.【解析】由正弦定理，ACsin B =ABsin C，即ACsin60=2sin45．所以AC=6．于是A、C两点之间的距离是6千米．7. 33π【解析】由圆锥的底面面积为π，可知圆锥的底面半径为1，由圆锥的侧面积为2π，可得圆锥的母线为2，则圆锥的高为3，所以V=1×3×π×12=3π.8. 2+34【解析】因为y=sin π2+x cosπ6−x=cos x 3cos x+1sin x=3cos2x+1sin x cos x=12sin2x+π3+34.所以当2x+π3=2kπ+π2，k∈Z时，y取最大值为2+34．9. 210. 611. 152【解析】如图：过点D作DE⊥AB于E．则AB ⋅AD =AB ⋅AE =3 AE =3 3−12BD =152.12. 0.985【解析】试验发生包含的基本事件数129，每人生日各不相同，共有A 129种结果，所以要求的事件的概率是1−A 12912≈0.985．13. −15,11【解析】对f x =x +g x ⋯⋯①中的x 进行换元用x +1代替，得f x +1 = x +1 +g x +1 ⋯⋯②结合g x 是周期为1的函数知g x =g x +1 ，故①−②可得f x +1 −f x =1． 所以可得 4,5 上的值域为 −1,6 ，依次可得答案． 14. 3【解析】取Q 0R 0的中点P 1，Q 1R 1的中点P 2，Q 2R 2的中点为P 3，依次下去，点P 1,P 2,⋯,P n ,⋯,均在线段Q 0R 0上，依次取线段Q k R k 的中点为P k +1，且选取P k +1的标准是 OQ k −2 OR k −2 <0，也就是说线段 OQ k 和 OR k 一个大于2，一个小于2． 事实上，在线段Q 0R 0上存在一点P 0 3,1 ， OP 0 =2．那么，按题意，依次二分线段Q k R k 时，始终让点Q k 和点R k 分别在点P 0的左右两边，这样无限进行下去，点P k +1就会无限地越来越接近于点P 0．于是，点P k +1的极限位置就是点P 0，因此 Q 0P n 的极限是 3． 第二部分 15. D【解析】因为a 2+b 2≥2ab ，所以a 2+b 2>2ab 不恒成立； 当a <0,b <0时，a +b ≥2 ab ，1a +1b > ab不成立；而当ab >0时，ba>0，ab>0，则b a +a b ≥2 b a ⋅ab=2.16. A 17. B 【解析】首先，使MA 1 +MA 2 +MA 3 +MA 4 +MA 5 =0 成立的点M 是存在的， 例如：在向量A 1A 5 上取四等分点A 2，A 3，A 4，则点A 3就是使MA 1 +MA 2 +MA 3 +MA 4 +MA 5 =0 成立的点M ．下面再证明点M是唯一的：假设除点M之外，还有点N满足要求，则MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0 ⋯⋯①，NA1+NA2+NA3+NA4+NA5=0 ⋯⋯②，②化为A1N+A2N+A3N+A4N+A5N=0 ⋯⋯③，①+③得5MN=0，于是，点M与点N重合，与假设矛盾．所以点M是唯一的．18. D 【解析】由题可知，A i=a i a i+1，由数列A n为等比数列，则A n+1A n =a n+2a n为非零常数，当n为奇数时，数列a n的奇数项构成等比数列；当n为偶数时，数列a n的偶数项构成等比数列，且两者公比为同一非零常数，即公比相同．第三部分19. 由z1−21+i=1−i得z1−2+z1i−2i=1−i,所以z1=3+i=3+i1−i=2−i,所以z1=2−i.设z2=a+2i,a∈R，则z1z2=2−i a+2i=2a+2+4−a i,因为z1z2∈R，所以4−a=0，a=4，z2=4+2i.20. （1）当a>0,b>0时，任意x1,x2∈R,x1<x2，则f x1−f x2=a2x1−2x2+b3x1−3x2.因为2x1<2x2,a>0，所以a2x1−2x2<0,因为3x1<3x2,b>0，所以b3x1−3x2<0,所以f x1−f x2<0,函数f x在R上是增函数．当a<0,b<0时，同理，函数f x在R上是减函数．（2）f x+1−f x=a⋅2x+2b⋅3x>0.当a<0,b>0时，3x>−a ,则x>log1.5 −a2b;当a>0,b<0时，3 2x<−a2b,则x<log1.5 −a 2b.21. （1）连接AO1，AA1⊥底面A1B1C1D1于A1．AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，即∠AB1A1=α．因为AB1=AD1，O1为B1D1中点，所以AO1⊥B1D1，又A1O1⊥B1D1，所以∠AO1A1是二面角A−B1D1−A1的平面角，即∠AO1A1=β．设AA1= ，所以tanα=AA1A1B1= ,（2）建立如图空间直角坐标系，有A0,0, ，B11,0,0，D10,1,0，C1,1, ，AB1=1,0,− ,AD1=0,1,− ,AC=1,1,0.设平面AB1D1的一个法向量为n=x,y,z，则n⊥AB1,n⊥AD1,即n⋅AB1=0,n⋅AD1=0,取z=1得n= , ,1.所以点C到平面AB1D1的距离为d=n⋅AC=2+ 2+1=4,则 =2．22. （1）c1=9,c2=11,c3=12,c4=13.（2）①任意n∈N∗，设a2n−1=32n−1+6=6n+3=b k=2k+7,则k=3n−2，即a2n−1=b3n−2.②假设a2n=6n+6=b k=2k+7，则k=3n−12∈N∗（矛盾），所以a2n∉b n.所以在数列c n中，但不在数列b n中的项恰为a2,a4,⋯,a2n,⋯．（3）b3k−2=23k−2+7=6k+3=a2k−1,b3k−1=6k+5,a2k=6k+6,b3k=6k+7.因为6k+3<6k+5<6k+6<6k+7,所以当k=1时，依次有b1=a1=c1,b2=c2,a2=c3,b3=c4,⋯,所以c n=6k+3,n=4k−3,6k+5,n=4k−2,6k+6,n=4k−1,6k+7,n=4k,k∈N∗.23. （1）设Q x,x−3是线段l:x−y−3=03≤x≤5上一点，则PQ = x−12+x−42=2 x−52+93≤x≤5,当x=3时，d P,l=PQ min= 5.（2）设线段l的端点分别为A，B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．如图．则A−1,0，B1,0，点集D由如下曲线围成l1:y=1 x ≤1,l2:y=−1 x ≤1,C1:x+12+y2=1x≤−1,C2:x−12+y2=1x≥1,其面积为S=4+π.（3）①选择A1,3，B1,0，C−1,3，D−1,0．如图．Ω=x,y x=0;②选择A1,3，B1,0，C−1,3，D−1,−2．如图．Ω=x,y x=0,y≥0∪x,y y2=4x,−2≤y<0∪x,y x+y+1=0,x>1;③选择A0,1，B0,0，C0,0，D2,0．如图．Ω=x,y x≤0,y≤0∪x,y y=x,0<x≤1∪x,y x2=2y−1,1<x≤2∪x,y 4x−2y−3=0,x>2.。

