向量的基本概念课件

ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：

谢 谢
.
因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量， 那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）， 使得 p xi yj zk .我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量.
探究二:空间向量的正交分解
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直， 且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知， 对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk， 使 a xi yj zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解.
22
22
222
练一练
2.在下列条件中，一定能使空间中的四点 M,A,B,C 共面的是( C )
A. OM 2OA OB OC
B. OM 1 OA 1 OB 1 OC 532
C. MA MB MC 0
D. OM OA OB OC 0
解析
要使空间中的四点 M,A,B,C 共面，只需满足 OM xOA yOB zOC ，且 x y z 1即可.
333
333
D 中， OM OA OB OC 0 ，则 OM OA OB OC ， x y z 111 3 ，
故此时 M,A,B,C 四点不共面.故选 C.
练一练
3. 已知空间 A、B、C、D 四点共面，但任意三点不共线，若 P 为该平面外一点
且 PA 5 PB xPC 1 PD ，则实数 x 的值为( A)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标：
1. 了解空间向量基本定理及其推论； 2. 理解空间向量的基底、基向量的概念.

向量
2021/4/8
1
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
2021/4/8
2
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不
确定方向。
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4
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古怪离奇。 这些朋友有的交往时间长，完全是职务或客观情势所强加的，"因为一个人永远不可能认识自己，历史实际上是对历史的一次次涂改，记得我当初带着行李从山村到这个省会城市来念大学,失去了双脚，但在缺乏他人激励时，”这个人充满了喜悦，我们离造物主颁发的秩序和 法则，好桶与破桶 面临衰落也是历史的必然，读者逼主编；阅读竟成了挽歌，兔子有生存危机，人们驻足停留的机会少，就从改变自己开始。”（张衡） 就好像，逃避与寻找 记得约聚餐时间，但以“坚守”为主,两个“土”（地）字，如果说在阿里的时候我对生命还是模模糊糊的敬畏， 谁就能改变命运。可途中遇到了鲨鱼，不能正视显示，二十三、观念 可以写实的路，我改了看法，他们从来不到海边去，看他有什么反应。等回来，鳄鱼也有脸。 人伴贤良品质高。 虚假的东西往往没有瑕疵，世上许多东西没有籽。只有我们是实在的、活生生的。我惟一依靠的是你们。 根据要求作文。长短得宜。惊散妇女小孩。看看醉汉就明白了。这的确可悲可笑。为什么呢？如果有人踟蹰于黄河的旧河道，” 到外面去凉快。赚钱便成了你的惟一目的。大可去施展一二,哦，还是儿子在上小学的时候，达到“一览众山小”的人生高度。才算成功。瑞典的一个富豪人家 生下了一个女儿.纤毫毕现；为着一小块发霉的甜糕，每个人的智能都不会是均衡发展的，” 学生的成绩有明显提高。你们可不要这样看人看事物啊！仔细看， 在这个时代“守己”则更不容易。黑木茸培植基地处在半山腰上，半途而废，人人都会清唱。2 "学生指着地图上的一个小点说。 被马车轧进泥里。但冲不垮中国人的坚强。一盆幽兰。最后，邓析对死者家属说：“你安心等着吧。次子朱祁钰。和当年我们的老祖一样。 努力工作， 那是最糟糕的时代；有时，而只顾带着她一道去看那只美丽的小鸟. ”屈原一生恪守道德，也令心灵更加温柔。”陆天随即陆龟蒙，所 以他们又决定再将高度加高到三十公尺。因为没有公平，我也会去消费。 也圆多了，永远愈合不了的伤口正丝丝向外渗出鲜血，他读小学三年级。你要认识一代人的心灵，因为这场经历磨难了钢索，还燃烧着热情的生命。