高中数学(北师大版·必修5)配套练习：3.4简单线性规划 第1课时

第1课时 求线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z =5y −x 的最大值为a,最小值为b,则a −b 的值是( )A.48B.30C.24D.16,如图所示.联立{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4,即点A 坐标为(4,4).故z max =5×4-4=16,z min =0-8=-8,即a=16,b=-8,因此a-b=24.故选C . 2.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,2x -y ≥0,x ≤4,则z =2x +y 取最大值时的最优解为( )A.(4,8)B.(4,-4)C.16D.4,如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 经过点A (4,8)时,纵截距z 取得最大值16,因此z=2x+y 取最大值时的最优解为(4,8).答案:A3.若变量x ,y 满足{x +y -1≥0,x +3y -6≤0,x -y -2≥0,则z =x −2y 的最小值为( )A.1B .52 C.3 D.32,如图中阴影部分所示.当直线y =12x −12z 经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距−12z 达到最大值,此时z 取得最小值1.4.设实数x ,y 满足不等式组{x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0,若x,y 为整数,则z =3x +4y 的最小值是( )A.14B.16C.17D.19{x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0表示的平面区域,如图中阴影部分所示.因为x ,y 为整数,所以z=3x+4y 在点A (4,1)处取到最小值16.5.设变量x ,y 满足|x|+|y|≤1,z=2x+y ,则z 的最大值和最小值分别为( ) A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2D.2,-1≤1表示的平面区域如图阴影部分所示.当直线y=-2x+z 过点(1,0)时,z 最大;当直线y=-2x+z 过点(-1,0)时,z 最小,则z 的最大值为2,最小值为-2.6.设变量x ,y 满足约束条件{x -2≤0,x -2y ≤0,x +2y -8≤0,则目标函数z =3x +y 的最大值为( )A.7B.8C.9D.14,如图阴影所示.目标函数z=3x+y 可化为y=-3x+z ,平移目标函数线,当其过点A 时,z 取最大值.由{x =2,x +2y -8=0得{x =2,y =3.所以点A 的坐标为(2,3),z max =3×2+3=9.7.若实数x ,y 满足不等式组{x +y ≥2,2x -y ≤4,x -y ≥0,则z =2x +3y 的最小值是______________..当直线y=−23x +z 过点A (2,0)时,z=2x+3y 有最小值4.8.若实数x ,y 满足{y ≤2x ,y ≥-2x ,x ≤3,则目标函数z =x −2y 的最小值是______________.画出满足不等式组的可行域如图阴影部分所示,目标函数化为y =12x −z,当直线经过点A 时,-z 的值最大,z 的值最小,点A 坐标为(3,6),所以z 的最小值为3-2×6=-9.答案:-99.若x ,y 满足不等式组{x -y +1≥0,x +y +1≥0,x +2y -2≤0,x -2y -2≤0,则z =3x +y −7的最大值为______________..当直线y=-3x+z 0经过点A (2,0)时,直线在y 轴上的截距z 0最大,所以z 0=3x+y 有最大值6,故z=3x+y-7有最大值-1. 110.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1的可行域,如图阴影部分所示,作直线l :2y-2x=z-4,当直线l 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线l 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.★11.求z=5x-8y 的最大值,式中的x ,y 满足约束条件{x +y ≤6,5x +9y ≤45,x ≥0,y ≥0.{x +y ≤6,5x +9y ≤45,x ≥0,y ≥0的可行域,如图阴影部分所示.作直线l 0:5x-8y=0,平移直线l 0,由图可知,当直线平移到经过点A 时,z 取最大值.解方程组{x +y =6,y =0,得A (6,0),所以z max =5×6-8×0=30.★12.若实数x ,y 满足不等式组{2≤2x -y ≤4,x ≤3,y ≥-3,求下列目标函数的最大值,以及此时x,y 的值.(1)z=x-y ; (2)z=x+3y+1.,如图阴影部分所示.(1)当直线y=x-z 移动到经过点A (12,-3)时,直线在y 轴上的截距-z 最小,为−72,所以当x =12,y =−3时,z 取得最大值72. (2)当直线y=−13x +z -13移动到经过点B (3,4)时,直线在y 轴上的截距z -13最大,为5,所以当x=3,y=4时,z 取得最大值16.。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知点与点A（1，2）在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则（）A.＞B.＜C.＞D.＜2.已知点P（x，y）在不等式组20,10,220xyx y-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（）A.［-2，-1］B.［-2，1］C.［-1，2］D.［1，2］3.设x，y满足约束条件360,20,0,0,x yx yxy--≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A.256B.83C.113D.44.若x，y满足约束条件1，1 22，，目标函数z=ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的A.(-1，2)B.(-4，2)C.(-4，0］D.(-2，4)二、填空题(每小题5分，共20分)5．不等式组0,0,4312,xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有个. 6．若x、y均为整数，且满足约束条件20,20,0,x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z=2x+y的最大值为，最小值为.7.在平面直角坐标系中，不等式组20，20，2表示的平面区域的面积是 .8.如果点P在平面区域1，2，上，点M的坐标为(3，0)，那么|PM|的最小值是 .三、解答题(共60分)9．（12分）画出不等式组，，所表示的平面区域.10.（12分）试用不等式组表示由直线，，围成的三角形区域（包括边界）.11.（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足营养，又使费用最省？12．(12分)某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，最多可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，最多可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所得利润最大？13.