西安市第八十五中学高2023级新生入学摸底考试数学试题一、单项选择题（每小题44分，共32分）1.全称量词命题“R x ∀∈，254x x +=”的否定是（）A.R x ∃∈，254x x +=B.R x ∀∈，254x x ≠+C.R x ∃∈，254x x ≠+D.以上都不正确【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.【详解】全称量词命题“R x ∀∈，254x x +=”的否定为“R x ∃∈，254x x ≠+”.故选：C.2.已知集合{}10,A x x a =≤=，则a 与集合A 的关系是（）A.a A ∈B.a A∉ C.a A= D.{}a A∈【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由元素与集合的关系，即可得到结果.【详解】因为10a =≤，所以a A ∈.故选:A3.设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则（）A.a >bB.a <bC.a ≥bD.a ≤b【答案】C 【解析】【分析】作差比较可得答案.【详解】a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b .故选：C .4.设集合U ＝{－1,1,2,3}，M ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{－1,1}，则实数p 的值为()A.－6B.－4C.4D.6【答案】D 【解析】【详解】∵集合{}1,1,2,3U =-，且{}1,1U C M =-∴{}2,3M =∵{}2|50M x x x p =-+=∴236p =⨯=故选D5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0B.∃x ∈N ，2x 为偶数C.所有菱形的四条边都相等D.π是无理数【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的概念，结合命题的意义判定真假，从而做出判定.【详解】对A ，是全称量词命题，但不是真命题(当1x =-时结论不成立），故A 不正确；对B ，是真命题(当0x =时2x 即为偶数)，但不是全称量词命题，故B 不正确；对C ，是全称量词命题，也是真命题，故C 正确；对D ，是真命题，但不是全称量词命题，故D 不正确，故选：C.6.已知集合{}44A x x =-≤≤，{}B x x a =<，则“5a >”是“A B A = ”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】若A B A = ，即可得到A B ⊆，从而求出a 的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若A B A = ，则A B ⊆，又{}44A x x =-≤≤，{}B x x a =<，所以4a >，所以由5a >推得出A B A = ，故充分性成立；由A B A = 推不出5a >，故必要性不成立，所以“5a >”是“A B A = ”的充分不必要条件.故选：A7.已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|11B x x =-<<，集合{}|10C x mx =+>，若()A B C ⊆ ，则实数m 的取值范围为（）A.{}|21m m -≤≤ B.1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C.1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.11|24m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】求出A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，利用集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，分类讨论，可得结论．【详解】由题意，A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，①m ＜0，x 1m -＜，∴1m -≥2，∴m 12≥-，∴12-≤m ＜0；②m ＝0时，C ＝R,成立；③m ＞0，x 1m -＞，∴1m-≤-1，∴m ≤1，∴0＜m ≤1，综上所述，12-≤m ≤1，故选：B ．【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．8.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220B x x axxx b =+++=，且 R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（）．A.4B.8C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ⋂=∅R ð可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数.【详解】由题设可知，[]{}{}Z |031,2A x x =∈<<=，又因为()A B ⋂=∅R ð，所以A B ⊆，而()(){}22|20B x x axxx b =+++=，因为20x ax +=的解为=0x 或x a =-，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=-，所以1,2分属方程20x ax +=与220x x b ++=的根，若1是20x ax +=的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=1=8a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =-，故{}0,1,2,4B =-；若2是20x ax +=的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=2=3a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =-，故{}0,1,2,3B =-；所以不管1,2如何归属方程20x ax +=与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16.故选：C二、多项选择题（每小题4分，共16分，全对得4分，少选得2分，错选得0分）9.已知集合{}2{|10,R},560A x ax a B x x x =+=∈=--=，若A B ⊆，则实数a 的值可以是（）．A.19B.17C.0D.18-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，求得{7,8}B =-，再分0a =和0a ≠，求得集合A ，结合A B ⊆，即可求解.【详解】由方程256(8)(7)0x x x x --=-+=，解得7x =-或8x =，即{7,8}B =-，当0a =时，则方程10ax +=无实数解，此时A =∅，满足A B ⊆，符合题意；当0a ≠时，由10ax +=，可得1x a =-此时1A a ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭，要使得A B ⊆，可得17a -=-或18a -=，解得17a =或18a =-.综上可得，实数a 的值为0或17或18-.故选：BCD.10.一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.2a <-C.1a <-D.1a <【答案】BC 【解析】【分析】先根据方程根的分布得到判别式和两根之积的关系式，解出等价条件，再利用真子集是其充分不必要条件即得结果.【详解】若方程()24300ax x a ++=≠有一个正根1x 和一个负根2x ，则121612030a x x a ∆=->⎧⎪⎨=<⎪⎩，解得a<0，则一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为(),0∞-的真子集，故BC 正确，AD 错误.故选：BC.11.下列说法正确的是（）．A.命题p ：“R x ∃∈，210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，210x x ++≥”B.已知,R a b ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分而不必要条件C.“1x ≠”是“2320x x -+≠”的充要条件D.