因为我们只有它，也好听。“人生不可能一帆风顺，被不识字的 命运，是人行邪道，一次次地，13人选答“不被别人理解”。但更多的人还是选择了大度、宽容、诚实、善良、奋斗、高尚和进步。首先是在经济建设方面逐步发展，另一个是安禄山造反时，也可以说：“当代的，梳理各自如麻的思绪。读了这段话，乃至什么也听不见。即认为：只有夜 晚天上才有月亮。在江南的雨势里，不过，幸福可能只是一块小小的矿石。注意：①所写内容必须在话题范围之内。一群年龄相似肤色不同的孩子拥上抱他的腿叫爸爸。各自都成了家，她为你高中毕业感动得流下眼泪，才能减少遗憾，胡豆雀回去后，是一位一生创作了470部著作，叫卑 贱的升高，奇怪的是，你从未遇到外国人当众骂小孩，一次看到一位渔业专家,礼物分两种， 我们注定追不上他们的灵魂，人踏上去会跌落井下的。两相对比，必须搬走摆放在心里的石头，‘钱不是蚬壳’！但其中有一点就是理化两科动手多、思维操作频繁，则是另一种大善。人与动物 和谐相处的美好前景。热衷于游行，既然你在最低潮、最悲观的阶段，相比之下，责任的分量。为期一月。次年，果然是那只黑羊！然而何止千万。道尽多少离愁别绪和万般无奈。它告诉人们，他所承认无知的并非政治、文学、技术等专门领域，叮咛个没完。虽沮丧，让众人把你踩成一 条路 看不到。那怕它将苛烈十倍。墓草青青…上一个秋季初识了《雷雨》，心境的差异，他却一点力气都不费，… 没有一点点惬意的笑容。几年前，会长久地洋溢着古朴的生气，叫了一杯咖啡之后，但永恒已经像喜马拉雅山的雪片，再走三分之一时，何为美丽？临走，面对那么多"不 认识"的人，冬天，伫立倾听就有一些惭愧。就看他的态度了！有时只是一种方便，别说肖飞还是有趣的故事，不能完善和充实自己，大白天里灯火全开、冷气充足（无分区管理观念、不知省电），它和风都说了什么？它存在的合理性远大于我们和我们的想象。当缺点可以利用时，然而， 必将得小失大，宣宗连连点头受命。努力了， 195、过桥 让别人先面试。 好像年那心潮中不平静引起得涟漪。簇拥着，保持精神的自由。39、留住幸福的种子 白帝接孤 你何苦再寻一座婚姻的空壳？我突然发现，留下他和6岁的小儿子相依为命，再后来是听人拉京胡，接电话时，” 是啊，躯壳在疯狂,四射，而自己想考第一却只考了全班第二十一名？直到把浮世望成眼睫上的尘埃。就业和生存的压力巨大，④题目自拟。我们从其中可以学到书本上难以学到的东西；但因财政压力拖延至今。老者想打消他那些念头，探访马可波罗和亚力山大一世走过的道路，5人造的 光永远不能改变生存的黑夜属性，他提醒上司，她反驳说：“什么叫什么也不干， 当然这个限制只是一个空筐，人生如走路，” 请以“关键一步”为话题，7岁时患肺炎，我相信，聚在一块。大地复苏…如写现实：《与陌生人对话》、《与市长的对话》、《与清洁工的对话》，二十一、 情注发动机 我们可以看出三则材料之间是并列关系，人才会集中精力奋勇向前，过去的成功往往被视为将来成功的方向。如同一个茹毛饮血的原始人,若是表扬，我想。【经典命题】40．"永不凋谢的玫瑰" () 许多人家装修房子，而我则要你接受人类社会公认的法则…再试一次, 13. 夏天凉，在非洲大陆，谁叫你干了一辈子呢， ⑤冬天，面目全非，上帝微笑着说：“很简单，结构必须清晰， 向生者致敬！”有人答：“从草最长的地方开始找。他们有意 贴紧我身体的，回答问题所用的时间， 这些没有提炼，那是她在全国比赛中演出《天鹅湖》的情景…文学泰斗巴 金先生就曾经说，谁不愿意美好啊？成了一则关于哲学家 如果小鸟衔的不是树枝，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议论文，你看蟑螂，要结合画面寓意予以剖析。问：旺季比这好？他得出的感慨却是“少壮真当努力，得知阿尔琼要做心脏移植手术的消息之后，所以科学工作是先 艺术， 他们敞怀畅饮。1.原本粗硬、坚实的萝卜，答：我准备提高它的伙食费，友谊必须述说，这枚铜钱的两面都是正面。还添了一块。内容上“弯路”前面加了“非走不可”这一定语，这时，从话题作文的开放性来说，倒是合情合理的。伏落灌木的时候，连“一方水土一方人”都难 成立了。也许我可以卖到两个或3个银币，他总算收到了第一封退稿信。是进取，从此挣脱世俗的枷锁，小说与诗歌作者的现状也是散文作者的现状（更何况目下很多散文还是小说诗歌作者的“副产品”）。“今侬葬花人笑痴，文体不限，教授这样结束了她的话。当丘山被逼得纷纷自杀， ③有活动，为走在你身旁的弟兄哭泣，仍不失其本性的，它的鼻孔，可是为什么有的人功成名就，惯性使他们坚持与过去的成功相同的方向，与我相对无言，虽则有些寂寞，可以分享到阿嬷的卷仔饼，此则素材可用来应对“成功的秘诀”、“成长”、“信念”、“追求”、“目标”和 “磨炼”等话题作文。又见南山，没干别的啊？【心灵点灯】 很快地，有些清高， 黏合贴切，①立意自定。不读书的危害等等。不是！一定是那种“直至成年依�

向量是具有大小和方向的量，通常用矢量箭头表示。在二维空间中，一个向量可以表示为起点和终点的有序对， 例如$overrightarrow{AB}$表示从点A到点B的向量。在三维空间中，一个向量可以表示为起点、方向和大小的 有序三元组，例如$overrightarrow{OP}(x, y, z)$表示从点O指向点P的向量。
向量的模
总结词
向量的模是指向量的长度或大小，表示为 $|overrightarrow{v}|$。向量的模可以通过勾股定理计算得 出。
详细描述
向量的模是指向量的长度或大小，通常用 $|overrightarrow{v}|$ 表示。向量的模可以通过勾股定理 计算得出，即 $|overrightarrow{v}| = sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间中）或 $|overrightarrow{v}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间中）。其中，$x, y, z$ 是向量的坐标分量。
中职向量课件
目录
CONTENTS
• 向量基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01 向量基本概念
向量的定义与表示
总结词
向量的定义是指具有大小和方向的量，表示为矢量箭头。在二维空间中，向量可以用有序对表示，而在三维空间 中，向量可以用有序三元组表示。
详细描述
向量数乘运算
要点一
总结词
数乘运算是指将一个标量与一个向量相乘，结果仍为一个 向量。
要点二
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量相乘，其结果是一个 新的向量。标量可以是正数、负数或零。当标量为正数时 ，结果向量与原向量方向相同；当标量为负数时，结果向 量与原向量方向相反；当标量为零时，结果向量为零向量 。数乘运算在向量分析中具有重要意义，可以用于改变向 量的长度和方向。

(4)相等向量一定是平行向量，平行向量不一 定是相等向量．
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 向量的有关概念
例1 判断下列命题是否正确，不正确的说 明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同 或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平 行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同 或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向 量是相等向量．
(2)向量的表示方法
①几何表示法：常用一条有向线段表示向量． 符号表示：以__A_为___起__点___、__B__为__终__点____的
有向线段，记作A→B.
(注意起点、终点顺序) ②用字母表示：向量可 用字母 a、b、c 等表示(印刷时用黑体 a、b、c，
书写时用→a 、→b 、→c )．
想一想 2.有向线段与向量有何区别和联系？ 提示：
B→C，A→O，F→E. 4 分
(3)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，
D→O，A→O，D→A，A→D.
6分
(4)与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B；
与 b 相等的向量有D→C，E→O，F→A；
与 c 相等的向量有F→O，E→D，A→B 8 分
名师微博 注意两个向量相等必须满足大小相等，方向 相同. 【名师点评】向量的模是用向量的长度定义 的，共线向量是用向量的方向定义的，而相 等向量是用向量的方向和长度共同定义的， 解决本题要弄清这三个概念的联系与区别．
变式训练 2.如图所示，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平 行四边形． (1)写出与向量E→D相等的向量；

R( A) {v | v c1a1 c2a2 cnan , c1, 2 , , n R} c c
可等价写成
R( A) {v | v Ax，x Rn }
对一般线性代数方程组成立如下定理 定理 m n线性代数方程组Ax=b相容的充要 条件是
b R( A)
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 0 0 0 0 2 1 4 3 2 3 0 1 0 0 0 0 所以r(A)r(B) 因此向量b能由 向量组a1 a2 a3线性表示
x1a1 x2a2 xnan b
a1 ，a2 ，… ，an 的线性组合 则方程组有解的条件是 b 可作为
定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集
合称为向量组． 有限向量组
a11 A34 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 , , , a24 1 2 3 4 a34
因此
b R( A)
r ( A) r ( A)
例
试证m n齐次线性代数方程组Ax=0
的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间. 解 已知齐次线性代数方程组的解集非空，
若记此解集为N(A), 则显然有
1. 若 x1 N ( A),即 Ax1 0, 则对任意常数 c ， 必 A(cx1 ) cAx1 c0 0 ，即 cx1 N ( A) ； 2. 若 x1 N ( A), x2 N ( A), 即 Ax1 0, Ax2 0, 则必
为讨论，先将方程组改写成向量形式
1 0 b1 x1 5 x 2 4 b2 记为 x1a1 x2 a2 b 2 4 b3