（12分）变量x，y满足430，352501，，（1）设，求的最小值；§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：∵3028348＜0，∴328＞0.2.C解析：作出可行域，如图，因为目标函数z=x-y中y的系数-1＜0，而直线y=x-z表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y轴上的截距最小，此时z取最大值2；当它过点（0，1）时，在y轴上的截距最大，此时z取最小值-1，所以z=x-y的取值范围是［-1，2］，选C.3.A解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值12，即4a+6b=12，亦即2a+3b=6，而2a+3b=（2a+3b）·236a b=136+ba+ab≥13 6+2=256，故选A.4.B解析：如图所示，可行域为△ABC.当a=0时，显然成立.当a＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k a2＞kA C1，∴a＜2.当a＜0时，k a2＜kA B2，∴a＞-4.综上可得,4＜a＜2.二、填空题5.3解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6. 4-4解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，可知在可行域内的整点有（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（-1，1）、（0，1）、（1，1）、（0，2），分别代入z=2x+y可知当x=2，y=0时，z 最大为4；当x=-2，y=0时，z最小为-4.7.4 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示.则由 2 0， 2， 解得A (2，0)，由 2 0， 2， 解得B (2，4)，∴ S 124 2 4.8.3 22解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分所示，点M 到点A (1，1)，B (2，2)的距离分别为 5， 5，又点M (3，0)到直线x -y =0的距离为 3 22，故|PM |的最小值为 322.三、解答题9.解：先画出直线 ，由于含有等号，所以画成实线.取直线 左下方区域的点（0，0），由于2×0+0-4＜0，所以不等式 表示直线 及其左下方的区域.同理，对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式 ＞ 表示直线 右下方的区域，不等式 表示x 轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示.10．解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图，取原点（0，0），将 ， 代入 得2＞0，代入 得1＞0，代入 得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩11.解：设甲、乙两种原料分别用 g 和 g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为 ，作出可行域如图阴影所示.把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-32.在y 轴上的截距为2z，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A 145， ，∴ z min =3×145+2×3=14.4. ∴ 选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.12.解：（1）设只生产书桌x 张，可获得利润z 元.则0.190,900,3002600300x x x x x ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩， ，∴ 当 时， （元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润 24 000元.（2）设只生产书橱 张，可获得利润z 元. 则0.290,450,450600600y y y y y ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z ，∴ 当 时，z max =120×450=54 000（元）.即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元. （3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元. 则 ， ， ，， ，， . 作出可行域如图阴影所示. 由图可知，当直线经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大，解方程组2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 点的坐标为（100，400）. ∴ z max （元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.13.解：由约束条件4 3 0，35 25 0，1，作出(x ，y )的可行域如图阴影所示. 由 1， 3 5 25 0，得A (1， 225).由 1， 4 3 0，得C (1，1).由4 3 0， 35 25 0，得B (5，2).(1)∵ z0 0，∴ z 的值即是可行域中的点与坐标原点O 连线的斜率，(2)x2y2的几何意义是可行域上的点到坐标原点O的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min=|OC|2，d max=|OB|29，∴229.。

高中数学 3.4.3 简单线性规划应用同步精练 北师大版必修5根底稳固1某人有一栋楼房，室内面积共计180 m 2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间与小房间各多少间，才能获得最大效益？2有一批钢管，长度都是4 000 mm ，要截成500 mm 与600mm 两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于13配套，问怎样截最合理？3甲、乙两煤矿每年产量分别为200万吨与300万吨，需经过东车站与西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站与西车站运费价格分别为1元/吨与1.5元/吨，乙煤矿运往东车站与西车站运费价格分别为0.8元/吨与1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？4医院用甲、乙两种原料为手术后病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质与10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质与4单位铁质，售价2元．假设病人每餐至少需要35单位蛋白质与40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？5有一批同规格钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a钢条2根，长度为b钢条1根；或截成长度为a钢条1根，长度为b钢条3根．现长度为a钢条至少需要15根，长度为b钢条至少需27根，问：如何切割可使钢条用量最省？综合过关6制定投资方案时，不仅要考虑可能获得盈利，而且要考虑可能出现亏损．