如皋中学高二期末数学综合练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. 3x^2 - 6xD. 3x^2 + 6x2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1C. 0D. -1/23. 在三角形ABC中，已知AB = 3，AC = 4，BC = 5，则三角形ABC的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 50，a1 = 2，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 函数y = x^2 - 4x + 4在区间[-1, 5]上的最大值为（）A. 9B. 4C. 0D. 56. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. 1B. √2C. 2D. √37. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第5项a5为（）A. 16B. 8C. 4D. 28. 函数y = log2(x - 1)的图像与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0)D. (4, 0)9. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 3，b = 4，c = 5，则cosA的值为（）A. 1/2B. √2/2C. 1/3D. √3/310. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在x = 1处的切线方程为y = 3x - 2，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 12x + 8C. 3x^2 - 12x + 10D. 3x^2 - 12x + 11二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的图像的顶点坐标为______。

江苏省如皋市2019~2020学年度高二年级第一学期期末教学质量调研数学试题一､单项选择题1.已知过抛物线y ax =(0a >)的焦点且垂直于x 轴的弦长度为2,则实数的值为( ) A .4B .2C .1D .2.下列选择支中,可以作为曲线221y ax x =−−与x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A .()1,−+∞B .()()1,00,−+∞C .()1,0−D .()2,−+∞3.气象资料表明,某地区每年七月份刮台风的概率为35,在刮台风的条件下,下大雨的概率为910,则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A .23B .2750C .910D .3104.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生人数为变量X ,男生的人数为变量Y ,则()()22P X P Y =+=等于( )A .221020330C C CB .221020330C C C + C .211210101020330C C C C C +D .()()211210101020330C C C C C+⋅+5.某设备的使用年限x (单位:年)与所支出的维修费用y (单位:万元)如下表所示.已知y 与x 具有线性相关关系,且线性回归方程为1y ax =+,则实数a 的值为( )A .6B .4D .16.在直角坐标系x o y 中,双曲线C :221169x y −=的右支上有一点P ,该点的横坐标为5,12F F 是C 的左､右焦点,则12PF F △的周长为( ) A .452B .18C .814D .3527.由0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A .288B .360C .480D .6008.已知a ,b 是平面α外的两条不同直线,它们在平面α内的射影分别是直线a ',b '(a '与b '不重合),则下列命题正确的个数是( ) (1)若ab ,则a b '';(2)若a b ⊥,则a b ''⊥; (3)若a b ''⊥,则a l1b ; (4)若a b ''⊥,则a ⊥b . A .0个B .1个C .2个D .3个二､多项选择题9.如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从如城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是( ) A .这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B .这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C .这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D .这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为8112810.若随机变量()0,1N ξ,()()x P x φξ=≤,其中0x >,下列等式成立有( )A .()()1x x φφ−=−B .()()22x x φφ=C .()()21Px x ξφ<=−D .()()2Px x ξφ>=−11.在正三棱锥A BCD −中,侧棱长为3,底面边长为2,E ,F 分别为棱AB ,CD 的中点,则下列命题正确的是( )A .EF 与AD 所成角的正切值为32B .EF 与AD 所成角的正切值为23C .AB 与面ACD 所成角的余弦值为12D .AB 与面ACD 所成角的余弦值为7912.如图,矩形ABCD 中,8AB =,6BC =,E ,F ,G ,H 分别是矩形四条边的中点,R ,S ,T 是线段OF 的四等分点,R ',S ',T '是线段CF 的四等分点,分别以HF ,EG 为x ,y 轴建立直角坐标系,设E R 与GR '､ER 与GT '分别交于1L ,2L ,ES 与GS '､ES 与GT '交于1M ,2M ,ET 与GT '交于点N ,则下列关于点1L ,2L ,1M ,2M ,N 与两个椭圆:1Γ:221169x y +=,2Γ:2231329x y +=的位置关系叙述正确的是( ) A .三点1L ,1M ,N 在1Γ,点2M 在2Γ上B .1L ,1M 不在1Γ上,2L ,N 在1Γ上C .点2M 在2Γ上,点1L ,2L ,1M 均不在2Γ上D .1L ,1M 在1Γ上,2L ,2M 均不在2Γ上三､填空题13.采用随机数表法从编号为01,02,03,……,30的30个个体中选取7个个体,指定从下面随机数表的第一行第5列开始,由左向右选取两个数字作为应取个体的号码,则选取的第6个个体号码是______. 03 47 43 86 36 16 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 2636 7797 74 24 67 62 42 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 7989 7314.一个球的直径为2,则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______.15.已知双曲线22221x y a b−=(0a >,0b >),其右焦点为F ,过点F 作双曲线渐近线的垂线,垂足为Q ,线段PQ 的中点恰好在双曲线上,则双曲线的离心率为______. 16.已知()()10292190121911x x xx a a x a x a x −+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+,则18a =______;6a =______.四､解答题17.为了了解居民消费情况,某地区调查了10000户小家庭的日常生活平均月消费金额,根据所得数据绘制了样本频率分布直方图,如图所示,每户小家庭的平均月消费金额均不超过9千元,其中第六组､第七组､第八组尚未绘制完成,但是已知这三组的频率依次成等差数列,且第六组户数比第七组多500户, (1)求第六组､第七组､第八组的户数,并补画图中所缺三组的直方图;(2)若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭,定义月消费在3千元至6千无的小家庭为B 类家庭,定义月消费6千元以上的小家庭为C 类家庭,现从这10000户家庭中按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会,间A ,B ,C 各层抽取的户数分别是多少?18.在直三棱柱ABC A B C '''−中,1AC BC ==,90ACB ∠=︒,12CC =,M ,N 分别是1AB ､1BC 上的点,且::1:2BM MA BN NC ==. (1)求证:MN平面11ACC A ;(2)求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.19.已知椭圆E :22221x y a b+=(0a b >>)过点()2,1A ,且它的右焦点为).(1)求椭圆E 的方程;(2)过A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆E 于点B ､C (不同于点A ),且12AC AB =,求直线AB 的方程. 20.农机公司出售收割机,一台收割机的使用寿命为五年,在农机公司购买收割机时可以一次性额外订购买若干次维修服务,费用为每次100元,每次维修时公司维修人员均上门服务,实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次;若实际维修次数少于购买的维修次数,则未提供服务的订购费用退还50%;如果维修次数超过了购买的次数,农机公司不再提供服务,收割机的维修只能到私人维修店,每次维修费用为400元,无须支付餐饮费;--位农机手在购买收割机时,需决策一次性购买多少次维修服务｡为此,他拟范收集､整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表:(1)这位农机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是8次,农机手的花费总费用又是多少?(2)农机手购买了一台收制机,试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中,根据使用期内维修时花费的总费用期望值,帮助农机手进行决策.21.如图,ABC △是边长为3的正三角形,D ,E 分别在边AB ,AC 上,且1BD AE ==,沿DE 将ADE △翻折至A DE '△位置,使二面角A DE C '−−为60°. (1)求证:A C '⊥平面A DE '△; (2)求四棱锥A BDEC '−的体积.22.抛物线M :28y x =的焦点为F ,过焦点F 的直线l (与x 轴不垂直)交抛物线M 于点A ,B ,A 关于x 轴的对称点为1A .(1)求证:直线1A B 过定点,并求出这个定点;(2)若1A B 的垂直平分线交抛物线于C ,D ,四边形1A CBD 外接圆圆心N 的横坐标为19,求直线AB 和圆N 的方程.参考答案:一､单项选择题 1.B 2.C 3.B 4.C 5.D6.A7.A8.B二､多项选择题 9.ACD10.AC11.BC12.AC三､填空题 13.2014.1516.-9 8417.(1)设第六､七､八组的户数分别是x ,y ,z ,它们的频率之和为:()10.02520.050.150.200.250.30−⨯++++=, 所以这三组的户数之和为:100000.33000⨯=.由于这三组的频率依次成等差数列,所以x ,y ,z 也成等差数列,2y x z =+, 又3000x y z ++=,500x y −=,解得:1500x =,100y =,500z =. 所以第六､七､八组的小矩形高度分别为:15000.1510000=,10000.1010000=,5000.0510000=.补直方图(需注明第七组的小矩形高度为0.10,第六､八两组分别用虚线对应0.15和0.05.)(2)A 类家庭的频率之和为:0.0250.050.150.225++=; B 类家庭的频率之和为:0.200.250.150.60++=; C 类家庭的频率之和为:0.100.050.0250.175++=.故A ,B ,C 类家庭分别抽取的人数分别为:800.22518⨯=,800.648⨯=,800.17514⨯=. 答:(1)第六､七､八组的户数分别是:1500户､1000户､500户; (2)从A ,B ,C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户､48户､14户. 18.(1)方法一以C 为原点,CA ,CB ,1CC 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图,则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()0,1,0B ,()0,0,2C ,()11,0,2A ,()0,1,2B 设()111,,M x y z ,因为123AM AB =,所以()()11121,,1,1,23x y z −=−, 故111124333x y z ===,得:124,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 同理求得220,,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以12,0,33MN ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭.因为()0,1,0CB =是平面11ACC A 的一个法向量,且120010033CB MN ⎛⎫⎛⎫⋅=−⨯+⨯+−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以CB MN ⊥,又MN ⊄平面11ACC A ,所以MN 平面11ACC A .方法二 延长1BN 交1CC 的延长线于L ,联结AL . 因为11//B B C L ,所以11::1:2B N NL BN NC ==, 又1:1:2B M MA =,所以11::B N NL B M MA =, 所以MN AL ,又AL ⊂平面11ACC A ,MN ⊄平面11ACC A ,所以MN平面11ACC A .(2)1112,,333B M ⎛⎫=−−⎪⎝⎭,12,0,33MN ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭,设平面1MNB 的--个法向量为(),,n x y z =, 则1112033312033B M n x y z MN n x z ⎧⋅=−−=⎪⎪⎨⎪⋅=−−=⎪⎩即20,20,x y z x z −−=⎧⎨+=⎩令1z =,则2x =−,4y =−, 所以()2,4,1n =−−.又平面111A B C 的一个法向量为()10,0,2OC =, 设θ表示平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角,则()()12212041221212412n OC cos n OC θ⋅−⨯+−⨯+⨯===⋅−+−+⨯. 19.(1)由条件知:22226,411a b a b⎧−=⎪⎨+=⎪⎩. 解得:2282a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以椭圆E 的方程为:22182x y +=. (2)设直线AB :()12y k x −=−,将直线AB 的方程代入椭圆方程:22480x y +−=得:()2242180x k x +−+−=⎡⎤⎣⎦,即()()()2224280x x k x k ⎡⎤−++−+=⎣⎦,解得:2x =或2288241p k k x k −−=+.故2212241k AB k +=−==+.同理:AB ==因为2AB AC =,所以221241k k +=⨯+.化简得:21221k k +=−, 解得:32k =或16, 所以直线AB 的方程为:()3122y x −=−或()1126y x −=− 即3240x y −−=或640x y −+=.20.(1)购买6次维修,而实际维修次数为5次时的维修总费用为:610050550800⨯−+⨯=(元);购买6次维修,而实际维修次数为8次时的维修总费用为:610050624001700⨯+⨯+⨯=(元).(2)购买6次维修时:实际维修次数为6次时的维修总费用为:6100650900⨯+⨯=(元); 实际维修次数为7次时的维修总费用为:9004001300+=(元); 实际维修次数为9次时的维修总费用为:17004002100+=(元). 综合(1)的计算,订购维修次数6次时的维修总费用概率分布表:()18000.39000.313000.217000.121000.11150E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元);若订购维修次数为7次时,维修总费用的概率分布表为:()28500.39500.310500.214500.118500.11080E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).因为()()12E E ξξ>,所以选订购7次维修较划算. 21.(1)在ADE △中,2AD =,1AE =,60DAE ∠=︒,所以222222cos 21221cos603DE AD AE AD AE DAE =+−⋅∠=+−⨯⨯⨯︒=,B所以2224DE AE AD +==,90AED ∠=︒即DE AE ⊥,DE EC ⊥;翻折后,DE A E '⊥,DE EC ⊥,又EA EC E '=,EA ',EC ⊂平面A EC ',所以DE ⊥平面A EC ',且60A EC '∠=︒, 又A C '⊂平面A EC ',所以DE A C '⊥①;在A EC '△中,1A E '=,2EC =,60A EC '∠=︒,与证明90AED ∠=︒同理可得:90EA C '∠=︒. 所以A C A E ''⊥②; 由于①②及A EDE E '=,A E ',DE ⊂平面A ED ',所以A C '⊥平面A DE '.(2)由(1)可知:DE ⊥平面A EC ',又DE ⊂平面BDEC ,所以平面BDEC ⊥平面A EC '. 在平面A EC '内过A '作A H EC '⊥于H ,由于平面A EC '平面BDEC EC =,所以A H '⊥平面BDEC ,又sin 602A H A E ''=︒=,且21321sin 602BDEC ABC ADE S S S =−=−⨯⨯⨯︒=△△所以117338A BDEC BDEC V S A H '−'=⋅==. 22.(1)设直线AB :2my x =−(0m ≠),代入抛物线方程得:28160y my −−=, 所以128y y m +=,1216y y =−, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()111,A x y −, 从而1A B :()121121y y y y x x x x ++=−−,令0y =得:()()()21122112121212122221622228my y my y m x y x y my y x y y y y y y m+++⨯−+===+=+=−+++,所以直线AB 过定点()2,0−. (2)由(1)知:()()()121212112=22A B y y y y k my my m y y ++=+−++, 且21y y −==当21y y −=,1A B k =直线1AB :)2y x =+,设线段1A B 的中点为()00,E x y ,则()01212y y y =−+=, 所以200242x y m −=+,所以(24E m +,从而CD:)242y x m −=−−即)246y x m =−−,上述方程代入28y x =得:()()2222212464601x m x m m ⎡⎤−++++=⎢⎥+⎣⎦(*), 因为CD 是1A B 的垂直平分线,所以线段CD 是圆N 的直径,所以()2212462191C D x x m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+=++=⨯+,解得:m =所以直线AB :20x −=.此时CD :236y x =−+,19x =时,2y =−,方程(*)化简为:2383240x x −+=,求得CD =圆N :()()22192185x y −++=;当21y y −=−,同理求得AB :20x −=,圆N :()()22192185x y −++=. 综上,直线AB :20x ±−=,圆N :()()22192185x y −+±=.。