2011年全国新课标理一、选择题（共12小题；共60分）1. 复数2+i1−2i的共轭复数是 A. −35i B. 35i C. −i D. i2. 下列函数中，既是偶函数，又在0,+∞单调递增的函数是 A. y=x3B. y=∣x∣+1C. y=−x2+1D. y=2−∣x∣3. 执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 A. 120B. 720C. 1440D. 50404. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A. 13B. 12C. 23D. 345. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ= A. −45B. −35C. 35D. 456. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 A. B.C. D.7. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，∣AB∣为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 38. x+ax 2x−1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. −40B. −20C. 20D. 409. 由曲线y=x，直线y=x−2及y轴所围成的图形的面积为 A. 103B. 4 C. 163D. 610. 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1:∣∣a+b∣∣>1⇔θ∈0,2π3p2:∣∣a+b∣∣>1⇔θ∈2π3,πp3:∣∣a−b∣∣>1⇔θ∈0,π3p4:∣∣a−b∣∣>1⇔θ∈π3,π其中的真命题是 A. p1,p4B. p1,p3C. p2,p3D. p2,p411. 设函数f x=sinωx+φ+cosωx+φ ω>0,∣φ∣<π2的最小正周期为π，且f−x=f x，则 A. f x在0,π2单调递减 B. f x在π4,3π4单调递减C. f x在0,π2单调递增 D. f x在π4,3π4单调递增12. 函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和等于 A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共4小题；共20分）13. 若变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤96≤x−y≤9，则z=x+2y的最小值为．14. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为22,过F1的直线l 交C于A、B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，则棱锥O−ABCD的体积为．16. 在△ABC中，B=60∘，AC=3，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 等比数列a n的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列1b n的前n项和．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60∘，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A−PB−C的余弦值．19. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=−2,t<94,2,94≤t<102,4,t≥102.从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,−1，B点在直线y=−3上，M点满足MB∥OA,MA⋅AB=MB⋅BA，M点的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21. 已知函数f x=a ln xx+1+bx，曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为x+2y−3=0．（1）求a,b的值；（2）如果当x>0，且x≠1时，f x>ln xx−1+kx，求k的取值范围．22. 如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2−14x+mn=0的两个根．（1）证明：C，B，D，E四点共圆；（2）若∠A=90∘，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα,（α为参数），M是C1上的动点，P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2．（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求∣AB∣．24. 设函数f x=∣x−a∣+3x，其中a>0．（1）当a=1时，求不等式f x≥3x+2的解集；（2）若不等式f x≤0的解集为x∣x≤−1，求a的值．答案第一部分 1. C 【解析】2+i 1−2i= 2+i 1+2i1−2i 1+2i=5i 5=i2. B3. B【解析】写出每一次循环后的k 和p 的值，第六次循环后k =6和p =720，此时不满足k <N ，退出循环．4. A 【解析】记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为"甲1 "，则基本事件为 " 甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3 "，共9个．记事件A 为 " 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组 "，其中事件A 有 "甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3 "，共3个．因此P A =39=13． 5. B6. D 【解析】此几何体为组合体，由半个圆锥和一个三棱锥组合而成．7. B8. D【解析】因为 x +ax 2x −1x 5的展开式中各项的系数和为2，所以令x =1，得a +1=2，从而a =1．2x −1x 5的展开式中的第r +1项为T r +1=C 5r 2x 5−r −1x r=C 5r 25−r −1 r x 5−2r ． 当r =2时，为含x 的项；r =3时，为含x −1的项，所以展开式中的常数项为C 52⋅23−C 53⋅22=40．9. C【解析】因为直线y =x −2与y = x 的交点坐标为 4,2 ，所以所求面积为x−x +2 d x 40= 23x 32−12x 2+2x ∣∣∣04=163．10. A【解析】用p 1举例，若∣a +b∣>1，则两边平方可得2cos θ+2>1，解得0≤θ<2π3，反之也能推得成立，所以充分性和必要性都成立，p 1是真命题；同理可以证明p 4正确． 11. A 【解析】f x = 2sin ωx +φ+π4 ，所以ω=2． 又因为f x 为偶函数，所以φ+π4=π2+kπ,k ∈Z ，又∣φ∣<π2，所以φ=π4， 所以f x = 2sin 2x +π2 = 2cos2x ． 12. D 【解析】如图，两个函数的图象有8个交点，且两个函数的图象都关于点 1,0 对称，故横坐标之和为8． 第二部分13. −614. x216+y28=115. 8316. 2【解析】由正弦定理AB sin C =ACsin B=BCsin A,得AB=2sin C,BC=2sin A.所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin C+4sin120∘−C=4sin C+23cos C=27sin C+φ.所以AB+2BC的最大值为27．第三部分17. （1）设数列a n的公比为q，由a32=9a2a6，得a32=9a42，所以q2=19．由条件可知q>0，故q=13．由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，所以a1=13．故数列a n的通项公式为a n=13n．（2）结合（1）可得b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n=−1+2+⋯+n=−n n+12.故1 n =−2=−21−1.所以1 1+12+⋯+1n=−21−12+12−13+⋯+1n−1n+1=−2n n+1.所以数列1b n 的前n项和为−2nn+1．18. （1）因为∠DAB=60∘，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD．又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（2）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A1,0,0，B 0,0，C −1,0，P0,0,1，故AB= −1,3,0,PB=0,3,−1,BC=−1,0,0.设平面PAB的法向量为n=x,y,z，则n⋅AB=0,n⋅PB=0.即−x+3y=0,3y−z=0.因此可取n=3,1,3.设平面PBC的法向量为m，则m⋅PB=0,m⋅BC=0.可取m=0,−1,− 3,所以cos m,n=−427=−27.故二面角A−PB−C的余弦值为−277．19. （1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为22+8=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94，94,102，102,110的频率分别为0.04、0.54、0.42，因此P X=−2=0.04,P X=2=0.54,P X=4=0.42,即X的分布列为X−224P0.040.540.42X的数学期望值EX=−2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.20. （1）设M x,y，由已知得B x,−3,A0,−1．所以MA=−x,−1−y,MB=0,−3−y,AB=x,−2.再由题意可知 MA+MB⋅AB=0，即−x,−4−2y⋅x,−2=0．所以曲线C的方程式为y=14x2−2．（2）设P x0,y0为曲线C:y=14x2−2上一点，因为yʹ=12x，所以l的斜率为12x0．因此直线l的方程为y−y0=12x0x−x0，即x0x−2y+2y0−x02=0．则O点到l的距离d=∣002∣x0+4．又y0=14x02−2，所以d=12x2+42=12x02+4+2≥2,当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．21. （1）fʹx=a x+1x−ln xx+12−bx2,由于直线x+2y−3=0的斜率为−12，且过点1,1，故f1=1,fʹ1=−1 ,即b=1,a−b=−1 ,解得a=1,b=1.（2）由（1）知f x=ln x+1,所以f x−ln xx−1+kx=11−x22ln x+k−1x2−1x.考虑函数ℎx=2ln x+k−1x2−1xx>0,则ℎʹx=k−1x2+1+2xx2.（i）设k≤0，由ℎʹx=k x2+1−x−12x2知，当x≠1时，ℎʹx<0．而ℎ1=0，故当x∈0,1时，ℎx>0，可得12ℎx>0;当x∈1,+∞时，ℎx<0，可得11−x2ℎx>0．从而当x>0，且x≠1时，f x−ln x+k>0,即f x>ln xx−1+kx.（ii）设0<k<1．由于当x∈1,11−k时，k−1x2+1+2x>0,故ℎʹx>0，而ℎ1=0，故当x∈1,11−k 时，ℎx>0，可得11−xℎx<0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时ℎʹx>0，而ℎ1=0，故当x∈1,+∞时，ℎx>0，可得11−x2ℎx<0,与题设矛盾．综合得，k的取值范围为−∞,0．22. （1）连接DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB =mn =AE ×AC ,即AD =AE. 又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ，因此∠ADE =∠ACB ,所以C ,B ,D ,E 四点共圆．（2）m =4，n =6时，方程x 2−14x +mn =0的两根为x 1=2,x 2=12.故AD =2,AB =12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ,F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ．因为C ,B ,D ,E 四点共圆，所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ． 由于∠A =90∘，故GH ∥AB ，HF ∥AC ．HF=AG =5,DF =112−2 =5,DH=5 2.故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为5 23. （1）设P x ,y ，则由条件知M x 2,y2 ． 由于M 点在C 1上，所以x2=2cos α,y2=2+2sin α, 即x =4cos α,y =4+4sin α,从而C 2的参数方程为x =4cos α,y =4+4sin α,α为参数 .（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为 ρ1=4sin π, 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为 ρ2=8sin π. 所以∣AB∣=∣ρ2−ρ1∣=2 3.24. （1）当a =1时，f x ≥3x +2可化为∣x −1∣≥2．由此可得x ≥3 或 x ≤−1.故不等式f x ≥3x +2的解集为x ∣x ≥3 或 x ≤−1 .（2）由f x ≤0得∣x −a∣+3x ≤0，此不等式可化为不等式组x ≥a x −a +3x ≤0 或 x ≤a a −x +3x ≤0即x ≥a x ≤a 4 或 x ≤a x ≤−a 2因为a >0，所以不等式组的解集为x ∣x ≤−a . 由题设可得−a 2=−1，故a =2．。

2011年安徽省远程教育高中数学离线考试试题解答 安徽省青阳中学 宋有才 设数列{}n a 满足：11a =，*11(14()16n n a a n N +=++∈．(1)令nb ={}n b 的通项公式；(2)已知1()63n n f n a a +=-，求证：1(1)(2)()2f f f n >．解(1)由nb=2124n nb a-=，代入11(1416n n aa +=++得222211111(14)4(3)241624n n n n n b b b b b ++--=+⨯+⇒=+，∴123n n bb +=+∴12(3)3n n b b +-=-，故{3}nb-是首项为2，公比为12的等比数列∴121132()()322n n nn bb ---=⨯⇒=+(2)证法一 由(1)得：221112111[()3]()()242243423n nnna -=+-=⋅++∴13231()21142424nnnnnf n =++---=-∵1121211111111111211(1)(1)111144444444411111411114444nn n nn nnn nnn n n n ---------++--++-+-===>++++∴2211111111111114444(1)(2)()(1)(1)(1)1141122441144nnnn f f f n -++++=--->⋅=>+++．证法二1311(1)1,4424f =-==+2211111(1)(2)(1)(1)()(1)416241611112432641111111()()24163216641611,24f f =--=+-=+--=++-+-+>+猜想证明加强不等式11(1)(2)()24（）nf f f n ≥+* 用数学归纳法证明之：1121331(1)44()11(1)(2)()241(1)(2)()(1)111()(1)244111124244①当时，左边，右边，成立.②假设时,原不等式（）成立，即当时，左边 kk k k k k n f n k k f f f k n k f f f k f k *+++=====∈*≥+∴=+=⋅+≥+-=+--⋅N 111121111111111()()2442444411.24k k k k k k k +++++++=++-+-+⋅>+1即，当时，不等式（*）成立.n k =+综上所述：当*n ∈N 时，原不等式成立．证法三111()1(1)(1),422nnnf n =-=+-22(1)(2)()111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).222222记n nnA f f f n ==-+-+-+ 112111121111111(1)(1)12222211111()()22221.而当时 kk kk k k k k k k +++++++≥+-=+--=+-+->111111(1)11(1)(1).22222个n n n n A -∴>-⋅⋅+=+> 综上所述：1(1)(2)()2f f f n > 恒成立．证法四1(1)(2)()111221(1)(2)()()10411411,1()414114证明证明：而n nn n nf f f n f f f n f n f n ⎫>⎪⎪⇔⋅⋅⋅<⎬⎪=->⎪⎭===+--- 2111ln(1)ln(1)ln(1)ln 2.414141只需证明：n ∴++++++<---易由导数证明ln(1)(0) x x x +<>，且2212121111141212212nnn n n ---==<--+-，223521112111ln(1)ln(1)ln(1)41414111141414111113222111[1()]364111ln ln 2.362从而 n nn n e --++++++---<+++---<++++=+-<+=<<故原不等式成立．我认为证法三较好。

