初中数学“破译”等腰三角形的多解问题 知识精讲

初二等腰三角形解题技巧
等腰三角形是三角形的一种特殊形式，其中两边长度相等。

在初二数学中，等腰三角形是一个重要的知识点，需要掌握其性质和判定方法。

首先，要明确等腰三角形的性质。

等腰三角形两腰相等，两个底角相等，并且有一个顶角。

此外，等腰三角形的高、中线和角平分线三线合一。

这些性质是解决等腰三角形问题的关键。

其次，要掌握等腰三角形的判定方法。

有以下几种方法：
1. 两边相等：如果一个三角形的两边长度相等，则它是等腰三角形。

2. 两个角相等：如果一个三角形的两个角相等，则它是等腰三角形。

3. 三线合一：如果一个三角形的高、中线和角平分线三线合一，则它是等腰三角形。

最后，要学会运用这些性质和判定方法来解决等腰三角形的问题。

以下是一些常见的题型和解题技巧：
1. 求角度：利用等腰三角形的性质，可以通过已知的角度或边长来求其他角度。

2. 作辅助线：在解题过程中，可以通过作辅助线来将问题转化为更容易解决的问题。

例如，作等腰三角形的高、中线或角平分线。

3. 利用三线合一：在解题过程中，可以利用三线合一的性质来证明或求解问题。

4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论，分别考虑不同的情况。

总之，掌握等腰三角形的性质和判定方法是解决等腰三角形问题的关键。

在解题过程中，要灵活运用这些性质和判定方法，通过作辅助线、分类讨论等方法来解决问题。

同时，要注意细节和计算准确性，避免因为粗心而出现错误。

等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】1.目录【典型例题】1【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】1【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】4【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】9【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】14【典型例题】【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】1(四川省内江市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题)已知△ABC是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，则它的周长为cm．【答案】19【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时；②当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案．【详解】解：①当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时，∵3+3=6<8，∴不能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时，∵3+8=11>8，∴能构成三角形，∴△ABC的周长为3+8+8=19cm；综上所述，△ABC的周长为19cm故答案为：19．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式训练】1(2022秋·广东东莞·八年级校考阶段练习)若等腰三角形的两边长a、b满足a-3+b-82=0，则它的周长是．【答案】19【分析】通过等式可以判断a，b的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可．【详解】解：∵a-3+b-82=0∴a-3=0,b-8=0∴a=3,b=8，∵是等腰三角形，∴三边长为3，3，8，或8，8，3，∵3+3<8，围不成三角形，不合题意，应舍去，∴其周长为：8+8+3=19，故答案为：19．【点睛】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，绝对值和完全平方非负性的应用，得出a，b的值是解题关键．2(北京市延庆区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题)等腰三角形有两条边长分别为3cm和7cm，则这个等腰三角形的周长为cm．【答案】17【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分7为腰长或3为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求解．【详解】解：根据题意，当腰长为7cm时，7、7、3能组成三角形，周长为：7+7+3=17cm；当腰长为3cm时，3+3<7，7、3、3不能构成三角形，故答案为：17．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．3(2022春·吉林长春·八年级统考期末)若△ABC的三边长分别为10-a，7，6，当△ABC为等腰三角形时，则a的值为．【答案】3或4##4或3【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当10-a=6时，当10-a=7时，再结合三角形三边关系检验即可．【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，∴当10-a=6时，解得a=4，∴三边长为6，6，7∵6+6>7，∴符合三角形三边的条件，当10-a=7时，解得a=3，∴三边长为7，7，6∵6+7>7，∴符合三角形三边的条件，∴a的值为4和3．故答案为：4和3．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义(两边相等的三角形)，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．4(2022春·湖北武汉·八年级统考期中)用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为cm．【答案】12或7【分析】可设一边为xcm，则另一边为1.5xcm，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．【详解】解：设一边为xcm，则另一边为1.5xcm，①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、1.5xcm，由题意可列方程：x+x+1.5x=28，解得x=8，此时三角形的三边长分别为：8cm、8cm和12cm，满足三角形三边之间的关系，符合题意；②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、1.5xcm、1.5xcm，由题意可列方程：x+1.5x+1.5x=28，解得：x=7，此时三角形的三边长分别为：7cm、10.5cm、10.5cm，满足三角形的三边之间的关系，符合题意；∴这个三角形的底边长为12cm或7cm．故答案为：12或7．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】1(2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末)等腰三角形的一个角的度数是36°，则它的底角的度数是．【答案】36°或72°【分析】分36°的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：当36°的角是底角时，则底角为36°，当36°的角是顶角时，则底角为12180°-36°=72°，故答案为：36°或72°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．【变式训练】1(2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末)定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是()A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°【答案】D【分析】设等腰三角形的顶角为x°，则底角为12180°-x°=90°-12x°，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可．【详解】解：设等腰三角形的顶角为x°，则底角为12180°-x°=90°-12x°，当顶角为底角的2倍时，x=290°-1 2 x，解得：x=90；当底角为顶角的2倍时，2x=90°-12 x，解得：x=36；综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是90°或36°，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论．2(2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习)如果等腰三角形的一个角的度数为80°，那么其余的两个角的度数是．【答案】50°，50°或20°，80°【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．【详解】解：①当80°时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：(180°-80°)÷2=50°；②当80°时底角时，则有：顶角180°-80°×2=20°；故答案为：50°，50°或20°，80°．