第一章(单利与复利)石版学生上课用

单利与复利及相关公式单利和复利是数学中常用的计算利息的方法。

一、单利单利指的是利息仅在初始本金上计算的一种利息计算方法。

计算单利的公式为：SI=P×R×T其中，SI为单利，P为本金，R为利率，T为时间（以年为单位）。

单利的特点是时间和本金线性相关，即利息随时间的增加而线性增加。

利息的计算仅基于初始本金，不包括通过利息获得的新增本金。

二、复利复利指的是利息在每个计息周期结束时，将上一期的本金和利息合并计算的一种利息计算方法。

复利是一种复合增长的过程，利息会随时间的增加而指数增加。

复利的计算公式为：CI=P×(1+R)^T-P其中，CI为复利，P为本金，R为利率，T为时间（以年为单位）。

复利的特点是时间和本金呈指数关系，即利息随时间的增加而指数增加。

利息会根据每个计息周期重新计算，并与上一期的本金合并计算下一期的利息。

三、单利与复利的比较单利和复利不同的地方在于利息的计算方式和增长趋势。

单利的利息只基于初始本金计算，没有复利的指数增长效应；而复利的利息会基于每个计息周期重新计算，具有复合增长的特点。

可见，虽然初始本金和利率相同，但复利的利息高于单利，因为复利具有指数增长的特点。

四、计算单利与复利的总金额在计算单利和复利时，可以将利息与本金相加得到总金额。

单利的总金额公式为：A=P+SI复利的总金额公式为：A=P+CI其中，A为总金额，P为本金，SI为单利，CI为复利。

五、利率和效率在计算单利和复利时，利率是一个重要的参数。

利率决定了利息增长的速度和效率。

利率越高，利息增长越快，获得的总金额也越多。

因此，利率是贷款和投资中的一个重要考量因素。

另外，利率也可以用来计算存款的年收益率和贷款的年利率。

年收益率等于利息与本金的比值，年利率等于利息与贷款金额的比值。

六、举例说明可以看到，使用复利的方式计算利息和总金额相比于单利会更高。

这是因为复利具有复合增长的特点，利息会随时间的增加而指数增加。

第三节 单利与复利众所周知，同样的货币在不同的时间点上的价值是不等的，即使是在没有风险和通货膨胀的情况下，现在一元钱的价值也要大于以后的一元钱的价值，这就是货币的时间价值.利息是货币时间价值的一种表现形式，它有两种计算方法：单利和复利，不同计息方式下的利息有关计算分别以等差数列和等比数列原理为基础.我们应首先弄清楚“现值”和“终值”两个概念，所谓“现值”就是现在的价值，即通常所说的本金；“终值”就是若干时期后包括本金和利息在内的未来价值，通常称本利和.例如，现在存款1000元，定期一年，期满后银行支付1080元，其中80元是银行使用你的1000元给的报酬，即利息，这里的1000元本金就是现值，1080元本利和就是1000元本金一年后的终值.一、单利仅就本金计算利息的方法.单利是“复利”的对称，它是指计算利息时，上期利息并不计入本金之内，仅按本金计算的利息，其计算公式如下：单利息=本金×利率×期数假设下列符号分别表示S —终值（本利和） P —现值（本金） i —利率 I —利息 n —期数（若i 为年利率则n 为年数，若i 为月利率则n 为月数）则计算利息公式：n i P I ⋅⋅=第n 期的终值（本利和） )1(in P n i P P S n +=⋅⋅+=公式)1(in P S +=称为单利终值公式（或本利和公式）.由)1(in P S +=易得)1(in S P +=称为单利现值公式，也称为单利折现公式.将终值换算成现值常称为贴现或折现.例1某人在银行存款5000元，半年利率为3.05%，求一年后5000元存款的终值解：这里5000=p %05.3=i 2=n由终值公式，半年后的终值为5305)2%05.31(5000=⨯+=S （元）例2 某企业从银行贷款25万元，两年后需要连本带利还银行28.075万元，试计算银行对企业的贷款利率解：由已知，货款利息为: 075.325075.28=-=-=p S I （万元）由n i P I ⋅⋅= 得 %15.60615.0225075.3==⨯==pn I i 即银行对企业的贷款利率为6.15%.例3 某人准备在银行存一笔款子，以便在5年后得到10万元，若银行利率为4.75%，问现值应存款多少？解：该题已知终值10=S 万元 年利率i =4.75% 期数5=n求现值的问题 )1(in S P +==5%75.41100000⨯+=80808.08(元) 例4 某人若每月初在银行存款1000元.储蓄利息按年利率2.85%计算，求一年到期的本利和.