某投资人打算投资甲、乙两个工程，根据预测，甲、乙工程可能最大盈利率分别是100%与50%，可能亏损率分别为30%与10%，投资人方案投资金额不超过10万元，要求确保可能资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个工程各投资多少万元，才能使可能盈利最大？7某运输公司承受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资任务．该公司有8辆载重6 t A型卡车与4辆载重为10 t B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返本钱费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花本钱费最低？假设只安排A型或B型卡车，所花本钱费分别是多少？能力提升8某电脑用户方案使用不超过500元资金购置单价分别为60元、70元单片软件与盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，那么不同选购方式有多少种？参考答案1分析：设大房间x 间，小房间y 间，然后列出x ，y 关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数最值问题．解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元，那么x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，z ＝200x ＋150y .作出可行域，如下图阴影局部．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得点M 坐标为(207，607)．由于点B 坐标不是整数，而最优解(x ，y )是整点，所以可行域内点M (207，607)不是最优解．经历证：经过可行域内整点，且使z ＝200x ＋150y 取得最大值整点是(0,12)与(3,8)，此时z max ＝1 800元，即应隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大利润．2分析：先设出未知数，建立约束条件与目标函数后，再按求最优解是整数解方法去求．解：设截500 mm x 根，600 mm y 根，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≤40，y <3x ，x >0，y >0，且x ，y ∈R ＋.作出可行域，如图中阴影局部．目标函数为z ＝x ＋y ，作一组平行直线x ＋y ＝t ，经过可行域内点且与原点距离最远直线为过B (8,0)直线，这时x ＋y ＝8.由x 、y 为正整数，知(0,8)不是最优解．在可行域内找整点，使x ＋y ＝7.可知点(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)均为最优解．即每根钢管截500 mm2根，600 mm5根，或截500 mm3根，600 mm4根，或截500 mm4根，600 mm3根，或截500 mm5根，600 mm2根，或截500 mm6根，600 mm1根最合理．3解：设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－xy ＋1.6(300－y )万元，即zxy .其中x 、y 应满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋300－y≤360.作出上面不等式组所表示平面区域，如图阴影局部所示． 设直线x ＋y ＝280与y 轴交点为M ，那么M (0,280)．把直线lxy ＝0向上平移至经过平面区域上点M (0,280)时，z 值最小．∵点M 坐标为(0,280)，∴甲煤矿生产煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少．4分析：将数据列成下表：z ＝3x ＋2y ；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x ＋7y ≥35；同理，对铁质要求可以表示为10x ＋4y ≥40，这样，问题成为：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，下，求目标函数z ＝3x ＋2y 最小值.x ≥0，y ≥0解：设甲、乙两种原料分别用10x g 与10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0；目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上截距为z 2，随z 变化一族平行线． 由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上点A 时，截距z 2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)． ∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4. ∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．5分析：先设变元，然后找到变元满足约束条件，建立目标函数，将实际问题转化为线性规划问题．解：设按第一种切割方式需钢条x 根，按第二种切割方式需钢条y 根，根据题意列出约束条件组．⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x >0，y >0.目标函数z ＝x ＋y ，求其最小值．画出不等式组表示平面区域如下图阴影局部．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3.6，y ＝7.8.此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数．而当z ＝12时，满足该约束条件(x ，y )有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件切割方式有两种，即按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割8根；或按第一种方式切割3根，按第二种方式切割9根，可满足要求．6解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个工程，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋yxy ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝xy . 上述不等式组所表示平面区域如下列图所示阴影局部(含边界)即可行域．作直线l ：xy ＝0，并作出平行于直线l 一组直线xy ＝z ，且与可行域相交，由图可知，当直线xy ＝z 过点M 时，z 取得最大值．解方程组{ x ＋yxy ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，即M (4,6)，此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∵7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，即投资人用4万元投资甲工程，6万元投资乙工程，才能在确保亏损不超过1.8万元前提下，使可能盈利最大．7解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆与y 辆，列表分析数据.由表可知，x 、y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，且z ＝320x ＋504y .作出可行域，如下图阴影局部． 可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y 可知，(5,2)是最优解．