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．3(2022春·黑龙江黑河·八年级校考期末)等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则这个等腰三角形的顶角度数是．【答案】44°或80°或140°【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，①x是顶角，2x-20°是底角时，x+22x-20°=180°，解得x=44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+2x-20°=180°，解得x=50°，所以，顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，所以，顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：44°或80°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．4(2022春·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，∠OEC的度数为．【答案】20°或80°或140°【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=1∠AOB=20°，2分三种情况：①当OC=OE时，如图，∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ，∴∠OEC =12180°-∠AOC =80°；②当OC =CE 时，如图，∵OC =CE ，∴∠OEC =∠AOC =20°；③当OE =CE 时，如图，∵OE =CE ，∴∠OCE =∠AOC =20°，∴∠OEC =180°-∠OCE -∠AOC =140°，综上，∠OEC 的度数为：20°或80°或140°，故答案为：20°或80°或140°【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．5(2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中)在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =100°，点D 在边BC 上(不与B 、C 重合)，连接AD ，若△ABD 是等腰三角形，则∠ADC 的度数为．【答案】80°或110°【分析】在ΔABC 中，根据AB =AC ，∠BAC =100°，得到∠B =∠C =(180°-100°)÷2=40°，再根据△ABD 是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案．【详解】解：如图所示,在△ABC 中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°，若△ABD是等腰三角形，①当BD=AD时，∠B=∠BAD=40°，∠ADC=∠B+∠BAD=80°，②当BA=BD时，∠BAD=∠BDA，∠BAD=(180°-40°)÷2=70°，∠ADC=∠B+∠BAD=110°，综上所述80°或110°．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出△ABD的腰．6(2022春·江西赣州·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠B=20°，∠A=105°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC为等腰三角形时，顶角的度数是．【答案】105°或55°或70°【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=105°，②∵∠B=20°，∠A=105°，∴∠C=180°-20°-105°=55°，如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠C=55°，如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠C=180°-2×55°=70°，综上所述，顶角为105°或55°或70°．故答案为：105°或55°或70°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．7(2023春·江西吉安·八年级统考期中)已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为30°，点C 在直线l 上，若△ABC 是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是．【答案】30°或120°或150°．【分析】分情况讨论：如图，当AB =AC 时，C 在A 的右边，如图，当AB =AC 时，C 在A 的左边，当BA =BC 时，再分别画出图形求解即可．【详解】解：如图，当AB =AC 时，C 在A 的右边，则顶角∠BAC =30°，，如图，当AB =AC 时，C 在A 的左边，则顶角∠BAC =180°-30°=150°，如图，当BA =BC 时，则∠BAC =∠BCA =30°，∴顶角∠ABC =180°-2×30°=120°；如图，当AC =BC 时，则∠BAC =∠ABC =30°，此时顶角∠ACB =180°-2×30°=120°，故答案为：30°或120°或150°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的顶角的含义与等腰三角形的性质是解本题的关键．【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】1(2023秋·江西萍乡·八年级统考期末)在平面直角坐标系中，已知A 0,4 ，B 8,0 ，点C 在x 轴上，且在点B 的左侧，若△ABC 是等腰三角形，则点C 的坐标是．【答案】-8,0 或8-45,0 或3,0 ．【分析】分类讨论：①当AB =AC 时，②当AB =BC 时和③当AC =BC 时，画出图形，结合等腰三角形的定义和性质，勾股定理求解即可．【详解】解：分类讨论：①当AB =AC 时，如图，此时为AB =AC 1，∵AO ⊥BC 1，∴OC 1=OB =8，∴C 1-8,0 ；②当AB =BC 时，如图，此时为AB =BC 2，∵OA =4，OB =8，∴BC 2=AB =OA 2+OB 2=45，∴OC 2=BC 2-OB =45-8，∴C 28-45,0 ；③当AC =BC 时，如图，此时为AC 3=BC 3，设C 3x ,0 ，则OC 3=x ，∴AC 3=BC 3=OB -OC 3=8-x ．在Rt △OAC 3中，OA 2+OC 32=AC 32，∴42+x 2=8-x 2，解得：x =3，∴C 33,0 ．综上可知，点C 的坐标是-8,0 或8-45,0 或3,0 ．故答案为：-8,0 或8-45,0 或3,0 ．【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义和性质，勾股定理．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·江西九江·八年级统考期末)已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3,BC =4，若△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与顶点D ，E ，F 对应，若以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是．【答案】258或5或8【分析】分AD =DE ，AE =AD =m ，AE =DE 三种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵∠C =90°，AC =3,BC =4，∴AB =32+42=5，△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，∴AD =BE =CF =m ，DE =AB =5,DF =AC =3,EF =BC =4，点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况①当AD =DE 时：如图，此时m =5；②当AE =AD =m 时：如图，则：CE =BC -BE =4-m ，在Rt △ACE 中，AE 2=AC 2+CE 2，即：m 2=9+4-m 2，解得：m =258；③当AE =DE 时，如图：此时AE =AB ，∵∠ACB =90°，∴BC =CE =4，∴m =BE =BC +CE =8；综上：m =258，5或8；故答案为：258或5或8．【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．2(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知一次函数y =-x +6的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．点C 在x 轴上，且不与原点重合，若△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标为．【答案】-6，0 或6+62，0 或6-62，0【分析】先求得点A 、点B 的坐标再分AB =AC ，AB =BC ，AC =BC ，三种情况讨论求解即可．