新版沪科版八年级数学下册专题综合提升训练精品课件：专题一 二次根式

属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5） 中xy<0,（7）根指数不是2，是3.（3）不是，因为 在实数范围内，负数没有平方根.
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .

2
4
4

2
2
2

1 3
2

1 3

2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
有意义的实数
x的值有（
A、0个
B ） B、1个 C、2个 D、无数个
8（１）
3 ( 3) ____
2
2
x 1 （２）当 x 1 时， (1 x) ____
（３） ( x 2) 2 x 2 ，x 2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9
计算： ( 10) (3 3)
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a b
a (a 0, b 0) b
二次根式的乘除：
a b ＝
ab (a≥0 , b≥0)
a b (a≥0 , b≥0)
a b
(a≥0, b＞0) (a≥0, b＞0)
ab ＝
a b
a b
＝
＝
a b
梳理五.最简二次根式的定义.
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。 注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理八. 混合运算法则
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的. 2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因 式.
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根
式后，若被开方数相同，则这几个
二次根式就叫做同类二次根式。
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。 2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。

（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.

(2)( 2 )2; ＝2
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．

课程讲授
3 二次根式的性质
问题3：二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a ＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就 是说，当a ≥0时， a ≥0.我们把这个性质叫做二次根 式的双重非负性.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为___3___，面积为S 的正方 形的边长为___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 ㎡,则
130
它的宽为___2__m.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
即当x ≥-3时， x 3 在实数范围内有意义. （2）因为x为任何实数时都有x2≥0, 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
课程讲授
2 二次根式有意义的条件
练一练：若二次根式 2x 4 有意义 ,则实数 x的取
值范围是 （ D ）
A.x≥-2 B.x>-2 C.x<2 D.x≤2
课程讲授
3 二次根式的性质
练一练：若 ( C) A．1 B．－1 C．7 D．－7
x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y的值为
课程讲授
3 二次根式的性质
问题4：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中
的规律．

2
4
4

2
2
2

1 3
2


2
0
0
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m) 满足关系h =5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为

沪科版八下18-2《二次根式的运 算》ppt课件
contents
目录
• 二次根式基本概念回顾 • 加减运算中二次根式应用 • 乘法运算中二次根式应用 • 除法运算中二次根式应用 • 复杂表达式中二次根式处理技巧 • 总结与提高：掌握核心知识点，提升解
题能力
01 二次根式基本概念回顾
二次根式定义及性质
简化规则
03
对于最简二次根式，被开方数中不含分母且不含能开得尽方的

因数或因式。
典型例题分析与解答
例题1
化简二次根式√48。
解答
√48 = √(16 * 3) = 4√3
例题2
计算(√5 + √3) * (√5 - √3)。
解答
利用平方差公式，原式= (√5)^2 - (√3)^2 = 5 - 3 = 2
二次根式除法公式
介绍二次根式除法的基本公式， 如
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}=sqrt{fra c{a}{b}}$（$b neq 0$）。
公式推导过程
详细阐述公式的推导过程，包括 分子分母同时乘以相同的二次根
式等步骤。
公式证明
通过具体例子或代数运算证明公 式的正确性和适用性。
除法运算中简化策略
有理化分母
对于分母中含有二次根式的分式，可 以采用有理化分母的方法，将其转化 为不含二次根式的分式，便于计算。
实际应用问题中加减运算
长度、面积、体积等计算
在几何问题中，经常需要计算长度、面积、体积等，这些计算往 往涉及到二次根式的加减运算。
物理问题中的运算
在物理问题中，如力学、电学等领域，也经常需要进行二次根式的 加减运算，以解决实际问题。
公式证明

1 有意义,那么A(a, a
a)
象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
例1.下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
(6) xy x, y异号 ,

(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2

3
在实数范围内,负数没有平方根
思 考
a和 a 是二次根式吗？
为什么？如果不是，请改正
根式为：a a 0
第十六章二次根式
16.1 二次根式
知识回顾
什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么 这个数叫做a的平方根. 什么叫算术平方根？
正数的正平方根和零的平方根，统称算术 平方根.
用 a (a 0)表示.
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根， 形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
a a 0
二次根式根号内字母的取值范围必须满足:
被开方数大于或等于零
掌握并应用二次根式的基本性质
当 a大于或等于0时 (
a )
2
= a
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算： 2 (1)( 12)
2 2 (2)( ) 3
பைடு நூலகம்
(3)( a b ) (a b 0)
2
已知 在第 二