2020-2021学年江苏省如皋中学高二上学期期末模拟卷一数学试题一、单选题1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=A ．5BC ．2D ．1【答案】B【详解】由面积公式得：1122B =，解得sin B =，所以45B =或135B =，当45B =时，由余弦定理得：21245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =，由余弦定理得：212AC =+-=5，所以AC = B.【解析】本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 2．若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（ ） A ．46 B ．64C ．15D ．360【答案】C【分析】根据组合的定义，结合组合数公式进行计算求解即可.【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题，则有466!6515(64)!4!2C ⨯===-⋅.故选：C 3．在()()42121x x -+的展开式中4x 的系数为（ ）A ．13B ．11C ．11-D ．20-【答案】C【分析】先求出()41x +展开式的通项为4k k k T C x =，展开式中4x 的项有44441C x x ⨯=和22244212x C x x -=-，系数相加即可求解.【详解】()41x +展开式的通项为4k kk T C x =， 展开式中4x 项为44441C x x ⨯=和22244212x C x x -=-，所以()()42121x x -+的展开式中4x 的系数为11211-=-，故选：C4．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．平均数为3.中位数为2 B ．中位数为3.众数为2 C ．平均数为2.方差为2.4 D ．中位数为3.方差为2.8【答案】C【分析】根据题意,举出反例说明,即可得出正确选项.【详解】对于A, 当掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3.中位数为2,可以出现点数6,所以A 错误;对于B,当掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3.众数为2, 可以出现点数6,所以B 错误;对于C,若平均数为2.且出现6点,则方差221(62) 3.2245s >-=>,所以平均数为2.方差为2.4时一定没有出现点数6,所以C 正确;对于D,当当掷骰子出现结果为2,3,3,5,6时,中位数为3,方差为2222221(23)(33)(33)(53)(63) 2.85s +++++⎡⎤=-----=⎣⎦,可以出现点数6,所以D 错误.综上可知,C 为正确选项. 故选:C【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差在统计中的应用,各个数据对总体的影响,属于基础题.5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 【解析】条件概率．6．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为A B C ．6332D ．94【答案】D【详解】由题意可知：直线AB 的方程为3)34y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π【答案】C【详解】正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为即2R =2424R S R ππ===球8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．10D ．2【答案】C【详解】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A（1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-，1(,0,1)2AN =-，所以cos ,BM AN BM AN BM AN⋅〈〉==⋅3465=⋅30，故选C. 【解析】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.二、多选题9．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，2AB AD CD ===，22BD =，90BDC ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 折起至'A BD △，使平面'A BD ⊥平面BCD ，则在四面体'A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A ．//EF 平面'A BCB ．异面直线CD 与'A B 所成的角为90︒C ．异面直线EF 与'A C 所成的角为60︒D ．直线'A C 与平面BCD 所成的角为30 【答案】ABD【分析】运用线面平行的判定定理可判断A 正确；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B 正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C 错误；由线面角的求法，可判断D 正确．【详解】对于A ：因为E ，F 分别为A D '和BD 两边中点，所以//EF A B '，又EF ⊄平面A BC '，所以//EF 平面A BC '，故A 正确； 对于B ：因为平面A BD '⊥平面BCD ，交线为BD ，且CD BD ⊥， 所以CD ⊥平面A BD '，即CD A B ⊥'，故B 正确；对于C ：取CD 边中点M ，连接EM ，FM ，则//EM A C '，所以FEM ∠或其补角为异面直线EF 与A C '所成角， 又1EF =，122EM A C ='=132FM BC ==，即90FEM ∠=︒，故C 错误；D ：连接A F '，可得A F BD '⊥，由面面垂直的性质定理可得A F '⊥平面BCD ， 连接CF ，可得A CF ∠'为A C '与平面BCD 所成角，由21sin 222A F A CF A C '∠'==='，则直线A C '与平面BCD 所成的角为30°，故D 正确． 故选：ABD【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件 C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件 【答案】CD【详解】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,4M 在抛物线()220y px p =>上，抛物线的焦点为F ，延长MF 与抛物线相交于点N ，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =- B ．174MN =C ．OMN 的面积为72D ．MF NF MF NF +=【答案】AD【分析】根据条件求出p ，再联立直线与抛物线求出N ，进而求出结论． 【详解】解：点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，242?42p p ∴=⇒=，24y x ∴=，焦点为(1,0)，准线为1x =-，A 对，因为(4,4)M ，故404413MF k -==-， 故直线MF 为：4(1)3y x =-，联立244(1)3y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒2161(1)494x x x -=⇒=或4x =， 1(4N ∴，1)-，452p MF ∴=+=，15424p NF =+=，525544MN ∴=+=，B 错，25·4MF NF MN MF NF +===，D 对，OMN 的面积为115·()15222M N OF y y -=⨯⨯=．故C 错， 故选：AD ．12．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1226C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为121255C C C -【答案】ABD【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为37C 种，可判断A 错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为12212525C C C C +种，可判断B 错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为3175C C -种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D 错误． 【详解】对于A ，若任意选择三门课程，选法总数为37C 种，故A 错误对于B ，若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C 种选法若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有15C 种选法 由分步乘法计数原理知，总数为12212525C C C C +种选法，故B 错误对于C ，若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575·C C C C C -=-种，故C 正确对于D ，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有1214C C 种选法 选化学，不选物理，有1215C C 种选法 物理与化学都选，不选历史，有2124C C 种选法故总数为121221141524610420C C C C C C ++=++=种，故D 错误 故选：ABD三、填空题13．从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数2()f x ax bx c =++的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个（用数字作答）． 【答案】18 6【分析】利用计数原理求出,,a b c 的组数即可，其中不同的偶函数的个数为0b =的组合，再利用计数原理计算即可．【详解】()0a a ≠有3种取法，b 有3种取法，c 有2种取法， 由分步计数原理知共有二次函数33218⨯⨯=个 若二次函数为偶函数，则0b =，共有326⨯=个 故答案为：18；6．14．已知21001210()g x a a x a x a x =++++，9019()h x b b x b x =+++，若()()()()()19101121x x x g x h x +-=-+，则9a =________．【答案】1832-⨯【分析】根据等式1910(1)(12)(1)()()x x x g x h x +-=-+的两边展开式中的19x 的系数相等、20x 的系数相等求得9a 的值． 【详解】19101021029012100129(1)(12)(1)()()(1)?()x x x g x h x x a a x a x a x b b x b x b x +-=-+=-+++⋯+++++⋯+由19x 的系数相等可得1919181810919191091010·(2)?(2)?·C C C a C a -+-=-①， 再根据20x 的系数相等可得191910191010·(2)C C a -=②．由①②求得18932a =-⨯，故选：D15．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【分析】根据题意，根据1,,P A F 三点共线，求出直线1AF 的方程，联立双曲线方程，即可求得P 点坐标，则由11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+， ∴△APF 的周长为|P A|+|PF|+|AF|=|P A|+12a PF ++|AF|=|P A|+1PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|P A|+1PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵()0,66A ，()13,0F -∴直线1AF的方程为1366x +=-，即326x =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =- (舍)，所以P 点的纵坐标为26， ∴111166662622APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-⨯⨯-⨯⨯=126. 故答案为：126.【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题. 16．某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m 的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(2＋1)m ，则水晶球的表面积为_______m 2.【答案】4π【分析】根据条件求得四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离、小圆面到底座的距离和球的的半径和即为水晶球最高点到底座底面的距离可得答案.【详解】如图，原边长为2正方形的四个顶点为A B C D 、、、，四个边的中点分别是M N P Q 、、、，且四边形MNPQ 2的正方形，折起后正方形ABCD 四个点在底面上的射影分别为1111A B C D 、、、，是正方形MNPQ 的中点，且1111D C B A 是边长为1的正方形，其对角线长为112AC =，所以112AC AC ==，即则四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径为2，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离为212R -，小圆面到底座的距离为22，设球的半径为R ， 由条件得R ＋212R -＋22＝2＋1，解得R ＝1，所以水晶球的表面积4πm 2. 故答案为：4π.【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用.四、解答题173sin A ＝a cos C ；②tan 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝23a 2＋b 2＝c 23ab 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若c ＝4，B ＝105°， ，求a 和S .【答案】选①：2a =443S =+选②：42a =443S =+选③：2a =443S =+【分析】选①3csinA ＝acosC 3cos C C =，求得角C ;选②由tan (C ＋4π)＝233tan C =求得角C ；选③由a 2＋b 2＝c 2，利用余弦定理求得角C ；然后利用正弦定理求得a ，再利用三角形面积公式求解.,【详解】选①∵csinA ＝acosC ；sin sin cos A C A C =， ∵在△ABC 中，(0,)A π∈， ∴sinA ≠0，cos C C =，∴si ta s n n co C C C ==选②∵tan (C ＋4π)＝2∴tan tan421tan tan 4C c ππ+=-1tan 21tan C C +=-，则tan C =选③∵a 2＋b 2＝c 2，∴由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-===， ∵在△ABC 中，C ∈(0，π)， ∴C ＝6π， ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，且B ＝105°， ∴A ＝4π， ∵正弦定理sin sin a cA C =且4c =， ∴4sin sin 46a ππ=，则a = sin10s 5sin(4560n )i B ︒︒︒==+ ,sin 45cos60cos 45sin 60︒︒︒︒=+ ,21232622224+=⨯+⨯=, ∴1126sin 42444322S ac B +==⨯⨯⨯=+. 【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 18．