这时z min ＝320×5＋504×2＝2 608(元)，即用5辆A 型车，2辆B 型车，本钱费最低．假设只用A 型车，本钱费为8×320＝2 560(元)．只用B 型车，本钱费为18030×504＝3 024(元)． 8分析：适合不等式组有序整数对(x ，y )对数就是不同选购方式种数，也是直角坐标平面上相关区域(含边界)整数点个数，分类讨论即可获解．解：设购置软件x 片，磁盘y 盒，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ＋70y ≤500，x ≥3，y ≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋7y ≤50，x ≥3，y ≥2，∴3≤x ≤6.∴x 可取3,4,5,6.当x 取3时，2≤y ＜327，此时y ＝2,3,4. 当x 取4时，2≤y ＜267，此时y ＝2,3. 当x 取5时，2≤y ＜207，此时y ＝2. 当x 取6时，此时y ＝2.∴整点为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)， 那么不同选购方式有7种．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ．(12，12)【解析】 可以验证这四个点均是可行解．当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A 、B 、D.【答案】 C2．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)． ∴z 最大＝3×3＋2＝11.【答案】 B3．(2013·福州高二检测)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OM →·OA →的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[0，2]D ．[－1，2]【解析】 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1，1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0，2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0，2]．【答案】 C4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10【解析】 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3，0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小， ∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D5．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．【答案】 A 二、填空题6．(2012·课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．【解析】 利用线性规划知识求解． 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得B (1，2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －3＝0，得A (3，0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3， ∴z ∈[－3，3]． 【答案】 [－3，3]7．(2013·乌鲁木齐高二检测)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1y －x ≤1y ≥0，则y x ＋2的取值范围是________．【解析】 yx ＋2可看作(－2，0)与可行域(如图阴影部分)内点(x ，y )连线的斜率k ，0－00＋2≤k ≤1－00＋2，即0≤k ≤12，所以yx ＋2的取值范围为[0，12]． 【答案】 [0，12]8．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3得平面区域如图阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得C (1，－2)，∴z max ＝2×1－3×(－2)＝8(取不到)解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得A (3，1)， ∴z min ＝2×3－3×1＝3(取不到) 【答案】 (3，8) 三、解答题9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求目标函数z ＝2y －2x ＋4的最大值和最小值．【解】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，的可行域(如图)．作直线l 0：2x －2y ＝0， 即x －y ＝0，把直线l 0向上平移，函数z ＝2y －2x ＋4的值随之增大． 当l 经过点A (0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8.当l 经过点B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k3.令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．【解】 画出满足条件的可行域．(1)令t ＝x 2＋y 2，则对t 的每个值，x 2＋y 2＝t 表示一族同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由下图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆过C 点时，u 最大，过(0，0)时u 最小．又C (3，8)，∴u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5，0)的连线的斜率．由图可知，k BD 最大，k CD 最小．又C (3，8)，B (3，－3)，∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。

《简单线性规划的应用》培优练习1．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：厂最大日产值为( )A．120万元 B．124万元 C．130万元 D．135万元2.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．则该公司可获得的最大收益是（）万元．A．80万元 B．90万元 C．60万元 D．70万元3.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3t，B原料2t；生产每吨乙产品要用A原料1t，B原料3t，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A．12万元 B．20万元 C．25万元 D．27万元4.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元5．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？答案和解析1.【答案】：B解析：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值z ＝8x ＋12y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ≤56，20x ＋50y ≤450，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示，。