解：这种储蓄形式为零存整取，它的本利和就是每个月存款到年底的终值之和由单利终值公式)1(in P S n +=第1个月存款的终值为)121(1i P S +==)12%85.2121(1000⨯+=1028.5 第2个月存款的终值为)111(2i P S +==)12%85.2111(1000⨯+=1026.13第12个月存款的终值为)1(12i P S +=)12%85.21(1000+==1002.37 以上的1221,,,S S S 是一个以iP 为公差的等差数列，由求和公式 一年到期的本利和为 =⨯+=122121a a S 6×（1028.5+1002.37）=12185.22（元）例5 某人贷款购买一辆汽车，首付5万元，剩余款分三年付清，每年付款2万元，若银行贷款利率为6.15%，试求车身总成本价为多少？解：车身价格即是每期付款的现值之和 由单利现值公式)1(in S P += 第1年付款的现值为26.18841%15.61200001=+=P （元） 第2年付款的现值为44.17809%15.621200002=⨯+=P （元） 第3年付款的现值为76.16884%15.631200003=⨯+=P （元） 车身总成本 =5+53535.46=103535.46（元）二、复利1.复利终值复利不同于单利，它不仅要计算本金上的利息，也要计算利息所产生的利息，即所谓“利上滚利”.按这种计算方法计息，每期末结息一次，然后将利息加入本金作为下一次计息的基础，复利终值的计算公式推导如下：)1(1i P i P P S +=⋅+=21112)1()1(i P i S i S S S +=+=⋅+=21112)1()1(i P i S i S S S +=+=⋅+=n n n n n i P i S i S S S )1()1(111+=+=⋅+=---所以n 期复利终值公式为n i P S )1(+=其中n i )1(+表示n 期后1元的复利终值，称为复利终值系数，记作n i F ,，n i F ,的值可以查用复利终值系数表（附录一）,因此复利终值公式也可以写成：n i F P S ,⋅=例6 设货币的时间价值为5%.求当n=20，30和40时，1000元现值的各期终值？解： 这里1000=P ，%5=i .由终值公式当n=20，30和40时，各期终值分别为：2653653.210001000%)51(100020%,52020=⨯=⋅=+⨯=F S （元）4322322.410001000%)51(100030%,53030=⨯=⋅=+⨯=F S （元）4.7038653.2653.210001000%)51(100040%,54040=⨯⨯=⋅=+⨯=F S （元） 现若货币时间价值为10%，那么各期终值为：6727727.610001000%)101(100020%,102020=⨯=⋅=+⨯=F S （元）17449449.1710001000%)101(100030%,103030=⨯=⋅=+⨯=F S （元）5.45252727.6727.610001000%)101(100040%,104040=⨯⨯=⋅=+⨯=F S （元） 例7 某公司现从留存盈余中提出24万元进行投资，准备若干年后建造一价值为48万元的职工宿舍，若投资收益率为8%，试确定多少年才能达到造房所需的款项？解： 由n i P S )1(+=有n %)81(2448+=, 2%)81(=+n所以 92log %)81(≈=+n也可以通过查表求n ，从附表可以看到939.1%)81(=+n ，接近于2的值，因此9=n ， 即大约需要9年可以达到建房所需的款48万元.在公式的运用中，有时不能在表中得到所需要的数字，但可以由表上提供的数据为基础，采用“线性插值法”进行测算，进而求得所需的数字.例8 某人选择了一项开放式基金作为投资工具进行长期投资, 他选择一次性投资策略投资20万元,希望3年后能获得30万元，那投资收益率达到多少时才能实现这一目标呢?解：由n i P S )1(+=有3)1(200000300000i += 即 5.1)1(3=+i 所以%46.1415.13≈-=i也可以通过查表运用插值法进行测算从表上可以查到，当%14=i ，482.1,=n i F当%15=i 时，521.1,=n i F可见，所求的利率一定是介于14%和15%之间，现用线性插值法进行计算： 利率 复利终值系数%1%15%%?%14⎪⎭⎪⎬⎫⎭⎬⎫x 039.0521.1018.05.1482.1⎪⎭⎪⎬⎫⎭⎬⎫ 则有039.0018.01=x 46.0=x 所以%46.14%46.0%14=+=i注意插值法是一种近似计算方法，它只在假设利率和终值之间是直线关系下的一种计算方法，因此在查表过程中一定要选择相邻的两个数字，否则会产生较大的误差.插值法求利率近似值的公式为 1210)(1210i i i i F F F F i i i i ---+=其中201i i i <<，210,,i i i F F F 分别为利率210,,i i i 下的复利终值系数2.复利现值将复利终值换算成现值，称为复贴现，简称贴现.