已知，（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项 的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）70（2）332（2x ）10 【详解】试题分析：（1）第k+1项的二项式系数为kn C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11{k k k k r r r r +-≥≥ 试题解析：（1）通项T r ＋1＝C rn 12⎛⎫ ⎪⎝⎭n －r ·（2x ）r ＝22r －n C r n x r ，由题意知4C n ，5C n ，6C n 成等差数列，∴52C n ＝46C C n n +，∴n ＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14714C ＝3 432； 当n ＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大， 其系数分别为22×3－737C =352，22×4－747C =70. （2）由题意知012C C C n n n ++＝79，∴n＝12或n＝－13（舍）．∴T r＋1＝22r－1212C r x r.由2122(1)12112122122(1)12112122C2C,{2C2C,r r r rr r r r-----+-+≥≥得525{475rr≤≥∴r＝10.∴展开式中系数最大的项为T11＝22×10－12·1012C x10＝332（2x）10.【解析】二项式定理的应用19．在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势.但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充.看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化.某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站(电子纸质均可凭电子借书卡借书)由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年.（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，求抽取的这3人都为中青年的概率(直接用组合数表示)；（2）为进一步调查阅读习惯(电子阅读和传统阅读)与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表：完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”.中青年老年合计电子阅读13附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，(其中n a b c d =+++)临界值表供参考：3.841【答案】（1）328380C C ；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关.【分析】（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人有380C 种抽取方法，由频率分布直方图可得中青年人数为28人，从中青年读书者中随机抽取3人有328C 种抽取方法，从而可得答案.(2)先根据频率分布直方图，完善22⨯列联表，求出()22801539131328522852K ⨯-⨯=⨯⨯⨯，根据临界值表得出答案.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=(人)，从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，抽取的这3人都为中青年的概率为328380C C ；（2）由（1）得，中青年读书者人数为28人，老年读书者人数为802852-=，由此可得22⨯列联表如下表，()228015391313320 6.5312852285249K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”.20．某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、桂林、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔加大、内罗毕、雅典、威尼斯、华盛顿13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市． （1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率．（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目()*1013,n n n N ≤≤∈，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？ 【答案】（1）115143；（2）应建设工业厂房12间． 【分析】（1）先求其对立事件A “该公司所选的3个城市都在国外”的概率，再计算()()1P A P A =-即得结果；（2）结合需求量，分别计算10111213n =，，，时，每月总利润的分布列和数学期望，并进行比较可知，应建设工业厂房12间.【详解】解：（1）记事件A 为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，其对立事件A 为“该公司所选的3个城市都在国外”，则()38313P C A C =，故()()3831311511413P C A C P A =-==-， ∴所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为115143； （2）设该产品每月的总利润为Y ，①当10n =时，产品可完全售出，故100101000Y =⨯=万元．②当11n =时，月需求量为100万件时，获利1001050950Y =⨯-=万元． 月需求量为110万件及以上时，获利100111100Y =⨯=万元．6(950)0.160P Y ===，(1100)1(950)10.10.9P Y P Y ==-==-=． Y 的分布列为∴()9500.111000.91085E Y =⨯+⨯=万元．③当12n =时，月需求量为100万件时，获利10010502900Y =⨯-⨯=万元． 月需求量为110万件时，获利10011501050Y =⨯-=万元． 月需求量为120万件及以上时，获利100121200Y =⨯=万元．6(900)0.160P Y ===，24(1050)0.460P Y ===，1812(1200)0.5600P Y +===． Y 的分布列为∴()9000.110500.412000.51110E Y =⨯+⨯+⨯=万元．④当13n =时，月需求量为100万件时，获利10010503850Y =⨯-⨯=万元， 月需求量为110万件时，获利100115021000Y =⨯-⨯=万元， 月需求量为120万件时，获利10012501150Y =⨯-=万元， 月需求量为130万件时，获利100131300Y =⨯=万元．6(850)0.160P Y ===，24(1000)0.460P Y ===，18(1150)0.360P Y ===，12(1300)0.260P Y ===．Y 的分布列为∴()8500.110000.411500.313000.21090E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=万元． 综上，当12n =时，()1110E Y =万元最大，∴欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间． 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.21．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qian du ）：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bie nao ）指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥.（1）求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；（2）若AB AC =，12C C =，且直线1AC 与平面11BCC B 5，求锐二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）通过证明AB ⊥面11ACC A ，结合四边形11ACC A 为矩形即可证明； （2）以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）证明：∵1A A ⊥底面ABC ，AB 面ABC ，∴1A A AB ⊥， 又AB AC ⊥，1A AAC A =，∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形， ∴四棱锥11B A ACC -为阳马.（2）解：在ABC 中作AH BC ⊥于H ，连结1C H . 显然1AC H ∠为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角. 设2BC a =，则AH a =，214C Ha =+.故125tan 54AC H a ∠==+，解得1a =， ∴2BC =，2AB AC ==，∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC .∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B，()2,0C ，()10,0,2A ，()12,0,2A B =-，()2,2,0BC =-，()112,0AC =.设面1A BC 的一个法向量()1111,,x n y z =，由11100n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111220220x z x y -==⎪⎩，令12x =，得()12,2,1n =，设平面11A BC 的一个法向量()2222,,n x y z =，则2121100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x z -==，令12x =，得()22,0,1n =，∴12121215cos ,5n n n n n n ⋅==⋅， 故锐二面角11C A B C --. 【点睛】利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M：22221x y a b +=（0a b >>）右焦点的直线0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(Ι) 22163x y +=（Ⅱ）12AB CD ⋅=3【分析】(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点()00,P x y ，利用“点差法”即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，进而可得椭圆方程；(2)由CD AB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用ABCD 1S 2AB CD =⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 则()22112211x y a b +=，()22222212x y a b+=，（1）－（2）得：()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=，因为12121y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以0012y x =，即()121212y y x x +=+，所以可以解得222a b =，即()2222a a c=-，即222ac =，又因为c =26a =，所以M 的方程为22163x y +=.（Ⅱ）因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，将0x y +=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，所以可得AB =；将y x m =+代入22163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设()33,,C x y ()44,,D x y 则CD =()221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB CD ⋅=. 【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.。

高二参考答案1.C2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.A9.AB 10.BC ACD 12.AB13.7814.32415.93216.2；2219144y x +=17.证明：(1)因为AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以BC AM ⊥．……………………………………………………2分因为PA 是三棱锥P ABC -的高，所以PA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………………………………………………4分因为PA ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PA AM A = ，所以BC ⊥平面PAM ．……………………………………………5分(2)法一：（综合法）在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，则因为BC ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以BC ⊥AH ．因为AH PM ⊥，BC ⊂平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，PM BC M = ，所以AH ⊥平面PBC ．…………………………………………………7分在Rt BAC ∆中，22111442222AM BC AB AC ==+=+=．所以在Rt PAM ∆中，22426PA AM +=+=，…………8分所以22236PA AM AH PM ⨯===，所以A 到平面PBC 23………………………………………………………10分法二：（等体积法）设A 到平面PBC 的距离为d ，则在Rt BAC ∆中，22111442222AM BC AB AC ==+=+=在Rt PAM ∆中，22426PM PA AM =+=+=．………………………………………6分因为PA 是三棱锥P ABC -的高，所以11142223323P ABC ABC V S PA -∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=，…………………………………………8分1114263323P ABC PBC V S d d -∆=⨯=⨯⨯=，解得233d =，所以A 到平面PBC 的距离为233．………………………………………………………10分（本题用向量法求解酌情给分）18.解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为234230S S S -+=，所以()234320S S S S -+-=，………………………………………………………………2分所以432a a =，所以2q =，所以112n n n a a q -==．…………………………………………………………………………5分(2)由(1)得，2n n b n =⨯，所以212222n n T n =⨯+⨯++⨯ ，……①所以()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，……②………………………7分①-②，得()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- ，……10分所以()1122n n T n +=-⋅+．………………………………………………………………12分19.解：(1)设双曲线C 的焦距为2(0)c c >，因为双曲线C 的实轴长为2，所以22a =，解得1a =．……………………………………………………………………2分因为右焦点F 到32x =的距离为12，所以3122c -=，解得1c =或2c =．…………………………………………………………4分因为c a >，所以2c =．所以222413b c a =-=-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=．………………………………………………………6分(2)设()()1122,,,M x y N x y ，则22131y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，所以()223130x x ---=，整理得220x x +-=，…………………………………………………………………………8分解得121,2x x ==-，所以23y =-．…………………………………………………………10分所以1211313222MNF S c x y ∆=-⨯=⨯⨯=．………………………………………………12分20.解：(1)选①因为22n n a a +-=，所以当n 为奇数时，1122n n a a n -=+⨯=；…………………………………………………2分同理，当n 为偶数时，2222n n a a n -=+⨯=．……………………………………………4分所以n a n =．……………………………………………………………………………………6分选②因为()21n n S n a =+，（*）所以当2n ≥时，112n n S na --=，（**）（*）-（**），得()11n n n a na --=，即11n n a a n n -=-，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，………………………………………………………4分所以n a n =．