会面问题 利用概率论及MATLAB来求解

数学建模2020年b题matlab代码

一、前言

数学建模作为一门跨学科的学科，一直以来都备受关注。在现代科学

和工程技术领域，数学建模的应用越来越广泛，其在实际问题求解中

的作用也日益凸显。作为数学建模的一个重要组成部分，计算机编程

在模拟、求解和分析数学模型过程中发挥着至关重要的作用。而Matlab作为一款功能强大的科学计算软件，一直受到广大科研工作者的追捧，尤其在数学建模领域更是被广泛应用。

二、数学建模2020年b题概述

2020年数学建模比赛的b题是一个典型的动力学系统建模问题，要求参赛者通过建立适当的数学模型来描述、分析和预测相关的实际问题。该题目涉及到了多个变量之间的相互作用及其随时间的演化规律，需

要用到大量的微积分、微分方程、概率论等数学知识进行分析和求解。而在实际的建模过程中，Matlab的代码编写和求解将是不可或缺的一部分。

三、深度评估和分析

在进行数学建模2020年b题的深度评估和分析时，我们需要从多个

方面对题目进行全面的探讨和了解。我们要对题目中涉及到的各个变量、参数和影响因素进行全面的分析，了解它们之间的关系以及对整个系统演化的影响。我们需要对动力学系统的演化规律进行建模和求解，这涉及到了微分方程的建立和求解。我们还需要考虑到实际问题中的不确定性和随机性因素，这就需要运用概率统计的知识进行建模和分析。

四、Matlab代码编写和求解

在进行数学建模2020年b题的Matlab代码编写和求解时，我们需要根据之前的深度评估和分析结果，结合题目要求和实际情况进行合理的代码设计和求解方法选择。我们要根据建立的数学模型，将其转化为对应的Matlab代码。我们需要运用Matlab中丰富的函数库和工具箱，对动力学系统进行数值模拟和求解。我们还需要对求解结果进行可视化和分析，以便更好地理解系统的演化规律和预测未来的发展趋势。

数学实验四（概率论）

一．用MATLAB 计算随机变量的分布

1．用MA TLAB 计算二项分布

当随变量(),X B n p 时，在MATLAB 中用命令函数

(,,)Px binopdf X n p =

计算某事件发生的概率为p 的n 重贝努利试验中，该事件发生的次数为X 的概率。 例1 在一级品率为0.2的大批产品中，随机地抽取20个产品，求其中有2个一级品的概率。

解 在MATLAB 中，输入 >>clear

>> Px=binopdf(2,20,0.2) Px =

0.1369

即所求概率为0.1369。

2．用MA TLAB 计算泊松分布

当随变量()X P λ 时，在MATLAB 中用命令函数

(,)P poisspdf x lambda =

计算服从参数为lambda 的泊松分布的随机变量取值x 的概率。用命令函数

(,)P poisscdf x lambda =

计算服从参数为lambda 的泊松分布的随机变量在[]0,x 取值的概率。

例2 用MATLAB 计算：保险公司售出某种寿险保单2500份.已知此项寿险每单需交保费120元,当被保人一年内死亡时,其家属可以从保险公司获得2万元的赔偿(即保额为2万元).若此类被保人一年内死亡的概率0.002,试求:

(1)保险公司的此项寿险亏损的概率;

(2)保险公司从此项寿险获利不少于10万元的概率; (3)获利不少于20万元的概率.

利用泊松分布计算. 25000.0025np λ==⋅= (1) P(保险公司亏本)=

()()

15

250025000(3020)1(15)10.0020.998k

概率论与数理统计数学实验

目录

实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27

实验一 几个重要的概率分布的MATLAB 实现

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件与概率有关的各种计算方法 (2) 会用MATLAB 软件生成几种常见分布的随机数 (3) 通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解

Matlab 统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种运算功能，下表给出了常见8种分布对应的Matlab 命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab 命令字符。当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。

例1 求正态分布()2,1-N ，在x=1.2处的概率密度。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： normpdf(1.2,-1,2) 结果为： 0.1089

例2 求泊松分布()3P ，在k=5，6，7处的概率。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： poisspdf([5 6 7],3)

结果为：

0.1008 0.0504 0.0216 例3 设X 服从均匀分布()3,1U ，计算{}225P X .-<<。

解：在MATLAB 命令窗口中输入：

unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3) 结果为：

0.75000

例4 求概率995.0=α的正态分布()2,1N 的分位数αX 。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： norminv(0.995,1,2) 结果为：

概率论与数理统计数学实验

目录

实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27

实验一 几个重要的概率分布的MATLAB 实现

实验目的

(1) 学习MATLAB 软件与概率有关的各种计算方法 (2) 会用MATLAB 软件生成几种常见分布的随机数 (3) 通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解

Matlab 统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种运算功能，下表给出了常见8种分布对应的Matlab 命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab 命令字符。当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。

例1 求正态分布()2,1-N ，在x=1.2处的概率密度。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： normpdf(1.2,-1,2) 结果为： 0.1089

例2 求泊松分布()3P ，在k=5，6，7处的概率。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： poisspdf([5 6 7],3)

结果为：

0.1008 0.0504 0.0216 例3 设X 服从均匀分布()3,1U ，计算{}225P X .-<<。

解：在MATLAB 命令窗口中输入：

unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3) 结果为：

0.75000

例4 求概率995.0=α的正态分布()2,1N 的分位数αX 。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： norminv(0.995,1,2) 结果为：