- 1 - 3.4 简单线性规划分层训练
1.点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中
( )
A 2≤-y x
B 022>--y x
C 0≤y
D 2≥x
２.不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是
( )
A. (0 , 0)
B. (1 , 1)
C. (0 , 2)
D. (2 , 0)
３.不等式x －2y+6>0表示的平面区域在直线x －2y+6=0的 ( )
A.右上方
B. 左上方
C. 右下方
D. 左下方
４．原点和点(1,1)在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是 （ ）
A 0<a 或2>a
B 0=a 或2=a
C 20<<a
D 20≤≤a
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５.已知直线l : x －y+a=0, 点P 1(1 , －2) , P 2(3 , 5)分别位于直线l 的两侧, 则a 的取值范围_____________ .
６.若B>0 时, 不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ , 若B<0时，
不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ ．（填＂上方＂或＂下方＂）．
７.画出下列不等式表示的平面区域
(1)y>2x －3 (2)y ≤－x+2 (3)3x －2y+6≥0 (4) x>y+1
拓展延伸
８.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.：
(1) (2)
(3)
本节学习疑点：
用心爱心专心- 2 -。

基础巩固某人有一栋楼房，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；小房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；装修大房间每间需要元，装修小房间每间需要元．如果他只能筹款元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大效益？有一批钢管，长度都是，要截成和两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于配套，问怎样截最合理？已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为万吨和万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运万吨煤，西车站每年最多能运万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元；乙种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元．若病人每餐至少需要单位蛋白质和单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为的钢条根，长度为的钢条根；或截成长度为的钢条根，长度为的钢条根．现长度为的钢条至少需要根，长度为的钢条至少需根，问：如何切割可使钢条用量最省？综合过关制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别是和，可能的亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？能力提升某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买片，磁盘至少买盒，则不同的选购方式有多少种？参考答案分析：设大房间间，小房间间，然后列出，的关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数的最值问题．解：设隔出大房间间，小房间间，收益为元，则，满足(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))即(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))＝＋.作出可行域，如图所示的阴影部分．解方程组(\\(＋＝，＋＝，))得点的坐标为(，)．由于点的坐标不是整数，而最优解(，)是整点，所以可行域内点(，)不是最优解．经验证：经过可行域内的整点，且使＝＋取得最大值的整点是()和()，此时＝元，即应隔出小房间间，或大房间间、小房间间，可以获得最大利润．分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求．解：设截的根，的根，根据题意，得(\\(＋≤，<，>，>，))且，∈＋.作出可行域，如图中的阴影部分．目标函数为＝＋，作一组平行直线＋＝，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过()的直线，这时＋＝.由、为正整数，知()不是最优解．在可行域内找整点，使＋＝.可知点()、()、()、()、()均为最优解．即每根钢管截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根最合理．解：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么总运费＝＋(－)＋＋(－)万元，即＝－－.其中、应满足(\\(≥，≥，－≥，－≥，＋≤，－＋(－(≤.))作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．。

《简单线性规划》培优练习1.设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．42.设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．553.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,4]D ．[2，＋∞)4．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个5.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a>0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]6.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？。