……………………………………………………………………………………6分选③因为()12n n nS n S +=+，所以()()()1211n n S S n n n n+=+++，所以数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12的常数列，…………………………………………………2分所以()12n n n S +=，所以当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=．…………………………………4分当1n =时，也符合上式．所以n a n =．……………………………………………………………………………………6分(2)由（1）得，()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，………………………………………8分所以111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．…………12分21.解：(1)三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，……………………………………………1分在11AB A ∆中，11AB AA =，线段11A B 的中点为M ，所以11A B AM ⊥，所以AB AM ⊥．………………………………………………………………………………2分因为BC AM ⊥，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB BC B = ，所以AM ⊥平面ABC．………………………………………………………………………5分(2)如图建立空间直角坐标系，则())110,0,0,1,0,,,2A B B --⎝()(0,2,0,0,C M ．所以()(11,,3,0,0,0,22AB BC AM ⎛=-== ⎝ ．因为111222,033B P B C BC ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭ ，xz y所以3,,62P ⎛- ⎝所以32AP ⎛= ⎝ ．（也可不求AP直接用()113,0B C = ）…………………7分设平面11B AA 的一个法向量()1111,,n x y z =，则1111111310220n AB x y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，解得10z =，令1y =11x =，所以()10n = ．（也可在平面ABC 内作AN AB ⊥交BC 于N ，3,1,03AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 即为所求）同理，()21n =- ．……………………………………………………………………10分设二面角11P B A A --的平面角为()0180θθ︒≤≤︒，则121212313cos cos ,=13n n n n n n θ⋅=<>= ，所以二面角11P B A A --的余弦值为13．………………………………………………12分22.解：(1)因为31,2P ⎛ ⎝⎭为椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>上一点，所以221314a b+=．……………………………………………………………………………2分因为225a b +=，所以2213154b b +=-，整理得42419150b b -+=，解得21b =或2154b =．当2154b =时，254a =，与ab >矛盾．所以21b =，24a =．…………………………………………………………………………4分椭圆C 的方程为2214x y +=．…………………………………………………………………5分(2)设直线BP 的斜率为k ，则:1BP l y kx =-．因为1:12AC l y x =-+，所以421,2121Q Q k x y k k -==++．因为22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()224140x kx +--=，整理得()221480k x kx ++-=，所以222841,4141P P k k x y k k -==++．…………………………………………………………7分所以2222241412141842882241PC k k k k k k k k k k --++===---+--+，所以()21:242PC k l y x k +=---．令0x =，得2121R k y k +=-．……………………………………………………………………9分所以()()222221218212122121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++，所以221:2121RQ k k l y x k k +=-+--．…………………………………………………………10分所以()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----．所以直线RQ 过定点()2,1-．…………………………………………………………………12分。

2020-2021如皋中学高二第一学期期末数学综合复习二一、单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若//a b ，//a α，则//b α B. 若a β⊥，αβ⊥，则//a α C. 若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ D. 若//a α，αβ⊥，则a β⊥2. 若(x 2−a)(x +1x )10的展开式中x 6的系数为30，则a =（ ） A ． −12B ． −2C ． 2D ．123. 已知:1p x a -<，3:11q x >+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)1,2-D ．()1,2-4. 已知点P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆τ的离心率e =（ ）A ．12B ．2C ．2D ．35. 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布()110,100N ，则分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为（ ）（已知若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+= ，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=）A ．1140B ．1075C ．2280D ．21506. 根据环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是（ ） A. 0.4B. 0.25C. 0.1D. 0.057. 已知12,x x ，3x ∈R ，123x x x <<，设1212x x y +=，2322x x y +=，3132x x y +=，1212y y z +=，2322y y z +=，3132y y z +=，若随机变量,,X Y Z 满足：())()(i i i P X x P Y y P Z z =====1(1,2,3)3i ==则( ) A. ()()()D X D Y D Z << B. ()()()D X D Y D Z >> C. ()()()D X D Z D Y << D 。

江苏省如皋市高二下学期期末统考（数学理）一．填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知集合11,0,3M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，12N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则MN = ▲ ．2．设11,1,2a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 ▲ ．3．方程3log 6x x =-的根在区间(,1)k k +，则整数k 的值为 ▲ ． 4．函数|1|2x y -=的值域为 ▲ ．5. 命题 “存在实数a ，212a a +<”的否定为 ▲ 命题．（填“真”或“假”） 6．直线12y x b =+能作为下列函数()y f x =的切线有 ▲ ． ①1()f x x=②()ln f x x = ③()sin f x x = ④()x f x e =- (写出所有正．．．确．的函数序号) ． 7．如图，在直角坐标平面内有一个边长为a 、中心在原点O 的 正六边形ABCDEF ，Ox AB //． 直线为常数）k t kx y L (:+=与正六奇偶边形交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，则函数)(t f S =的性为 ▲ (填“奇函数”或“偶函数”或“非奇非偶函数”之一) ．8．若“40x P +<”是“220x x -->”的充分不必要条件,则实数P 的取值范围是 ▲ ． 9．定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数2|28|y x x =+-定义域为],[b a ，值域为[0,5]，则区间],[b a 的长度的最大值为 ▲ ．10．已知函数3(21)34,,(),,a x a x t f x x x x t -+-≤⎧=⎨->⎩，无论t 取何值，函数f (x )在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a 的取值范围是 ▲ ．二 ．解答题：本大题共8小题,共110分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．11．（本题满分10分）已知矩阵M 32a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b ∈R ，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，求实数,a b 的值．12．（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是4cos()3πρθ=+．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：3,()x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，求直线l 与曲线C 相交弦的弦长．13．（本题满分14分）已知0a >，设命题:P 函数x y a =在R 上单调递增；命题Q ：不等式210ax ax -+>对x ∀∈R 恒成立，若,P Q 中有且只有一个为真，求a 的取值范围．14．（本题满分14分）某班从8名学生干部中(其中男生4人，女生4人)，选3人参加学校的义务劳动． (1)设所选3人中女生人数ξ，求ξ的分布列及数学期望； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率．15．（本题满分15分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：为3获得的优惠额为4000.230110⨯+=（元）．设购买商品得到的优惠率=购买商品得到的优惠额商品的标价，试问：（1）购买一件标价为1的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[600,1000]元内的商品，顾客购买商品标价在什么范围内时，可得到不小于13的优惠率？ 16．（本题满分15分）（1）设()(1)()n f x x n *=+∈N ，()f x 展开式中前三项的二项式系数和是22，求n 的值；（2）利用二项式定理求：111(1)2nk kk nk kC --=-∑的值．(2,n n *>∈N )17．（本题满分16分）已知函数()ln(15)f x ax x =-+,a 为常数. (1)如果()f x 在(1,)+∞上单调递增,求实数a 的取值范围； (2)求()f x 在[1,)+∞上的最值．18．（本题满分16分）已知函数||1221(),()()4162x m mx f x f x x -==+,其中m ∈R ． (1)若02m <≤,试判断函数12()()(),[2,)f x f x f x x =+∈+∞的单调性,并证明你的结论;(2)设函数12(),2,()(),2,f x x g x f x x ≥⎧=⎨<⎩ 若对于任意大于等于2的实数1x ,总存在唯一的小于2的实数2x ,使得12()()g x g x =成立,试确定实数m 的取值范围．。

江苏省如皋中学2020-2021学年度第二学期期末数学复习卷四一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{3A x x =≤且}x N ∈，{}2|4B x x =<，则A B ⋂=（ ）A ．{|2}x x <B ．{1}C ．{1,1}-D ．{0,1} 2．若纯虚数z 满足()i 2i z m +=-(其中i 为虚数单位，m 为实数)，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．某班级要从5名男生､3名女生中选派4人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案有（ ）A ．20种B ．30种C ．35种D ．65种 4．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，4x 的系数是（ ） A ．40B ．10C ．-40D ．10- 5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线32=x c 的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为（ ）A ．23 B ．3 C ．4- D 16．在数1和3之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成等差数列，将这n ＋2个数的和记为n b ，则数列13{log }n nb b +的前78项的和为( ) A. 3 B. log 378 C. 5 D. log 387．人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作A ，隐性基因记作a .成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是AA ，aA 或Aa ”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用B ，b 表示显性基因､隐性基因，基因对中只要出现了显性基因B ，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb ，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（ ）A ．116 B ．316 C ．716 D ．9168．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，()32x x f x =+，则不等式(2)13f x -<的解集为（ ）A ．(,0)(4,)-∞+∞ B ．(0,4) C ．(0,2) D ．(,0)(2,)-∞+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省如皋中学2021－2022学年度上学期期末教学考试高二数学试题一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．^1．在等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，3169a a +=，510S =-，则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．4-C ．4D ．1-2．椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12P F P F +的值是（）A ．3B ．4C ．6D ．83．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A ．8-B ．8C ．1或8-D ．1-或84．攒（cu án ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A．B．C．D ．6π5．已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A ．1B ．2CD6．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（n ào ）．如图所示的三棱锥P ABC -为一鳖臑，且PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAB ，若PCA α∠=，ACB β∠=，PCB γ∠=，则（）A ．cos cos cos γαβ=⋅B ．cos cos cos αβγ=⋅C ．sin sin sin γαβ=⋅D ．sin sin sin αβγ=⋅7．若52345012345(23)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则024a a a ++=（）A ．244B ．1C ．120-D ．121-8．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C D ．3二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A ．数列{}n a 是递减数列B ．100a =C ．9S 是n S 中最小项D ．216S S <10．为有效控制新冠疫情，某医院派出甲，乙，丙，丁4个医疗队分别去支援,,A B C 三个地区，要求每个地区至少安排一个医疗队，则下列说法正确的有（）A ．总共有12种分配方法B ．总共有36种分配方法C ．若甲､乙两队安排去同一个地区，则有6种分配方法D ．若甲､乙不同去A 地区一共有30种分配方法11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A ．直线1DB 与平面AEF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．三棱锥D AEF -的体积为23D ．点D 到平面AEF 的距离为4312．已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A ．128y y =-B ．AB 的最小值为C ．