由复利终值公式n i P S )1(+=，变形后，可得复利现值公式（或贴现公式） n i S P )1(+= 公式中ni )1(1+表示n 期后一元的复利现值，叫做复利现值系数或贴现系数，记作n i P ,，它的值也可在现成的表（附表2）查到.例9 4期后收到2000元，若货币时间价值为3%，其现值是多少？解：这里2000=S ，%3=i ，4=n1776888.020002000%)31(2000)1(4%,34=⨯=⋅=+=+=∴P i S P n （元） 若上述的题目中，货币时间价值为10%，那么其现值是多少？1366683.020002000%)101(2000)1(4%,104=⨯=⋅=+=+=P i S P n （元） 一般地，从现值公式可以看出，当S ，n （或i ）一定时，P 随着n （或i ）的增加而减少.3.名义利率与实际利率按惯例，复利计息中如无特殊说明，规定的利率一般都是年利率，但在实际经济活动中，计息期有时可能短于一年，如半年、季、月、日等.例如：某些债券半年计息一次；有的抵押贷款每月计息一次；股利有时每季支付一次；银行之间拆借资金每日计息一次等等.名义利率是指债券、票据的票面利率，实际利率是指按年计息办法计算出的终值所对应的利率.当利率在一年内复利多次时，相同年利率下每年计算多次的终值会大于每年计息一次的终值.若一年内复利m 次，年利率为i ，则复利终值公式为mn mi P S )1(+= 例10 某公司向银行借款5万元,年利率6.15%,分别按年复利和季复利计息,问两年后应向银行偿还多少本利和?解:按年复利计息，则5633912678.150000%)15.61(500002=⨯=+=S （元）按季复利计息,则每年计息4次,即4=m ,2=n由公式,知两年后的本利和 45.5650213.150000%)54.11(50000)4%15.61(50000824=⨯=+=+=⨯S (元) 本例中所给出的年利率6.15%就是名义利率,而实际利率则应是按年复利计息办法求出终值56502.45元的利率,它可计算如下:设实际年利率为0i ,则20)1(5000045.56502i +=,13.15000045.56502)1(20==+i 查复利终值系数表, 1236.12%,6=F , 1449.12%,7=F由插值法计算可得 3.60=i %也就是说,如果有两家银行,一家按季复利的年利率为6.15%,另一家按年复利的年利率为6.3%,则这两家银行的贷款利息完全相同.实际利率0i 和名义利率i 可以进行如下换算 由于mn n m i P i P )1()1(0+=+,两边除以P ,并开n 次方根,得 m mi i )1(10+=+, ∴ 1)1(0-+=m mi i 利用上述公式，例10中的实际年利率%3.61063.1114%,54.1,0=-=-=-=F F i m m i这与前面的计算结果完全相同.例11 设名义利率为6%，每半年计息一次，求实际年利率及1万元5年后的终值.解：10000,5,2%,6====P n m i 1%)31(1)2%61(220-+=-+=i %1.61061.1=-= 10105%)31(10000)2%61(10000%)1.61(10000+=+=+=S 134393439.110000=⨯=（元）三、应收票据贴现企业持有的应收票据在到期前，如果出现资金短缺，可以持未到期的商业汇票向其开户银行申请贴现，以便获得所需资金.贴现是指票据持有人将未到期的票据背书后送将银行，银行受理后从票据到期值中扣除按银行贴现率计算确定的贴现利息，然后将余额付给持票人，作为银行对企业的短期贷款.票据贴现实质上是企业融资的一种形式.企业的应收票据贴现后则转归银行所有，银行贴现一般采取的是单贴现.其有关步骤如下：1. 计算票据的终值S（1） 无息票据，它的终值就是它的面值P.（2） 带息票据，它的终值等于它的面值P 加上按票据的利率r 所计算的全部到期利息.即)1(n r P S ⋅+=2. 计算贴现利息I贴现利息等于按票据到期值（终值）S ，银行规定的贴现率i 和贴现期n '（贴现日到票据到期日的时间），计算的利息.按贴现天数计算的，贴现天数为贴现日至票据到期日实际天数减1，即“算尾不算头”或“算头不算尾”.即：n i S I '⋅⋅=3.计算票据贴现所得金额票据贴现额就是终值S 减去贴现息I 后的余额，即(1)(1)(1)S I S S i n S i n P r n i n '''-=-⋅⋅=-⋅=+⋅-⋅例12 某公司有票面利率不同的三种应收票据，它的面值都是1200元，出票日期均为6月15日，票面利率分别为无息、4%和7%，到期日均为8月14日（60日）到期，由于急需资金周转，于6月27日向银行要求兑现（贴现期为48日）如果贴现率为6%，则三种应收票据的票据贴现所得额分别计算如下表1.3-1： 表1.3-1 应收票据贴现计算表 单位：元。