2011年湖南文一、选择题（共8小题；共40分）1. 设全集U=M∪N=1,2,3,4,5，M∩∁U N=2,4，则N= A. 1,2,3B. 1,3,5C. 1,4,5D. 2,3,42. 若a,b∈R，i为虚数单位，且a+i i=b+i，则 A. a=1,b=1B. a=−1,b=1C. a=−1,b=−1D. a=1,b=−13. “ x>1”是“ x >1”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 9π+42B. 36π+18C. 92π+12 D. 92π+185. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2=n ad−bc2a+b c+d a+c b+d 算得K2=110×40×30−20×20260×50×60×50≈7.8附表：P K2≥k0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为＂爱好该项运动与性别有关＂B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为＂爱好该项运动与性别无关＂C. 有99%以上的把握认为＂爱好该项运动与性别有关＂D. 有99%以上的把握认为＂爱好该项运动与性别无关＂6. 设双曲线x2a −y29=1a>0的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为 A. 4B. 3C. 2D. 17. 曲线y=sin xsin x+cos x −12在点Mπ4,0处的切线的斜率为 A. −12B. 12C. −22D. 228. 已知函数f x=e x−1，g x=−x2+4x−3，若有f a=g b，则b的取值范围为 A. 2−2,2+2B. 2−2,2+2C. 1,3D. 1,3二、填空题（共8小题；共40分）9. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosαy=3sinα α为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρcosθ−sinθ+1=0，则C1与C2的交点个数为．10. 已知某试验范围为10,90，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是．11. 若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=4，x4=8，则输出的数等于．12. 已知f x为奇函数，g x=f x+9，g−2=3，则f2=．13. 设向量a，b满足a=2b=2,1，且a与b的方向相反，则a的坐标为．14. 设m>1，在约束条件y≥xy≤mxx+y≤1下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为．15. 已知圆C:x2+y2=12，直线l:4x+3y=25．①圆C的圆心到直线l的距离为；②圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为．16. 给定k∈N∗，设函数f:N∗→N∗满足：对于任意大于k的正整数n，f n=n−k．（1）设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为；（2）设k=4，且当n≤4时，2≤f n≤3，则不同的函数f的个数为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c sin A=a cos C．（1）求角C的大小；（2）求3sin A−cos B+π4的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．18. 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160．（1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．19. 如图，在圆锥PO中，已知PO=⊙O的直径AB=2，点C在AB上，且∠CAB=30∘，D为AC的中点．（1）证明：AC⊥平面POD；（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．20. 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．（1）求第n年初M的价值a n的表达式；（2）设A n=a1+a2+⋯+a nn，若A n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．21. 已知平面内一动点P到点F1,0的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求AD⋅EB的最小值．−a ln x a∈R．22. 设函数f x=x−1x（1）讨论函数f x的单调性．（2）若f x有两个极值点x1和x2，记过点A x1,f x1,B x2,f x2的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2−a ?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. B2. D 【解析】因为a+i i=−1+a i=b+i，根据复数相等的条件可知a=1,b=−1．3. A 【解析】因“ x>1” ⇒“ x >1”，反之“ x >1” ⇒“ x>1或x<−1”，不一定有“ x>1”．4. D 【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V=43π323+3×3 ×2=92π+18.5. C【解析】由题意K2=7.8>6.635，有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．同时，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；6. C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为y=±3ax，故可知a=2．7. B 【解析】yʹ=cos x sin x+cos x−sin x cos x−sin xsin x+cos x2=1sin x+cos x2，所以yʹx=π4=1sinπ+cosπ2=12．8. B 【解析】由题可知f x=e x−1>−1，g x=−x−22+1≤1．若有f a=g b，则−b2+4b−3>−1，解得2−2<b<2+2．第二部分9. 2【解析】曲线C1:x24+y23=1,曲线C2:x−y+1=0,联立方程消y得7x2+8x−8=0,易得Δ>0，故有2个交点．或者由直线C2上的点0,1在椭圆C1内部，所以直线与椭圆必有两个交点．10. 40或60【解析】由区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：x1=10+5×90−10=60,x2=10+90−60=40.由对称性可知，第二次试点可以是40或60．11. 154【解析】输出的数等于x=x1+x2+x3+x44=154.12. 6g−2=f−2+9=3,则f−2=−6,又f x为奇函数，所以f2=−f−2=6.13. −4,−214. 3【解析】画出可行域，如图，可知z=x+5y在点A11+m ,m1+m处取最大值4，解得m=3．15. 5，16【解析】①由点到直线的距离公式可得d=42+32=5;②可求与直线4x+3y=25平行且距离为2，与圆相交的直线方程为4x+3y=15．由①可知圆心到直线的距离为5，所以圆心到直线4x+3y=15的距离为3，从而直线4x+3y=15与圆x2+y2=12相交所得的弦长为23，对应劣弧所对的圆心角为π3，故所求概率为P=π32π=16．16. m m∈N∗，16【解析】（1）由题可知f n∈N∗，而k=1时，n>1则f n=n−1∈N∗,故只须f1∈N∗，故f1=m,m∈N∗;（2）由题可知k=4,n>4，则f n=n−4∈N∗,而n≤4时，2≤f n≤3,即f n∈2,3，即n∈1,2,3,4,f n∈2,3,故不同的函数f的个数为24=16．17. （1）由正弦定理得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π，所以sin A>0，从而sin C=cos C,又cos C≠0，所以tan C=1，则C=π4．（2）由（1）知B=3π4−A．于是3sin A−cos B+π=3sin A−cosπ−A=3sin A+cos A=2sin A+π6.因为0<A<3π4，所以π<A+π<11π,从而当A+π6=π2，即A=π3时，2sin A+π6取最大值2.综上所述，3sin A−cos B+π4的最大值为2，此时A=π3，B=5π12．18. （1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率的分布表为：降雨量70110140160200220频率120320420720320220（2）P=P Y<490 或 Y>530=P X<130 或 X>210=120+320+220=3 10,故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310．19. （1）因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD．又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO．又因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD．（2）由（1）知，AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC，如图，在平面POD中，过O作OH⊥PD于H．则OH⊥平面PAC．连接CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角．在Rt△POD中，OH=PO⋅OD PO2+OD2=2×122+4=2 3 ,在Rt△OHC中，sin∠OCH=OH=2.20. （1）当n≤6时，数列a n是首项为120，公差为−10的等差数列．a n=120−10n−1=130−10n;当n≥6时，数列a n是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6=70，所以a n=70×34n−6.因此，第n年初，M的价值a n的表达式为a n=130−10n,n≤6, 70×3n−6,n≥7.（2）设S n表示数列a n的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得：当1≤n≤6时，S n=120n−5n n−1,A n=120−5n−1=125−5n;当n≥7时，S n=S6+a7+a8+⋯+a n=570+70×34×4×1−34n−6=780−210×3n−6,A n=780−210×34n−6 n.因为a n是递减数列，所以A n是递减数列，又A8=780−210×348−68=824764>80,A9=780−210×349−6=7679<80,所以须在第9年初对M更新．21. （1）设动点P的坐标为x,y,由题意有− x =1.化简得y2=2x+2 x ,当x≥0时，y2=4x;当x<0时，y=0.所以动点P的轨迹C的方程为：y2=4x x≥0 和 y=0x<0.（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k x−1.由y=k x−1,y2=4x,得k2x2−2k2+4x+k2=0.设A x1,y1,B x2,y2,则x1,x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=2+4k2,x1x2=1.因为l1⊥l2,所以l2的斜率为−1k.设D x3,y3,E x4,y4,则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1,所以AD⋅EB= AF+FD⋅ EF+FB=AF⋅EF+AF⋅FB+FD⋅EF+FD⋅FB=AF⋅FB+FD⋅EF=x1+1x2+1+x3+1x4+1=1+2+42+1+1+2+4k2+1=8+4 k2+1 k2≥8+4×2k2⋅1 2=16.当且仅当k2=1k，即k=±1时，AD⋅EB取最小值16．22. （1）f x的定义域为0,+∞，fʹx=1+1x2−ax=x2−ax+1x2.令g x=x2−ax+1，其判别式Δ=a2−4.①当a ≤2时，Δ≤0，fʹx≥0,故f x在0,+∞上单调递增．②当a<−2时，Δ>0，g x=0的两根都小于0，在0,+∞上，fʹx>0,故f x在0,+∞上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g x=0的两根为x1=a− a2−42,x2=a+ a2−4,当0<x<x1时，fʹx>0；当x1<x<x2时，fʹx<0；当x>x2时，fʹx>0．故f x分别在0,x1，x2,+∞上单调递增，在x1,x2上单调递减．综上知，当a≤2时，f x在定义域0,+∞上单调递增；当a>2时，f x在区间0,a− a2−42与a+ a2−42,+∞ 上单调递增；在区间a− a2−42,a+ a2−42上单调递减．（2）由（1）知，a>2. x1,x2与（1）中相同．因为f x1−f x2=x1−x2+x1−x212−a ln x1−ln x2,所以普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版k=f x1−f x212=1+112−a⋅ln x1−ln x212.又由（1）知，x1x2=1．于是k=2−a⋅ln x1−ln x212.若存在a，使得k=2−a．则ln x1−ln x212=1,即ln x1−ln x2=x1−x2,亦即x2−1x2−2ln x2=0x2>1∗.再由（1）知，函数 t=t−1t−2ln t在0,+∞上单调递增，而x2>1，所以x2−12−2ln x2>1−1−2ln1=0,这与∗式矛盾．故不存在a，使得k=2−a．。