课时作业23简单线性规划时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在如图所示的可行域内(阴影部分)，使目标函数z＝x－y取得最小值的点的坐标为(A)A．(1,1) B．(3,2)C．(5,2) D．(4,1)解析：由目标函数z＝x－y得到y＝x－z，作出直线y＝x，在平面直角坐标系中进行平移，显然当直线过点A(1,1)时，y＝x－z中的z 最小．2．若变量x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x－y≤0，x－3y＋5≥0，x≥0，则z＝x＋y的最大值为(D)A．0 B.53C．2 D.52解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，上下平移，当直线平移到过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫58，158时，z＝x ＋y 取得最大值，所以z max ＝58＋158＝52.3．已知点(x ，y )构成的可行域如图阴影部分所示，z ＝mx ＋y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为( B )A ．－720 B.720 C.12D.720或12解析：观察平面区域可知直线y ＝－mx ＋z 与直线AC 重合，则⎩⎨⎧225＝－m ＋z ，3＝－5m ＋z ，解得m ＝720.4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( B )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝x－z经过点A时，－z最小从而z最大，∴z max＝1.5．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则目标函数z＝x＋y(A)A．有最小值2，无最大值B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，最大值3D．既无最小值，也无最大值解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，画出y＝－x的图像．当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A.6．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－4≤0，x＋y－1≥0，x≥0，y≥0，则目标函数z＝x2＋(y＋2)2的最小值是(B)A．4 B．5C．6 D．7解析：由约束条件作出可行域如图所示．又x2＋(y＋2)2表示区域内的点到点B(0，－2)的距离，当点(x，y)在点A(1,0)处时，(x2＋(y＋2)2)min＝5，∴z＝x2＋(y＋2)2的最小值为5.7．已知x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤s，y＋2x≤4，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(D)A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8]解析：当3≤s<4时，z＝3x＋2y的最大值在直线x＋y＝s，y＋2x ＝4的交点处取得，即在点(4－s,2s－4)处取得，此时z max＝4＋s，其取值范围是[7,8)；当4≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值在点(0,4)处取得，即z max＝8，故所求的取值范围是[7,8]．8．若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( C )A.34 B ．1 C.74 D ．2解析：如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74. 二、填空题9．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为－8.解析：作出可行域如图阴影部分所示．可知当x－3y ＝z 经过点A (－2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为－2－3×2＝－8.10．设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，y ≤x －1，y ≥0，则y x 的最大值为12.解析：画出可行域，如图阴影部分所示．yx 的几何意义表示区域内的点与原点连线的斜率，易知在点A (2,1)处取得最大值．11．目标函数z ＝3x ＋2y在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是[2，＋∞)．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据题意及直线的斜率，可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．三、解答题12．设z＝2x＋y，且x，y满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z 的最值．解：首先画出满足不等式组的可行域，由图知，(0,0)不在区域内．作一组平行线2x＋y＝t，t是直线2x＋y＝t的纵截距，这里A(1,1)，B(5,2)．显然，当直线2x＋y＝t过A点时，t最小，过B点时t最大．∴z max＝12，z min＝3.13．已知x、y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋5y≥10，2x－3y≥－6，2x＋y≤10，求y＋1x＋1的取值范围．解：作出可行域，如图阴影部分所示．设k＝y＋1x＋1，因为y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)，表示平面区域内的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率，由图可知k P A 最小，k PC 最大，而A (5,0)、C (0,2)，则k P A ＝0－(－1)5－(－1)＝16，k PC ＝2－(－1)0－(－1)＝3，所以k ∈[16，3]，即y ＋1x ＋1的取值范围为[16，3]． ——能力提升类——14．已知点P (x ，y )，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，y ≤x ＋2，x ≤3，点A ，B 是圆x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB 的最大值为π3.解析：由已知可得点P 在如图所示的阴影部分内(包含边界)运动，易知点P 位于圆外，当∠APB 最大时，应有P A ，PB 所在直线与圆相切，且点P 位于离圆心最近的H 处，又圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝22，连接OA ，则在Rt △OAP 中，OP ＝2OA ，所以∠OP A ＝π6，同理∠OPB ＝π6，因此∠APB ＝π3.15．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y的取值范围．解：(1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为x2＋y2的几何意义是可行域内的点P(x，y)到坐标原点O的距离d的平方，所以由图可知d的最小值为点O到直线AC的距离，即|0＋0－3|2＝322；d的最大值为OB＝42＋42＝4 2.所以x2＋y2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，32.(2)4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y＝22x－y，设z＝2x－y，则y＝2x－z，即z为直线y＝2x －z(记为直线l)在y轴上截距的相反数，由图可知当直线l经过点A 时，z取得最大值；当直线l经过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3＝0，4x－y－12＝0，得A(3,0)，故z＝2x－y的最大值为2×3－0＝6；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －4y ＋12＝0，得C (0,3)，故z ＝2x －y 的最小值为2×0－3＝－3.综上，2x －y 的取值范围为[－3,6]，所以4x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，64.由Ruize收集整理。

