2025届上海市高境第一中学高三最后一模数学试题含解析

2025届上海市高境第一中学高三最后一模数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体
C ．圆锥
D ．长宽高互不相等的长方体
22，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ）
A ．
3
B ．
3
C ．3
D ．4
3．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ）
A
B ．2
C
D ．10
4．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．设集合{}
12M x x =<≤，{}
N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞
B ．(],1-∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
6．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．不充分不必要
7．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．
12
B ．
13
C ．
16
D ．
112
8．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．93
B ．123
C ．163
D ．183
9．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）
A ．6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 10．曲线(2)x
y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4-
B ．8-
C ．4
D ．8
11．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知集合{}
}2
42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A ．}{43x x -<<
B ．}{42x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设,x y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎪
-+>⎨⎪+-<⎪⎪⎩
，则2z x y =-的取值范围为__________.
14．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
15．设()f x 是定义在()0,∞+上的函数，且()0f x >，对任意0,0a b >>，若经过点()(),(),,()a f a b f b -的一次函数与x 轴的交点为(),0c ，且a b c 、、互不相等，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b .当
()f x =_________()0x >时，(),f M a b 为,a b ab .（只需写出一个符合要求的函数即可）
16．已知抛物线2
:16C y x =的对称轴与准线的交点为M ，直线:4l y kx k =-与C 交于A ，B 两点，若
4AM BM =，则实数k =__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线1
2
y x =
上的圆E 与x 轴相切，且E F ，关于点()1
0M -，对称. （1）求E 和Γ的标准方程；
（2）过点M 的直线l 与E 交于A B ，，与Γ交于C D ，，求证：2CD AB >.
18．（12分）已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .
（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围； （2）求l 的最小值及此时sin θ的值；
（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值.
19．（12分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上
方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交
y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求e 的值.
（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2
2
k <-，是否存在k 2AC =成立？如果存在，求出k 的值；
如果不存在，请说明理由.
20．（12分）已知函数2()x
x
f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若射线02πθαα⎛⎫
=<<
⎪⎝
⎭
与曲线C 交于点A （不同于极点O ）
，与直线l 交于点B ，求||
||
OA OB 的最大值.
22．（10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛- ⎝
⎭在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
根据基本几何体的三视图确定． 【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 2、C 【解析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，
OA SO >，过SA 的轴截面如图：
90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离
的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 3、A 【解析】
根据复数1z 的几何意义得出复数1z ，进而得出1z ，由122z z ⋅=-得出21
2
z z =-可计算出2z ，由此可计算出2z . 【详解】
由于复数1z 对应复平面上的点()1,1--，11z i ∴=--，则11z i =-+，
122z z ⋅=-，()()()
212122
1111i z i i i i z +∴=-
===+--+，因此，222112z =+=故选：A. 【点睛】
本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 4、D 【解析】
根据演绎推理进行判断． 【详解】
由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】
本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 5、C 【解析】
由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】
{}12M x x =<≤，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.
因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 6、B 【解析】
由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案. 【详解】
,m m n α⊥⊥,
不能确定αn ⊂还是αn ⊄，
//m n n α∴⊥，
当//n α时，存在a α⊂，//,n a ， 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，
所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题. 7、B 【解析】
求得基本事件的总数为2224222
2
6C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为2224222
2
6C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1
3
m p n ==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8、B 【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用2
2
2
22OA OO O A =+，可得2
2
4163
h x =-
，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23
3
O A x =
，
在2R t OAO ∆中，22443
h x +=，化为2
24163h x =-，
3S xh =，
()
2
2222222
1291212124322x x S x h x x ⎛⎫
+-∴==-= ⎪⎝⎭
，
当且仅当x =S =故选：B. 【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 9、C 【解析】
sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值. 【详解】
解：由cos sin a C A b c +=+及正弦定理得sin cos sin sin sin A C C A B C +=+.
因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+sin cos sin sin C A A C C =+.
由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭.
又0A π<<，故3
A π
=.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题. 10、B 【解析】
求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】
因为(2)x
y ax e =+， 所以(2)x
y e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，
所以220b =-⨯+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 11、D 【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果 【详解】
故选 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

12、C 【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】
由题意得，{}{}
42,23M x x N x x =-<<=-<<，则
{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、()1,6- 【解析】
由题意画出可行域，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，数形结合即可得到z 的最值，即可得解. 【详解】
由题意画出可行域，如图：
转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，
通过平移直线2y x z =-，数形结合可知：当直线2y x z =-过点A 时，直线截距最大，z 最小；当直线2y x z =-过点C 时，直线截距最小，z 最大.
由010x x y =⎧⎨-+=⎩可得()0,1A ，由030y x y =⎧⎨+-=⎩
可得()3,0C ，
当直线过点()0,1A 时，1z =-；当直线过点()3,0C 时，6z =， 所以16z -<<. 故答案为：()1,6-.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题. 14、
5
36
【解析】
首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】
根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.
当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所
以方法数有22
426C C ⨯=种.