2011年广东文一、选择题（共9小题；共45分）1. 设复数z满足i z=1，其中i为虚数单位，则z= A. −iB. iC. −1D. 12. 已知集合A=x,y x,y为实数,且x2+y2=1，B=x,y x,y为实数,且x+y=1，则A∩B的元素个数为 A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知向量a=1,2，b=1,0，c=3,4．若λ为实数， a+λb∥c，则λ= A. 14B. 12C. 1D. 24. 函数f x=11−x+lg1+x的定义域是 A. −∞,−1B. 1,+∞C. −1,1∪1,+∞D. −∞,+∞5. 不等式2x2−x−1>0的解集是 A. −12,1 B. 1,+∞C. −∞,1∪2,+∞D. −∞,−12∪1,+∞6. 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2,y≤2,x≤2y给定．若M x,y为D上的动点，点A的坐标为2,1，则z=OM⋅OA的最大值为 A. 3B. 4C. 3D. 47. 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A. 20B. 15C. 12D. 108. 设圆C与圆x2+y−32=1外切，且与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为 A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 圆9. 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A. 43B. 4C. 23D. 2二、填空题（共5小题；共25分）10. 已知a n是递增的等比数列，a2=2，a4−a3=4，则此数列的公比q=．11. 设函数f x=x3cos x+1．若f a=11，则f−a=．12. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间 x12345命中率 y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为．13. 已知两曲线参数方程分别为x=5cosθ,y=sinθ0≤θ<π和x=54t2,y=tt∈R，它们的交点坐标为．14. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，E、F分别为AD、BC上的点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=2sin13x−π6，x∈R．（1）求f0的值；（2）设α，β∈0,π2，f3α+π2=1013，f3β+2π=65，求sinα+β的值．16. 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n n=1,2,⋯,6的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号 n12345成绩 x n7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间68,75中的概率．17. 图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A,Aʹ,B,Bʹ分别为CD,CʹDʹ,DE,DʹEʹ的中点，O1,O1ʹ,O2,O2ʹ分别为CD,CʹDʹ,DE,DʹEʹ的中点．（1）证明：O1ʹ,Aʹ,O2,B四点共面；（2）设G为AAʹ中点，延长AʹO1ʹ到Hʹ，使得O1ʹHʹ=AʹO1ʹ．证明：BO2ʹ⊥平面HʹBʹG．18. 设a>0，讨论函数f x=ln x+a1−a x2−21−a x的单调性．n≥2．19. 设b>0，数列a n满足a1=b，a n=nb a n−1a n−1+n−1（1）求数列a n的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=−2交x轴于点A．设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T1,−1，设H是E上动点，求 HO + HT 的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T1,−1且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k 的取值范围．答案第一部分1. A 【解析】z=1i =−ii×−i=−i．2. C 【解析】A∩B的元素个数等价于圆x2+y2=1与直线x+y=1的交点个数，显然有2个交点．3. B 【解析】a+λb=1+λ,2，由 a+λb∥c，得6−41+λ=0，解得λ=12．4. C 【解析】1−x≠01+x>0⇒x>−1且x≠1，则f x的定义域是−1,1∪1,+∞．5. D【解析】2x2−x−1>0即x−12x+1>0，所以x<−12或x>1．则不等式的解集为 −∞,−12∪1,+∞．6. B 【解析】z=x+y即y=−x+z，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y=−2x+z经过点M 2,2时，z取得最大值．7. D 【解析】正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5×2=10条．8. A 【解析】依题意得，动圆圆心C到点0,3的距离与它到直线y=−1的距离相等，则C的圆心轨迹为抛物线．9. C 【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积S=12×2×23=23，四棱锥的高为3，则该几何体的体积V=13S =13×23×3=2 3.第二部分10. 211. −9【解析】由题可得，f a=a3cos a+1=11，则f−a=−a3cos a+1=−9．12. 0.5，0.53【解析】小李这5天的平均投篮命中率y=150.4+0.5+0.6+0.6+0.4=0.5，时间的平均数是x=3．所以b=x−x y−y5i=1x−x25i=1=0.2+0+0+0.1+−0.2−22+−12+0+12+22=0.01,从而a=y−b x=0.47．所以，线性回归方程为y=0.01x+0.47，则当x=6时，y=0.53．13. 1,255【解析】x=5cosθy=sinθ表示椭圆x25+y2=1（−5<x≤5,且0≤y≤1）；x=54t2y=t 表示抛物线y2=45x．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．14. 75【解析】如图，分别延长AD、BC，且AD∩BC=P．因为CDEF =23,所以S△PCDS△PEF=49；因为CDAB=24,所以S△PCD S△PAB =416，所以S梯形ABEFS梯形EFCD=75．第三部分15. （1）f0=2sin −π=−1.（2）因为f3α+π=2sin13α+π−π=2sinα=1013,所以sinα=5 13 .因为f3β+2π=2sin 133β+2π−π6=2sin β+π2=2cosβ=6 5 ,所以cosβ=3 .因为α,β∈0,π2，所以cosα=1−sinα=12 13,sinβ=1−cos2β=4 ,所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=513×35+1213×45=63 65.16. （1）1670+76+72+70+72+x6=75，解得x6=90．标准差s=1x1−x2+x2−x2+⋯+x6−x2=1652+12+32+52+32+152=7.（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为a,b，a,b∈1,2,3,4,5且a≠b，则基本事件有1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5共10种．这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间68,75中．设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间68,75中”．则A中的基本事件有1,2、2,3、2,4、2,5共4种，则P A=410=25．17. （1）连接BO2,O2O2ʹ，依题意得O1,O1ʹ,O2,O2ʹ是圆柱底面圆的圆心，即CD,CʹDʹ,DE,DʹEʹ是圆柱底面圆的直径．∵Aʹ,B,Bʹ分别为CʹDʹ,DE,DʹEʹ的中点，∴∠AʹO1ʹDʹ=∠BʹO2ʹDʹ=90∘．∴AʹO1ʹ∥BʹO2ʹ．∵BBʹ平行且等于O2O2ʹ，四边形O2O2ʹBʹB是平行四边形，∴BO2∥BʹO2ʹ,∴AʹO1ʹ∥BO2，∴O1ʹ,Aʹ,O2,B四点共面．（2）延长AO1到H，使得O1H=AO1，连接HHʹ,HO1ʹ,HB，∵O1ʹHʹ=AʹO1ʹ，∴O1ʹHʹ平行且等于O2ʹBʹ,∴四边形O1ʹO2ʹBʹHʹ是平行四边形，∴O1ʹO2ʹ∥HʹB．∵O1ʹO2ʹ⊥O2O2ʹ,O1ʹO2ʹ⊥BʹO2ʹ,O2O2ʹ∩BʹO2ʹ=O2ʹ，∴O1ʹO2ʹ⊥平面O2O2ʹBʹB，∴HʹBʹ⊥平面O2O2ʹBʹB，∵BO2ʹ⊂平面O2O2ʹBʹB，∴BO2ʹ⊥HʹBʹ，易知四边形AAʹHʹH是正方形，且边长AAʹ=2因为tan∠HO1ʹHʹ=HHʹ1=2,tan∠AʹHʹG=AʹGAʹHʹ=12,所以tan∠HO1ʹHʹ⋅tan∠AʹHʹG=1,∴∠HO1ʹHʹ+∠AʹHʹG=90∘，∴HO1ʹ⊥HʹG，易知O1ʹO2ʹ∥HB,四边形O1ʹO2ʹBH是平行四边形∴BO2ʹ∥HO1ʹ∴BO2ʹ⊥HʹG，而HʹG∩HʹBʹ=Hʹ，∴BO2ʹ⊥平面HʹBʹG．18. 函数f x的定义域为0,+∞，fʹx=1x+2a1−a x−21−a=2a1−a x2−21−a x+1.令g x=2a1−a x2−21−a x+1，则Δ=41−a2−8a1−a=12a2−16a+4=43a−1a−1.①当0<a<13时，Δ>0,令fʹx=0，解得x=1−a±3a−1a−1.则当0<x<1−a−2a1−a 或x>1−a+2a1−a时，fʹx>0．当1−a− 3a−1a−12a1−a <x<1−a+3a−1a−12a1−a时，fʹx<0．则f x在0,1−a− 3a−1a−12a1−a ,1−a+3a−1a−12a1−a,+∞ 上单调递增，在1−a− 3a−1a−12a1−a ,1−a+3a−1a−12a1−a上单调递减；②当13≤a≤1时，Δ≤0,fʹx≥0,则f x在0,+∞上单调递增；③当a>1时，Δ>0，令fʹx=0，解得x=1−a±2a1−a.因为x>0，所以x=1−a−2a1−a则当0<x<1−a− 3a−1a−12a1−a 时，fʹx>0，当x>1−a− 3a−1a−12a1−a时，fʹx<0．则f x在0,1−a−2a1−a 上单调递增，在1−a−2a1−a,+∞ 上单调递减．19. （1）因为a n=nb a n−1a n−1+n−1，所以a n n =ba n−1a n−1+n−1,所以n n =1⋅n−1n−1+1.①当b=1时，n n −n−1n−1=1,则na n是以1为首项，1为公差的等差数列，所以na n=1+n−1×1=n,即a n=1;②当b>0且b≠1时，n a n +11−b=1bn−1a n−1+11−b,当n=1时，1 a1+11−b=1b1−b,所以na n +11−b是以1b1−b为首项，1b为公比的等比数列，所以n n +1=1⋅1n,所以n a n =11−b b n−11−b=1−b n1−b b n,所以a n=n1−b b n 1−b n.综上所述，a n=n1−b b n1−b n,b>0 且 b≠1, 1,b=1.（2）①当b=1时，2a n=b n+1+1=2;②当b>0且b≠1时，1−b n=1−b1+b+⋯+b n−2+b n−1.要证2a n≤b n+1+1，只需证2n1−b b n1−b≤b n+1+1，即证2n1−b≤b+1 ,即证2nn−2n−1≤b+1n,即证b+1n1+b+⋯+b n−2+b n−1≥2n,即证b+b2+⋯+b n−1+b n+1n+1n−1+⋯+12+1≥2n.因为 b+b2+⋯+b n−1+b n+1b n+1b n−1+⋯+1b2+1b= b+1b+ b2+1b2+⋯+ b n−1+1b n−1+ b n+1b n≥2b⋅1b+2b2⋅1b2+⋯+2b n−1⋅1b n−1+2b n⋅1b n=2n,所以原不等式成立，所以对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1.20. （1）如图所示，连接OM，则 PM = OM ．因为∠MPO=∠AOP,所以动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M x,y．①当MP⊥l时， MP = x+2， OM = x2+y2，根据题意有x+2= x2+y2,化简得y2=4x+4x≥−1;②当M在x的负半轴上时，y=0x<−1.综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4x≥−1 或 y=0x<−1.（2）由（1）知M的轨迹是顶点为−1,0，焦点为原点的抛物线和x轴的负半轴上满足y= 0x<−1的点集．①若H是抛物线上的动点，过H作HN⊥l于N，由于l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有 HO = HN ，则HO + HT = HN + HT .当N,H,T三点共线时， HN + HT 有最小值TN =3,,−1．求得此时H的坐标为 −34②若H是x的负半轴y=0x<−1上的动点显然有HO + HT >3.,−1．综上所述， HO + HT 的最小值为3，此时点H的坐标为 −34（3）如图，普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版设抛物线顶点A −1,0 ，则直线AT 的斜率是k AT =−12. 因为点T 1,−1 在抛物线内部，所以过点T 且不平行于x 、y 轴的直线l 1必与抛物线有两个交点． 直线l 1与轨迹E 的交点个数应当分以下四种情况讨论： ①当k ≤−12时，直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点； ②当−12<k <0时，直线l 1与轨迹E 有且只有三个不同的交点； ③当k =0时，直线l 1与轨迹E 有且只有一个交点； ④当k >0时，直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点． 综上所述，直线l 的斜率k 的取值范围是 −∞,−12 ∪ 0,+∞ ．。