11AP BP +=D ．AMP BMP∠=∠三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =且313S =，则n a =_______．14．已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线左支上点A 满足12AF AF ⊥，则12AF F ∆的面积为．15．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）．16．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P 到两定点A ,B 的距离之比满足PAt PB=(0t >且1t ≠,t 为常数)，则P 点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A (30),-，B (30),，动点P 满足2PAPB=，则P 点的轨迹Γ为圆，该圆方程为；过点A 的直线交圆Γ于两点,C D ，且AC CD =，则CD =．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知在公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，且124,,a a a 构成等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列n c =___________，求数列{}n c 的前n 项和n S ．请在①11n n a a +；②11n n b b +；③(1)n n n a b +-这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点M ⎛ ⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB ∆的面积为23，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4AD =，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO 13BF FC =，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．江苏省如皋中学2021－2022学年度上学期期末教学考试单选题ADCB CADB BC BC BCD ABD 13.13n -14.315.129616.22(5)16x y -+=；解答题17.（1）设{}n a 的公差为(0)d d ≠124,,a a a 成等比数列2214a a a ∴=21122211(1)1301011(1)31,2{}225n n n n n d d d d d a n a n b a b a b b q b b -∴+=+∴=≠∴=∴=+-=∴====∴==∴= 或又即分的公比分（2）选①：11111(1)1n n n c a a n n n n +===-++1111112231n S n n ∴=-+-++-+ 111n =-+101n n =+分选②：1211111222n n n n n n c b b --+===⋅1352111112222n n S -∴=++++ 11[1(]24114n -=-12(1)43n -=10 分选③：11(1)2(2)2n n nn c n n -=+-=+⋅-(1)12(1(2)221(2)n n n n S +---∴=+⋅--）(1)(2)123n n n +--=+10 分18.（1）以1{,,}AB AC AA为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- 1111113cos ,6AB DC AB DC AB DC <>==1111,AB DC AB DC <>与直线，所成角相等1136AB DC ∴直线，所成角的余弦值为5 分(,,)m x y z =1（2）设为平面B AD的一个法向量1110220m AD x y m AB y z ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩ 则00x y y z +=⎧∴⎨+=⎩1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=--令则，1:(1,1,1)n ADC =-同理为平面的一个法向量1cos ,3m n m n m n <>==,m n <>11与二面角B -AD-C 的平面角相等1113B ADC ∴--二面角的余弦值为12 分119.22nn n a a +=+ （1）111222n n n n a a ++∴-=∴11222nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以为首项，为公差的等差数列3 分11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=12n n a n -∴=⋅6 分011212222n n S n -=+++⋅ （）2n S =1112122n nn n -++-+⋅ （）12112222n nn S n -∴-=++++-⋅ 121n n =-- （）121n n S n ∴=-+ （）12 分20.（1） 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点22M ⎛ ⎝⎭，N．2211112a a b ab ⎧=⎧=⎪⎪∴∴⎨⎨=+=⎪⎩⎪⎩2212x C y ∴+=椭圆的方程为5 分(0)l y kx m k =+>（2）设的方程为：l 与圆2212x y +=相切222212m k ==+1122(,),(,)A x yB x y 设2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由2221)4220k x kmx m ∴+++-=（122212204122212km x x k m x x k ⎧⎪>⎪⎪∴+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩ 122223AOB S AB ==12423AB x ∴==-4234232221m k =+又425410k k ∴--=21k ∴=0k > 1k ∴=1l y x ∴=±的方程为12 分21.（1）分别取AB，BC 中点M，N，则OM ON⊥又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-13(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==-(,,)m x y z SCD =设为平面的一个法向量2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩22)x z m ==-∴=- 令7cos ,7m EF m EF m EF<>== ,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余直线EF 与平面SBC 所成角的正弦值为775 分（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=-设13(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则1(,,)n x y z MEF = 设为平面的一个法向量1130221(12)())022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=--+++=⎪⎩则1111,(,1,2121y z x n λλλλ--====++ 令则 平面MEF ⊥平面SCD 1222021n n λλ-∴⋅=-=+ 0λ∴=∴存在点,M MEF SCD⊥使得平面平面此时M 与S 重合12 分22.（1）0(,4)M x 设0522p p MF x =+=则02x p∴=2416p ∴=02p p >∴= (4,4)M ∴24C y x =的方程为5 分（2）假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数0AB 由题意，当直线斜率存在时，斜率不为(4)AB x m y =+设的方程为2011220(,),(,),()4y A x y B x y N y 2(4)4x m y y x=+⎧⎨=⎩由24160y my m --=得12120416y y m y y m ∆>⎧⎪∴+=⎨⎪=-⎩01020102222222000012010212111444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++----2001212()16y y y y y y ∴+++=200(416)160y m y ∴-+-=恒成立020*******y y -=⎧∴⎨-=⎩04y ∴=(4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数。

2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={x|2x﹣2＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=．2．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．3．已知向量，若λ为实数，，则λ= ．4．若，，则tanα= ．5．函数f（x）=ax3+x2+x有极值的充要条件是．6．在等比数列{a n}中，a5•a11=3，a3+a13=4，则= ．7．函数在区间上的最大值是．8．已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为．9．在△ABC中，若，，则= ．10．函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B 是图象与x轴的交点，则tan∠OPB ．11．定义在R上的偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（）=0；A为△ABC 的内角，且满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．12．已知曲线C：y=3x2，点A（0，﹣3）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C 挡住，则实数a的取值范围是．13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点A n（n，n+5），若用f（n）表示线段OA n上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+…+f（2011）= ．14．下列命题中，正确命题的序号是．①函数f（x）=x3+3x2+3x关于点（1，1）对称；②定义在R上的奇函数中一定有f（x+1）＞f（x）；③函数满足f（x+2）=﹣f（x）；④△ABC中，A＞90°，则存在sinB＞cosC．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．己知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，O为△ABC的外心．（1）若b=2，求的值；（2）已知，b=2，c=3，求的值．17．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3：（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．18．现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示），设计要求是：支架总高度AH为6米，底座BCDEF是以B为顶点，以CDEF为底面的正四棱锥，C，D，E，F在以半径为1米的圆上，支杆AB⊥底面CDEF．市场上，底座单价为每米10元，支杆AB单价为每米20元．设侧棱BC与底面所成的角为θ．（1）写出tanθ的取值范围；（2）当θ取何值时，支架总费用y（元）最少？19．把正奇数数列{2n﹣1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表：设a mn（m，n∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数．（1）求a73；（2）若a mn=2011，求m，n的值；（3）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b n，求数列{f（b n）}的前n项和S n．20．已知函数f（x）=﹣alnx+b．（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，求实数a、b的值；（2）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；（3）若﹣3≤a＜0，且对任意x1，x2∈（0，t]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4||，求实数t的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={x|2x﹣2＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B={x|x＜1} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A={x|2x﹣2＜1}，可得A={x|x＜2}，由B={x|y=ln（1﹣x）}可得{x|x＜1}，然后根据交集的定义即可求解．解答：解：由集合A={x|2x﹣2＜1}，可得A={x|x＜2}，由B={x|y=ln（1﹣x）}可得{x|x＜1}，∴A∩B={x|x＜1}，故答案为：{x|x＜1}．点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题，关键是掌握交集的定义．2．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．考点：命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．分析：先求出命题的否定，再用恒成立来求解解答：解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3点评：本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．3．已知向量，若λ为实数，，则λ= ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据向量坐标的运算公式以及向量平行的等价条件建立方程关系即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴+λ=（1+λ，2），∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣2×3=0，即λ=，故答案为：点评：本题主要考查向量坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式，注意和向量垂直的坐标公式的区别．4．若，，则tanα= ．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：利用诱导公式对已知可得sinα的值，结合，利用同角三角函数间的基本关系可求得cosα的值，然后由求出的sinα和cosα的值，再利用同角三角函数的基本关系即可求出tanα的值．解答：解：由诱导公式可得：，∴sinα=﹣，，∴，∴=﹣．故答案为：﹣点评：本题主要考查了诱导公式、同角基本关系在求解三角函数中的应用，属于基础试题，解题的关键是灵活利用公式．5．函数f（x）=ax3+x2+x有极值的充要条件是a＜．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：若a≠0，三次函数f（x）=ax3+x2+x有极值，f′（x）=0有不相等的两个解，利用判别式即可求得结论，若a=0，函数为二次函数可知有极值．解答：解：求得导函数f′（x）=3ax2+2x+1，若a≠0，三次函数f（x）有极值，则f′（x）=0有不相等的两个解，∴△=4﹣12a＞0，∴a＜，若a=0，导函数f′（x）=3ax2+2x+1=2x+1令f′（x）＞0，则x＞﹣；令f′（x）＜0，则x＜﹣；∴函数在x=﹣处取得极小值．综上得，a＜故答案为：a＜．点评：本题主要考查了函数的导数与极值的关系，以及充要条件的判断，属于中档题．6．在等比数列{a n}中，a5•a11=3，a3+a13=4，则= 或3 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质我们易得到a5•a11=a3•a13=3，从而构造了关于a3和a13的方程组，即可求得a3，a13，求出对应的公比q，即可得到的值．解答：解：在等比数列{a n}中，设公比为q，∵a5•a11=a3•a13=3，又∵a3+a13=4，∴a3=1，a13=3，或a3=3，a13=1，①当a3=1，a13=3时，则q10==3，∴=q10=3；②当a3=3，a13=1时，则q10==，∴=q10=．综合①②可得，=或3．故答案为：或3．点评：本题考查的知识点是等比数列的性质以及等比数列的通项公式，其中根据a5•a11=a3•a13=3，结合a3+a13=4构造方程组，求出a3与a13的值，是解答本题的关键，考查了转化的数学思想方法．属于基础题．7．函数在区间上的最大值是+1 ．考点：二倍角的余弦；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，利用求导法则求出导函数，令导函数值为0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负，可得出函数的单调区间，由函数的单调性可得函数的最大值．解答：解：∵=x﹣2+2（1+cosx）=x+2cosx，∴y′=﹣2sinx，令y′=0，解得sinx=，又x∈，∴x=，当0＜x＜时，y′＞0，函数为增函数；当≤x＜时，y′＜0，函数为减函数，则当x=时，函数取最大值，最大值为=+1．故答案为：+1点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，求导法则，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求函数的最值，熟练运用三角函数的恒等变形把函数解析式化简是本题的突破点，解题的关键是利用导函数的正负得出函数的单调性．8．