证券投资基金基础知识考点：单利与复利证券投资基金基础知识考点：单利与复利导语：单利(simple interest)是指按照固定的本金计算的利息，是计算利息的一种方法。

复利(Compound interest)，是一种计算利息的方法。

按照这种方法，利息除了会根据本金计算外，新得到的利息同样可以生息，因此俗称“利滚利”、“驴打滚”或“利叠利”。

单利与复利(一)单利单利是计算利息的一种方法。

按照这种方法，只要本金在计息周期中获得利息，无论时间多长，所生利息均不加入本金重复计算利息。

单利利息的计算公式为：I=PVX i X t (6--26)式中：，为利息;PV为本金;i为年利率;t为计息时间。

例如，某企业有一张带息期票，面额为12 000元，票面利率为4%，出票日期为4月15日，6月14日到期(共60天)，则到期日的利启、为：单利终值的计算公式为：FV=PV×(1+i×t) (6—27)单利现值的'计算公式为：PV=F∥(1+i义t)一FVx(1一i×t) (6—28)(二)复利复利是计算利息的另一种方法。

在本节介绍货币终值时曾提到这种计息方式。

按照这种方法，每经过一个计息期，要将所生利息加入本金再计利息。

这里所说的计息期，是指相邻两次计息的时问间隔，如年、月、日等。

除非特别说明计息期为一年。

固定收益证券中常常是半年付息一次。

复利终值的计算公式与货币终值的计算公式(6-23)等同，即：FV=PVx(1+i)”。

其中，(1+i)”称为复利终值系数或l元的复利终值，用符号(Fy，i，玎)表示。

例如，(FV，6%，3)表示利率为6%，3期复利终值系数。

根据复利终值公式可以推算出复利现值的计算公式，由FV=PVx(1+i)”可得：PV=F∥(1+i)”=FVX(1+i)” (6—29)式中：(1+i)“称为复利现值系数或l元的复利现值，用符号(F矿，i，，z)表示。

复利计算与贴现是相反的过程，单利、复利和贴现之间的关系见图6-3。

《第一节单利复利》教案A组织教学1.检查卫生、检查学生佩带胸卡情况2.整顿纪律、清点人数、填写教学日志B引入新课1、我国银行的存款利息是如何核算的？你觉得把钱存入银行是否划算？2、今年的1000元钱和明年的1000元钱，哪个1000元更值钱？根据学生回答的情况，引出本次课内容。

C明确教学目标本次课主要是通过实训和案例教学来讲解以下问题：1．什么是货币时间价值？货币时间价值的计算基础是什么？2．什么是终值和现值？单利和复利的终值和现值如何计算？D进行新课根据上述习题得出如下结论：1、终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，俗称本利和。

2、现值就是以后年份收到或付出资金相当于现在的价值。

3、单利终值就是按单利计算的本利和。

其计算公式为：F = P+I = P+ P•i•n=P•（１+I•n）4、现值的计算与终值的计算是互逆的，由终值求现值称为折现。

单利现值的计算公式为：P=F／（1+i•n）E学生实训实训资料：某投资项目预计6年后可获得收益800万元，按年利率（折现率）12%计算，则这笔收益的现值为多少？实训步骤：1、学生讨论如何计算2、随机提问2-3名学生回答3、教师根据回答的结果进行点评实训结果：【解析】根据复利现值的计算公式，则这笔收益的现值为：P=F·（1+i）-n =F·（P/F，i,n）=800×(1+12%)-6=800×(P/F,12%,6)=800×0.5066=405.28 (万元)复利现值是复利终值的对称概念，指以后年份收到或付出的资金按复利计算的现在价值；或者说是为了将来取得一定本利和现在所需要的资金。