2011年辽宁理一、选择题（共12小题；共60分）1. 若a为正实数，i为虚数单位，∣∣a+ii∣∣=2，则a=( )A. 2B. √3C. √2D. 12. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M=∅，则M∪N=( )A. MB. NC. ID. ∅3. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，∣AF∣+∣BF∣=3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A. 34B. 1 C. 54D. 744. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，并且有asinAsinB+bcos2A=√2a，则ba=( )A. 2√3B. 2√2C. √3D. √25. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A= "取到的2个数之和为偶数"，事件B= "取到的2个数均为偶数"，则P(B∣A)=( )A. 18B. 14C. 25D. 126. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是( )A. 8B. 5C. 3D. 27. 设sin(π4+θ)=13，则sin2θ=( )A. −79B. −19C. 19D. 798. 如图，四棱锥S−ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A. AC ⊥SBB. AB ∥ 平面 SCDC. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角D. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角9. 设函数 f (x )={21−x ,x ≤1,1−log 2x,x >1，则满足 f (x )≤2 的 x 取值范围是 ( )A. [−1,2]B. [0,2]C. [1,+∞)D. [0,+∞)10. 若 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗ 均为单位向量，且 a ⃗⋅b ⃗⃗=0，(a ⃗−c ⃗)⋅(b ⃗⃗−c ⃗)≤0，则 ∣a ⃗+b ⃗⃗−c ⃗∣ 的最大值为( )A. √2−1B. 1C. √2D. 211. 函数 f (x ) 的定义域为 R ，f (−1)=2，对任意 x ∈R ，fʹ(x )>2，则 f (x )>2x +4 的解集为( )A. (−1,1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−∞,+∞)12. 已知球的直径 SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =√3，∠ASC =∠BSC =30∘，则棱锥S −ABC 的体积为 ( )A. 3√3B. 2√3C. √3D. 1二、填空题（共4小题；共20分） 13. 已知点 (2,3) 在双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 ．14. 调查了某地若干户家庭的年收入 x （单位：万元）和年饮食支出 y （单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程： y ^=0.254x +0.321 ．由回归直线方程可知，家庭收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 万元．15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2√3，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．16. 已知函数 f (x )=Atan (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣<π2)，y =f (x ) 的部分图象如图，则f (π24)= ．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=−10．（1）求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．（2）求数列{a n2n−1PD．18. 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（2）求二面角Q−BP−C的余弦值．19. 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，其中附：样本数据x1，x2，⋯,x n的样本方差s2=1nx为样本平均数．（1）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（2）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406分别求品种甲和品种乙每公顷产量品种乙419403412418408423400413的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你应该种植哪一品种?20. 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e．直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（1）设 e =12，求 ∣BC ∣ 与 ∣AD ∣ 的比值； （2）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥AN ，并说明理由．21. 已知函数 f (x )=lnx −ax 2+(2−a )x ．（1）讨论 f (x ) 的单调性；（2）设 a >0，证明：当 0<x <1a时，f (1a+x)>f (1a−x)；（3）若函数 y =f (x ) 的图象与 x 轴交于 A,B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x 0，证明：fʹ(x 0)<0．22. 如图，A,B,C,D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC =ED ．（1）证明：CD ∥AB ； （2）延长 CD 到 F ，延长 DC 到 G ，使得 EF =EG ，证明：A,B,G,F 四点共圆．23. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =cosφy =sinφ（φ 为参数），曲线 C 2 的参数方程为 {x =acosφy =bsinφ（a >b >0，φ 为参数）．在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l:θ=α 与 C 1，C 2 各有一个交点，当 α=0 时，这两个交点间的距离为 2，当 α=π2 时，这两个交点重合．（1）分别说明 C 1，C 2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；（2）设当 α=π4 时，l 与 C 1，C 2 的交点分别为 A 1，B 1，当 α=−π4 时，l 与 C 1，C 2 的交点分别为 A 2，B 2，求四边形 A 1A 2B 2B 1 的面积．24. 已知函数 f (x )=∣x −2∣−∣x −5∣．（1）证明：−3≤f (x )≤3；（2）求不等式 f (x )≥x 2−8x +15 的解集．答案第一部分 1. B2. A【解析】如图，由 N ∩∁I M =∅，得 N ⊆M ，则 M ∪N =M ．3. C 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 AB 的中点坐标为 (x 1+x 22,y 1+y 22)，由抛物线的定义可得 ∣AF ∣+∣BF ∣=x 1+x 2+12=3，所以 x 1+x 2=52．而 AB 的中点到 y 轴的距离即为 AB 中点的横坐标，即 54．4. D5. B【解析】依题意，可知 P (A )=1+C 32C 52=25；P (AB )=1C 52=110，所以 P (B ∣A )=P (AB )P (A )=14．6. C 【解析】第 3 次循环后结束循环，此时 p =3，s =2，t =3，k =4．7. A 【解析】将 sin (π4+θ)=13展开可得 sinθ+cosθ=√23，再平方即可求得 sin2θ=−79．8. D9. D 【解析】由题意，得{x ≤1,21−x ≤2,或 {x >1,1−log 2x ≤2.解之即得． 10. B【解析】由 (a ⃗−c ⃗)⋅(b ⃗⃗−c ⃗)≤0，得 a ⃗⋅b ⃗⃗−c ⃗⋅(a ⃗+b ⃗⃗)+c ⃗2≤0 ， 由 ∣c ⃗∣=1，a ⃗⋅b ⃗⃗=0，得 −c ⃗⋅(a ⃗+b⃗⃗)≤−1 ， 从而 ∣∣a ⃗+b ⃗⃗−c ⃗∣∣2=a ⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗2+2a ⃗⋅b ⃗⃗−2c ⃗⋅(a ⃗+b⃗⃗)≤3−2=1.因此，∣a ⃗+b ⃗⃗−c ⃗∣ 的最大值为 1 ．11. B 【解析】令 ℎ(x )=f (x )−2x −4，则 ℎʹ(x )=fʹ(x )−2，由题可知 ℎʹ(x )>0，故 ℎ(x ) 单增，又 ℎ(−1)=f (−1)−2=0，所以解集为 (−1,+∞)．12. C 【解析】提示：如图，过 A,B 作与 SC 垂直的截面圆 ⊙M ．可求得 AM =BM =AB =√3，所以 V S−ABC =13S △AMB ⋅SC =√3．第二部分 13. 2【解析】{4a 2−9b 2=1,c =2,a 2+b 2=c 2,可得 a =1，b =√3，c =2，所以离心率 e =2．14. 0.25415. 2√3【解析】提示：底面边长为 2． 16. √3【解析】由 T =2(3π8−π8)=π2，得 ω=2；由 Atan (3π8ω+φ)=0，得 φ=π4；由 Atan (2×0+π4)=1，得 A =1．∴f (π24)=tan π3=√3． 第三部分17. （1） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ．由已知条件可得{a 1+d =0,2a 1+12d =−10,解得{a 1=1,d =−1,故数列 {a n } 的通项公式为a n =2−n.（2） 设数列 {an2n−1} 的前 n 项和为 S n ，即S n =a 1+a 22+⋯+a n2n−1, 故S 1=1,S n 2=a 12+a 24+⋯+a n2n , 所以，当 n >1 时，S n2=a 1+a 2−a 12+⋯+a n −a n−12n−1−a n2n =1−(12+14+⋯+12n−1)−2−n2n=1−(1−12n−1)−2−n2n=n 2n ,所以 S n =n2n−1.综上，数列 {an2n−1} 的有 n 项和 S n =n2n−1.18. （1） 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D −xyz ．依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0).则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,0),所以PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0. 即PQ ⊥DQ,PQ ⊥DC.又 DQ ∩DC =D, 所以PQ ⊥平面DCQ.又 PQ ⊂ 平面 PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.（2） 依题意有 B (1,0,1)，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0),BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2,−1).设 n ⃗⃗=(x,y,z ) 是平面 PBC 的法向量，则{n ⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n ⃗⃗⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{x =0,−x +2y −z =0.因此可取n ⃗⃗=(0,−1,−2).设 m ⃗⃗⃗ 是平面 PBQ 的法向量，则{m ⃗⃗⃗⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,m ⃗⃗⃗⋅PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.可取m ⃗⃗⃗=(1,1,1).所以cos ⟨m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗⟩=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗∣m⃗⃗⃗∣∣n ⃗⃗∣=−√155.故二面角 Q −BP −C 的余弦值为 −√155． 19. （1） X 可能的取值为 0,1,2,3,4，且P (X =0)=1C 84=170,P (X =1)=C 41C 43C 84=835,P (X =2)=C 42C 42C 84=1835,P (X =3)=C 43C 41C 84=835,P (X =4)=1C 84=170.即 X 的分布列为X 01234P1708351835835170X 的数学期望为EX=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.（2） 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲=18(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,s 甲2=18[32+(−3)2+(−10)2+42+(−12)2+02+122+62]=57.25.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 乙=18(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,s 乙2=18[72+(−9)2+02+62+(−4)2+112+(−12)2+12]=56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应选择种植品种乙．20. （1） 因为 C 1，C 2 的离心率相同，故依题意可设C 1:x 2a 2+y 2b 2=1,C 2:b 2y 2a 4+x 2a2=1(a >b >0). 设直线 l:x =t (∣t∣<a )，分别与 C 1，C 2 的方程联立，求得A (t,a b √a 2−t 2),B (t,ba √a 2−t 2).当 e =12 时，b =√32a ，分别用 y A ，y B 表示 A ，B 的纵坐标，可知 ∣BC∣:∣AD∣=2∣y B ∣2∣y A ∣=b 2a 2=34.（2）t=0时的l不符合题意；t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，即ba√a2−t2t =ab√a2−t2t−a,解得t=−ab2a2−b2=−1−e2e2⋅a.因为∣t∣<a，又0<e<1，所以1−e 2e2<1．解得√22<e<1．所以当0<e≤√22时，不存在直线l，使得BO∥AN；当√22<e<1时，存在直线l，使得BO∥AN．21. （1）f(x)的定义域为(0,+∞)，fʹ(x)=1x−2ax+(2−a)=−(2x+1)(ax−1)x.①若a≤0，则fʹ(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增．②若a>0，则由fʹ(x)=0得x=1a ，且当x∈(0,1a)时，fʹ(x)>0，当x>1a时，fʹ(x)<0，所以f(x)在(0,1a )单调递增，在(1a,+∞)单调递减．（2）设函数g(x)=f(1a +x)−f(1a−x)，则g(x)=ln(1+ax)−ln(1−ax)−2ax,gʹ(x)=a1+ax+a1−ax−2a=2a3x21−a2x2.当0<x<1a 时，gʹ(x)>0，而g(0)=0，所以g(x)>0．故当0<x<1a时，f(1a+x)>f(1a−x).（3）由（1）可得，当a≤0时，函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故a>0，从而f(x)的最大值为f(1a )，且f(1a)>0．不妨设A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2，则0<x1<1a<x2.由（2）得f(2a −x1)=f(1a+1a−x1)>f(x1)=0.从而x2>2a−x1，于是x0=x1+x22>1a.由（1）知，fʹ(x0)<0．22. （1）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB．（2）由（1）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.由（1）中结论CD∥AB可得∠AFG+∠FAB=180∘，所以∠AFG+∠GBA=180∘.故A,B,G,F四点共圆．23. （1）C1是圆，C2是椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)．因为这两点间的距离为2，所以a=3．当α=π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0,b)．因为这两点重合，所以b=1．（2）C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1,x29+y2=1.当α=π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x=√22，与C2交点B1的横坐标为xʹ=3√1010．当α=−π4时，射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1的面积为(2xʹ+2x)(xʹ−x)2= 2 5.24. （1）f(x)=∣x−2∣−∣x−5∣={−3,x≤2,2x−7,2<x<5, 3,x≥5,当2<x<5时，−3<2x−7<3,所以−3≤f(x)≤3.（2）由（1）可知，当x≤2时，f(x)≥x2−8x+15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x2−8x+15的解集为{x∣ 5−√3≤x<5};当x≥5时，f(x)≥x2−8x+15的解集为{x∣ 5≤x≤6}.综上，不等式f(x)≥x2−8x+15的解集为{x∣ 5−√3≤x≤6}.。