当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），
所以方法数有22
5310330C C ⨯=⨯=种.
当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），
所以方法数有22
6415690C C ⨯=⨯=种.
当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯
一），所以方法数有22752110210C C ⨯=⨯=种.
当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法
唯一），所以方法数有22862815420C C ⨯=⨯=种.
当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排
法唯一），所以方法数有22973621756C C ⨯=⨯=种.
所以该验证码的中间数字是7的概率为2102105
63090210420756151236
==+++++.
故答案为：536
【点睛】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.
15 【解析】
由定义可知()()()()
(),,,,,0a f a b f b c -f a f b
=
，通过整理可得())0f x t =>，继
而可求出正确答案. 【详解】
解：根据题意(),f M a b c ==()()()()
(),,,,,0a f a b f b c -三点共线. 故可得：
()()f a f b
a c c b
=
--，即f a f b =f a f b =，
故可以选择())()0,()0f x x f x x =>=>等.
故答案为: 【点睛】
本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线. 16、4
3
±
【解析】
由于直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点，因此过A ，B 分别作C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，由抛物线的
定义及平行线性质可得
4AF BF
=，从而再由抛物线定义可求得直线AB 倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注
意对称性，问题应该有两解． 【详解】
直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点()4,0F ，8p =，过A ，B 分别作C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，由抛物线的定义知AP AF =，||||BQ BF =． 因为////AP MF BQ ，所以
||||||
||||||PM AF AP QM BF BQ ==．因为90APM BQM ∠=∠=︒，
所以APM BQM ∆∆，从而
||||||
4||||||
AM AP AF BM BQ BF ===．
设直线l 的倾斜角为α，不妨设02
π
α≤<
，如图，则cos cos AF AP MF AF p AF αα==+=+，
1cos p AF α=
-，同理1cos p
BF α
=+，
则
||1cos cos 4||1cos 1cos p
AF p BF α
ααα+-===-+1， 解得3cos 5α=
，4tan 3k α==，由对称性还有3
4k =-满足题意． ，综上，4
3
k =±
．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()()22
211x y +++=,2
4x y =；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）设Γ的标准方程为2
2x py =，由题意可设()2,E a a ．结合中点坐标公式计算可得Γ的标准方程为
24x y =．半径1r a ==，则E 的标准方程为()()22
211x y +++=．
（2）设l 的斜率为k ，则其方程为()1y k x =+，由弦长公式可得2
22
1
k
AB k =+．联立直线与抛物线的方程有2440x kx k --=．设()()1122,,,C x y D x y ，利用韦达定理结合弦长公式可得2121CD k x =+-
22
41k k k =++(
)()2
22
2
2
21
2=2k k
k
CD k k
k
AB
++=
>．即2CD AB >
．
详解：（1）设Γ的标准方程为2
2x py =，则0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
已知E 在直线1
2
y x =
上，故可设()2,E a a ．
因为,E F 关于()1,0M -对称，所以20
1,2202
a p
a
+⎧=-⎪⎪
⎨+⎪=⎪
⎩， 解得1,
2.a p =-⎧⎨=⎩
所以Γ的标准方程为2
4x y =．
因为E 与x 轴相切，故半径1r a ==，所以E 的标准方程为()()2
2
211x y +++=． （2）设l 的斜率为k ，那么其方程为()1y k x =+， 则()2,1E --到l 的距离211
k d k -=
+22
212
1
k
AB d k =-=+． 由()
2
4,1x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并整理得：2440x kx k --=． 设()()1122,,,C x y D x y ，则12124,4x x k x x k +==-， 那么2121CD k x =
+- ()
2
2121214k x x x x =++-2241k k k =++
所以
()(
)(
)()2
22222
2
216+121
2=2
81
k k k
k k
k
CD
k k
k
k
AB
k +++=
=>+．
所以2
2
2CD AB >，即2CD AB > ．
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
18、（1）23
sin cos 124l ππθθθ
⎛⎫=≤≤ ⎪
⎝⎭（2
）sin θ=，l
.（3）6πθ=时，面积S
取最小值为【解析】
（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,利用三角函数定义分别表示,,,NB MB ME AM ,且6AM MB +=,即可得到
l 关于θ的解析式；12BN ≤,6BM ≤,则2
312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧
=≤⎪⎪
⎪
=≤⎨⎪
⎪
<<⎪⎩
,即可得到θ的范围； （2）由（1）,若求l 的最小值即求2sin cos θθ的最大值,即可求24sin cos θθ的最大值,设为224
()sin cos f θθθ=,令2cos x θ=,则22()(1)f x x θ=-,即可设2
()(1)g x x x =-,利用导函数判断函数的单调性,即可求得()g x 的最大值,进而
求解； （3）由题,23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ
⎛⎫=
=⨯≤≤ ⎪⎝⎭
,则2
268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 12
4t π
πθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,()3(1)t h t t =-,利用导函数求得()h t 的最大值,即可求得S 的最小值.