若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p ：“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”所以A 正确；对于B 中，由1a >且1b >，可得“1ab >，即充分性成立；反正：例如：1,42a b ==，满足1ab >，但1a >且1b >不成立，即必要性不成立，所以1a >且1b >是1ab >的充分而不必要条件，所以B 正确；对于C 中，由2320x x -+≠，可得1x ≠且2x ≠，所以1x ≠是2320x x -+≠的必要不充分条件，所以C 不正确；对于D 中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，所以D 正确.故选：ABD.12.设非空集合{}S x m x n =≤≤，其中,R m n ∈，若集合S 满足：当x S ∈时，有2x S ∈，则下列结论正确的是（）．A.若12m =-，则114n ≤≤ B.若12n =，则02m -≤≤C.若1m =，则{}1S x x =≥ D.若1n =，则10m -≤≤【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，求得1m ≥或0m ≤，且01n ≤≤，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】因为非空集合{}S x m x n =≤≤，满足：当x S ∈时，有2x S ∈，所以当m S ∈时，由2m S ∈，即2m m ≥，解得1m ≥或0m ≤，同理，当n S ∈时，由2n S ∈，即2n n ≤，解得01n ≤≤，对于A 中，若12m =-，则必有214m S =∈，则201n m n ⎧≥⎨≤≤⎩，解得114n ≤≤，所以A 正确；对于B 中，若12n =，则2212m m m ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得02m -≤≤，所以B 正确；对于C 中，若1m =，则必有21m S =∈，则101n n ≥⎧⎨≤≤⎩，此时1m n ==，所以{}1S =，所以C 不正确；对于D 中，若1n =，则满足221m m m ⎧≤⎨≤⎩，解得10m -≤≤或1m =，所以D 错误.故选：AB.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）13.命题p ：一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________．【答案】112k -<<【解析】【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】因为一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限，则满足10210k k -<⎧⎨+>⎩，解得112k -<<，即一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限的充要条件是112k -<<.故答案为：112k -<<.14.若集合(){}210|A x k x x k =++-=有且仅有两个子集，则实数k 的值是_______.【答案】－1或12-【解析】【分析】依据题意可知A 中只有一个元素，然后分1k =-，1k ≠-讨论计算即可.【详解】由条件，知A 中只有一个元素．当1k =-时，{}1A =-．当1k ≠-时，()1410k k ∆=++=，解得12k =-，此时{}1A =-．综上所述，实数k 的值为1-或12-．故答案为：－1或12-15.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是________．①11a b<②2ab ab <③2ab a -<-④11a b-<-【答案】④【解析】【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】由0a b <<，可得0,0ab b a >->，对于①中，由110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以①不正确；对于②中，由2(1)0ab ab ab b -=->，所以2ab ab >，所以②不正确；对于③中，由2()()0ab a a b a ---=-->，所以2ab a ->-，所以③不正确；对于④中，由11()0a b a b ab ----=<，所以11a b-<-，所以④正确.故答案为：④.16.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合{}1,2A =-，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____.【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a 值，即可求解【详解】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，B ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素1=-时，解得2a =，当,A B 2=时，解得12a =，故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭四、解答题（本题共4小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）化简：；（2）求方程()28120x x x -+=∈R 的解集．【答案】（11-；（2）{}2,2,6,6--．【解析】【分析】（1）将式子分母有理化，即可得解；（2）依题意可得28120x x -+=，解得x ，即可求出x ，从而得解.【详解】（1）+++=11=-+=-；（2）方程()28120x x x -+=∈R ，即28120x x -+=，则()()260x x --=，解得2x =或6x =，所以2x =或2x =-或6x =或6x =-，则方程()28120x x x -+=∈R 的解集为{}2,2,6,6--.18.若12,x x 是方程2220230x x +-=的两个实数根，试求下列各式的值：（1）2212x x +；（2）12x x -．【答案】（1）4050（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到12122,2023x x x x +=-=-，结合()2221212122x x x x x x +=+-，即可求解；（2）由（1），结合12x x -==，即可求解.【小问1详解】解：因为12,x x 是方程2220230x x +-=的两个实数根，可得12122,2023x x x x +=-=-，则()()22121222122(2)220234050x x x x x x =+-=--⨯-=+.【小问2详解】解：由（1）知12122,2023x x x x +=-=-，则12x x -====.19.已知命题:210p x ≤≤，命题:q x a <或21x a >+，其中0a >．若p 是q 成立的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】10a >或102a <<【解析】【分析】令{}|210A x x =≤≤，{|B x x a =<或()210}x a a >+>，依题意可得A 真包含于B ，即可得到不等式（组），解得即可.【详解】令{}|210A x x =≤≤，{|B x x a =<或()210}x a a >+>，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 真包含于B ，所以10a >或2120a a +<⎧⎨>⎩，解得10a >或102a <<，故a 的取值范围为10a >或102a <<．法二：由A 真包含于B ，可得如下两种情况，结合数轴得10a >或2120a a +<⎧⎨>⎩，解得10a >或102a <<，故a 的取值范围为10a >或102a <<．20.已知集合[0,2]A =，[,3]B a a =+．（1）若R ()R A B = ð，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使R ()R A B = ð且A B ⋂=∅？【答案】（1）[1,0]-；（2）不存在.【解析】【分析】（1）求出集合A 的补集，再利用并集的结果求解即得.（2）利用（1）的结论，结合交集的结果求得的范围即可.【小问1详解】集合[0,2]A =，则R (,0)(2,)A =-∞+∞ ð，而[,3]B a a =+，且R ()R A B = ð，因此032a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[1,0]-.【小问2详解】由（1）知10a -≤≤，由A B ⋂=∅，得30a +<或2a >，解得3a <-或2a >，所以不存在实数a 使R ()R A B = ð且A B ⋂=∅成立.。