2011年福建理一、选择题（共10小题；共50分）1. i 是虚数单位，若集合S = −1,0,1 ，则 A. i ∈SB. i 2∈SC. i 3∈SD. 2i ∈S2. 若a ∈R ，则＂a =2＂是＂ a −1 a −2 =0＂的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tan α=3，则sin 2αcos α的值等于 A. 2B. 3C. 4D. 64. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A. 14B. 13 C. 12 D. 235. e x +2x d x 10等于 A. 1B. e −1C. eD. e +1 6. 1+2x 5的展开式中，x 2的系数等于 A. 80B. 40C. 20D. 107. 设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1,F 2，若曲线T 上存在点P 满足 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2，则曲线T 的离心率等于 A. 12或32B. 23或2C. 12或2D. 23或328. 已知O 是坐标原点，点A −1,1 ，若点M x ,y 为平面区域 x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点，则OA ⋅OM 的取值范围是 A. −1,0B. 0,1C. 0,2D. −1,29. 对于函数f x =a sin x +bx +c （其中a ,b ∈R ,c ∈Z ），选取a ,b ,c 的一组值计算f 1 和f −1 ，所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6B. 3和1C. 2和4D. 1和210. 已知函数f x =e x +x ，对于曲线y =f x 上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是 A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④二、填空题（共5小题；共25分）11. 运行如图所示的程序，输出的结果是．a=1b=2a=a+bPRINT aEND12. 三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P−ABC的体积等于．13. 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．14. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D在BC边上，∠ADC=45∘，则AD的长度等于．15. 设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:V→R满足：对任意向量a=x1,y1∈V,b=x2,y2∈V，以及任意λ∈R，均有f λa+1−λb=λf a+1−λf b，则称映射f具有性质P．现给出如下映射：①f1:V→R,f1m=x−y,m=x,y∈V；②f2:V→R,f2m=x2+y,m=x,y∈V；③f3:V→R,f3m=x+y+1,m=x,y∈V．其中，具有性质P的映射的序号为．（写出所有具有性质P的映射的序号）三、解答题（共8小题；共104分）．16. 已知等比数列a n的公比q=3，前3项和S3=133（1）求数列a n的通项公式；处取得最大值，且最大值为a3，求函（2）若函数f x=A sin2x+φA>0,0<φ<π在x=π6数f x的解析式．17. 已知直线l:y=x+m，m∈R．（1）若以点M2,0为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（2）若直线l关于x轴对称的直线为lʹ，问直线lʹ与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由．18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=ax−3+10x−62，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．19. 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,⋯,8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．注：（1）产品的"性价比"= 产品的等级系数的数学期望产品的零售价；（2）"性价比"大的产品更具可购买性．（1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4a b0.1且X1的数学期望EX1=6，求a,b的值；（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由．20. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2，∠CDA=45∘．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设AB=AP．①若直线PB与平面PCD所成的角为30∘，求线段AB的长；②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等?说明理由．21. 设矩阵M=a00b（其中a>0，b>0）．（1）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M−1；（2）若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线Cʹ:x24+y2=1，求a，b 的值．22. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x−y+4=0，曲线C的参数方程为x=3cosαy=sinαα为参数．（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为4,π2，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．23. 设不等式2x−1<1的解集为M．（1）求集合M；（2）若a,b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．答案第一部分 1. B 【解析】i 2=−1∈S ，i 3=−i ∉S ，2i =−2i ∉S ．2. A 【解析】由a =2，可得 a −1 a −2 =0成立；反之，不一定成立．3. D4. C【解析】不妨设矩形的长，宽分别为a ，b ，于是S 矩形=ab ，S △ABE =12ab ，由几何概率的定义可知P =S △ABE S 矩形=12．5. C【解析】 e x +2x d x 10= e x +x 2 01=e +1−1=e ．6. B 【解析】 1+2x 5的展开式中，含x 2项的系数等于C 5222=40．7. A【解析】当曲线为椭圆时，e = F 1F 2PF 1+ PF 2=34+2=12； 当曲线为双曲线时，e = F 1F 2PF 1−PF 2=34−2=32． 8. C 【解析】OA⋅OM =−x +y ，平面的可行域是以 1,1 , 0,2 , 1,2 为顶点的三角形，则OA ⋅OM 的取值范围是 0,2 ．9. D【解析】f 1 =a sin1+b +c ，f −1 =−a sin1−b +c ，则f 1 +f −1 =2c ，为偶数． 10. B【解析】因为fʹ x =e x +1>1>0，且fʹ x 单调递增，所以f x 单调递增，且图象越来越陡，在任一点处的切线斜率恒大于1．其图象如图所示：设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，D 为AB 延长线上一点，且横坐标为x 3．因为在任一点处的切线斜率恒大于1，所以k BC >k AB >1，所以∠CBD <90∘，故∠ABC 为钝角，即△ABC 一定为钝角三角形．又x 1，x 2，x 3成等差数列，所以AB =BD ，而BC ≠BD ，所以AB ≠BC ，故△ABC 不可能是等腰三角形． 其他解法：因为fʹ x =e x +1>0，所以f x 在R 上单调递增． 设A ,B ,C 三点的横坐标分别为x −d ，x ，x +d （d >0），则BA= −d ,e x−d −e x −d , 故可计算得BA⋅BC =−2d 2+e 2x 2− e −d +e d +d e x−d −e x +d . 因为e −d +e d ≥2，当且仅当e −d =e d 时取等号，此时d =0．又因为d >0，所以e −d +e d >2．所以e2x2−e−d+e d<0．因为ℎx=e x在R上单调递增，所以e x−d−e x+d<0，所以BA⋅BC<0，所以B为钝角．即△ABC为钝角三角形，①正确．因为BA= d2+e x−d−e x−d2，BC= d2+e x+d−e x+d2，e x−d−e x−d<e x+d−e x+d，所以BA ≠ BC，所以△ABC不可能是等腰三角形，④正确．第二部分11. 312. 3【解析】V=13PA⋅S△ABC=13×3×12×2×2×sin60∘=3．13. 3514. 2【解析】在△ABC中，AB=AC=2，BC=23．所以∠ACB=∠ABC=30∘，而∠ADC=45∘．所以ACsin45∘=ADsin30∘，得AD=2．15. ①③【解析】①f1m=x−y,f1 λa+1−λb=f1λx1+1−λx2,λy1+1−λy2=λx1+1−λx2−λy1−1−λy2=λx1−y1+1−λx2−y2=λf a+1−λf b，是具有性质P的映射，同理可验证③符合，②不符合．第三部分16. （1）由q=3，S3=133得a11−33 1−3=133,解得a1=1 .所以a n=1×3n−1=3n−2.（2）由（1）可知a n=3n−2，所以a3=3;因为函数f x的最大值为3，所以A=3;因为当x=π6时f x取最大值，所以sin2×π6+φ =1.又0<φ<π，故φ=π6 .所以函数f x的解析式为f x=3sin2x+π.17. （1）解法一：依题意，点P的坐标为0,m．因为MP⊥l，所以0−m×1=−1,解得m=2,即点P的坐标为0,2，从而圆的半径r= MP=2−02+0−22=22,故所求圆的方程为x−22+y2=8.解法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为x−22+y2=r2.依题意，所求圆与直线l:x−y+m=0相切于点P0,m，则4+m2=r2,2=r,解得m=2,r=2 2.所以所求圆的方程为x−22+y2=8.（2）因为直线l的方程为y=x+m.所以直线lʹ的方程为y=−x−m.由y=−x−m,x2=4y,得x2+4x+4m=0.所以Δ=42−4×4m=161−m.①当m=1，即Δ=0时，直线lʹ与抛物线C相切；②当m≠1，即Δ≠0时，直线lʹ与抛物线C不相切．综上，当m=1时，直线lʹ与抛物线C相切；当m≠1时，直线lʹ与抛物线C不相切．18. （1）因为x=5时，y=11，所以a2+10=11,a=2.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=2x−3+10x−62,所以商场每日销售该商品所获得的利润f x=x−32+10x−62=2+10x−3x−62,3<x<6,从而，fʹx=10x−62+2x−3x−6=30x−4x−6,于是，当x变化时，fʹx,f x的变化情况如下表：x3,444,6fʹx+0−f x单调递增极大值42单调递减由上表可得，x=4是函数f x在区间3,6内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f x取得最大值，且最大值等于42．19. （1）因为EX1=6，所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2．又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5．由6a+7b=3.2,a+b=0.5,解得a=0.3, b=0.2.（2）由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以EX2=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8．（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6=1;因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.8=1.2,4据此，乙厂的产品更具可购买性．20. （1）因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）①以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A−xyz（如图）．在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．在Rt△CDE中，DE=CD⋅cos45∘=1,CE=CD⋅sin45∘=1.设AB=AP=t，则B t,0,0,P0,0,t.由AB+AD=4，得AD=4−t,所以E0,3−t,0,C1,3−t,0,D0,4−t,0,从而CD=−1,1,0,PD=0,4−t,−t.①设平面PCD的法向量为n=x,y,z，由n⊥CD,n⊥PD,得−x+y=0,4−t y−tz=0,取x=t，得平面PCD的一个法向量n=t,t,4−t.又PB=t,0,−t，故由直线PB与平面PCD所成的角为30∘，得cos60∘=n⋅PB n⋅PB,即2t2−4tt2+t2+4−t2⋅2t2= 1 2,解得t=45或t=4舍去,因为AD=4−t>0,所以AB=4 .②解法一：假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．设G0,m,0（其中0≤m≤4−t），则GC=1,3−t−m,0,GD=0,4−t−m,0,GP=0,−m,t.由GC=GD，得12+3−t−m2=4−t−m2,即t=3−m, ⋯⋯①由GD=GP，得4−t−m2=m2+t2, ⋯⋯②由①②消去t，化简得m2−3m+4=0, ⋯⋯③由于方程③没有实数根，所以线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．解法二：假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45∘,从而∠CGD=90∘,所以GD=CD⋅cos45∘=1.设AB=λ，则AD=4−λ,AG=AD−GD=3−λ.在Rt△ABG中，GB=AB2+AG2==2 λ−32+9>1,这与GB=GD矛盾，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．21. （1）设矩阵M的逆矩阵M−1=y1x2y2，则MM−1=1001,又M=2003，所以2003y1x2y2=1001,所以2x1=1，2y1=0，3x2=0，3y2=1，即x1=12,y1=0,x2=0,y2=13,故所求的逆矩阵为M−1=10 013.（2）设曲线C上任意一点P x,y，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到Pʹxʹ,yʹ,则a0 0b xy=xʹyʹ,即ax=xʹ,by=yʹ.又点Pʹxʹ,yʹ在曲线Cʹ上，所以xʹ24+yʹ2=1,则a 2x24+b2y2=1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2+y2=1，故a2=4,b2=1.又a>0，b>0，所以a=2,b=1.22. （1）把极坐标系下的点P4,π2化为直角坐标，得P0,4．因为点P的直角坐标0,4满足直线l的方程x−y+4=0,所以点P在直线l上．（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为3cosα,sinα ，从而点Q到直线l的距离为d=3cos2=2cos α+π6+42=2cos α+π6+22,由此得，当cos α+π6=−1时，d取得最小值，且最小值为2．23. （1）由2x−1<1得−1<2x−1<1,解得0<x<1,所以M=x0<x<1.（2）由（1）和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1,所以ab+1−a+b=a−1b−1>0,故ab+1>a+b.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）解析版文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N === 则P 的子集共有（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。

显然P={}3,1，子集数为22=4 故选B（2）复数512ii=-（A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+ 解析：本题考查复数的运算，属容易题。

解法一：直接法512ii=-()()()ii i i i +-=+-+22121215，故选C解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案。

（3）下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是A.3y x= B.1y x =+ C. 21y x =-+ D.2xy -=解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题 可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是()0,+∞的增函数，故选B 。

(4).椭圆221168xy+=的离心率为A. 13 B. 12C. 3D. 2解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=22422==ac,故选D 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1）设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）（A){}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 (D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=(2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ (B ）2(0)4x y x =≥ （C)24y x =()x R ∈ (D)24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法。

【解析】由原函数反解得24y x =，又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥。

（3)设向量,a b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则2a b += （A ） （B ） (C) （D ） 【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法。

【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=，所以23a b += (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 (C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值，所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是(A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质。