【详解】(1)解：令y =0，得x =6，令x =0，得y =6，∴A 6，0 ，B 0，6 ，∴OA =6，OB =6，∴AB =62+62=62．当CA =CB 时，点C 与原点重合，不符合题意，舍去；当BA =BC 时，OC =OA =6，C 2-6，0 ；当AC =AB =62时，点C 36+62，0 ，C 46-62，0 ．综上：点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形时，点C 的坐标为：-6，0 ，6+62，0 ，6-62，0 ．故答案为：-6，0 ，6+62，0 ，6-62，0 ．【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．3(2023·江西新余·统考一模)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =12，D 、E 分别是边BC 、AB 上的动点.将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 的对应点B 恰好落在边AC 上.若△AEB 是等腰三角形，则DB的长是．【答案】6或62-6或0【分析】分三种情况讨论：当AB =EB 时，△AEB 是等腰三角形；当AE=AB 时，△AEB 是等腰三角形；当AE=B E时，△AEB 是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到CB 的值．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6=12，∴∠B=60°，BC=6，分三种情况讨论：①如图所示，当点D与点C重合时，∠B=∠CB E=60°，∵∠A=30°，∴∠AEB'=30°，∴∠A=∠AEB ，∴AB =EB ，即△AEB 是等腰三角形，此时，CB =BC=6；②如图所示，当AE=AB 时，△AEB 是等腰三角形，∴∠AB E=75°，由折叠可得，∠DB E=∠ABC=60°，∴∠DB C=45°，又∵∠C=90°，∴△DCB 是等腰直角三角形，设CB =x=DC，则BD=6-x=DB ，∵Rt△DCB 中，x2+x2=(6-x)2，解得x1=62-6，x2=-62-6(舍去)，∴CB =62-6；③如图所示，当点B 与点C重合时，∠B=∠DCE=60°，∴∠EB A=30°=∠A，∴AE=B E，即△AEB 是等腰三角形，此时CB =0，综上所述，当△AEB 是等腰三角形时，CB 的值是6或62-6或0．故答案为：6或62-6或0．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据△AEB 是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】1(2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末)等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分,则此三角形的底边长为()A.7B.11C.7或11D.无法确定【答案】C【分析】根据题意作出图形，设AD=DC=x，BC=y，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解．【详解】解：如图所示，根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：AD=DC=12AC=12AB．可设AD=DC=x，BC=y，∴AB=2x．由题意得：x+2x=15y+x=12或x+2x=12y+x=15，解得：x=5 y=7或x=4y=11．当x=5y=7时，即此时等腰三角形的三边为10，10，7，∵10+7>10，符合三角形的三边关系，∴此情况成立；当x=4y=11时，即此时等腰三角形的三边为8，8，11，∵8+8>11，符合三角形的三边关系，∴此情况成立．综上可知这个等腰三角形的底边长是7或11．故选：C．【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个三角形的顶角为()A.45°B.90°C.135°D.135°或45°【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD=45°，∴顶角∠A=90°-45°=45°；如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD=45°，∴顶角∠BAC=45°+90°=135°，综上所述，顶角等于45°或135°．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2(2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为．【答案】60°或120°【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+30°=120°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°-30°=60°．故答案为60°或120°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键．3(2023秋·山西临汾·八年级统考期末)在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的高，∠ACD=30°，则∠B=．【答案】60°或30°/30°或60°【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠A的度数然后再求出∠B的度数；【详解】如图，当CD在△ABC内时∵CD⊥AB∴∠A=90°-∠ACD=60°∵AB=AC∴∠B=∠C=60°如图当CD在△ABC外时∵CD⊥AB∴∠BAC=90°+∠ACD=120°∵AB=AC∴∠B=∠C=30°故答案为60°或30°【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题难度不大，属于中等题；4(2022春·广东广州·八年级校考阶段练习)在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分成24和30两部分，则底边BC的长为．【答案】22或14【分析】分两种情况：AB+AD=24；AB+AD=30，可得AB的长，再由另一部周长即可求得底边BC的长．【详解】解：由题意得：AD=CD∴AB=AC=2AD；当AB+AD=24时，即2AD+AD=24，∴AD=8，∵BC+CD=30，∴BC=30-CD=30-8=22；当AB+AD=30时，即2AD+AD=30，∴AD=10，∵BC+CD=24，∴BC=24-CD=24-10=14；综上，底边的长为22或14；故答案为：22或14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．5(2022·陕西·交大附中分校七年级期末)已知△ABC中，∠B=20°，在AB边上有一点D，若CD将△ABC分为两个等腰三角形，则∠A=．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，(1)当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；(2)当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；(3)当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种请况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．6(2023春·广东河源·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长．【答案】三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm【分析】由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm两部分，可得|AB-BC|=15-12=3cm，然后分别从AB>BC，AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm与AB<BC去分析求解即可求得答案．【详解】解：如图，∵AB =AC ，BD 是AC 边上的中线，即AD =CD ，∴AB +AD -BC +CD =|AB -BC |=15-12=3cm ，AB +BC +AC =2AB +BC =12+15=27cm ，若AB >BC ，则AB -BC =3cm ，又∵2AB +BC =27cm ，联立方程组:AB -BC =32AB +BC =27 ,解得：AB =10cm ，BC =7cm ，10cm 、10cm 、7cm 三边能够组成三角形；若AB <BC ，则BC -AB =3cm ，又∵2AB +BC =27cm ，联立方程组BC -AB =32AB +BC =27 ,解得：AB =8cm ，BC =11cm ，8cm 、8cm 、11cm 三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 、10cm 、7cm 或8cm 、8cm 、11cm ．【点睛】此题考查了等腰三角形的定义．注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．。

