八上第一章勾股定理

数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。

例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。

二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。

这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。

三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。

记忆是理解的基础。

如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。

一、理论知识1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2．勾股定理逆定理：如果三角形的三条边a,b,c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

3．勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数。

勾股定理的证明：拼图法证明1：我国数学家赵爽的证法：将四个直角三角形按图2那样摆放，构成了一个以直角三角形的斜边c （弦）为边长的正方形（弦图），其面积为2c 。

四个直角三角形的面积和为2ab ，弦图中间是以勾、股之差为边的正方形，面积为2()b a - 。

于是，有222()ab b a c +-=。

整理得222a b c +=。

证明2：如图△ABC 和△CDE 是两个全等的直角三角形，这两个直角三角形拼成了一个梯形。

则ABC CDE ACE ABDE S S S S ++△△△梯形＝ 即21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 化简得222a b c +=二、典型题型1．求线段长度方程思想的运用，利用面积计算例题1-1：如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，且AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

思路：①折叠全等 ②方程思想－归入到一个三角形，利用勾股定理，待求所在的三角形。

解：由折叠全等知道AF=AD=BC=10cm ，在Rt △ABF 中，226BF AF AB =-=,FC=4cm ，设EC=x ，EF=8-x ，则利用勾股定理可求出EC例题1-2：如图，直角三角形ABC 中，AD ，CE 是三角形的两条中线，其长分别为5和210，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）A.10B. 410C. 13D. 213解：设AB=x ，BC ＝y ，则在两个Rt △ABD ，Rt △CBE 中，利用中线长度已知和勾股定理，可求出x 和y ，则可求出AC例题1-3：如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）A.2mB. 3mC. 6mD.9m解：△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积即可求解点O 到三条边的距离相等，所以可设为h 。

八年级数学上册知识点总结数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类：正有理数、有理数零有限小数和无限循环小数、实数负有理数、正无理数、无理数无限不循环小数、负无理数。

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：1）开方开不尽的数，如7、32等；2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如222π+8等；3）有特定结构的数，如0.xxxxxxxx01…等；4）某些三角函数值，如sin60等。

二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=−b，反之亦成立。

2、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（|a|≥）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥；若|a|=−a，则a≤。

3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和−1.零没有倒数。

4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算。

三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c =b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC =， 2.4AC BCCD AB⋅==⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DECD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

第一章勾股定理第1课时认识勾股定理1 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称弦·直角三角形三边之间的关系称为勾股定理。

2 勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2＋b2＝c2 。

预学感知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，AB＝6，则则BC的长为。

知识点一勾股定理的认识【例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．当a＝9，c＝41时，则b= 。

【名师点拔】由于∠ACB＝90°，则有a2＝c2，因而只需把已知数据代入相应字母，即可求出第三条线段的长。

知识点二勾股定理的简单运用【例2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于点D。

求：（1）AB的长；（2）CD的长。

【名师点拔】由于△．ABC为直角三角形，就可先由匀股定理理求出AB，再根据面积求出CD的长。

1．已知直角三角形中两条边长，要弄清哪条是斜边，哪条是直角边，不能确定时，要分类讨论；2．在直角三角形中求斜边上的高，一般是借助面积这个中间量，21ab=21ch 。

1．在Rt △ABC 中，两直角边长分别为10和24，则斜边长等于 （ ）A.25B.26C.27D.282．在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，则AB 2＋AC 2＝ 。

3. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，则正方形A 的面积是 ，B 的面积是 。

4. 要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m ，顶端离地面12m ，则梯子的长度为 。

5. 如图，有两棵树，一棵高12m ，另一棵高6m ，两树相距8m ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树梢，则小鸟至少飞行 m 。

