2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(二)
24. (金华卷)如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，
.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1
2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以3
3
(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：
（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；
（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合；
（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？
② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存
在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）333+-=x y ；………4分 （2）（0,3），29=
t ； (4)
（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1
∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒
又∵t FG OE 33
=
=,∠=A 60°,∴t FG AG 3160
tan 0
== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 3
2
=-=
由t t 3
2
3=-得 59=t ；…………………1分
当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，
过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）
∵t OE 33=
,∴t BE 33
33-=,∴3360tan 0
t BE EF -==
∴6
921t
EF EH MP -=
=
=， 又∵)6(2-=t BP
在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=
⋅-，解得7
45
=t ．…………………………………………………1分
②存在﹒理由如下：
∵2=t ，∴33
2
=
OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到
△EC B '（如图3）
∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，33
2
－1）
过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,
则△FEQ ∽△EC B '
由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－3
2
，33）………………………1分
根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－
3
2
，3）也符合条件．……1分
24.( 绍兴市)如图,设抛物线C 1:()512
-+=x a y , C 2:()512
+--=x a y ,C 1与C 2的交点
为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标；
（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,
在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的 直线为l ,且l 与x 轴交于点N .
① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为 (1, 2)，求点N 的横坐标；
② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横 坐标的取值范围.
解：（1）∵ 点A )4,2(在抛物线C 1上，∴ 把点A 坐标代入()512
-+=x a y 得 a =1.
∴ 抛物线C 1的解析式为422
-+=x x y ,
设B (－2,b )， ∴ b ＝－4, ∴ B (－2,－4) . （2）①如图1，
y
B
F
A
P E O
x
Q′ B′ Q C
C 1
D 1 (图3)
第24题图
∵ M (1, 5)，D (1, 2), 且DH ⊥x 轴，∴ 点M 在DH 上，MH =5. 过点G 作GE ⊥DH ,垂足为E,
由△DHG 是正三角形,可得EG=3, EH =1， ∴ ME ＝4. 设N ( x , 0 ), 则 NH ＝x －1,
由△MEG ∽△MHN ,得 HN
EG
MH ME =
, ∴ 1354-=x , ∴ =x 134
5+,
∴ 点N 的横坐标为134
5
+．
② 当点Ｄ移到与点A 重合时,如图2，
直线l 与DG 交于点G ,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F , 设Ｎ（x ，0），
∵ A (2, 4), ∴ G (322+, 2),
∴ NQ =322--x ，ＮF =1-x , GQ =2, MF =5. ∵ △NGQ ∽△NMF ，
∴
MF
GQ
NF NQ =
, ∴
52
1322=---x x , ∴ 3
8310+=x .
当点D 移到与点B 重合时,如图3， 直线l 与DG 交于点D ,即点B , 此时点N 的横坐标最小.
∵ B (－2, －4), ∴ H (－2, 0), D (－2, －4), 设N （x ，0），
∵ △BHN ∽△MFN ， ∴ MF
BH
FN NH =， ∴
5412=-+x x , ∴ 3
2
-=x . ∴ 点N 横坐标的范围为 3
2
-≤x ≤38310+.
第24题图3
图4
第24题图1
第24题图2