已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为﹣1≤a＜0 ．考点：函数零点的判定定理．专题：作图题；数形结合；运动思想．分析：图解法．：画出图象如图所示，根据函数图象与函数g（x）图象之间的关系，当x＞0时，相同；当x≤0时，f（x）的图象是由g（x）图象上下平移而得到，因此可以求出满足条件的实数a 的取值范围．解答：解：画出图象如图所示，则当x＞0时，f（x）的图象与x轴只有一个交点，要使函数有三个不同零点，只有当x≤0时，函数的图象与x轴有两个交点即可，而|x+1|+a是由|x+1|上下平移而得到，因此﹣1≤a＜0．故答案为：﹣1≤a＜0．点评：此题是个中档题．考查利用函数图象分析解决问题的能力，以及函数图象的平移变换，和函数零点与函数图象与x轴的交点之间的关系，体现数形结合的思想．9．在△ABC中，若，，则= ．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：根据=，则2==（），将条件数据代入即可求出所求．解答：解：=∴2==（）=﹣=1﹣（﹣2）=3∴=故答案为：点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及向量的数量积的计算，属于中档题．10．函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B 是图象与x轴的交点，则tan∠OPB 8 ．考点：两角和与差的正切函数；正弦函数的图象．专题：计算题．分析：过P作PQ垂直于x轴，由正弦函数解析式y=sinπc，根据正弦函数的图象，且P 是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，找出P和B的坐标，进而得到|PQ|，|OQ|，|BQ|的长，分别在直角三角形OPQ和PQB中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠OPQ和tan∠BPQ，由∠OPB=∠OPQ+∠BPQ，利用两角和与差的正切函数公式化简tan∠OPB，把各自的值代入即可求出tan∠OPB 的值．解答：解：过P作PQ⊥x轴，如图所示：∵函数y=sinπc，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴P（，1），B（2，0），即|PQ|=1，|OQ|=，|OB|=2，∴|QB|=|OB|﹣|OQ|=，在Rt△OPQ中，tan∠OPQ==，在Rt△PQB中，tan∠BPQ==，∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）==8．故答案为：8点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，锐角三角函数定义，正弦函数的图象与性质，其中作出辅助线PQ，找出P和B的坐标是解本题的关键．11．定义在R上的偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（）=0；A为△ABC 的内角，且满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是（）．考点：余弦函数的单调性；函数单调性的性质；偶函数．专题：计算题．分析：本题是一个利用函数的单调性解不等式的题，由题设条件函数是一个偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（）=0知，函数在（﹣∞，0）上减，且f（﹣）=0，由此可以将f（cosA）＜0转化为三角不等式，从而解出角的取值范围解答：解：由题意定义在R上的偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（）=0；函数在（﹣∞，0）上减，且f（﹣）=0，由f（cosA）＜0得﹣＜cosA＜由余弦函数的性质知A∈（）故答案为（）点评：本题考查余弦函数的性质，利用余弦函数的性质解三角不等式，解题的关键是利用所给的抽象函数的性质将不等式转化为三角不等式，再由余弦函数的性质解出角的取值范围，本题涉及到了函数的单调性奇偶性，综合性较强12．已知曲线C：y=3x2，点A（0，﹣3）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C 挡住，则实数a的取值范围是[﹣21，15] ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意知直线AB和曲线C的关系是：相切或没有公共点，写出直线AB的方程y=，联立曲线C的方程并消去y得到：，该方程有唯一解或无解，从而△≤0，这样即可得出实数a的取值范围．解答：解：如图，要使视线不被C挡住，则直线AB和C没有公共点或相切；直线AB的方程为；∴方程组有唯一解或无解；∴有唯一解或无解；∴；解得﹣21≤a≤15；∴实数a的取值范围是[﹣21，15]．故答案为：[﹣21，15]．点评：考查数形结合解题的方法，清楚直线和曲线的位置关系同直线方程与曲线方程形成方程组解的对应关系，直线的点斜式方程，以及一元二次方程解的情况和判别式△取值的关系．13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点A n（n，n+5），若用f（n）表示线段OA n上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+…+f（2011）= 804 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：因为线段OA n斜率k==1+，所在直线方程为y=x+x，所以n为5的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．由此入手能够求出f（1）+f（2）+…+f（2011）的值．解答：解：∵线段OA n斜率k==1+，所在直线方程为y=x+x，∴n为5的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．∴当n=5，10，15，20，…，2010时，线段OA n上有除端点外的2个整点．数列5，10，15，20，…，2010是首项为5，公差为5的等差数列，其通项公式为a m=5m．由5m=2010知m=402，∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=2×402=804，故答案为：804点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，挖掘题设条件中的隐含条件．14．下列命题中，正确命题的序号是③．①函数f（x）=x3+3x2+3x关于点（1，1）对称；②定义在R上的奇函数中一定有f（x+1）＞f（x）；③函数满足f（x+2）=﹣f（x）；④△ABC中，A＞90°，则存在sinB＞cosC．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；函数的性质及应用；解三角形．分析：①在y=f（x）的图象上任取点（x0，y0），其关于（1，1）的对称点为（x，y）；证明（x，y）不在y=f（x）的图象上即可．②利用奇函数的定义即可证明错误；③利用诱导公式即可证明正确；④利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式可得cosAsinC＞cosC（1﹣sinA）．由已知可得A＞90°可得cosA＜0，sinC＞0，cosC＞0，1﹣sinA＞0，从而证明结论错误．解答：解：①在y=f（x）的图象上任取点（x0，y0），其关于（1，1）的对称点为（x，y）；则，即x0=2﹣x，y0=2﹣y；则2﹣y=（2﹣x）3+3（2﹣x）2+3（2﹣x），整理可得，y=x3﹣9x2+27x﹣24，∴y=f（x）的图象关于（1，1）对称的曲线方程不为y=f（x），即函数f（x）图象的不关于点（1，1）对称，故错误；②∵定义在R上的奇函数，∴f（0）===0，解得：a=﹣1，∴f（﹣x）===f（x），解得：=，整理可得：e x=±1，故错误；③由f（x+2）=sin[]=sin（+π+）=﹣sin（+）=﹣f（x），故正确；④若sinB＞cosC成立，∴sin（π﹣A﹣C）＞cosC，∴sin（A+C）＞cosC，即sinAcosC+cosAsinC＞cosC，整理可得：cosAsinC＞cosC（1﹣sinA）．∵A＞90°，∴cosA＜0，sinC＞0，cosC＞0，1﹣sinA＞0，∴cosAsinC＜cosC（1﹣sinA）．矛盾，故错误．故答案为：③．点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，奇函数的性质及应用，综合性较强，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．己知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．考点：正弦函数的单调性；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由f（0）=2，f（）=+可得：a=1，b=2，于是可得f（x）=sin（2x+）+1，从而可求f（x）的最大值与最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+）+1，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即可求得其单调增区间．解答：解：（Ⅰ）由f（0）=2，f（）=+可得：a=1，b=2，∴f（x）=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，∴当x=+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，为+1；当x=+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值，为﹣+1；（Ⅱ）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的单调性与最值，突出辅助角公式的应用，考查分析与应用能力，属于中档题．16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，O为△ABC的外心．（1）若b=2，求的值；（2）已知，b=2，c=3，求的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）设外接圆半径为R，由题意和余弦定理求出cos∠CAO，由向量的数量积运算求出的值；（2）利用三角形的面积公式和条件求出sinA，由△ABC为锐角三角形、特殊角的正弦值求出∠BAC，由余弦、正弦定理求出a和R，由圆的性质和∠BAC求出∠BOC，由向量的数量积运算求出的值．解答：解：（1）设外接圆半径为R，在△AOC中，且b=2，由余弦定理得，cos∠CAO===，∴=2×R×=2；（2）∵，b=2，c=3，∴==，解得sin∠BAC=，∵△ABC为锐角三角形，∴∠BAC=60°，则cos∠BAC=，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cos∠BAC=4+9﹣6=7，解得a=，由正弦定理可得，2R==，则R=，∵O为△ABC的外心，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∴=|OB|•|OC|cos∠BOC==．点评：本题考查平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，三角形的面积公式，圆周角定理，熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键．17．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3：（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．考点：二次函数的性质；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，要使函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则f（﹣1）•f（1）≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12﹣t求出t的值，验证范围后即可得到答案．解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的对称轴是x=8∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴要使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，须满足f（﹣1）•f（1）≤0．即（1+16+q+3）•（1﹣16+q+3）≤0解得﹣20≤q≤12．所以使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点的实数q的取值范围是[﹣20，12]；（2）当时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．∴t2﹣15t+52=0，∴．经检验不合题意，舍去．当时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q﹣61，q﹣57]．∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．∴t=8经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．18．现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示），设计要求是：支架总高度AH为6米，底座BCDEF是以B为顶点，以CDEF为底面的正四棱锥，C，D，E，F在以半径为1米的圆上，支杆AB⊥底面CDEF．市场上，底座单价为每米10元，支杆AB单价为每米20元．设侧棱BC与底面所成的角为θ．（1）写出tanθ的取值范围；（2）当θ取何值时，支架总费用y（元）最少？考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：综合题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）因支架总高度AH为6米，且C，D，E，F在以半径为1米的圆上，所以tanθ的最大值为6，从而得出tanθ的取值范围；（2）先写出支架总费用y的函数表达式：，设，其中tanθ∈（0，6]通过换元转化成积是定值；求和的最小值问题；再利用基本不等式解．解答：解：（1）因支架总高度AH为6米，且C，D，E，F在以半径为1米的圆上，∴tanθ的最大值为6．可得tanθ∈（0，6]（3分）（2）（7分）=，（8分）设，其中tanθ∈（0，6]（9分）则，..（11分）当时，；当时，；当时，；（13分）则当时，f（θ）取得最小值，满足tanθ∈（0，6）（14分）则当时，费用y最小（15分）点评：本题给出实际应用问题，考查解三角形、数学上的换元思想和用基本不等式求函数最值等知识，解答的关键是利用三角函数得出总费用y的函数表达式．19．把正奇数数列{2n﹣1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表：设a mn（m，n∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数．（1）求a73；（2）若a mn=2011，求m，n的值；（3）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b n，求数列{f（b n）}的前n项和S n．考点：数列的求和；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用前t﹣1行共有数的个数为1+2+…+（t﹣1）可确定每行第1个数的值，通过每行数构成公差为2的等差数列，进而计算即得结论；（2）通过每行第1个数的值可确定m=45，进而利用等差数列的知识计算即得结论；（3）通过（1）可知第n行第1个数为n2﹣n+1、最后一个数为n2+n﹣1，进而f（b n）=n•，利用错位相减法计算即得结论．解答：解：（1）根据题意可知：前t﹣1行共有1+2+…+（t﹣1）=个数，∴第t行第1个数为1+2•[﹣1]+2=t2﹣t+1，∴a73=（72﹣7+1）+2•2=47；（2）由（1）可知：第45行第1个数为：452﹣45+1=1981，第46行第1个数为：462﹣46+1=2071，又∵a mn=2011，∴m=45，∴1981+2（n﹣1）=2011，解得：n=16，综上，当a mn=2011时，m=45、n=16；（3）由（1）可知：第n行第1个数为n2﹣n+1，最后一个数为：n2﹣n+1+2（n﹣1）=n2+n﹣1，∴b n=[（n2﹣n+1）+（n2+n﹣1）]=n3，∵函数，∴f（b n）==n•，∴S n=1•+2•+…+n•，S n=1•+2•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减得：S n=+++…+﹣n•=﹣n•=1﹣（1+）•，∴S n=2﹣（n+2）•．点评：本题是一道关于数列的应用题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=﹣alnx+b．（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，求实数a、b的值；（2）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；（3）若﹣3≤a＜0，且对任意x1，x2∈（0，t]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4||，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，即可求实数a、b的值；（2）若x=1是函数f（x）的极值点，f′（1）=1﹣a=0，即可求实数a的值；（3））﹣3≤a＜0，f′（x）=x﹣＞0，函数在（0，t]上单调递增，不妨设0＜x1≤x2≤1，则|f（x1）﹣f（x2）|≤4||，可化为f（x2）+≤f（x1）+，设h（x）=f（x）+=﹣alnx+b+，则h（x）在（0，t]上是减函数，进一步等价于x3﹣ax﹣4≤0在（0，t]上恒成立，即可求实数t的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=﹣alnx+b，∴f′（x）=x﹣，∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，∴1﹣a=3，f（1）=0∴a=﹣2，+b=0，∴a=﹣2，b=﹣；（2）∵x=1是函数f（x）的极值点，∴f′（1）=1﹣a=0，∴a=1；（3）﹣3≤a＜0，f′（x）=x﹣＞0，函数在（0，t]上单调递增不妨设0＜x1≤x2≤1，则|f（x1）﹣f（x2）|≤4||，可化为f（x2）+≤f（x1）+设h（x）=f（x）+=﹣alnx+b+，则h（x）在（0，t]上是减函数．又h′（x）=x﹣﹣，∴等价于x3﹣ax﹣4≤0在（0，t]上恒成立设g（x）=x3﹣ax﹣4，则g′（x）=3x2﹣a＞0，∴t3﹣at﹣4≤0，∵﹣3≤a＜0，∴t3+3t﹣4≤0，∴t≤﹣2或t=1．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属难题．。