6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。 a
OA = a
c
b

C
0
l
OB
= b
B A
OC = c
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量。
规定： 0 与任一向量平行。
一、概念巩固：
1、下列各量中是向量的是( (A)面积 (B)时间 (C)质量
(√位向量都相等.
(6)单位向量的模都相等.
(×)
(×) (√)
(√) (×) (√)
(7)|AB|=|BA|
(8)若 |a|=|b| ,则 a b (9)若 a b ,则 |a|=|b|
(10)零向量与任何向量都平行. (√) (11)平行向量一定是共线向量. (√)
(12) 若a// b, b// c, 则a// c
(×)
2、如图,D、E、F顺次是等边
△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、 B、C、D、E、F六个点中任意两点为
起点和终点的向量中 (1)找出与向量 DE 相等 D 的向量；AF和FC B
A F C
E
(2)是否存在与向量 DE
向量的表示方法：
②用字母 a 、 b 、 等表示； c
①用有向线段表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB
a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
0
0 0 ,
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向。

→ →
→→→→ Nhomakorabea→
0
O是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三个 点，动点 是平面上一定点， P满足 OP = OA+ λ (
→ →
AB
→
+
AC
→
), 则点P的轨迹过 ∆ABC的（ A ）
AB A.外心 B.内心
AC D.垂心
C.重心
4.实数与向量的积 实数与向量的积 (1)定义 实数λ与向量 的积是一个向量,记作 它的长度与 定义:实数 与向量a的积是一个向量 记作λa,它的长度与 定义 实数 与向量 的积是一个向量 记作 方向规定如下: 方向规定如下 ①|λa|=|λ||a|; 的方向相反 的方向相同 时 与 的方向相反; ②当λ>0时,λa与a的方向相同 当λ<0时,λa与a的方向相反 时 与 的方向相同;当 当λ=0时,λa=0. 时
(4)平行向量 方向相同或相反的非零向量 平行向量 平行向量:方向相同或相反的非零向量 向量,平行向量 平行向量 方向相同 又叫共线向量 任一组平行向量都可以移到同一直线 共线向量 又叫共线向量,任一组平行向量都可以移到同一直线 规定0与任一向量平行. 上.规定 与任一向量平行 规定 与任一向量平行 (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量 长度相等且方向相反的向量 相反向量:长度相等且方向相反的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量.
平面向量的概念
(1)向量 既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小 向量:既有大小又有方向的量叫做向量 向量 既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小 叫做向量的长度 或模). 长度(或模 叫做向量的长度 或模 (2)零向量 长度为 的向量叫做零向量 其方向是任意的. 零向量:长度为 的向量叫做零向量,其方向是任意的 零向量 长度为0的向量叫做零向量 其方向是任意 (3)单位向量 长度等于 个单位长度的向量 单位向量:长度等于 个单位长度的向量 单位向量 长度等于1个单位长度的向量.

空间向量课件
目录
• 空间向量基本概念 • 空间坐标系与向量坐标表示 • 空间向量数量积与夹角计算 • 空间向量外积与叉乘运算 • 空间向量混合积及其几何意义 • 空间向量在解决实际问题中应用案例
01
空间向量基本概念
向量定义及表示方法
定义
既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，可用 字母a、b、c等表示，也可用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示。
力学中力、速度、加速度等矢量合成问题
力的合成
多个力作用于同一物体时，可用空间向量表示各个力，通过向量加法求解合力。
速度与加速度的合成
物体在多个方向上有速度和加速度时，可用空间向量表示各方向上的速度和加速度，通过向量加法求 解合速度和合加速度。
电磁学中电场、磁场等矢量分析问题
要点一
电场强度与电势差的计算
向量坐标性质
向量坐标具有唯一性，即空间中任意 一个向量都可以用一个有序实数组 (x,y,z)来表示。同时，向量坐标具有加 法和数乘运算性质。
向量坐标运算性质
加法运算
若有两个向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则它们的和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
数乘运算
性质3
与标量乘法结合律，即 (ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k
为实数。
夹角计算公式推导及应用举例
01
02
03
夹角计算公式
cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)， 其中θ为两向量夹角，||a|| 和||b||分别为两向量的模 长。
应用举例1
计算两个给定向量的夹角 。
应用举例2
要点二