6. 某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2h 后相距 海里。

北师大版八年级上册《第一章勾股定理》说课稿一. 教材分析北师大版八年级上册《第一章勾股定理》是初中的重要内容，主要让学生了解并掌握勾股定理及其应用。

本章内容主要包括勾股定理的发现、证明和应用。

通过本章的学习，学生能够理解勾股定理的背景，掌握勾股定理的证明方法，并能运用勾股定理解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面几何有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能会对勾股定理的证明感到困惑，对运用勾股定理解决实际问题可能会感到困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的困难进行有针对性的教学。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够了解勾股定理的背景，掌握勾股定理的证明方法，并能运用勾股定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探索勾股定理的过程，培养学生动手操作、合作交流的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能积极参与数学学习，体验数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够了解勾股定理的背景，掌握勾股定理的证明方法，并能运用勾股定理解决实际问题。

2.教学难点：学生对勾股定理的证明方法的掌握，以及运用勾股定理解决实际问题的能力。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、探索法、实践法等多种教学方法。

在教学过程中，充分利用多媒体课件，结合实物模型，引导学生直观感知，提高学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.引入新课：通过展示古代数学家发现勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。

2.探究勾股定理：让学生分组合作，利用直角三角形拼组不同形状的图形，引导学生发现勾股定理的规律。

3.证明勾股定理：引导学生通过几何画图、推理论证勾股定理的正确性。

4.应用勾股定理：让学生运用勾股定理解决实际问题，巩固所学知识。

5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出课后思考题，拓展学生的思维。

七. 说板书设计板书设计主要包括勾股定理的定义、证明方法和应用实例。

八年级上册第一章《勾股定理》复习要点知识点一：勾股定理要点：⑴.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，⑵.历史文化： 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。

⑶格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17【典例精析】1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．3．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形， 这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c2＝ ＋ ．化简后即为 c 2＝ ．知识点二：直角三角形的判别要点; *如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。

（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）【典例精析】1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、12、13D.5、11、12A C 160bc图1－1 2、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶1553、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。

4、将直角三角形的三条边同时扩大4倍后，得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？知识点三：勾股定理的综合应用【典例精析】1、如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD 的长。

第一章 勾股定理1、1-25的平方：12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441222=484232=529242=576252=6252、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a ，b 和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2 + b 2 = c 2．几何语言：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 c 2=a 2 + b 2 或a 2=c 2-b 2 或b 2=c 2-a 23、A 、B 、C 三个正方形的面积之间的关系：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.即A 的面积+B 的面积=C 的面积4、用面积求高:直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积.即AC×BC=AB×CD5、 直角三角形：a 2+b 2=c 2锐角三角形：a 2+b 2˃c 2 钝角三角形：a 2+b 2˂c 26、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.其中a,b 是较小两边，c 是最长边.几何语言：在 △ABC 中， ∵a 2+b 2=c 2∴△ABC 是直角三角形 ∴∠C=90°ABCC B A7、勾股数：满足a．．．,称为勾股数.．2．+b．．2．=c．．2．的三个正整数判断勾股数的方法：（1）必须是三个正整数.（2）必须满足较小两个数的平方和等于最大数的平方.常见的勾股数有：（选择填空可以用，大题不能用）3 4 5 5 12 13 7 24 258 15 17 9 40 41 及其倍数。

第一章 勾股定理知识点一：勾股定理内容直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠A=30°，则∠A 的对边和斜边的关系为： ； ⑷三边之间的关系： 。

知识点二：勾股定理证明（等面积法） 例：如图，求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：知识点三：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，则c= (2) 已知：b=5，c=13，则a= 知识点四：勾股定理逆定理如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

③结论： 若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点五：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,152.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点六：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 . 知识点七：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对 知识点八：勾股定理应用题1.我国数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？bbbaABCD A 'B 'C ' D'ABC2.一根直立的桅杆原长25m ，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m 处，则桅杆断后两部分各是多长？练习一1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或252.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 3．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？4．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：①有一个角为90°的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：①确定最大边（不妨设为c）；②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：①已知直角三角形的两边求第三边；②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；③用于证明线段平方关系的问题； ④利用勾股定理，作出长为n 的线段。