【解析】即寻找命题，使P a b ⇒>，且a b >推不出,逐项验证知可选A 。

2011年安徽文一、选择题（共10小题；共50分）1. 设i是虚数单位，复数1+a i2−i为纯虚数，则实数a为 A. 2B. −2C. −12D. 122. 集合U=1,2,3,4,5,6，S=1,4,5，T=2,3,4，则S∩∁U T等于 A. 1,4,5,6B. 1,5C. 4D. 1,2,3,4,53. 双曲线2x2−y2=8的实轴长是 A. 2B. 2C. 4D. 44. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x−4y=0的圆心，则a的值为 A. −1B. 1C. 3D. −35. 若点a,b在y=lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是 A. 1a ,b B. 10a,1−b C. 10a,b+1 D. a2,2b6. 设变量x,y满足x+y≤1x−y≤1x≥0，则x+2y的最大值和最小值分别为 A. 1,−1B. 2,−2C. 1,−2D. 2,−17. 若数列a n的通项公式是a n=−1n⋅3n−2，则a1+a2+⋯+a10= A. 15B. 12C. −12D. −158. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 48B. 32+817C. 48+817D. 809. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 A. 110B. 18C. 16D. 1510. 函数f x=ax n1−x2在区间0,1上的图象如图所示，则n可能是 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5小题；共25分）11. 设f x是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f x=2x2−x，则f1=．12. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是．13. 函数y=6−x−x2的定义域是．14. 已知向量a，b满足 a+2b⋅ a−b=−6，且a=1，b=2，则a与b的夹角为．15. 设f x=a sin2x+b cos2x，其中a,b∈R，ab≠0，若f x≤fπ6对一切x∈R恒成立，则①f11π12=0；②f7π10<fπ5；③f x既不是奇函数，也不是偶函数；④f x的单调递增区间是 kπ+π6,kπ+2π3k∈Z；⑤存在经过点a,b的直线与函数f x的图象不相交．以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．三、解答题（共6小题；共78分）16. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，1+2cos B+C=0，求边BC上的高．17. 设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x−1，其中实数k1,k2满足k1k2+2=0．（1）证明l1与l2相交；（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上．18. 设f x=e x1+ax，其中a为正实数．（1）当a=43时，求f x的极值点；（2）若f x为R上的单调函数，求a的取值范围．19. 如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．（1）证明直线BC∥EF；（2）求棱锥F−OBED的体积．20. 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20022004200620082010需求量万吨236246257276286（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．21. 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T n，再令a n=lg T n，n≥1．（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=tan a n⋅tan a n+1，求数列b n的前n项和S n．答案第一部分1. A 【解析】∵1+a i2−i =1+a i2+i2−i2+i=2−a+1+2a i5为纯虚数，∴实部2−a5=0，即a=2．2. B 【解析】∵∁U T=1,5,6，∴S∩∁U T=1,5．3. C 【解析】双曲线方程2x2−y2=8化为标准方程为x24−y28=1，则a2=4，a=2，2a=4．4. B 【解析】圆x2+y2+2x−4y=0化为标准方程为x+12+y−22=5，所以圆心为−1,2，代入直线3x+y+a=0得a=1．5. D【解析】由题意b=lg a，2b=2lg a=lg a2，即a2,2b也在函数y=lg x的图象上．6. B 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，且z=x+2y，即为y=−12x+12z，12z的几何意义是斜率为−12的直线在y轴上的纵截距，分析知当目标函数图象经过点B0,1时取得最大值2，经过点C0,−1时，取得最小值−2．7. A 【解析】因为数列a n的通项公式是a n=−1n⋅3n−2，所以a1+a2+⋯+a10=−1+4−7+10−⋯−25+28=3×5=15．8. C 【解析】由三视图可知该几何体是底面是等腰梯形的直棱柱．9. D 【解析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，有C64=15个结果，其中能够作为矩形的顶点的是每条棱与其正对棱的四个顶点，有3个结果，由古典概型的概率公式得所求概率为315=15．10. A【解析】由图象可知，函数在区间0,0.5上有极大值．第二部分11. −312. 15【解析】由框图可知T=0+1+2+3+⋯+k=k k+12．若T=105，则k=14，继续执行循环体，这时k=15，T>105．所以输出的k值为15．13. −3,214. π3【解析】 a+2b⋅ a−b=−6，则a2+a⋅b−2b2=−6，即12+a⋅b−2×22=−6，a⋅b=1，所以cos a,b=a ⋅ba b =12，所以 a,b=π3．15. ①③【解析】f x=a sin2x+b cos2x=2+b2sin2x+φ，fπ6=a sinπ3+b cosπ3=32a+12b．因为f x≤fπ6对一切x∈R恒成立，所以2+b2=32a+12b，即a2+b2=34a2+14b2+32ab，所以a=3b，f x=3b sin2x+b cos2x=2b sin2x+π6．①f11π12=2b sin11π6+π6=0，故①正确；②f7π10=2b sin7π5+π6=2b sin47π30=2b sin13π30，fπ5=2b sin2π5+π6=2b sin17π30=2b sin13π30，所以f7π10=fπ5，②错误；③f−x≠±f x，所以③正确；④b>0时，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2k∈Z得kπ−π3≤x≤kπ+π6k∈Z，b<0时，由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2k∈Z得kπ+π6≤x≤kπ+2π3k∈Z，所以④不正确；⑤因为经过点a,b的任意直线与函数f x的图象恒相交，所以⑤不正确．第三部分16. 因为A+B+C=π，所以B+C=π−A,又1+2cos B+C=0，所以1+2cosπ−A=0,即1−2cos A=0，cos A=12，又0<A<π，所以A=π.在△ABC中，由正弦定理asin A =bsin B得sin B=b sin A=2sinπ33=2,又因为b<a，所以B<A，B=π4，C=5π12，所以BC边上的高为AC ⋅sin C= 2sin 5π12= 2sin π+π= 2 sin πcos π+cos πsin π= 2 22× 32+ 22×12= 3+1.17. （1）反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2,代入k 1k 2+2=0，得k 12+2=0,此与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2,即l 1与l 2相交． （2）解法一： 由y =k 1x +1,y =k 2x −1,得交点坐标为2k 2−k 1,k 2+k 1k 2−k 1, 又k 1k 2+2=0,k 2=−2k 1，代入交点坐标得交点为−2k 112,2−k 1212 , 代入2x 2+y 2得2 −2k 1k 12+2 2+ 2−k 12k 12+22=1, 所以l 1与l 2的交点在椭圆2x 2+y 2=1上． 解法二：交点P 的坐标 x ,y 满足y −1=k 1x ,y +1=k 2x ,故知x ≠0，从而k 1=y −1x ,k 2=y +1x .代入k 1k 2+2=0，得y−1⋅y+1+2=0,整理后，得2x2+y2=1,所以交点P在椭圆2x2+y2=1上．18. （1）对f x求导得fʹx=e x 1+ax2−2ax. ⋯⋯①当a=43时，若fʹx=0，则4x2−8x+3=0,解得x1=32,x2=12.结合①，可知x −∞,121212,323232,+∞fʹx+0−0+ f x↗极大值↘极小值↗所以，x1=32是极小值点，x2=12是极大值点．（2）若f x为R上的单调函数，则fʹx在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2−2ax+1≥0在R上恒成立，因此Δ=4a2−4a=4a a−1≤0,由此并结合a>0，知0<a≤1.19. （1）设G是线段DA延长线与线段EB延长线的交点．由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=1DE,OG=OD=2.同理，设Gʹ是线段DA延长线与线段FC延长线的交点，有OGʹ=OD=2.又由于G和Gʹ都在线段DA的延长线上，所以G与Gʹ重合．在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB=12DE和OC∥DF，OC=12DF，可知B，C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF．（2）由OB=1，OE=2，∠EOB=60∘，知S△EOB=3 2 ,而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED=3,所以S四边形OBED =S△EOB+S△OED=332.过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F−OBED的高，且FQ=3，所以V F−OBED=1FQ⋅S四边形OBED=3.20. （1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份−2006−4−2024需求量万吨−257−21−1101929对预处理后的数据，容易算得x=0,y=3.2．b=−4×−21+−2×−11+2×19+4×2942+22+22+42=260=6.5.a=y−bx=3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y−257=b x−2006+a=6.5x−2006+3.2.即y=6.5x−2006+260.2. ⋯⋯①（2）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6.52012−2006+260.2=6.5×6+260.2=299.2≈300万吨.21. （1）设t1，t2，⋯，t n+2构成等比数列，其中t1=1,t n+2=100,则T n=t1⋅t2⋅⋯⋅t n+1⋅t n+2, ⋯⋯①①×②并利用t i t n+3−i=t1t n+2=1021≤i≤n+2，得T n2=t1t n+2⋅t2t n+1⋅⋯⋅t n+1t2⋅t n+2t1=102n+2.所以a n=lg T n=n+2,n≥1.（2）由题意和（1）中计算结果，知b n=tan n+2⋅tan n+3,n≥1.由tan1=tan k+1−k=tan k+1−tan k 1+tan k+1⋅tan k,得tan k+1⋅tan k=tan k+1−tan k−1,所以S n=b knk=1=tan k+1n+2k=3⋅tan k=tan k+1−tan ktan1−1 n+2k=3=tan n+3−tan3tan1−n.。

