简谐运动的能量

第3节简谐运动的回复力和能量

一、简谐运动的回复力

1．关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是（）

A．简谐运动的回复力可能是恒力

B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向可能相同

C．简谐运动中回复力的公式F kx

=-中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度

D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零

【答案】D

【详解】AC．根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，回复力为F kx

=-，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，x是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧长度，因x是变化的，回复力不可能是恒力，故A、C错误；

B．回复力方向总是与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向也必定与位移方向相反，故B错误；D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零，故D正确。

故选D。

2．关于简谐运动的回复力F kx

=-的含义，下列说法正确的是（）

A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度

B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移

C．根据

F

k

x

=-，可以认为k与F成正比

D．表达式中的“-”号表示F始终阻碍物体的运动

【详解】A B ．回复力F kx =-是所有简谐运动都必须满足的关系式，其中F 是回复力，k 是回复力跟位移的比值（即公式中的比例关系），x 是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，A 错误，B 正确； C ．k 是回复力跟位移的比值（即公式中的比例关系），与F 无关，C 错误；

D ．“-”号表示F 始终与物体位移方向相反，有时使物体加速，有时阻碍物体的运动，D 错误。 故选B 。

简谐振动的能量变化

简谐振动是物理学中一个重要的概念，几乎存在于各个领域的物理

现象中。它描述了一个物体在一个恒定的振幅范围内进行周期性的振

动运动。在简谐振动中，物体的能量会不断变化。本文将探讨简谐振

动的能量变化规律及其背后的原理。

一、简谐振动的特点

简谐振动的特点是具有周期性和恒定振幅。在一个周期内，物体会

从原点出发，向正方向振动到最大偏离量，然后返回原点，并向负方

向振动到最大偏离量，最后再次返回原点。这个周期性的运动形式被

称为正弦曲线。

二、简谐振动的能量转换

简谐振动的能量转换是一个循环过程，由动能和势能交替转化。当

物体偏离平衡位置时，存在势能。随着物体向最大偏离量移动，势能

达到最大值。当物体通过平衡位置时，速度最大，动能也最大。当物

体移动回原点时，势能再次为零，并在反向运动时达到最大值，动能

减小为零。因此，简谐振动的能量变化由势能和动能的周期性转换组成。

三、简谐振动的能量守恒

在简谐振动中，动能和势能的和始终保持不变。即使在振动过程中，能量的总和也保持不变。这是因为质点在简谐振动的过程中没有受到

摩擦或其他能量损耗的作用。

四、简谐振动的公式推导

我们可以通过公式推导简谐振动的能量变化规律。假设简谐振动的位置函数为x(t)，其中t表示时间。那么动能可表示为：K = 0.5 * m * v^2 = 0.5 * m * (dx/dt)^2，其中m为质量，v为速度，x为位移。

而势能可表示为：U = 0.5 * k * x^2，其中k为劲度系数。

根据能量守恒定律，总能量E为常数，即K + U = E。将上述动能和势能的表达式代入，得到：0.5 * m * (dx/dt)^2 + 0.5 * k * x^2 = E。

简谐运动的回复力和能量

简谐运动是一种在物理学中经常出现的现象，它是指一种物体在作往复振动时，其位移随时间变化呈现出正弦曲线的运动。简单来说，就是物体在一定的位置上来回振动，比如一个摆锤在悬挂在绳子上摆动，或者是一个弹簧在振动。这种运动具有回复力和能量的特点，下面将分别进行讨论。

回复力的定义和特点

在简谐运动中，回复力指的是弹性势能的作用力，它是当物体离开平衡位置时，受到的恢复力，使物体朝向平衡位置方向移动。回复力的大小和方向与物体离开平衡位置的距离成正比，反向指向平衡位置。具体来说，回复力的公式为F = -kx，

其中k是弹性系数，x是物体离开平衡位置的距离。

回复力对于简谐运动来说是一个非常重要的特性，因为它是使物体朝向平衡位

置恢复的力量，同时也是振动维持的关键因素。在简谐运动中，振动的频率、周期和振幅都取决于回复力的大小和弹性系数的变化。当振幅变大时，回复力也会变大，当弹性系数增大或减小时，回复力的大小也会发生相应的变化。

能量的定义和特点

能量是指物体的运动状态所具有的“有用”的物理量。在简谐运动中，能量由动

能和势能组成，它们之间通过运动的转化实现互相转换。简谐运动的总能量等于动能和势能的和，它是一个守恒量，也就是说在运动过程中能量的总和始终保持不变。

具体来说，当物体在平衡位置附近振动时，它具有最小的动能和弹性势能；当

物体脱离平衡位置时，弹性势能会转化为动能，同时物体有更大的动能；当物体到达到最远的位置时，它的动能最大，而弹性势能为零。这意味着，简谐运动所产生的能量是从一种形式到另一种形式的转化。

简谐运动振幅和能量的关系

简谐运动是物理学中经常出现的一种运动形式。它是指一个物体围绕某个平衡点做周期性的振动，而且其周期和振幅都是固定的。振幅和能量分别是简谐运动中的两个重要物理概念。本文将重点介绍简谐运动的振幅和能量之间的关系。