二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x 2=a ，那么x 就叫做a 的平方根。

2、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。

⼋上第⼀章勾股定理第⼀章勾股定理教学⽬标：1、掌握直⾓三⾓形三边之间的数量关系，学会⽤符号表⽰。

在经历⽤数格⼦与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到⼀般的逻辑推理过程。

2、通过分层训练，使学⽣学会熟练运⽤勾股定理进⾏简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应⽤技能。

教学重点：探索、理解并掌握勾股定理。

教学难点：勾股定理的相关计算以及应⽤；割补思想和数形结合思想的理解和运⽤。

知识要点⼀：勾股定理定理1 在直⾓三⾓形中，斜边⼤于直⾓边。

证明：利⽤垂线段最短的原理，即知BC AB AC AB >>,定理2 直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅等于斜边的平⽅。

如果⽤c b a 、、分别表⽰直⾓三⾓形的两直⾓边和斜边，那么222c b a =+。

适⽤范围：直⾓三⾓形勾股定理的变形：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=应⽤：(1) 已知直⾓三⾓形的任意两边长，求第三边长；(2) 知道直⾓三⾓形⼀边，可得另外两边之间的数量关系；(3) 解决⼀些实际问题题型⼀：直接考查勾股定理（1）在ABC R ?t 中，15,17==AC AB ,求BC 的长。

（2）如图，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，则BC 边上的⾼AD 为（）．（3）（3）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）题型⼆：应⽤勾股定理建⽴⽅程（1）直⾓三⾓形两直⾓边之⽐是3:4，斜边长为15，则这个三⾓形的⾯积是。

,求AC的长。

（2）如图三⾓形ABC中，5.2∠∠BDCDC，，=2,5.1190=∠==（3）如图，在边长为12的正⽅形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE 对折⾄△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）题型三:实际问题中的勾股定理（1）⼀个圆柱，h=12厘⽶，底⾯圆的周长=18厘⽶，在圆柱下底⾯的A点有⼀只蚂蚁，它想从A爬到点B，蚂蚁沿着圆柱侧⾯爬⾏的最短路程是多少？（2）如图，已知圆柱的底⾯直径BC=6π6π，⾼AB=3，⼩⾍在圆柱表⾯爬⾏，从C点爬到A点，然后再沿另⼀⾯爬回C点，则⼩⾍爬⾏的最短路程为（）（3）如图，有⼀圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三⾓形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有⼀⽼⿏正在偷吃粮⾷，此时，⼩猫正在B 处，它要沿圆锥侧⾯到达P 处捕捉⽼⿏，则⼩猫所经过的最短路程是（）m ．知识要点⼆：勾股定理的证明勾股定理的证明⽅法⼗分丰富，达数百种，常见为：割补拼接、⾯积相同法。

D'C'B'D CBA D'C'B'DC BA 第一章 勾股定理【一】勾股定理的验证与证明1.如图，是由四个全等的Rt △拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？2.如图，是由四个全等的Rt △拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？3.如图，已知∠A ＝∠B ＝90°且△AED ≌△BCE ，A 、E 、B 在同一直线上.根据此图证明勾股定理.4.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。

如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。

5.如图，直角三角形斜边长c 的长度为7cm ，则图中所有正方形的面积之和为6.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c ，若a,c 的面积分别为5和11，则b 的面积为为 。

8.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径做半圆，其中两个半圆的面积===321S 2S 825S π，则π， 9.同学们已清楚美丽的勾股树的作法．现将勾股树一段中的正方形全部换成等边三角形，则得右图，若图中最大的直角三角形的斜边为2cm ，则如图中所有的等边三角形的面积之和为 cm 210.如图，以直角三角形a、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1+S 2=S 3图形个数有（ ）11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。

如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。

C cb a cba C Bcba12.如图1是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形．（1）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是；（2）若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．13.我国古代数学家得出的赵爽弦图是又是个全等的直角三角形和一个小正方形铺成的大正方形。