会面问题

甲乙两人相约某天9:00-10:00在某地会面商谈生意,双方约定先到者必须等候另一人20分钟,过时如果另一人仍未到则可离去,试求两人能够会面的概率。 1用所学概率论知识建模并求解；

2用Matlab 软件编程模拟实现这个过程，并与理论结果相比较。 解：用所学概率论知识建模并求解

将9点到10点看成是0到60分钟，则甲乙两人到达的时间概率分布可看做是分布，此时不妨设甲到达的时间为t1,乙到达的时间为t2，（0<=t1,t2<=60） 当t1，t2满足|t1-t2|<=20时，两人则可碰面。

下面画出图形便于形象理解。

如图红线与黄线所围中间部分即为两人会面的情况，根据均匀分布的概率分布，可知两人会面概率为S 围/S 总=5/9=0.5556.

用Matlab 软件编程模拟实现这个过程，并与理论结果相比较。

>>syms l;

l=0;

fori=1:100

a=60*rand(1,2);

if (abs(a(1,1)-a(1,2))<=20)

l=l+1;

end

end

>>l/100

l 表示两者相遇的次数，经过计算，当实验次数为100次时，会面概率为0.4600； 0102030405060

010

20

30

40

50

60

下面我们增大实验次数，

实验次数为1000时，会面概率为0.5590；

实验次数为10000时，会面概率为0.5525；

实验次数为100000时，会面概率为0.5546；

实验次数为1000000时，会面概率为0.5552；

…

从随机实验可以发现，当实验次数越来越大时，随机事件发生的概率就越来越稳定于一个值，而这个值与我们理论计算出来的值是一致的，因此从实验角度证明了概率论概率计算理论的正确性。

第一章：Monte Carlo方法概述

一、Monte Carlo历史渊源

Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和Simulation有细微区别。单独的Simulation只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。

历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo 方法广为流传。

十一、Monte Carlo方法适用用途

（一）数值积分

计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。

数值积分简单示例

如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。

第九章概率论与数理统计问题的计算机问题

题目三：

某次外语考试抽样调查结果表明，学生外语考试成绩近似服从正态分布，且其

均值为72 分，并已知超过96 分的人数占总数的2.3%，试求出考生外语成绩介

于60,80 之间的概率。

【解答】：

输入如下语句：

按ENTEP键，显示如下：

即考生外语成绩介于60,80 之间的概率为0.5878.

题目四：试生成满足正态分布N(0:5; 1:42) 的30000 个伪随机数，对其均值和方

差进行验证，并用直方图的方式观察其分布与理论值是否吻合，若改变直方图

区间的宽度会得出什么结论。

【分析】：该题首先应利用νορμρνδ()函数，用μεαν(),στδ(),求出函数和方差。

然后再画图。

【解答】：

（1）输入如下语句，求解期望和方差：

按ENTEP键，显示结果如下：

（2）生成随机数，画拟合直方图，输入如下语句：

显示图片如下：

由图可知，该分布与理论值吻合

（3）改变直方图的宽度，输入如下数据;

显示图片如下：

直方图区间的宽度越大，其吻合度越弱。

题目五：

假设通过实验测出某组数据，试用MATΛAB 对这些数据进行检验。

① 若认为该数据满足正态分布，且标准差为1.5，请检验该均值为0.5 的假设是否成立。

② 若未知其方差，试再检验其均值为0.5 的假设是否成立。 ③ 试对给出数据的正态性进行检验。

①引入两个假设 H 0 : 10μμ=，μ 满足要求↔H 1 : 拒绝H 0

输入如下语句：

按enter键，显示图片如下：

因为μ< 1.96，所以可以接受其均值为0.5 的假设。

②方差未知，要引入T 检验

matlab数学建模程序代码

摘要：

1.MATLAB 简介

2.MATLAB 数学建模应用领域

3.MATLAB 数学建模程序代码实例

4.总结

正文：

一、MATLAB 简介

MATLAB（Matrix Laboratory）是一款广泛应用于科学计算、数据分析和可视化的软件，尤其擅长矩阵运算。自1984 年问世以来，MATLAB 已经成为了全球数百万工程师、科学家和研究人员的得力工具。MATLAB 具有丰富的函数库和强大的编程能力，为用户提供了从数据获取、数据处理、数据分析到结果可视化等一站式解决方案。

二、MATLAB 数学建模应用领域

MATLAB 在数学建模领域的应用非常广泛，涵盖了诸如优化、控制、信号处理、图像处理、概率论和统计等众多学科。以下是一些典型的应用场景：

1.优化问题求解：线性规划、整数规划、非线性规划等。

2.控制系统设计：线性时不变系统、线性时变系统、非线性系统等。

3.信号处理：滤波、信号生成、频域分析等。

4.图像处理：图像增强、图像分割、特征提取等。

5.概率论与统计：概率分布计算、假设检验、回归分析等。

三、MATLAB 数学建模程序代码实例

下面以一个简单的线性规划问题为例，展示如何使用MATLAB 进行数学建模。

问题描述：给定如下线性规划问题：

```

maximize: c" * x

subject to: A * x <= b and x >= 0

```

其中，c"表示目标函数的系数向量，A 表示不等式约束矩阵，b 表示不等式约束向量，x 表示决策变量向量。

MATLAB 代码如下：