初中等腰三角形综合知识归纳几何是数学学习中的一道难题，想要学好初中等腰三角形，没有那么容易。

为了帮助大家更好的学习初中等腰三角形。

以下是店铺分享给大家的初中等腰三角形综合知识，希望可以帮到你!初中等腰三角形综合知识1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

等腰三角形问题的求解误区一、腰和底不分例1、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为_______.误区警示在等腰三角形中，一边长为4，周长为14，设底边长为x，则x+4×2=14，，∴x=6，所以底边长为6.思路分析等腰三角形的一边长为4，这条边可能是腰，也可能是底，应分两种情况进行讨论：(1)当腰是4时，另两边是4，6，且4+4>6，6-4 <4，满足三角形三边关系定理;(2)当底是4时，另两边长是5，5，又5+4>5，5-4 <5，满足三角形三边关系定理.所以等腰三角形的底边为4或6.二、顶角和底角不分例2、已知等腰三角形的一个内角为700，则另外两个内角的度数是( )(A)55°，55°(B)70°，40°(C)55°，55°或70°，40°(D)以上都不对误区警示在等腰三角形中，一个内角为70°，设底角的度数为x，则2x+70=180，∴x=55，所以另外两个内角的度数是55°、55°.思路分析等腰三角形的一个内角为70°，这个角可能是顶角，也可能是底角，应分两种情况进行讨论：(1)当70°角为顶角时，设底角的度数为x，2x+70=180，∴x=55，所以另外两个内角的度数是55°、55°;(2)当70°角为底角时，设顶角的度数为y，y+70×2=180，∴y=40，所以另外两个内角的度数是70°、40°.故选C点拨根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论.另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在.三、顶角顶点和底角顶点不分例3、如图2，坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5误区警示若三角形是等腰三角形，则OP=OA，所以符合符合条件的动点P有两个.思路分析根据题意，结合图形，分三种情况讨论：(1)若点P为顶角顶点，O、A为底角顶点，则PO=OA，符合条件的动点P有一个;(2)若点O为顶角顶点，P、A为底角顶点，则OP=OA，符合条件的动点P有两个;(3)若点A为顶角顶点，O、P为底角顶点，则AP=AO，符合条件的动点P有一个;综上所述，符合条件的动点P的个数共4个.故选C.点拨判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整.四、锐角三角形和钝角三角形不分例4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_______.误区警示不少学生想当然地误解为：如图所示，图3(1)中顶角为50°.思路分析根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：(1)如图3(1)所示，等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内，此时顶角为50°;(2)如图3(2)所示，等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高是在三角形外，此时顶角为130°.故顶角为50°或130°.点拨等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论.初中数学解题方法总结一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)在数学中，等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。

在考试中，等腰三角形常常出现在各类题目中，而三种压轴题型更是考察学生对等腰三角形的理解和运用能力。

本文将为大家介绍三种常见的等腰三角形压轴题型，并给出详细的解析，帮助大家更好地掌握解题技巧。

一、等腰三角形的性质首先，我们回顾一下等腰三角形的性质。

等腰三角形有两条边相等，可以分为底边和两条等腰边。

其性质如下：1. 等腰三角形的底边上的两个底角相等。

2. 等腰三角形的两条等腰边上的两个顶角相等。

利用这些性质，我们可以解决以下三种常见的等腰三角形压轴题型。

二、题型一：等腰三角形边长第一种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其边长。

这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度或两条等腰边的长度，并要求计算等腰三角形的其他边长。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边或两条等腰边的长度表示出来。

Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他边长的表达式。

Step 3：根据所得到的表达式，计算出未知边长的具体数值。

三、题型二：等腰三角形的面积第二种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其面积。

这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度和高，并要求计算面积。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边长度和高表示出来。

Step 2：根据面积公式 S = (1/2) ×底边 ×高，计算出面积。

Step 3：得到等腰三角形的面积。

四、题型三：等腰三角形的角度第三种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其顶角的度数。

这种题型通常会给出等腰三角形的顶角的度数，并要求计算其他角的度数。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的某个顶角的度数表示出来。

Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他角度的表达式。

思维导图核心考点聚焦1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.等腰三角形的性质（1（2角的三线合一图形：1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形考点剖析【答案】2516或52或4，则216BP BC cm ==，，，图2③如图3，当图3故答案为：9或【解析】如图，∵AB AC BD =，是AC 边上的中线，即AD CD =，∴()()15123||||cm AB AD BC CD AB BC +-+=-=-=，2121527cm AB BC AC AB BC ++=+=+=，若AB BC >，则3cm AB BC -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组:3227AB BC AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：10cm 7cm AB BC ==，，10cm 10cm 7cm 、、三边能够组成三角形；若AB BC <，则3cm BC AB -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组3227BC AB AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：8cm 11cm AB BC ==，，8cm 8cm 11cm 、、三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 10cm 7cm 、、或8cm 8cm 11cm 、、．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒【答案】D【解析】如图1，三角形是锐角三角形时，∵45ACD ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135如图，当CD 在ABC CD AB⊥ 90BAC ACD ∴∠=︒+∠AB AC= 30B C ∴∠=∠=︒故答案为60︒或30︒过关检测【答案】80︒，65︒或【解析】当C ∠是顶角时，∴180C A ∠=︒-∠-∠当C ∠是底角，A ∠是顶角时，∴180652A C ︒-∠∠==当C ∠、A ∠都是底角时，∴50C A ∠=∠=︒；综上，C ∠的度数可能是故答案为：80︒，65︒或7．在平面直角坐标系中，坐标是【答案】()3,0-或(2,0-【解析】根据题意，作图如下，∵()3,0A ，()0,4B ，∴3,4OA OB ==，在Rt AOB △中，22AB OA OB =+以AB 为腰作等腰三角形ABC ，①1BC BA =，则1ABC 是以AB 为腰作等腰三角形，∴()13,0C -；②2AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴AC 2=5，且3OA =，∴2532OC =-=，则()22,0C -；③3AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴35AC =，∴33358OC OA AC =+=+=，则C 综上所述，点C 坐标是()3,0-或(-故答案为：()3,0-或()2,0-或(8,0)8．在ABC △中，110ABC ∠=︒，点腰三角形，则CDB ∠的度数是【答案】40︒或90︒或140︒【解析】如图1中，当CDB ∠如图3中，当90DBC ∠=︒，DA 40CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：40︒或90︒或140︒．三、解答题9．如图，ABC △中，90C ∠=运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为(1)当1t =时，求PBC △的面积．(2)当t 为何值时，CP 把ABC △(3)当t 为何值时，BCP △为等腰三角形？【解析】（1）解：当1t =时，PBC ∴△的面积为1BC CP ⨯=故答案为：26cm ．（2）解：ABC 中，∴2AB AC BC =+∵1122AC BC ⨯=∴ 4.8CE =∴226 4.8PE =-∴27.2BP PE ==∴AP AB PB =-=∴82AC AP t +==②如果BC BP =③如果PB PC =∵PB PC =，∴12∠=∠，又∵12A ∠+∠=∠∴3A ∠=∠∴PC PA =，∴PA PB =,即P 在AB 的中点，此时()8513cm CA AP +=+=，132 6.5(t =÷=秒)；综上可知，当3t =秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP 为等腰三角形．10．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE 是ABD △的“双等腰线”，AD 、BE 是ABC △的“三等腰线”．(1)请在图（2）中，作出ABC △的“双等腰线”，并标注相等角的度数①70B ∠=︒，35A ∠=︒②81B ∠=︒，27A ∠=︒．(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”(3)已知ABC △中，33C ∠=︒，AD 和DE 分别是ABC △的“三等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，且AD DC =，BE DE =，请根据题意写出B ∠度数的所有可能的值______．【详解】（1）解：如图，取CD BC =，则70CDB B ∠=∠=︒，35A ∠=︒ ，703535ACD ∴∠=︒-︒=︒，ACD A ∴∠=∠，AD CD BC ∴==，ADC ∴ 和BCD △是等腰三角形；如图，作AB 的垂直平分线DE ，交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，AD BD ∴=，27A ABD ∴∠=∠=︒，54CDB ∴∠=︒，81ABC ∠=︒ ，812754CBD BDC ∴∠=︒-︒=︒=∠，CD BC ∴=，ADB ∴ 和BCD △是等腰三角形；（2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，故答案为：斜边中线；（3）如图，设B x ∠=，∵33C ∠=︒，AD DC =，∴33C DAC ∠=∠=︒，180114EAD B C DAC x ∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴66ADB ∠=︒∵BE DE =，∴B BDE x ∠=∠=，∴2AED x ∠=，66ADE ADB BDE x ∠=∠-∠=︒-，∵AD 和DE 分别是ABC 的“三等腰线”，∴ADE V 是等腰三角形，当AD DE =时，EAD AED ∠=∠，则1142x x ︒-=，解得38B x ︒==∠；当AD AE =时，ADE AED ∠=∠，则662x x ︒-=，解得22B x ︒==∠；当AE DE =时，EAD ADE ∠=∠，则11466x x ︒-=︒-，无解；综上所述，B ∠度数的所有可能的值为38︒、22︒、66︒、57︒、48︒．故答案为：38︒、22︒．。