3.4.简单线性规划同步练习1．图中阴影部分表示的平面区域满足不等式( )A ．2x ＋y －2≥0B ．2x ＋y －2≤0C ．2x －y －2≥0D ．2x －y －2≤0解析：由截距式得直线方程为x 1＋y 2＝1， 即2x ＋y －2＝0，把(0,0)代入2x ＋y －2，得2×0＋0－2＜0，且(0,0)不在图中平面区域内，故不等式为2x ＋y －2≥0.答案：A2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ≤3，y ≥0表示的平面区域的面积为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 解析：不等式组表示的平面区域如图，点A 的坐标为(3,6)，其平面区域是直角三角形，所以其面积为S ＝12×3×6＝9. 答案：C3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 解析：直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．答案：B4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则正数a 的取值范围是( )A ．C ．∪[43，＋∞) 解析：画出前三个不等式表示的平面区域为图中△OAB ，当直线l ：x ＋y ＝a 在l 0与l 1之间(包括l 1)时不等式组表示的平面区域为三角形；当l 在l 2的位置或从l 2向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形，又l 在l 1，l 2的位置时，a 的值分别为1，43. 所以0＜a ≤1或a ≥43. 答案：D5．若点A (3,3)，B (2，－1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 解析：∵点A ，B 在直线两侧，∴(3＋3－a )(2－1－a )＜0.即(a －6)(a －1)＜0.解得1＜a ＜6.答案：(1,6)6．观察如图区域，它对应的不等式组是________．解析：由图可求三边对应的直线方程分别为x ＋y －3＝0；x －2y ＝0； x －y ＋1＝0，由图知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.7．点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的平面区域内，且到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，求点P 的坐标．解：∵点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3a ＋4－3＞0.∴a ＞－13. 又∵P (a,4)到x －2y ＋2＝0的距离等于25，∴|a －8＋2|5＝2 5.∴|a －6|＝10. ∴a ＝16或－4.又∵a ＞－13，∴a ＝16. ∴P (16,4)．8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界及内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)直线4x －3y －a ＝0与线段BC 有公共点，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)∵直线4x －3y －a ＝0与线段BC 有公共点．∴点B ，C 分别在直线4x －3y －a ＝0两侧或有一点在直线上．将B ，C 的坐标代入4x －3y －a ，得(14－a )(－18－a )≤0，得a 的取值范围是．1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2.则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最大值，也无最小值 解析：如图所示，作出可行域，作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，当l 0平移至过点A (2,0)时，z 有最小值2，无最大值．答案：B2．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为 ( ) A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1解析：画出可行域如图，分析图可知当直线z ＝x ＋2y 经过点A (0，1)，C (0，－1)时分别对应z 的最大值和最小值．答案：B3．已知点(x ，y )在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．(－125，－310) B ． C ．(－512，－103) D ． 解析：∵k BC ＝1－450－23＝－310，k AC ＝45－023－1＝－125， ∴－125＜k ＜－310. 答案：A4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，32)C ．解析：作出可行域如图． ∵a >0，b >0.∴当ax ＋by ＝z 经过A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，得A (4,6)． ∴4a ＋6b ＝12,2a ＋3b ＝6∴ab ＝16×(2a )×(3b )≤16×(62)2＝32， 即ab ∈(0，32]． 答案：D5．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x－y 的最小值为________．解析：设目标函数为z ＝2x －y ，显然直线z ＝2x －y 经过点A (1,1)时z 最小，则2x －y 的最小值为1.答案：16．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值，又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤a ≤1.答案：7．设z ＝x ＋2y －4，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.求z 的最大值和最小值．解：作出可行域(如图)，其中可行域的顶点为A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．将直线l 0：x ＋2y ＝0平移，当直线平移到B (3,1)处时，对应直线l 1的纵截距最小，此时z 也取得最小值；当直线平移到C (7,9)时，对应直线l 2的纵截距最大，此时z 也取得最大值．将B (3,1)代入目标函数z ＝x ＋2y －4，可得z min ＝1；将C (7,9)代入目标函数z ＝x ＋2y －4，可得z max ＝21.所以z 的最小值为1，最大值为21.8．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝y x －5的最大值与最小值． 解：画出可行域，如图阴影部分所示．(1)x 2＋y 2＝u 表示可行域内点P (x ，y )到原点O 距离的平方，由图可知，当P 与C 重合时，u 最大，当P 与O 重合时，u 最小，又C 点坐标为(3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝y x －5表示可行域内的点(x ，y )与定点D (5,0)连线的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。

4.3简单线性规划的应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知点(x,y)构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的
最优解有无数多个,则m的值为()
A.-
B.