复习回顾二次根式的性质：
1.性质1 ( a ) 2 （a a 0）.
2.性质2
a2
a
a a
(a 0), (a 0).
合作学习 计算下列各式，观察计算结果,你发现什么规律？
1. 4× 9 =__6__ 4 9 __6___
2. 16 25 _2_0_ 16 25 _2_0___
一般地,有
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
(1) x 3 ; (2) x2
解：（1）要使 x 3 有意义，必须使x+3≥0. 解这个不等式，得x≥-3. ∴当x≥-3时， x 3 在实数范围内有意义.
（2）因为x为人何实数时都有 x2 0, 所以当x为一切实数时， x2 都有意义.
4. a≥0， a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
计算： (1) 3a 6a2 . (2) 8a 5 6a2 . 解：（1）由已知，得 a 0,
1,
3 2 ( 3)2 2 3
2 3 3 2.
课堂小结： 回顾本科学习了哪些知识？
布置作业
课堂作业：P7、P9、P10练习； 家庭作业 ： (1)P12习题第1、2题；
(2)预习下一节内容.
教学反思
16.2 二次根式的运算（2）
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数，也可以是式 3. 形式上含有二次根号
1.被开方数的因数是整 数，因式是整式
2.被开方数不含能开得尽 方的因数或因式
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
(1) 4 2 37
2a (2)
ab
(3) 2 3 40

（2）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
（4）
（5）
灿若寒星
答案： （1）（2）
（3）（4）
（5）
灿若寒星
2.化简并求值：
(1)
其中
.
(2)
其中
灿若寒星
3.已知求 的值. 答案：
3.
灿若寒星
4.延伸拓展 （1）已知－1＜x＜2，求的值；
（2）已知a为实数，求的值.
答案： 5、（1）（2）
灿若寒星
例2、计算： （1） 解：原式
灿若寒星
解：原式
灿若寒星
（3） 解：原式
灿若寒星
例3、计算： （1） 解:原式
灿若寒星
解：由二次根式的意义可知：即
灿若寒星
例4、设的整数部分是a，小数部 分是b，试求的值. 解：
的整数部分为1. ∴的整数部分为3，小数部分是
即：
灿若寒星
灿若寒星
练习： 1.计算： （1）
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灿若寒星
二次根式的概念 二次根式 二次根式的性质
二次根式的运算与化简
灿若寒星
例1、x取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
解:（1）由
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子有意义.
灿若寒星
解：（2）由 得－5≤x＜3.
∴当－5≤x＜3时，有意义.
灿若寒星

（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数； 反之也成立，即： a 有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；
反之也成立，即： a 无意义⇔a＜0.
知2－讲
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内 x 2
解：(1)要使 x 3 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等 式，得 x ≥ -3.
即当x ≥ -3时， x 3 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0， 所以当x为一切实数时， x 2 在实数范围内都有意 义
（来自《教材》）
知2－讲
总 结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点
3
二次根式的“双重”非负性（a≥0， a ≥0）
双重非负性： a 中 a≥0， a ≥0，即一个非负
数的算术平方根是一个非负数.
知3－讲
例4 若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数 ，则x+y 的值为 ( D ) A．3 B．9 C．12 D．27
是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解
不等式(组)确定字母取值范围．
（来自《点拨》）
知2－练
1 (中考· 巴中)要使式子 范围是( A．m>－1 B．m≥－1 )
m 1 有意义，则m的取值 m 1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1
（来自《典中点》）
知2－练
2 (中考· 滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( )

a b a b (a 0,b 0)
(二）二次根式的简单性质
商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算
术平方根除以除式的算术平方根．
a a (a 0,b 0)
bb
1、32 18
2、0.25 81
3、 81 25
（1）下列各式不是二次根式的是（
B）
A 5
B 3 C a2
D 1
2
2二次根式 1 x有意义，则x的取值范围是 x 1
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
A.3
B.-3
C.1
D.-1
6.若（a 2）2 2 a，则a的取值范围是 a 2
本章知识
(二）、二次根式的性质：
1.( a)2 a (a 0)
a （a 0）
2. a2 a
0 （a 0）
a （a 0）
3. ab a b (a 0 b 0)
4.
a b
a b
(a 0
b 0)
回顾与反 思
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0
若方程没有实数根,则b2-4ac＜0
若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
判别式的用处