F归纳总结思考题：国际象棋的棋盘只有64格而已。

但是，当其发明者请求国王奖励他一些麦子放在这些棋盘里时，国王从最初的欣然应允，到最后的龙颜失色。

他的要求很简单，第一格放1粒麦子，第二格放2粒麦子，第三格放4粒麦子，第四个放8粒麦子……以此类推。

利息——单利与复利一、计算1单利指仅以本金计算利息，新增利息不再计入本金重复计息的利息计算方法，常用于短期借贷。

计算公式是：利息=本金×利率×期限2复利：一种将上期利息计入本金并一并计息的利息计算方法。

显然，在单利中借出方受到损失，他第1年该得的利息在最后1年才得到，相当于自己的钱被别人无偿使用。

复利可以解决这一问题，复利公式由单利推导出。

推导：某人借出P元钱，n年，年利率为r。

我们把它分成n个1年期p元贷款，第1年的p元钱可以取得利息P×r元，所以借入者应该在第1年末偿还P(1+r)元，但他没还，相当于某人在第2年初又借出了P(1+r)元，以此类推。

计算公式是：，复利的计算结果应该大于单利的计算结果。

二、货币时间价值1货币时间价值是货币随时间的推移所具备的增殖能力。

货币之所以有这种增殖能力，就是因为货币可以取得利息。

2货币时间价值的计算⑴零存整取本利和的计算，1⑵整存零取本利和的计算，北京泰和兴投资管理有限公司北京泰和兴投资管理有限公司2 这两个公式还可以用来计算折旧（1）的提取，或退休养老金（2）的计算。

例：假设一笔基金，其20年之后的未来值为10000元，若利息率为10%，每年需支付多少年金？每年需支付的年金=例：某人退休时，计划10年内每月提取200元作为生活费，如果月利率为0.6%，则此人在退休时应一次性存入多少？元。

⑶终值：就是本利和，是一笔资金在未来某一时点上的数额计算公式：S=P （1+r ）n⑷现值：就是未来一定数额在现在的数量。

计算公式：P=S/（1+r ）n这里1/（1+r ）n 称为现值系数。

现值的应用见课本例子。

三、竞价拍卖与利率在市场经济中，有的债券只有面额（还本时的金额）而不载明利率。

发行时采用竞价拍卖方式。

拍卖成交价，即现值；与面额，也即终值相比较，决定当前的利率。

这样形成的利率是市场利率。

四、利率和收益率收益率实质就是利率，作为理论研究两者无实质区别。

教案：算利息一、教学内容本节课主要让学生掌握利息的计算方法，包括单利和复利的概念，以及如何运用这些概念来计算利息。

通过学习，学生能够理解利息的计算公式，并能够运用到实际问题中。

二、教学目标1. 让学生掌握单利和复利的概念，理解利息的计算方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

三、教学难点1. 利息的计算公式的理解与应用。

2. 如何在实际问题中运用利息的计算方法。

四、教具学具准备1. PPT课件2. 黑板3. 粉笔4. 练习题五、教学过程1. 导入（5分钟）利用PPT课件展示银行存款利息的相关图片，引导学生思考利息的计算方法。

2. 新课讲解（15分钟）讲解单利和复利的概念，解释利息的计算公式，并通过例题演示如何计算利息。

3. 练习与讨论（10分钟）学生分组进行练习，运用利息的计算方法解决实际问题，并进行小组讨论。

4. 总结与拓展（5分钟）总结本节课的主要内容，引导学生思考利息计算在实际生活中的应用，并进行拓展讲解。

5. 课堂小结（5分钟）教师引导学生回顾本节课所学内容，巩固利息的计算方法。

六、板书设计1. 单利公式：利息 = 本金× 利率× 时间2. 复利公式：利息 = 本金× (1 利率) ^ 时间 - 本金七、作业设计1. 请运用单利和复利的计算方法，计算以下存款的利息：(1) 存入1000元，年利率为2%，存期为1年。