初三数学等腰三角形知识精讲一. . 本周教学内容：本周教学内容：等腰三角形等腰三角形例例1. 1. 已知：如图，∠已知：如图，∠已知：如图，∠ABC ABC ABC，∠，∠，∠ACB ACB 的平分线交于F ，过F 作DE DE∥∥BC BC，交，交AB 于D ，交AC 于E 。

求证：求证：求证：BD BD BD＋＋EC EC＝＝DE DE。

分析：因为DE DE＝＝DF DF＋＋FE FE，即结论为，即结论为BD BD＋＋EC EC＝＝DF DF＋＋FE FE，分别证明，分别证明BD BD＝＝DF DF，，CE CE＝＝FE 即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。

证明：∵DE DE∥∥BC BC，， ∴∠∴∠∴∠33＝∠＝∠22（两直线平行，内错角相等） 又∵又∵又∵BF BF 平分∠平分∠ABC ABC ∴∠∴∠∴∠11＝∠＝∠2 2 ∴∠∴∠∴∠11＝∠＝∠3 3 ∴∴DB DB＝＝DF DF（等角对等边）（等角对等边） 同理：同理：同理：EF EF EF＝＝CE CE，， ∴∴BD BD＋＋EC EC＝＝DF DF＋＋EF 即即BD BD＋＋EC EC＝＝DE DE。

例例2. 2. 如图，如图，如图，C C 是线段AB 上的一点，△上的一点，△ACD ACD 和△和△BCE BCE 是等边三角形，是等边三角形，AE AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O 。

求证：求证：（1）∠）∠AOB AOB AOB＝＝120120°；°；（（2）CM CM＝＝CN CN；； （（3）MN MN∥∥AB AB。

分析：要证明∠要证明∠AOB AOB AOB＝＝120120°，充分利用等边三角形的每个内角是°，充分利用等边三角形的每个内角是6060°的性质，由于∠°的性质，由于∠°的性质，由于∠AOB AOB 是△是△AOD AOD 的一个外角，则∠的一个外角，则∠AOB AOB AOB＝∠＝∠＝∠11＋∠＋∠ADM ADM ADM＋∠＋∠＋∠22，只须证∠，只须证∠11＋∠＋∠22＝6060°即可，考虑到∠°即可，考虑到∠°即可，考虑到∠11＋∠3＝6060°，故着手证明∠°，故着手证明∠°，故着手证明∠22＝∠＝∠33。

中考数学——等腰三角形问题解题思路与攻略
以二次函数为载体，探讨等腰三角形的构建问题，是中考数学压轴题的热点及难点，运用分类讨论及数形结合思想，利用定点坐标和参数动点坐标及两点间距离公式构建等腰三角形是本篇的主题。

基本解题思路是列点、列线、列式
1.第一步，列出构建所求等腰三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标。

2.第二步，采用分类讨论的思想，列出构建所求等腰三角形三条边，并列出这三条边两两相等的三种可能性。

3.第三步，把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式，并列出等式求解。

注意：点坐标应结合已知进行检验，若出现三点共线或出现不合题意的点均要舍去。

666。

专题三：等腰三角形多解问题1、已知一个等腰三角形两内角的度数比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为。

2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是。

3、已知等腰三角形的一个内角为75°，则它的顶角是。

4、若等腰三角形的一个内角是72°。

,则它的底角度数是。

5、若等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°。

,则三内角度数分别为。

6、等腰三角形两边长分别为5和7,则此等腰三角形的周长为。

7、等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么它的底边为。

8、等腰三角形周长为20cm,—腰上的中线将其周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm,则腰长为。

9、若等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角度数为。

10、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°。

,则这个等腰三角形的顶角度数为。

11、等腰三角形的腰长为2,面积为1,则顶角度数为。

12、在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角为。

13、在等腰三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=20°，点D在直线BC上，且CD=AC，则∠ADC的度数为。

14、在等腰∆ABC中，AB=BC，点B与点B’关于AC所在直线对称，且∠BAB’=100°，则∠ABC=。

15、已知AD和BE是∆ABC的高，H是直线AD与直线BE的交点，BH=AC，则∠ABC=。

16、过等腰三角形ABC顶角的顶点A的一条直线，把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形,则∠ABC=。

17、在∆ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D是BC边上一点，点F是射线BA上一点,DF与射线CA相交于点E,点G是EF的中点，若∠DEC=∠C,则∠CAG= 。