1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式.
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字
母的取值范围.
3.理解并掌握二次根式的基本性质 a a 和
2
重点
难点
aa 0,
a a
aa＜0.
2
1.掌握二次根式有意义的条件.
2.理解并掌握二次根式的基本性质.
会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
思考
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
S
(1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为
S ，则边长为_____．
(2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
65
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落
下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，
那么 t
h
为_____．
5
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ．
5
（1）这些式子分别表示什么意义？
h
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2
2
2
2
3

9 =3
4 2

9 3
归纳：由此可以看出： a 2 a ( a≥0 ).
a －a ( a≤0 ).
2
02 0
0.5
2

0.25 0.5
总结
a 2 的性质：
a2

【点拨】∵b＜a＜0，∴a－2b＞0，a＋b＜0.∴ a2－4ab＋4b2＋ |a＋b|＝ （a－2b）2＋|a＋b|＝(a－2b)－(a＋b)＝a－2b－a－b ＝－3b.
期末复习专题
11．设 a，b，c 为△ABC 的三边长，化简： （a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－a－c）2－ （c－b－a）2.
期末复习专题
1．[蚌埠怀远县期末]在式子 2， x2－2， x＋3，3 x2＋1， －3x
(x≤0)中，一定是二次根式的有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
期末复习专题
2．[滁州凤阳县期中]若实数 a，b，c 满足|a－ 2|＋ b－2＝ c－3 ＋ 3－c.
(1)求 a，b，c； 解：由题意可得 c－3≥0，3－c≥0，∴c＝3， ∴|a－ 2|＋ b－2＝0， ∴a＝ 2，b＝2.
1 3＋
＋ 2
1 4＋
3＋…＋
1 10＋
9.
原式＝ 2－1＋ 3－ 2＋ 4－ 3＋…＋ 10－ 9＝ 10－1.
期末复习专题
13．化简 24的结果是( B ) A．4 6 B．2 6 C．6 2D．8 3期末复习专题
14．能使得 （3－a）（a＋1）＝ 3－a· a＋1成立的所有整数 a 的和是___5_____．
2)2＋(2 3)2＝5＋2 6＋5－2 6＋12＝22.
期末复习专题
3．[2019·合肥瑶海区期中]下列根式中是最简二次根式的是( B )
A．
2 3
B． 3
C．
4 2
D． 8
期末复习专题
4．二次根式 4 5a， 2a3， 8a， b，
的有( C ) A．4 个 B．3 个

2. a-4+ 4-a 有意义的条件是 a=4
.
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
解：
①
②
解得 - 5≤x＜3
说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取 值范围常转化为不等式（组）.
题型二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若 干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一。
2．化简： x－2－ 2－x＝____0____．
3．若１＜x＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿5 ＿＿
4.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）
A. 8 B. 70
C. 99
1 D. x
5.下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？
① 15
④ 质
( a)2＝__a__(__a≥0__)；
a2＝a＝
aa （a>0），
00 （a＝0）， －aa （a<0）.
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含__分__母___；

第九页，编辑于星期六：七点 四十八分。
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形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数4. a≥0， a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果
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求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1
4.a≥0, a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
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第十六章二次根式
16.1 二次根式
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形如： 1000 、800 20、0 a (a、 0)

这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数有两 个平方根；0的平方根是为0；在 实数范围内，负数没有平方根， 所以a只能是正数和0
11 102
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要使 x 2 满足二次根式的定义要求，
x 应对 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是 一个必考重点.
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学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
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3 a 32
2 1
1 2a
4 a 32
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
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课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号