(2) 存入1000元，年利率为2%，存期为3年。

2. 结合实际生活中的例子，运用利息的计算方法解决问题。

八、课后反思本节课通过讲解单利和复利的概念，以及利息的计算方法，使学生能够理解并运用到实际问题中。

在教学过程中，要注意引导学生思考利息计算的应用场景，培养学生的实际问题解决能力。

同时，通过小组讨论和练习，提高学生的团队合作能力和逻辑思维能力。

在作业设计中，要注重培养学生的实际应用能力，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。

单利与复利及相关公式1、单利与复利单利公式复利公式2、名义利率与实际利率3、名义利率、实际利率和通货膨胀的关系4、资⾦等效值换算（3+2+6+4）4.1 、现值换算为终值 P～F（⼀次⽀付终值）■形象理解·（存款）⼀次存钱，到期本利合计多少■系数名称·⼀次⽀付终值系数（Ｆ/Ｐ，i， n）■公式4.2 终值换算为现值 F～P （⼀次⽀付现值）■公式■形象记忆☆（存款）已知到期本利合计数，求最初本⾦。

■系数名称☆⼀次⽀付现值系数（Ｐ/Ｆ，i, n）4.3、年值换算为终值 A～F（等额序列）■公式■形象记忆☆（存款）等额零存整取■系数名称☆等额序列⽀付终值系数（Ｆ/Ａ，i,n），也叫等额序列⽀付资⾦回收系数4.4 、终值换算为年值F～A■公式■形象记忆☆（存款、养⽼保险）已知最后要取出⼀笔钱，每年应等额存⼊多少钱。

年青时定期等额⽀付养⽼⾦，想到⼀定年龄⼀次性取出⼀定钱数，问年青时每⽉或每⽉应存⼊多少钱。

■系数名称☆等额序列⽀付储存基⾦系数（Ａ/Ｆ，i, n）4.5、年值换算为现值A～P■公式■形象记忆☆（养⽼⾦,房地产估价收益法，房奴的法宝之⼀；按揭算贷款额度）⼀次性存⼊⼀得笔钱，以后每年可获得等额的养⽼⾦，如已知养⽼⾦的数额，问最初⼀次性需存⼊多少钱。

■系数名称☆等额⽀付序列现值系数（Ｐ/Ａ，i,n）【特殊情况】永续年值（n趋于⽆穷时）■概念· 如果年值⼀直持续到永远，是相同时间间隔的⽆限期等额收付款项■公式【永续年值的应⽤】马克思的地租地价理论房地产估价收益还原法4.6、现值换算为年值 P～A■公式■形象记忆☆（房奴的法宝之⼆：按揭算⽉供）住房按揭贷款，已知贷款额，求⽉供或年供■系数名称☆等额序列⽀付资⾦回收系数（Ａ/Ｐ，i，n）4.7、等差年值换算为现值■等差序列现值系数【形象理解】酒店持有出租，第1年租⾦为100万元，以后每年的租⾦上涨5万元，出租10年，问这10年收回租⾦的现值是多少？4.8 、等差年值换算为等额年值■等差序列年费⽤系数【形象理解】酒店持有出租10年，有两种出租⽅案，第⼀种⽅案是第1年租⾦为100万元，以后每年的租⾦上涨5万元；第⼆种⽅案是每年租⾦不变，问如采⽤⽅案⼆要与⽅案⼀有相同的经济收益，则这个不变的租⾦应该是多少？4.9、等⽐年值换算为现值■等⽐序列现值系数⼆、解题思路与例题讲解1.出题类型2.解题步骤3.典型例题1.出题类型■在三个值之间进⾏直接的换算（初级－直接套公式）■条件不符合公式的假定条件，不能直接套⽤，需进⾏⼀定的变换（中级－套⽤多个公式换算）■解决实际问题的题型，主要是计算题，需要对题⽬有⼀个⾮常透彻的理解（⾼级）2.解题⽅法（五步法）【第⼀步】审题，画出现⾦流量图■题⽬复杂时，需要先列出现⾦流量表计算出现⾦流⼊、现⾦流出和净现⾦流，再画现⾦流量图■画图时特别注意期初期末的问题【第⼆步】确定换算关系（核⼼）■审题后确定其经济适动的内涵是哪两个值之间的换算，写出关系式，如A＝P（A/P，i，n）■这需要熟练掌握六种基本换算和四种特殊换算的内涵和公式【第三步】审查条件■看题中的条件与公式换算的假定条件是否⼀致■如不⼀致，则需调整换算关系式或进⾏多重换算【第四步】检查⼀致性。