18、在∆ABC中, ∠ACB=90° ,AC=BC,以AC为一边，在同一平面内作等边∆ACD,连接BD,则∠ADB=。

小专题(十)运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题类型1针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)A．7个B．6个C．5个D．4个3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．类型2针对顶角和底角进行分类方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．解：设∠A ，∠B ，∠C 是该等腰三角形的三个内角，且∠A ＝12∠B. 设∠A ＝x °，则∠B ＝2x °.①若∠B 是顶角，则∠A ，∠C 是底角，于是有∠C ＝∠A ＝x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋x ＝180.解得x ＝45，故∠A ＝∠C ＝45°，∠B ＝90°；②若∠B 是底角，∵∠A ≠∠B ，∴∠A 是顶角，∠C ＝∠B ＝2x °.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180.解得x ＝36，故∠A ＝36°，∠B ＝∠C ＝72°.综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.类型3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：①如图1，垂直平分线DE 与腰AC 相交，且∠AED ＝50°，则∠A ＝40°，所以∠B ＝∠C ＝70°； ②如图2，垂直平分线DE 与腰AC 的反向延长线相交，且∠AED ＝50°，则∠EAD ＝40°，∠BAC ＝140°，所以∠B ＝∠C ＝20°.综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？解：设∠A 为顶角，则∠ABC 、∠ACB 为底角．(1)若∠A 为锐角，如图1，作BD ⊥AC 于点D ，根据题意有BD ＝12AB ，∠BDA ＝90°， ∴∠A ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝75°；(2)若∠A 为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；(3)若∠A 为钝角，有三种情况：①如图2，作AD ⊥BC 于点D ，根据题意有AD ＝12AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；②如图3，作BD ⊥CA 的延长线于点D ，根据题意有BD ＝12BC ，∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°；③如图4，作BD ⊥CA 的延长线于点D ，根据题意有BD ＝12AB ，∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝15°.综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.8．AC 为等腰△ABD 的腰BD 上的高，且∠CAB ＝60°.求这个三角形各内角的度数．解：①如图1，高AC 在△ABD 的内部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，所以∠B ＝30°.因为BA ＝BD ，所以∠BAD ＝∠D ＝75°；②如图2，高AC 在△ABD 的外部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝30°.所以∠ABD ＝150°.因为BA ＝BD ，所以∠BAD ＝∠D ＝15°；③如图3，高AC 在△ABD 的外部，因为∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，所以∠B ＝30°.因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°.所以∠ADB＝120°.综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.。

剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用一、等腰三角形的性质1. 性质：（1）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，如图：∠A=2∠1；（2）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，如图：AD 是三角形ABC 的对称轴。

二、等腰三角形的判定1. 两边相等的三角形；2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

注意：“等角对等边”必须在同一个三角形中使用。

等腰三角形的性质与判定有区别：性质是：等边 → 等角；判定是：等角→ 等边。

三、关于等腰三角形的多解问题例题1在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）。

由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的。

马彪同学的结论是____________的。

（填“正确”或“错误”）解析：分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180度计算即可。

如已知一个角是70°，当70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2=55°，当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°－140°=40°。

答案：错误点拨：主要考查了等腰三角形的性质。

要注意分两种情况考虑，不要漏掉任何一种情况。

例题2 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO 的大小是（）A. 70°B. 110°C. 140°D. 150°解析：由已知及四边形内角和知∠DAB+∠DCB=220°，由等腰三角形的性质知∠OAB+∠OCB=70°，所以即可求得∠DAO+∠DCO的度数。

(完整版)全等等腰三角形题型归纳(经典完整)本文将对全等等腰三角形题型进行归纳和总结，帮助读者更好地理解和解决此类题目。

全等等腰三角形是指两个三角形的两边长度相等且对应的夹角也相等。

1. 理解全等等腰三角形全等等腰三角形的特点是两边长度相等且对应的夹角也相等。

在解题时，我们可以利用以下几个性质：- 两边相等的三角形的对应角必然相等，也就是如果两个等腰三角形的两条边长度相等，那么它们的对应夹角必然相等。

- 如果两个等腰三角形的两个对应角相等，那么它们的两边必然相等。

2. 全等等腰三角形的题型2.1. 给定等腰三角形的两边长度，求对应夹角的值在这种题型中，已知等腰三角形的两条边长度，需要求出对应的夹角。

解题步骤如下：1. 利用性质1，由于等腰三角形的两边相等，则对应的夹角也相等。

2. 利用三角函数（如正弦、余弦、正切等）求出对应夹角的值。

2.2. 给定等腰三角形的一个对应角，求两边的长度在这种题型中，已知等腰三角形的一个对应角的值，需要求出两边的长度。

解题步骤如下：1. 利用性质2，由于等腰三角形的两个对应角相等，则两边的长度相等。

2. 利用三角函数求出两边的长度。

3. 示例题3.1. 示例一：已知等腰三角形的两边长度分别为5cm，求对应夹角的值。

解题步骤如下：- 根据性质1，两边相等，则对应夹角相等。

- 使用三角函数，求出对应夹角的值。

3.2. 示例二：已知等腰三角形的一个对应角的值为45°，求两边的长度。

解题步骤如下：- 根据性质2，两个对应角相等，则两边的长度相等。

- 使用三角函数，求出两边的长度。

4. 总结本文对全等等腰三角形题型进行了归纳和总结，并给出了相应的解题步骤和示例题。

通过掌握全等等腰三角形的性质和解题方法，读者将能够更好地解决此类题型。

等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ， 设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。