一、简谐运动的基本特征

简谐运动的基本特征是周期性、振幅以及周期时间。其周期时间可以用公式T=2π/ω来表示，其中T表示周期时间，ω表示角频率。同时，振幅则是简谐运动中物体最大偏离平衡点位置的位移值，也是简谐运动重要的物理参量之一。

对于简谐运动中的一个物体，它的振幅是固定的，而且在运动过程中不断变化。物理量中，振幅常常以字母A 来表示。当物体运动时，它会通过不断改变位移，使得物体在某个时刻的速度和加速度具有最大和最小值。这是因为简谐运动是一种精确的运动形式，其运动过程中产生的速度和加速度都可以用一个简单的方程来表示。这个方程就是一个三角函数方程，通常可以称之为简谐方程。根据简谐方程，我们可以计算出物体在任意一时刻的具体位置和速度，并且可以根据振幅和周期计算出物体在运动过程中的最大速度和最大加速度。

二、简谐运动的振幅与能量

在简谐运动中，振动物体始终保持一定的势能和动能。这两个物理量都可以用它们所对应的能量公式来计算。动能的计算式为K=1/2*m*v²，而势能的计算公式则可以用U=1/2*kx²表示。其中，K表示动能，m表示质量，v 表示速度，U表示势能，k表示弹簧常数，x则表示位移。

在简谐运动中，振幅对能量具有明显的影响。一方面，简谐运动的振幅越大，振动物体所具有的动能就会越大，也就是说，物体运动的速度越快。另一方面，当振幅增大时，物体所具有的势能也相应变化，达到更高的程度。例如当弹簧的振幅增加时，其所存储的势能也随之增加，这就意味着简谐运动的能量随着振幅的变化而变化。

3简谐运动的回复力和能量

一、简谐运动的回复力

1.简谐运动

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.

2.回复力

(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力.

(2)方向：总是指向平衡位置.

(3)表达式：F＝－kx.

二、简谐运动的能量

1.能量转化

弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程.

(1)在最大位移处，势能最大，动能为零.

(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小.

2.能量特点

在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型.

一、简谐运动的回复力

1.回复力

(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置.

(2)回复力的性质

回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供.它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复力.例如：如图2甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供.

图2

2.回复力公式：F＝－kx

(1)k是比例系数，其值由振动系统决定，与振幅无关.只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力提供，k为劲度系数.

(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反.

3.简谐运动的加速度

由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－k

m x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反.

4.物体做简谐运动的判断方法

简谐运动的回复力和能量、单摆

【学习目的】

1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。 2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。

3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 4．知道什么是单摆。

5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

6．知道单摆的周期跟什么因素有关，理解单摆的周期公式，并能用来进展有关的计算。 【要点梳理】

要点一、简谐运动的回复力、能量 1．回复力

物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回复力．

要点诠释：〔1〕负号表示回复力的方向是与位移方向相反．〔2〕k 为F 与x 的比例系数，对于弹簧振子，k 为劲度系数．〔3〕对程度方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供．〔4〕物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为0〔但合力可能不为0〕．〔5〕回复力大小随时间按正弦曲线变化．

2．简谐运动的能量

〔1〕弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒． 〔2〕程度方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零．

〔3〕简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即2

12

E kA =

。 〔4〕简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能 量越大．

〔5〕在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小． 要点二、简谐运动的特征

简谐运动的总能量

四川宣汉第二中学金菊英（636150）

一．总能量公式：221

KA E =

简谐运动是一种理想化的振动．对简谐运动来说，一旦供给振动系统以一定的能量，使它开始振动。在振动过程中动能和势能不断地发生相互转换。但动能和势能总和不变，即机械能守恒，也即是总能量不变。在不同的简谐运动中这个总能量写出的具体形式可能不一样，比如单摆往往会写成初始的势能形式。但它们可以统一于一个公式之中：221

KA E =。其中，E 是总能量，K 是KX F -=中的比例系

数，A 为简谐运动的振幅，正因为总能量不变，所以A 也是一个不变量。弹簧振子和单摆是两种典型的简谐运动，下面我们分别对其加以证明。

二．论证弹簧振子符合此公式：

用外力把弹簧振子从平衡位置移到振幅处。 弹力的大小随形变而发生变化（L K F ∆=弹F ，其中L ∆表示形变量），但它呈一种线性变化，所以可以求出这个过程中外

力的平均值：20KA F +=

。再根据变力做功的公式就可以求出外力所做的功：22120KA A KA

FA W =+==。通过外力做功使弹簧振子在振幅处具有221

KA 的机械能，

（振幅处表现为势能）。在弹簧振子运动过程中动能和势能不断转换，但总能量始终是221

KA E =。

三．论证单摆符合此公式

情景：如图一，一个摆长为l ,质量为m 的单摆在A ，B 之间做简谐运动。

其最大摆角为α。

1． 单摆的K 。

单摆是用重力的一个分力充当回复力的，其回复力大小可以写为

θsin mg F =，

（θ为摆球的瞬时摆角）θ<α,由于θ很小， sin θ=l x |