单利和复利的区别到底有多大，你真的知道吗？单利和复利的基本概念要想了解投资理财，单利和复利这两个概念，一定要搞清楚。

单利和复利都是计息的方式。

单利与复利的区别在于利息是否参与计息。

单利：是指指按照固定的本金计算利息；单利的计算公式是：收益=本金*（1+利率*n），n为一个计息周期；复利：是指第一期产生利息后,第二次的本金包括本金和第一次产生的利息,一次为本金计算利息。

复利又叫利滚利。

复利的计算公式是：收益=本金*（1+利率）n（此处为n次方），n为一个计息周期。

举个栗子：本金为10万，年利率均为5%，看看单利和复利在的收益如何：由此可见，对比5年，10年，20年的收益，随着时间的延长，复利收益增长越来越快，时间越长，复利的收益越高。

4%的复利可以超越10%的单利吗？还是用数据来说话。

同样，本金为10万，单利分别设置为：6%，8%，10%；与复利4%来做一个比较。

从上面的计算可以看出：4%的复利在第21年度，跑赢6%的单利，在第55年度，收益是6%单利的两倍；从超越到双倍，时间为34年；在第55年度，跑赢8%的单利，在第64年度，收益是8%单利的两倍，从超越到双倍，时间为9年；在第64年度，跑赢10%的单利，在第72年度，收益是10%单利的两倍，从超越到双倍，时间为6年。

随着时间的增长，复利的增值越来越快。

目前市场上复利最高为4%的年金产品，经过时间的推移，收益还是很可观的，20年达到2.19倍，40年达到4.8倍，80年后也有23倍……上图表格中最后一列是4%复利收益对应单利利率，可见20年后4%的复利收益≈单利5.96%，40年后4%的复利≈单利9.5%，如果这个时间再长一点，从孩子0岁就开始买入，当孩子在85岁，或者百岁之时，其收益是多少？所以还有4%的保证利率并且复利结算的金融产品还是非常值得考虑的，锁定了终身4%的收益，你不需要成为富一代，而你的孩子将毫不夸张的成为千万富翁。

提示：需要告诉大家的是我国国内银行的理财产品使用的大多是单利计算方式，而大部分基金和保险产品使用的是复利计算方式。

思维导图
A.条件一
B.条件二
C.条件三
D.条件四
2.某企业拟存款200万元，下列存款利率和计息方式中，在第5年末存款本息和最多的是（）。

A.年利率6%,按单利计算
B.年利率5.5%,每年复利一次
C.年利率4%,每季度复利一次
D.年利率5%,每半年复利一次
A.方案一
B.方案二
C.方案三
D.方案四
4.关于资金时间价值的说法，正确的有（）。

A.单位时间资金增值率一定的条件下、资金的时间价值与使用时间成正比
B.资金随时间的推移而贬值的部分就是原有资金的时间价值
C.投入资金总额一定的情况下，前期投入的资金越多，资金的正效益越大
D.其他条件不变的情况下，资金的时间价值与资金数量成正比。

二、单利与复利利息的计算分单利与复利(一)单利：是不论借款期限的长短，仅按本金计算利息，上期本金所产生的利息不记入下期计算利息，即利息不重复计算利息的计息方法。

其本利和是：S=P(1+r?n)其中，S为本利和，P为本金，r为利率，n为存期;我国银行存款的利息是按单利计算。

I=P?r?n&nbsp;利息额与本金、利率、时间呈线性关系例：P=100，r=6%(年利率)，n=1、2、3(年)……则：I1=100?6%?1I2=100?6%?2=12I3=100?6%?3=18……【例1?单选题】(2011年真题)投资者用100万元进行为期5年的投资，年利率为5%，一年计息一次，按单利计算，则5年末投资者可得到的本息和为()万元。

A.110B.120C.125D.135【正确答案】C【答案解析】本题考查单利计算本息和。

100×(1+5%×5)=125万元。

(二)复利：也称利滚利，就是将上期利息并入本金并一并计算利息的一种方法。

1.一年付息一次(一年复利一次)其本利和是：S=P(1+r)n其中，S为本利和，P表示本金，r表示利率，n表示时间。

I=S-P=P(1+r)n-P=P[(1+r)n-1]例：P=100，r=6%(年利率)，n=1、2、3(年)……I1=S1-P1=100(1+6%)-100=6I2=S2-P2=100(1+6%)2-100=12.36&gt;12I3=S3-P3=100(1+6%)3-100=19.10&gt;18……I为利息额。