《等腰三角形》知识全解课标要求理解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和判定方法。

知识结构（1）等腰三角形的有关概念等腰三角形是我们比较熟悉的一个概念，即有两条边相等的三角形。

等腰三角形中的其它概念有：①腰：相等的两条边；②底边：另一条边；③顶角：两腰所夹的角；④底角：底边与腰的夹角。

（2）等腰三角形的性质等腰三角形有两个重要性质，分别是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

教材是从剪纸得到的两个性质，不但要会用，也要会从理论上证明。

（3）等腰三角形的判定判断一个三角形是否是等腰三角形，除了可以用定义来判断，还有一个判定定理，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边）。

内容解析等腰三角形是轴对称图形，教材是利用轴对称的知识来探究本节知识的。

学习中我们应注意到以下几个问题：（1）充分重视实践探究活动。

根据教材中的“探究”以及随后提出的“思考”问题，手、眼、脑并用，一面直观地发现结论的正确性，一面锻炼表达能力，与同学进行交流讨论，加深对知识的理解和记忆；（2）“等边对等角”是说明两角相等的依据之一，“等角对等边”是说明三角形是否是等腰三角形的重要方法，“三线合一”是说明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据。

三个结论都很重要，应牢固掌握。

重点难点本节内容的重点是：1、等腰三角形的两个性质。

2、等腰三角形的判定方法。

难点是：1、等腰三角形的两个性质。

2、等腰三角形的判定方法。

教法引导（1）鼓励学生动手剪纸，在剪纸的过程中得到等腰三角形的性质；（2）给学生充分的时间动手操作和动脑思考。

要让学生通过自己的操作和与同学探讨交流总结出性质等知识点。

学法建议通过阅读教材，动手剪纸，以及动脑思考与同学交流探讨，获得本节知识。

运用分类讨论数学思想求解等腰三角形中多解问题分类讨论数学思想是解决数学问题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，这时就需要分类讨论 .本节主要介绍下等腰三角形中需要分类讨论的常见题型 .类型一当顶角或底角不确定时1.已知等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角为（ A ）A.70°B. 40°C.70° 或40°D. 70° 或55°2.一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为：70°、55°、55° 或70°、70°、40° .类型二当底和腰不确定时3.一个等腰三角形的一边长为 4 cm , 另一边长为 5 cm , 那么这个等腰三角形的周长是（ C ）A.13 cmB. 14 cmC.13 cm 或14 cmD. 以上都不对4.已知实数 x , y 满足 | x - 4| + √(y-8) = 0 , 则以 x , y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ B ）A.20 或 16B. 20C.16D. 以上都不对【解析】∵ | x - 4| + √(y-8) = 0 ,∴ x = 4 , y = 8 .这时底和腰都不确定，就需要分类讨论了.① 当底是 4 时，腰为 8 时，以 4、8、8 为三边可以构成三角形，∴ 周长 = 4 + 8 + 8 = 20 .② 当底是 8 时，腰为 4 时，以 8、4、4 为三边构不成三角形 .故选 B 答案 .类型三当高的位置不确定时5.在等腰三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD = 1/2 BC，则△ABC 底角的度数为：45° 或75° 或15° .【解析】① 当△ABC 为直角三角形时，∠A = 90°，AB = AC，∵ AD⊥BC，∴ ∠B = ∠C = 45° .② 当△ABC 为钝角三角形时，AB = BC，∵ 在Rt△ADB 中，∠D = 90°，AD = 1/2 AB，∴ ∠ABD = 30°，∴ ∠BAC = ∠C = 15° . （三角形外角定理）③ 当△ABC 为锐角三角形时，BC = AC，∵ 在Rt△ADC 中，∠ADC = 90°，AD = 1/2 AC，∴ ∠C = 30°，∴ ∠B = ∠BAC = 1/2（180° - 30°）= 75° .综上所述：△ABC 底角的度数为45° 或75° 或15° .类型四由腰的垂直平分线引起的分类讨论6.在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B 的大小 .【解析】① 如图，当 AB 的中垂线 MN 与 AC 相交时，∵ ∠AMD = 90°，∠ADM = 40°，∴ ∠A = 90° - 40° = 50° .∵ AB = AC ,∴ ∠B = ∠C = 1/2（180° - ∠A）= 65°；② 如图，当 AB 的中垂线 MN 与 CA 的延长线相交时，∵ ∠AED = 90°，∠ADE = 40°，∴ ∠DAB = 90° - 40° = 50° .∵ AB = AC ,∴ ∠B = ∠C = 1/2 ∠DAB = 25° .综上所述：底角∠B 的度数为 65° 或25° .类型五由腰上的中线引起的分类讨论7.等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3 cm , 求腰长 .【解析】解：设等腰三角形的腰长为 2x , 一腰上的中线长为 y , 根据题意可得：（2x + x）- （5 + x）= 3 或（5 + x）-（2x + x）= 3 ,解得 x = 4 或 x = 1 ,∴ 2x = 8 或 2，① 当△ABC 的三边长为 8 , 8 , 5 时，符合三角形三边关系定理，可以构成三角形；② 当△ABC 的三边长为 2 , 2 , 5 时，∵ 2 + 2 < 5 ,∴ 不符合三角形三边关系定理，构不成三角形 .综上所述，等腰三角形的腰长为 8 cm .。