江苏省盐城市如皋中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果实数x、y满足等式，则最大值（）A． B． C． D．参考答案：D2. 在二项式的展开式中，含的项的系数是（）．A. －15B. 15C. －60D. 60参考答案：D二项式展开式的通项公式：，令可得：，则含的项的系数是.本题选择D选项.3. 在一次绘画展览中，组委会要求把3幅国画，2幅油画，一幅水墨画挂在一起，并且要求同种画必须相邻，3幅国画必须挂在中间，有多少种挂法？（）A．24 种 B．12种 C．2 种 D．6种参考答案：A4. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．2 D．参考答案：C【考点】循环结构．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=4时，不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为2．【解答】解：执行程序框图，可得i=0，s=2满足条件i＜4，i=1，s=满足条件i＜4，i=2，s=﹣满足条件i＜4，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为2．故选：C．5. 在空间中，下列命题正确的是（）A．经过三个点有且只有一个平面B．经过一个点和一条直线有且只有一个平面C．经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个D．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A中，经过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面；B中，经过直线外一个点和这条直线有且只有一个平面；C中，根据平面公理2知，经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个；D中，点在直线上和点不在直线上时，经过该点且与这条直线平行的平面可能存在，也可能不存在．【解答】解：对于A，经过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面，故A错误；对于B，经过直线外一个点和这条直线有且只有一个平面，故B错误；对于C，根据平面公理2知，经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个，命题正确；对于D，当点在直线上时，经过该点且与这条直线平行的平面不存在，当点不在直线上时，经过该点且与这条直线平行的平面有无数个，故D错误．故选：C．6. 下列四个命题：1，”是全称命题；2命题“，”的否定是“，使”；3若，则；4若为假命题，则、均为假命题．其中真命题的序号是（）A．①②B．①④C．②④D．①②③④参考答案：B7. 以椭圆的左焦点为焦点，以坐标原点为顶点的抛物线方程为（）A. B. C. D.参考答案：A8. 的值为( )A．0 B． C．2 D．4参考答案：C略9. 某单位为了了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为A．58千瓦时B．68千瓦时 C．66千瓦时D．70千瓦时参考答案：B10. 已知⊙和⊙的半径分别为，命题p：若两圆相离，则；命题q：若两圆相交，则；则（）A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定积分=_____参考答案：12. 椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是．参考答案：[，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图根据椭圆的性质可知，∠F 1PF 2当点P 在短轴顶点（不妨设上顶点A ）时最大，要椭圆上存在点P ，满足∠F 1PF 2=120°，∠F 1AF 2≥120°，∠F 1AO≥60°，即可，【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，∠F 1PF 2当点P 在短轴顶点（不妨设上顶点A ）时最大， 要椭圆上存在点P ，满足∠F 1PF 2=120°， ∠F 1AF 2≥120°，∠F 1AO≥60°，tan ∠F 1AO=，故椭圆离心率的取范围是[，1）故答案为[，1）13. 与椭圆有公共准线，且离心率为的椭圆的标准方程为 ；参考答案：14. 直线L 过点(1,0)且被两条平行直线L 1: 3x+y-6=0和L 2: 3x+y+3=0所截得线段长为,则直线L 的方程为（写成直线的一般式）参考答案：x-3y-1=0 15. 命题“”的否定形式是 ．参考答案：，使特称命题的否定，先把特称命题改成全称命题，即把存在量词改成全称量词，再否定结论，即得到答案，使16. 某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0．6，天气变坏的概率为0．4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）． 参考答案： 出海17. 用1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的三位数共有 个．（用数字作答）参考答案：60【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】由题意得，选3个再全排列即可．【解答】解：数字1、2、3、4、5可组成没有重复数字的三位数，选3个再全排列，故有A 53=60个， 故答案为：60．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2023-2024学年江苏省南通市如皋市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知平面α的一个法向量()13,0,n λ=，平面β的一个法向量()22,1,6n = ，若αβ⊥，则λ=（）A ．92B ．4C ．1-D ．1【正确答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为αβ⊥，则可得12n n ⊥，且()13,0,n λ=，()22,1,6n = ，则可得660λ+=，解得1λ=-故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（）A ．52B ．3C ．5D ．152【正确答案】C【分析】根据题意，设中间的边为a ，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到a 的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为a ，则三边依次为2,,2-+a a a 由勾股定理可得()()22222a a a +=-+，解得8a =或0a =（舍）即斜边为210a +=，所以外接圆的半径为1052=故选:C3．已知P 为双曲线22:133x y C -=与抛物线22y x =的交点，则P 点的横坐标为（）A ．3B ．2C D ．1-【正确答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，220x y =≥，则由22223y x x y ⎧=⎨-=⎩解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以P 点的横坐标为3.故选：A4．若直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，则实数m 取值的集合为（）A ．{}1,1-B ．{}9,1-C ．{}1D ．{}8,2-【正确答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得d r =，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆2220x y y +-=可得()2211x y +-=，表示圆心为()0,1，半径为1的圆，则圆心到直线340x y m ++=的距离d =，因为直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，所以d r =1=，解得1m =或9m =-，即实数m 取值的集合为{}9,1-故选:B5．已知数列{}n a 首项为2，且112n n n a a ++-=，则n a =（）A ．2nB ．121n -+C ．22n -D ．122n +-【正确答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得112n n n a a ++-=，12a =，则当2n ≥时，有12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++，()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==--经检验当1n =时也符合该式．∴122n n a +=-.故选：D6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，P 为1A B 的中点，Q 为棱1CC 的中点，则下列结论不正确的是（）A ．1PQ AB ⊥B ．AC //平面1A BQ C ．1PQ CC ⊥D ．PQ //平面ABC【正确答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，【详解】不妨设棱柱的高为2h ，AC CB x ==.B 选项，根据棱柱性质，11AC //AC ，而11A C ⋂平面11A BQ A =，若AC //平面1A BQ ，无论怎样平移直线AC ，都不会和平面1A BQ 只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；A 选项，计算可得，1QA QB =P 为1A B 的中点，故1PQ A B ⊥（三线合一），A 选项正确；C 选项，连接11,,QB QA AB ，根据平行四边形性质，1AB 过P ，计算可得，1QA QB =又P 为1AB 的中点，故1PQ AB ⊥（三线合一），结合A 选项，1PQ A B ⊥，11AB A B P =，11,AB A B ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥平面11ABB A ，由1AA ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥1AA ，棱柱的侧棱1AA //1CC ，故1PQ CC ⊥，C 选项正确；D 选项，取AB 中点E ，连接,PE CE ，结合P 为1A B 的中点可知，PE 为1ABA △中位线，故PE //1AA ，且112PE AA =，即PE //CQ ，且PE CQ =，故四边形PECQ 为平行四边形，故PQ //CE ，由PQ ⊄平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，故PQ //平面ABC ，D 选项正确.故选：B7．在数列{}n a 中，若存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，则称数列{}n a 为“k -数列”.下列数列中为“k -数列”的是（）A ．n b n =B ．2nn b =C ．9n b n n=+D ．123n b n =-【正确答案】C【分析】利用“k -数列”定义逐项判断可得答案.【详解】对于A ，n b n =，11n b n +=+，1110+=+-=>-n n b b n n ，数列{}n b 是单调递增数列，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故A 错误；对于B ，2nn b =，112++=n n b ，112220++-=-=>n n n n n b b ，数列{}n b 是单调递增数列，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故B 错误；对于C ，对于函数()()90f x x x x=+>，令123x x >>，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ，因为123x x >>，所以12120,9->>x x x x ，()12121290-->x x x x x x ，所以()()12f x f x >，()f x 在()3,x ∈+∞上为单调递增函数，令2103<<<x x ，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ，因为2103<<<x x ，所以12120,09-><<x x x x ，()12121290x x x x x x --<，所以()()12f x f x <，()f x 在()0,3x ∈上为单调递减函数，所以对于9n b n n=+，当23n ≤≤时，有1n n b b -<，当3n ≥时，有1n n b b +<，存在3k =使得数列{}n b 是“k -数列”，故C 正确；对于D ，11b =-，2n ≥时，因为{}23n -的单调递增数列，123⎧⎫⎨-⎩⎭n 是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故D 错误.故选：C.8．已知O 为坐标原点，A 点坐标为()2,0，P 是抛物线21:2C y x =在第一象限内图象上一点，M 是线段AP 的中点，则OM 斜率的取值范围是（）A ．10,4⎛⎤ ⎝⎦B ．[)2,+∞C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D．⎛ ⎝⎦【正确答案】A【分析】设()()22,0>P y y y ，可得()221=+OM yk y ，再利用基本不等式可得答案.【详解】设()()22,0>P y y y ，所以21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y ，所以()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyyk y y y y ，当且仅当1y y=即1y =时等号成立，则OM 斜率的取值范围是10,4⎛⎤⎝⎦.故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（）A ．0B ．12C ．2D 【正确答案】AB【分析】由[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈- ，排除C 、D ；取,a AD b BC ==，求出0a b ⋅=；取,a AD b AC == ，求出12a b ⋅= .即可判断A 、B.【详解】在正四面体ABCD 中，棱长均为1.任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1.任取两个向量,a b，则1a b == .所以[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-.故C 、D 错误；取,a AD b BC ==.设BC 中点为E ,连接,AE DE .因为ABCD 为正四面体，所以,AE BC DE BC ⊥⊥.因为AEDE E =,AE ⊂面ADE ，DE ⊂面ADE ，所以BC ⊥面ADE .因为AD ⊂面ADE ，所以BC AD ⊥，所以,90a b =︒.所以cos ,cos 900a b a b ⋅==︒= .故A 正确；取,a AD b AC ==，则,60a b =︒ .所以1cos ,cos 602a b a b ⋅==︒= .故B 正确.故选：AB10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=【正确答案】BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =V 知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D.【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=，解得2,1a c ==，2223b a c =-=，对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确；对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y ，当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n ==，所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==，6mn =，所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误.故选：BC.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A ．异面直线1AB 与CD 所成角的为45 B ．异面直线11A B 与1AC 所成角的为45C ．直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为3D ．二面角1C AD B --的大小为45 【正确答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，//CD AB ，则1AB 与CD 所成的角为145BAB ∠=，A 对；对于B 选项，11//AB A B ，所以，1AC 与11A B 所成角为1BAC ∠或其补角，因为2AB =，1BC ==1AC ==22211AB BC AC ∴+=，则1AB BC ⊥，所以，11tan BC BAC AB∠=，故145BAC ∠≠ ，B 错；对于C 选项，11B C ⊥平面11AA B B ，故直线1AC 与平面11ABB A 所成角为11B AC ∠，1AB ⊂平面11AA B B ，则111B C AB ⊥，所以，11111sin B C B AC AC ∠=因此，直线1AC 与平面11ABB AC 对；对于D 选项，AD ⊥平面11CC D D ，CD 、1C D ⊂平面11CC D D ，则AD CD ⊥，1AD C D ⊥，所以，二面角1C AD B --的平面角为145CDC ∠=o，D 对.