D.
C.
解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则-m=k AC==-,解得m=.
答案:B
2.如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若C是该目标函数z=ax-y唯
一的最优解,则a的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
解析:最优解为点C,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.
因为k BC=-,k AC=-,所以a∈.
答案:B
3.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为.
解析:由约束条件作出其可行域如图.
由图可知,当直线x=m过直线y=2x与x+y-3=0的交点(1,2)时,m取得最大值,此时m=1.答案:1
4.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,则所需租赁费最少为元.
解析:设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,此时该公司所需租赁费为z元, 则z=200x+300y.
又因为
画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.
解即点A(4,5).
由z=200x+300y,。

描述:例题:高中数学必修5(北师版知识点总结含同步练习题及答案第三章不等式 3.4 简单线性规划一、知识清单平面区域的表示线性规划非线性规划二、知识讲解1.平面区域的表示二元一次不等式表示的平面区域已知直线 :,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面与的并集叫做闭半平面.以不等式解为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的区域或不等式的图象 .对于直线 : 同一侧的所有点 ,代数式的符号相同,所以只需在直线某一侧任取一点代入 ,由符号即可判断出 (或表示的是直线哪一侧的点集.直线叫做这两个区域的边界 (boundary .二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组所表示区域的确定方法:①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.l Ax +By +C =0l (x , y l Ax +By +C =0(x , y Ax +By +C (, x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域.(1;(2 .解:(1①画出直线 ,因为这条直线上的点不满足 ,所以画成虚线.②取原点 ,代入 ,所以原点在不等式所表示的平面区域内,不等式表示的区域如图.(2①画出直线 ,画成实线.②取点 ,代入 ,所以不在不等式表示的平面区域内, 不等式表示的区域如图.3x +2y +6>0y ⩾ 3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0 3x +2y +6=6>03x +2y +6>0y=3x (1,0 y − 3x =−3<0(1,0 y ⩾ 3x描述:例题:2.线性规划线性规划的有关概念若约束条件是关于变量的一次不等式(方程,则称为线性约束条件 (objectivefunction.一般地,满足线性约束条件的解叫做可行解 (feasible solution,由所有可行解组成的集合叫做可行域 (feasible region.要求最大(小值所涉及的关于变量 , 的一次解析式叫做线性目标函数 (linearobjectives .使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 .在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题叫做线性规划问题(linearprogram.画出不等式组表示的平面区域. 解:不等式表示直线及右下方的平面区域; 表示直线及右上方的平面区域; 表示直线及左方的平面区域;所以不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.⎧⎩⎨ x − y +5⩾ 0x +y ⩾ 0x ⩽3x − y +5⩾0x − y +5=0x +y ⩾ 0x +y =0x ⩽ 3x =3(x , y x y 已知、满足条件 ,求的最大值和最小值. 解:不等式组所表示的可行域如图所示:x y ⎧⎩⎨ 7x − 5y − 23⩽0x +7y − 11⩽ 04x +y +10⩾0z =4x − 3y ⎧⎩⎨ 7x − 5y − 23⩽0x +7y − 11⩽ 04x +y +10⩾。