【详解】
解:（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,
故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====. 因为6AM MB +=,所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，, 所以263
sin (cos 21)sin cos l θθθθ
=
=+,
又12BN ≤,6BM ≤,则2
312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧
=≤⎪⎪
⎪
=≤⎨⎪
⎪
<<⎪⎩
,所以124ππθ≤≤, 所以23
sin cos 12
4l ππθθθ
⎛⎫=
≤≤ ⎪⎝⎭
（2）记()2
sin cos ,
12
4
f π
π
θθθθ=≤≤
,
则224
()sin cos f θθθ=,
设2cos x θ=,12
x ⎡∈⎢⎣⎦,则22
()(1)f x x θ=-, 记2()(1)g x x x =-,则2
()23g x x x ='-,
令()0g x '=,则2132x ⎡=
∈⎢⎣⎦
,
当12,23x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,0g x
；当23x ⎡∈⎢⎣⎦
时,0g x
,
所以()g x 在12,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增,在23⎡⎢⎣⎦
上单调递减,
故当2
2cos 3x θ==
时l 取最小值,此时sin θ=
,l . （3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l π
πθθθθθ⎛⎫=
=⨯≤≤ ⎪⎝⎭
,
所以2
26
8114sin cos S θθ=
⨯,设2
cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,则12t ≤≤
设3
()(1)h t t t =-,则2
3
()34h t t t '=-,令()0h t '=,3142t ⎡=∈⎢⎣⎦
,
所以当13,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()0h t '>；当34
t ⎡∈⎢⎣
⎦时,()0h t '<,
所以()h t 在13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增,在32,44⎡⎢⎣⎦
上单调递减,
故当23
cos 4
t θ=
=,即6πθ=时,面积S 取最小值为【点睛】
本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力. 19、（1）1
2
e =；（2）不存在，理由见解析 【解析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；
（2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，利用等
AB AC =即可得解. 【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB
k k =-，222
131
0b b b a a a a c c a
--⋅=---
化简得：22230c ac a -+=， 即22310e e -+=，解得1
2
e =或1e =（舍去）， 所以12
e =
； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=，
由（1
）可得,:A AB y kx k ⎛=-+ ⎝⎭
2k <-
联立2212
2x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
222
2212210k k x x k k +-+--=，
设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯=，
即22
21
12B k x k --=+
，2
k <-，
所以1B A B ==-，
同理可得2
2212121k k AC k k ⎫-+⎪⎝⎭==⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
++
若存在k AB AC =成立，
则222122
k k k +=++，
20k ++=，∆<0，此方程无解，
所以不存在k AC =成立. 【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用. 20、（1）10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；（2）1λ≥. 【解析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+==，计算函数单调区间得到值域，得到答案. （2）1x ，2x 是方程
12x x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+---+< ⎪⎝⎭
，
设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【详解】
（1）由题可知2()(1)20x
x
f x x e ae
'=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +=
=， ()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x
x a e +=的两根，
∴1210x x -<<<，则1
12200x x x x λλ
+>⇔>-
>
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫
=+--
-+ ⎪⎝
⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥. 【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21、（1）1C ：2cos ρθ=，直线l ：4x y +=；（2
）14
． 【解析】
（1）由消参法把参数方程化为普通方程，再由公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化；
（2）由极径的定义可直接把θα=代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，求出极径12,ρρ，把比值OA OB
化为α的三角函
数，从而可得最大值、 【详解】
（1）消去参数ϕ可得曲线C 的普通方程是2
2
(1)1x y -+=，即2
2
20x y x +-=，代入cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩得2
2cos ρρθ=，
即2cos ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=；
由sin()4
ρθπ+=，化为直角坐标方程为4x y +=．
（2）设12(,),(,)B ραρα，则12cos ρα=
，
2sin()
4
ρα=
+
12cos sin()OA OB π
ααρρ+==2
sin cos cos 111sin 2cos 22444ααααα+=+
+1)44πα=++，
当8πα=时，OA OB
取得最大值为14
+．
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩可轻松自如进
行极坐标方程与直角坐标方程的互化．
22、（Ⅰ）2
214
x y +=；
（Ⅱ）详见解析. 【解析】
（Ⅰ）把点P 代入椭圆方程，结合离心率得到关于,a b 的方程，解方程即可；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段AB 的中垂线方程即可证明. 【详解】
（Ⅰ）由已知椭圆过点P ⎛- ⎝⎭
得，221314a b +=，
又c e a ==224a b =，
所以2
2
4,1a b ==，即椭圆方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ）证明： 由2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()222
148440k x kmx m +++-=，
由()()
222222
64414441664160k m k m m k =-+-=-++>△，得2214m k <+，
由韦达定理可得，122
814km x x k +=-+， 设AB 的中点M 为()00,x y ，得024114km x k
=-=+，即2144k km +=-， 0021144m y kx m k k
∴=+==-+， AB ∴的中垂线方程为11(1)4y x k k +=--，即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， 故AB 得中垂线恒过点3,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.。