四年级上册奥数讲义-第十一讲 割补法巧算面积-冀教版(无答案)

分割法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。

例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？

例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。

例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长

5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

例题5、

在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？

练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。

练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。

练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。

练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？

练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？

等差法

解题关键：找出组合图形的公共部分

巩固.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ΔADE与ΔBDF的面积之和是多少？

A

D E

B C

F

巩固、如图所示，用一张斜边长为29厘米的红色直角三角形纸片、一张斜边长为50厘米的蓝色直角三角形纸片、一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形.红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？

例2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？

巩固.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。

例3、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

巩固.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为24平方厘米，上底为4厘米，求下底和高。

例4、在一个等边三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三

段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？

巩固、如图，三个正方形的边长分别为8厘米、10厘米、6厘米拼在一起，求阴影部分的面积？

巩固、下图是两块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）分别有多大？

等差法

解题关键：找出组合图形的公共部分

解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：

例1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？

四年级第十讲格点图形的计算

◆温故知新：

1. 正方形的面积＝；长方形的面积＝；

平行四边形的面积＝；三角形的面积＝

梯形的面积＝

2、对于不规则的图形，可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形。

3、把大图形分成好几块规则的小图形，这种方法称为“分割法”。

4、格点多边形的面积计算公式：

（1）在最小的正方形面积为1的图形中：

正方形格点多边形面积＝边界格点数÷2＋内部格点数－1

（2）在最小正三角形面积为1的图形中：

三角形格点多边形面积＝边界格点数＋内部格点数×2－2

◆练一练

1、判断下列图形哪些是格点多边形？

2、如图，计算各个格点多边形的面积（相邻两点的距离为1厘米）．

⑴⑵⑶

◆例题展示

例题1图中相邻两个点间的距离均为1厘米，求多边形的面积分别是多少平方厘米？

练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，求多边形的面积是多少平方厘米？

例题2下图中相邻格点围成的最小正方形的面积为1平方厘米。这个多边形的面积是多少平方厘米？

练习2（1）下图中相邻格点围成的最小正方形的面积为1平方厘米.这个多边形的面积是多少？

（2）求下列各个格点多边形的面积．

例题3下图中相邻格点围成的最小正三角形的面积为1平方厘米。这个多边形的面积是多少平方厘米？

练习3 下图中相邻格点围成的最小正三角形的面积为1平方厘米.这个多边形的面积是多少？

（1）（2）

（3）（4）

例题4 下图中每个最小正方形的面积是2平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？

练习4图中每个最小正方形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米

◆拓展提高

拓展1下图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？

分割法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。

例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？

例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。

例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长

5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

例题5、

在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？

练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。

练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。

练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。

练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？

练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？

等差法

解题关键：找出组合图形的公共部分

巩固.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ΔADE与ΔBDF的面积之和是多少？

A

D E

B C

F

巩固、如图所示，用一张斜边长为29厘米的红色直角三角形纸片、一张斜边长为50厘米的蓝色直角三角形纸片、一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形.红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？

例2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？

巩固.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。

例3、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

巩固.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为24平方厘米，上底为4厘米，求下底和高。

例4、在一个等边三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三

段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？

巩固、如图，三个正方形的边长分别为8厘米、10厘米、6厘米拼在一起，求阴影部分的面积？

巩固、下图是两块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）分别有多大？

等差法

解题关键：找出组合图形的公共部分

解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：

例1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？

学科：奥数教学内容：格点与面积

生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图：

这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。禾I」用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

例1计算下图中各图形的面积：

分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

解答：

(1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位，所以它的面积为6。

(2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X 2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X 2=6。

(3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。

(4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。

四年级第十一讲割补法巧算面积

◆温故知新：

1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图

形面积相联系。

◆练一练

1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形的面积。

ABC

2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。阴影部分的面积是多少平方厘

米？

◆例题展示

例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）

练习1如图所示，在正方形内部有一个长方形。已知正方形的边

ABCD EFGH ABCD 长是6厘米，图中线段都等于2厘米。求长方形的面积。

、EFGH

AE AH

例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相

连。请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？

练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。请问：图中阴影部分的面积总

和等于多少平方厘米？

例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？

练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。请问：阴影正六边形MNPQRS的面

积是多少平方厘米？

例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。请问：图b中阴影部分

小学奥数解析十三用割补法求面积

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：

分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

（1）割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

（2）拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

（3）等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，

注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

小学奥数解析十三用割补法求面积

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：

分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

（1）割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

（2）拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

（3）等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，

注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

小学奥数——用割补法求面积

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求以下各图中阴影部分的面积：

分析与解：〔1〕如左以下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后依据右以下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右以下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

〔2〕在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如以下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段〔见右图〕，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

〔1〕割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

〔2〕拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形〔下页左上图〕。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

〔3〕等分法

将原图等分成9个小三角形〔见右上图〕，阴影部分占3个小三角形，

留意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论照旧成立。

第十一讲

一 . 阔步课堂

例1: 正方形的边长增加3厘米,面积增加51平方厘米.求原来正方形的面积.

简析:本题体现数形结合思想.先画出符合题意的图形,

再进行合理分割,就能求出边长,继而求出面积.

A,B,C为增加部分,其中A,B大小相等.C是边长

为3厘米的正方形.

① C的面积是多少? 3×3= 9（平方厘米）

② A和B的面积是多少? 51-9=42（平方厘米）

③A或B的面积:42÷2=21（平方厘米）

④原正方形边长: 21÷3=7（平方厘米）

⑤原正方形面积: 7×7=49（平方厘米）

答:原来正方形的面积是49平方厘米.

配套练习:正方形的边长增加2厘米,面积增加36平方厘米.求原来正方形的面积.

例2:A÷B=6……10,若A与B都扩大2倍,则商与余数各是多少?

简析:本题属于“商不变性质”的应用.注意,商虽不变,但余数却跟着变.

商是6,余数是 10×2=20

配套练习:

A÷B=20……10,若A和B都缩小2倍,商和余数各是多少?

二.巧妙求和

例1:王蕾读一本长篇小说,她第一天读30页,从第二天起,她每天读的页数都比前一天多3页,第11天读了60页,正好读完.这本书有多少页?

简析:本题属于等差数列求和.基本公式为:

和=（首项+尾项）×项数÷2 项数=（尾项-首项）÷公差+1

（30+60）×11÷2=495（页）

答:这本书有495页.

配套练习:

马师傅做一批零件,第一天做了20个,以后每天都比前一天多做2个,最后一天做了42个.这批零件有多少个?

例2:30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,最多要试多少次?