故选：ACD.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（）A ．1216c =B ．数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项C ．22nn b a =D ．121n n n b c -+-=【正确答案】AB【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2n n b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2nn b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n nn +--=，故选项B 正确；因为2n n b =，则222nn b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C错误；因为2n n b =，前邻的一个奇数为21n -，令2121nk a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n nn n c b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题13．已知等差数列{}n a 前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______.【正确答案】78【分析】先求得等差数列{}n a 的首项和公差，然后求得前12项和.【详解】设等差数列的公差为d ，则1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以前12项的和为1126678a d +=.故7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为3，则双曲线C 的离心率为______.【正确答案】324【分析】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，根据双曲线的离心率公式可得出22b a =，进而可求得双曲线C 的共轭双曲线的离心率.【详解】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，则2223c a b a a +==，可得22b a =，所以，双曲线C 的共轭双曲线的实轴长为2b ，虚轴长为2a ，焦距为2222a b c +=，因此，双曲线C 的共轭双曲线的离心率为22222283284ca b a a bb a ++===.故答案为.32415．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______.【正确答案】932##0.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案.【详解】画出轴截面如下图所示，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，设球心为O ，圆锥底面圆心为1O ，球的半径为R ，则圆锥的高为1322R R R +=，底面半径为32R ，所以圆锥与球的体积之比为23133π32294π323R R R ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⨯.故932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线．．）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点P 运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆O 的方程为()2220x y R R +=>，半径为1的动圆M 内切于定圆O 作无滑动的滚动，切点P 的初始位置为(),0R .若4R =，则PO 的最小值为______；若2R =，且已知线段MP 的中点N 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______.【正确答案】22219144x y +=【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案.【详解】当4R =时，PO 的最小值为21422R -⨯=-=.当2R =时，N 初始位置为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆O 的四分之一弧长为12π2π4⨯⨯=，圆M 的半周长为12π1π2⨯⨯=，所以N 的轨迹过点10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭，所以31,22a b ==，椭圆焦点在x 轴上，所以椭圆方程为2219144x y +=.故2；2219144x y +=五、解答题17．如图，PA 是三棱锥-P ABC 的高，线段BC 的中点为M ，且AB AC ⊥，2AB AC PA ===.(1)证明：BC ⊥平面PAM ；(2)求A 到平面PBC 的距离.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据已知条件证明BC AM ⊥，PA BC ⊥，由直线与平面垂直的判定定理即可证明.（2）法一：在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，证明AH ⊥平面PBC ，再求值即可；法二：A 到平面PBC 的距离，是三棱锥A PBC -的高，利用等体积法求解.【详解】（1）因为AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以BC AM ⊥.因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以PA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为PA ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PAAM A =，所以BC ⊥平面PAM（2）法一：（综合法）在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，如图所示，因为BC ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以BC AH ⊥.因为AH PM ⊥，BC ⊂平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，PMBC M =，所以AH ⊥平面PBC .在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC =+=+=所以在Rt PAM 中，22426PM PA AM =+=+所以222336PA AM AH PM ⨯==A 到平面PBC 的距离为233.法二：（等体积法）设A 到平面PBC 的距离为d ，则在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==+=+在Rt PAM 中，22426PM PA AM =+=+=因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△，1114263323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△，解得233d =，所以A 到平面PBC 的距离为33.18．已知等比数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且234230S S S -+=.(1)求n a ；(2)已知数列{}n b 满足：n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)2nn a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由234230S S S -+=可得公比q ，再由等比数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为234230S S S -+=，所以()234320S S S S -+-=，所以342a a =，所以2q =，所以112n n n a a q -==.（2）由（1）得，2n n b n =⨯，所以212222n n T n =⨯+⨯++⨯，……①所以()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，……②①-②，得()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯--，所以()1122n n T n +=-⋅+.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点F 到32x =的距离为12.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1y x =-与双曲线C 交于M ，N 两点，求MNF 的面积.【正确答案】(1)2213y x -=(2)32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得1a =，再利用右焦点F 到32x =的距离为12可得2c =，即可求得双曲线C 的方程；（2）联立直线和双曲线方程容易解出M ，N 两点坐标即可求得MNF 的面积.【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，因为双曲线C 的实轴长为2，所以22a =，解得1a =.因为右焦点F 到32x =的距离为12，所以3122c -=，解得1c =或2c =.因为c a >，所以2c =.可得222413b c a =-=-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线和双曲线22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()223130x x ---=，即220x x +-=，1x =或2x =-不妨设11x =，22x =-，所以2130,y y ==-.所以2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△.即MNF 的面积为3220．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足______.①22a =，22n n a a +-=；②()21n n S n a =+；③()12n n nS n S +=+.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求n a ；(2)求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【正确答案】(1)n a n=(2)13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分n 为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据nS 与n a 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数数列，从而得到结果；（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选①因为22n n a a +-=，所以当n 为奇数时，1122n n a a n -=+⨯=；同理，当n 为偶数时，2222n n a a n -=+⨯=.所以n a n =.选②因为()21n n S n a =+，（*）所以当2n ≥时，112n n S na --=，（**）（*）-（**），得()11n n n a na --=，即11n n a a n n -=-，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为1的常数列，所以n a n =.选③因为()12n n nS n S +=+，所以()()()1211n n S S n n n n +=+++，所以数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12的常数列，所以()12n n n S +=，所以当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=.当1n =时，也符合上式.所以n a n =.（2）由（1）得，()211111222n n a a n n n n +⎛⎫== ⎪++⎝⎭，所以111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭21．三棱柱111ABC A B C -中，112AB AB AA AC ====，120BAC ∠= ，线段11A B 的中点为M ，且BC AM ⊥.(1)求证：AM ⊥平面ABC ；(2)点P 在线段11B C 上，且11123B P BC =，求二面角11P B A A --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由AB AM ⊥、BC AM ⊥根据线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面ABC ；（2）以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系，求出平面11B AA 、平面1PB A 的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，在11AB A △中，11AB AA =，线段11A B 的中点为M ，所以11A B AM ⊥，所以AB AM ⊥；因为BC AM ⊥，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，AB BC ⊂、平面ABC ，所以AM ⊥平面ABC ；（2）做AN AC ⊥交BC 于N 点，以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，)1,0B -，112B -⎝，()0,2,0C，(M .所以112AB =-⎝，()BC =，(AM = ，因为111222,0333B P B C BC ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,62P ⎛ ⎝，所以3,62AP ⎛=- ⎝ ，设平面11B AA 的一个法向量()1111,,n x y z =，则111111110220n AB x y z n AM ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，解得10z =，令1y =11x =，所以()1n = ，设平面1PB A 的一个法向量()2222,,n x y z =，则2222122230621022n AP y n AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，令2y 23x =，21z =-，所以()21n =- ，设二面角11P B A A --的平面角为()0180θθ≤≤，则121212cos cos ,13n n n n n n θ⋅=== ，由图知二面角11P B A A --的平面角为锐角，所以二面角11P B A A --的平面角的余弦值为13.22．已知P ⎛ ⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，上、下顶点分别为A 、B ，右顶点为C ，且225a b +=.(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 为椭圆E 上异于顶点的一动点，直线AC 与BP 交于点Q ，直线CP 交y 轴于点R .求证：直线RQ 过定点.【正确答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得22,a b ，从而求得椭圆E 的方程.（2）设出直线BP 的方程，求得点Q 的坐标，联立直线BP 的方程和椭圆E 的方程，求得P 点坐标，进而求得直线PC 的方程，从而求得R 点的坐标，由此求得直线RQ 的方程并确定定点坐标.【详解】（1）因为P ⎛ ⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，所以221314a b +=.因为225a b +=，所以2213154b b +=-，整理得42419150b b -+=，解得21b =或2154b =.当2154b =时，254a =，与a b >矛盾.所以21b =，24a =.椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）设直线BP 的斜率为k ，则:1BP l y kx =-.因为1:12AC l y x =-+，由1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得421Q x k =+，2121Q k y k -=+.因为22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()224140x kx +--=，整理得()221480k x kx +-=，所以2841P k x k =+，224141P k y k -=+.所以2222241412141888242241PC k k k k k k k k k k --++===--+---+，所以()21:242PC k l y x k +=---.令0x =，得2121R k y k +=-.所以()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++，所以221:2121RQ k k l y x k k +=-+--.所以()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----.所以直线RQ 过定点()2,1-.。