利息额与利率、时间呈非线性关系(只与本金呈线性关系)期值：在未来某一时点上的本利和，也称为“终值”。

其计算式就是复利本利和的计算式。

单利终值：S=P(1+r?n)复利终值：S=P(1+r)n2.一年付息多次(一年复利多次)例：假设100元的存款以6%的年利率每半年支付一次利息，也就是说6个月的收益是6%的一半，即3%。

精算数学开放性实验
——单利与复利实验1：单利和复利积累因子的比较。

通过选取不同的利率、时期长度进行计算，将有关计算结果用图示方法反映出来，显示单利的积累因子和复利的积累因子之间的不同。

实验2：名义利率和名义贴现率表。

在给定实际利率的情况下，计算行人的各种转换频率的名义利率和名义贴现率。

实验3：积累因子和贴现因子表。

（1）验证关于贴现的命题：单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。

对较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短的时期则相反。

（2）利率对于积累因子和贴现因子的敏感性分析。

假设借款利率由5%变为10%，问：同样金额（10万）同样期限（20年期）所需要支付的利息增加多少？
假如借款者在20年后的还款能力不变，那么他现在就借不到10万元，问这种情况他能借多少钱？
实验4：复利问题求解。

求解利息问题的基本原则是：一个利息问题所涉及的两个方向的现金流，在同一个时间点上（即比较日期上）的价值相等。

（1）未知付款问题：某交易分别在0、1、2、3、4、6、8时有付款，在0、1、2、3时分别付出10000元、2000元、3000元、4000元，
在6、8时分别收入9000元和10000元，在4时还有一笔款项支
付，假设利率为5%，求在此时支付的款项金额。

（2）未知时期问题：某交易分别在0、1、2、3、6、8和另外一个未知的时刻有付款，在0、1、2、3时分别支付10000、2000、3000、
4000元，在6、8时分别收入9000和10000元，在t时还收入了
8000元，假设利率为5%，求t。

实验5：观察72律的误差率。

单利与复利课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单利与复利的概念，掌握其计算公式。

2. 能够解释单利与复利在实际生活中的应用，如储蓄、投资等。

3. 了解利息率的概念，理解不同利息率对单利与复利计算结果的影响。

技能目标：1. 能够运用单利与复利的计算公式进行相关计算，解决实际问题。

2. 能够分析并比较不同利息率、不同时间周期下单利与复利的差异。

3. 能够运用图表、计算器等工具，更直观地展示单利与复利的变化趋势。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对金融知识的兴趣，提高金融素养。

2. 增强学生的理财意识，培养良好的消费和储蓄习惯。

3. 通过实际案例分析，培养学生正确的金钱观和价值观。

课程性质：本课程为数学学科中关于利息计算的基础课程，结合实际生活中的应用，注重培养学生的实际操作能力和金融素养。

学生特点：六年级学生具有一定的数学基础，对实际生活中的金融问题有一定的好奇心，善于探索和思考。

教学要求：结合学生的年龄特点和认知水平，采用生动形象的教学方法，注重理论与实践相结合，提高学生的学习兴趣和参与度。

通过分解课程目标为具体的学习成果，使学生在掌握知识的同时，提升技能和情感态度价值观。

后续教学设计和评估将以此为基础，确保课程目标的实现。

二、教学内容1. 单利与复利概念介绍- 单利的定义与计算公式- 复利的定义与计算公式2. 利息率的理解与应用- 利息率的含义与表示方法- 不同利息率对单利与复利计算结果的影响3. 单利与复利的计算方法- 运用公式进行单利与复利计算- 案例分析与实际操作4. 单利与复利的比较与应用- 单利与复利在不同时间周期下的差异- 单利与复利在储蓄、投资等领域的应用5. 教学内容的安排与进度- 第一节课：介绍单利与复利概念，学习计算公式- 第二节课：理解利息率，进行单利与复利计算练习- 第三节课：比较单利与复利，分析实际案例，探讨其在生活中的应用教材章节：《数学》六年级下册，第五章“利息问题”：- 5.1 单利与复利的定义及计算公式- 5.2 利息率的认识与应用- 5.3 单利与复利的计算方法及比较- 5.4 单利与复利在实际生活中的应用案例教学内容依据课程目标和教材章节进行科学、系统地组织，确保学生能够掌握单利与复利相关知识，培养实际应用能力。