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、 选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2011•新课标文）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N === 则P 的子集共有（） A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】因为{1,3}P =，所以P 的子集共有224=个，选择B ． 2．（5分）（2011•新课标文）复数512ii-=（） A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+【答案】C 【解析】因为512i i -=5(12)1052(12)(12)5i i ii i i ⋅+-+===-+-+，因此选择C ． 3．（5分）（2011•新课标文）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -= 【答案】B【解析】3y x =是奇函数且在(0,)+∞单调递增，排除A ；21y x =-+是偶函数，在(0,)+∞单调递减，排除C ；||2x y -=是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，12()2x x y -==，所以||2x y -=在(0,)+∞单调递减，排除D ；||1y x =+是偶函数，在(0,)+∞上，1y x =+，单调递增．综上选择B ．4．（5分）（2011•新课标文）椭圆221168x y +=的离心率为（） A ．13 B ．12 CD【答案】D【解析】椭圆221168x y +=中，216a =，28b =， ∴2228c a b =-=，c =c e a ==，选择D ． 5．（5分）（2011•新课标文）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6那么输出的p 是（）A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B 【解析】解法1：本程序框图的功能是求!p N =，因为6N =，所以123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选择B ． 解法2：按照算法的程序化思想，分步执行下面的计算可得：1,1k p ==；2,2k p ==； 3,6k p ==； 4,24k p ==； 5,120k p ==； 6,720k p ==．此时，按终止条件结束，输出720=p ．选择B ． 6．（5分）（2011•新课标文）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A ．13B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学各参加一个小组共有933=⨯种方法， 所以甲乙两位同学参加同一个小组的概率为31333P ==⨯，选择A ． 【点评】本题考察乘法原理，古典概型的概率的计算及分析问题、解决问题的能力． 7．（5分）（2011•新课标文）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B 【解析】解法1：（特殊值法）在直线2y x =上任取一点(1,2)P ，∵1x =2y =，r = ∴根据三角函数定义得sinθ=，cos θ=， 以下可选择22cos 2cos sin θθθ=-，2cos 22cos 1θθ=-，2cos 212sin θθ=-三个公式之一计算可得．例如：22223cos 2cos sin5θθθ=-=-=-，只能选择B ．解法2：（分类讨论法）若角θ的终边在第一象限，tan 2θ=，sinθ=，2cos 212sin θθ=-35=-；若角θ的终边在第三象限，tan 2θ=，sinθ=2cos 212sin θθ=-35=-．因此选择B ．解法3：（万能公式法）在新课标教材中，万能公式在课本中已经不再出现了．对学有余力的同学，多掌握一些公式，就会多一条解题的思路，而且这里应用万能公式，也可避免分类讨论．不管角θ的终边在第一象限还是在第三象限，都有tan 2θ=，从而221tan 3cos 21tan 5θθθ-==-+，选择B ． 附万能公式：22tan sin 21tan θθθ=+，221tan cos 21tan θθθ-=+，22tan tan 21tan θθθ=-．8．（5分）（2011•新课标文）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）【答案】D【解析】由主视图和俯视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥 的组合体，所以，左视图是D ． 9．（5分）（2011•新课标文）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，||=12AB ，P 为C 的准线 上一点，则△ABP 的面积为（ ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 【答案】C【解析】设抛物线C 的方程为22y px =（0p >），由||=12AB ，得212p =，32p=， 所以C 的准线为3x =-，因此△ABP 的面积为1||362AB p ⨯⨯=，选择C ．10．（5分）（2011•新课标文）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1(,0)4-B ．1(0)4，C ．11(,)42D ．13(,)24【答案】C【解析】0(0)40320f e =+⨯-=-<，1411()4344f e =+⨯-114421620e =-<-=，112211()431022f e e =+⨯-=->，因为1()4f ·1()2f <0，所以零点所在的区间为（14，12），选择C ．11．（5分）（2011•新课标文）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（）A ．()y f x =在（0，2π）单调递增，其图像关于直线4x π=对称B ．()y f x =在（0，2π）单调递增，其图像关于直线2x π=对称C ．()y f x =在（0，2π）单调递减，其图像关于直线4x π=对称D ．()y f x =在（0，2π）单调递减，其图像关于直线2x π=对称【答案】D【解析】解法1：直接验证．由选项知()y f x =在（0，2π）不是递增就是递减，而端点值又有意义，（A ） （B ） （C ） （D ）（俯视图）故只需验证端点值，知递减．显然4x π=不会是对称轴．故选D ．解法2：())22f x x x π=+=，因此()f x 在（0，2π）单调递减，图像关于直线2x π=对称，选择D ．12．（5分）（2011•新课标文）已知函数()y f x =的周期为2，当x ∈[－1，1]时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数|lg |y x = 的图像的交点共有（） A ．10个 B ．9个C ．8个D ．1个【答案】A【解析】利用周期性，画出()y f x =在[－1，13]上的图像，函数()y f x =的值域为[0，1]；当10x ≥时，|lg |1y x =≥，利用图像的对称性画出|lg |y x =的图像． 两图像如图所示，两函数图像共有10个交点，选A ．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2011•新课标文）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b + 与向量ka b-垂直，则k = 【答案】1．【解析】解法1：凭经验 k=1时，a b + 与a b -的数量积为0，易知1k =．解法2：若向量a b + 与向量ka b - 垂直，则()a b + ·()0ka b -=，所以(1)(1cos )0k θ-+=，因为a 与b为两个不共线的单位向量，则0θπ<<，从而1cos 0θ+>，因此10k -=，1k =．【点评】本小题主要考察平面向量的基本运算和性质、两个向量垂直的条件及平面向量数量积的知识． 14．（5分）（2011•新课标文）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ． 【答案】－6．【解析】可行域如图所示，将2z x y =+化为1122y x z =-+， 显然当直线1122y x z =-+过点A 时，z 最大，过点B 时，z 最小． 联立239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得45x y =⎧⎨=-⎩，∴点B （4，－5）．因此，当4x =，5y =-时，min 42(5)6z =+⨯-=-．15．（5分）（2011•新课标文）△ABC 中，120B =︒，7AC =，5AB =，则△ABC 的面积为． 【解析】解法1：设BC x =，根据余弦定理得225549x x ++=，即25240x x +-=，因为0x >，所以3BC x ==．从而△ABC 的面积11sin 5322S AB BC B =⨯⨯⨯=⨯⨯=． 解法2：根据正弦定理得，sin sin C B AB AC =，所以sin 5sin120sin 7AB B C AC ⋅⨯︒===， 因为120B =︒，所以角C必为锐角，从而11cos 14C ==．所以sin sin[180(120)]sin(60)A C C =︒-︒+=︒-11121421414=-⨯=， 因此△ABC的面积11sin 5722144S AB AC A =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=． 16．（5分）（2011•新课标文）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 【答案】1:3．【解析】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ， 由已知得223416r R ππ=⋅，2234r R =，r R =． 截面图如右图所示，在1Rt OO B ∆中，112OO r ==， 112O C r =，132O D r =，所以1113h O C h O D ==小大． 三、解答题17．（12分）（2011•新课标文）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（Ⅰ）n S 为数列{}n a 前n 项和，证明：12nn a S -=； （Ⅱ）设3132log log n b a a =++…3log n a +，求数列{}n b 的通项公式．【解析】解法1：（利用公式1(1)1n n a q S q -=-（1q ≠））．（Ⅰ）∵1()3n n a =，111[1()]1()3331213n nn S --==-，∴12n na S -=． （Ⅱ）3132log log n b a a =++...3log n a +(1)(2)=-+-+ (1)()2n n n ++-=-．解法2：（利用公式11n n a a qS q-=-（1q ≠））．（Ⅰ）∵等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =，∴11113311213n n nn aa a q a S q ---===--． （Ⅱ）由113a =，13q =，得13n n a =．从而331log log 3n n a n ==-，因此(1)(2)n b =-+-+ (1)()2n n n ++-=-．18．（12分）（2011•新课标文）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠60DAB =︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：PA ⊥BD ；（Ⅱ）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高． 【解析】（Ⅰ）证明：设AD a =，则2AB a =， 在△ABC 中，∠60DAB =︒，根据余弦定理，得2222422cos603BD a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=， ∴22224AD BD a AB +==，∴BD ⊥AD ． 又PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥BD ．而AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，PD AD D = ， ∴BD ⊥平面PAD ，∵PA ⊂平面PAD ，∴PA ⊥BD ． （Ⅱ）解：∵PD AD ==1，则2AB =，BD =，由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，∵底面ABCD 为平行四边形，∴BC ∥AD ，∴BC ⊥BD ． ∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴BC ⊥PD ． ∵BD PD D =，∴BC ⊥平面PBD ．∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBD ⊥平面PBC ．过点D 在平面PBD 内作DE ⊥PB ，且DE 交PB 于E ，根据面面垂直的性质定理得DE ⊥平面PBC ，因此DE 为棱锥D PBC -的高．在Rt PDB ∆中，1PD =，BD =，2PB =，∴PD DB DE PB ⋅==D PBC -19．（12分）（2011•新课标文）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩．估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 【解析】解法一：（Ⅰ）用A 配方生产的产品的优质品率为1300.3100p ==， 用B 配方生产的产品的优质品率为2420.42100p ==．（Ⅱ）用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率(0)(2)(4)P y P y P y >==+=0.540.420.96=+=，用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润为20.0420.5440.42 2.68P =-⨯+⨯+⨯=（元）．解法二：（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=， 所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3； 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=， 所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（Ⅱ）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥，由试验结果知，质量指标值94t ≥的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=（元）． 20．（12分）（2011•新课标文文）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值．【解析】令0x =，得1y =；令0y =，得2610x x -+=，解得3x =-3x =+∴曲线261y x x =-+与y 轴的交点为(0,1)M ，与x轴的交点为(3A -，(3A +． ∵,A B 两点在圆上，∴圆心C 在AB 的中垂线3x =上，故可设圆C 的圆心C 的坐标为（3，t ），圆C 的标准方程为222(3)()x y t r -+-=，则有22229(1)8t r t r⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1t =，29r =，因此所求圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=． （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其坐标满足方程组：220(3)(1)9x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩， 消去y 得22(3)(1)9x x a -++-=，化简后为222(28)(1)0x a x a +-+-=． ∵圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，∴22(28)8(1)0a a ∆=--->，即24140a a +-<，解得22a --<-+因此1,2x ==， 从而124x x a +=-，212(1)2a x x -=．∵OA OB ⊥，∴OA ·0OB =，∴12120x x y y +=．由1122y x a y x a =+⎧⎨=+⎩，得1212()()y y x a x a =++21212()x x a x x a =+++222(1)42a a a a -=-++2612a a ++=． 从而222(1)61(1)022a a a a -+++=+=，解得1a =-．满足①，故1a =-． 21．（12分）（2011•新课标文）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．【解析】（Ⅰ）由ln ()1a x bf x x x=++，得22221ln 1ln '()(1)(1)x xb x x x b x f x a a x x x x x +-+-=⋅-=⋅-++， ∵曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为230x y +-=， ∴(1)111'(1)22f b f a b ==⎧⎪⎨=-=-⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩． （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x =++，∴22ln 11()(2ln )11x x f x x x x x --=---， 考虑函数21()2ln x h x x x -=-（0x >），则22(1)'()x h x x -=-．所以当1x ≠时， '()0h x <，()h x 在（0，+∞）上是减函数．而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，可得21()01h x x >-； 从而当0x >，且1x ≠时，ln ()01x f x x ->-，即ln ()1xf x x >-．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）（2011•新课标文）如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．C（Ⅰ)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆； （Ⅱ）若∠90A =︒，且4m =，6n =， 求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 【解析】（Ⅰ)连接DE ，∵AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． ∴AD AB mn ⋅=，又AE =m ，AC =n ， ∴AD AB AE AC ⋅=⋅，即AD ACAE AB=，而DAE CAB ∠=∠， ∴~ADE ACB ∆∆， ∴C ADE ∠=∠，从而180C BDE ADE BDE ∠+∠=∠+∠=︒， 因此C ，B ，D ，E 四点共圆． （Ⅱ）解法1：∵4m =，6n =，∴方程2140x x mn -+=为214240x x -+=，∵AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根， ∴2AD =，12AB =．如图，连接,DE BE ，∵∠90A =︒，4AE =，∴BE ==DE ==sin 5ADE ∠==， 在△DBE中，sin sin BDE ADE ∠=∠=根据正弦定理得2sin BE R BDE ===∠R =因此C ，B ，D ，E所在圆的半径为解法2：当6,4==n m 时，方程0142=+-mn x x 的根,12,221==x x 因而，2,12AD AB ==，取CE 中点G ，BD 中点F ， 分别过,G F 做,AC AB 的垂线，两垂线交于点H ，连接DH , 因为四点,,,C B D E 共圆，所以H 为圆心，半径为DH ．︒=∠90A ，AC HF AB GH //,//，所以，5)212(21,5=-⨯===DF AG HF ，25=DH ． 选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2011•新课标文）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ)当求2C 的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB ．【解析】解法1：（1）∵曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩，∴1C 的普通方程为22(2)4x y +-=，设(,)P x y ，00(,)M x y ，∵2OP OM =，∴00(,)2(,)x y x y =，即001212x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∵M 是1C 上的动点，∴2211(2)442x y +-=， 因此曲线2C 的方程为22(4)16x y +-=． （2）射线3πθ=的直角坐标方程为y =（0x ≥），由22(0)(2)4y x x y ⎧=≥⎪⎨+-=⎪⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ．由22(0)(4)16y x x y ⎧=≥⎪⎨+-=⎪⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，依题意B ．由两点间的距离公式得||AB ==解法2：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，∵2OP OM = ，∴00(,)2(,)x y x y =，即001212x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴(,)22x y M ，∵M 是1C 上的动点，∴2cos 222sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩， 因此曲线2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）． （2）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A的极径为14sin 3πρ== 射线3πθ=与2C 的交点B的极径为18sin 3πρ==所以12||||AB ρρ=-=选修4-5：不等式选讲24．（10分）（2011•新课标文）设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【解析】（Ⅰ)当1a =时，()|1|3f x x x =-+，不等式()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．∴12x -≤-或12x -≥，即1x ≤-或3x ≥，因此不等式()32f x x ≥+的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥．（Ⅱ）函数()||3f x x a x =-+可化为4,()2,x a x a f x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩，令()0f x ≤得40,20,x a x a x a x a -≤≥⎧⎨+≤<⎩，解得,4,2a x x a a x x a ⎧≤≥⎪⎪⎨⎪≤-<⎪⎩，∵0a >，∴不等式()0f x ≤的解集为{|}2a x x ≤-，由已知不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，∴12a -=-，解得2a =．。

2011年新课程高考数学试题导数导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。

在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。

一：《课程标准》中导数的内容与考纲要求1. 课标内容课程标准中教学内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。

2．2010年广东卷考试要求（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景。

②理解导数的几何意义。

（2）导数的运算①能根据导数定义求函数、y c y x y x y x y x y x ======，，，，，231的导数。

②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，（理科）能求简单的复合函数（仅限于形如()f a b +）的导数。

③会使用导数公式表。

（3）导数在研究函数中的应用①了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；（4）生活中的优化问题举例。

会利用导数解决某些实际问题中的作用。

（理科）（5）定积分与微积分基本定理①了解定积分的实际背景、基本思想，初步了解定积分的概念。

②了解微积分基本定理的含义。

二：新课程高考试卷中导数的考查。

1．2009年新课程高考理科数学导数知识考点分布卷别选择题填空题解答题分值广东-------------- -------------- 导函数、极值、零点14分福建求定积分切线方程单调区间、极值23分辽宁切线方程-------------- 导数单调性17分天津-------------- -------------- 切线、单调区间与极值12分浙江-------------- -------------- 导数单调性14分安徽切线方程-------------- 导数单调性17分山东-------------- -------------- 导数应用12分海南宁夏卷-------------- -------------- 导数单调性12分江苏-------------- 切线方程、单调区间-------------- 10分2．2009年新课程高考文科数学导数知识考点分布卷别选择题填空题解答题分值广东单调区间-------------- 导函数、极值、零点19分福建-------------- 切线方程单调区间、极值17分辽宁-------------- 函数极值导数单调性、不等式17分天津导数单调性-------------- 切线、单调区间与极值17分浙江-------------- -------------- 切线、导数单调性15分安徽求导与三角函数-------------- 导数单调性、求值域19分山东-------------- -------------- 导数单调性、极值12分海南宁夏卷-------------- 切线方程极值与不等式17分江苏-------------- 切线方程、单调区间-------------- 10分从上述两表不难发现：09新课程高考对导数的考查，主要以函数单调区间、极值、切线方程为主。