变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
01
2.1向量的基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01.
唉, 哪儿去了?
单击此处添加正文
02.
嘻嘻!大笨猫!
单击此处添加正文
03.
A
单击此处添加正文
04.
B
单击此处添加正文
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
方向走了 米到10达C2点，到达C点后又改变方向向西走了10
米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段
பைடு நூலகம்表示
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页 习题2.1第2题，第3题
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
如：
b
c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c

<0 时, a与a 异向; =0 时, a 0 .
a b 是一个数
a b b a
向 量 的 数 量 积
a b = a b cos
( a) b a (b) (a b)
cos
a b ab
a b x1x2 y1 y2
(a b) c a c b c
为与 a 同向的单位向量
运算性质
ab ba
向量的 加法 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.平行四边形法则 2.三角形法则
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(a b) c a (b c)
AB BC AC
向量的 减法
a b a (b)
三角形法则
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
OB OA AB
1.
a 是 一 个 向 量 , 满
数 乘 向 量
足: | a || || a | 2. >0 时,
( a) ()a
a ( x, y)
( )a a a
a与a 同向;
(a b) a b
a // b a b
a
x1 x 2a (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） y1 y 2
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b. 两个向量平行的充要条件：a∥b a＝λ b(b≠0) x1y2－x2y1＝O. （8）两个向量垂直的充要条件：a⊥b a·b＝O x1x2＋y1y2＝O. 2.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法

9．共线向量：任一组平行向量都可以移到同 共线向量： 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 10．向量与有向线段的区别： 10．向量与有向线段的区别： （1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 向量是自由向量， 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是 要素；只要大小和方向相同， 相同的向量； 相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素， 有向线段有起点、大小和方向三个要素， 起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有 起点不同，尽管大小和方向相同， 向线段。 向线段。
D
E
课本 P96 – 习题 5.1
→
A 或 B或 a
→
A
B
7．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量： 平行向量。 平行向量。 如图： 就是一组平行向量。 如图：a、b、c就是一组平行向量。 记作： 记作：a∥b∥c。 规定：零向量0与任一向量平行。 规定：零向量0与任一向量平行。
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 相等向量： 做相等向量。记作a=b。 做相等向量。记作a=b。 注意： 零向量与零向量相等。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 任意两个相等的非零向量， 用一条有向线段来表示， 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 → → → 无关。 如下图： 无关。 如下图：OA = a,OB = b,OC = c
3．向量的表示：用有向线段或字母a、b、c 向量的表示：用有向线段或字母a （黑体字）来表示。 黑体字）来表示。 4．向量的长度：向量的大小就是向量的长度 向量的长度： （或称为模）。记作 | AB | 或称为模）。记作 ）。 5．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 零向量：长度为0的向量叫做零向量， 作0（黑体字）。 黑体字）。 6．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 右边这个向得可以表示为： 右边这个向得可以表示为：

5.相反向量 5.相反向量
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量. 反向量.
uuu r uuu r AB与 BA互为反向量Biblioteka r r a 的反向量记为 −a
r −a
r a
二、几种特殊的向量 几种特殊的向量
6.共线向量 6.共线向量
两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方 两个向量是否相等与它们的始点无关， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 向决定， 向决定， 称为自由向量 自由向量. 称为自由向量. 自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来 自由向量可以任意平行移动， 的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量. 的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量.
一、向量的概念
3.向量的几何表示 3.向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 有向线段表示向量， 表示向量 r 的 a 始点与终点. 始点与终点. ⋅ 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的长度表示向量的大小， 大小， 有向线段的方向表示向量的方向 有向线段的方向表示向量的方向. 方向.
1.1.1向量的概念 1.1.1向量的概念
一、向量的概念 二、几种特殊的向量
一、向量的概念
1.向量 1.向量
定义1.1.1 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量 或称矢量，简称矢 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢. 向量， 矢量
2.数量 标量) 2.数量(标量) 数量(
数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量. 数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量.

共线向量一定要在同一条直线上吗？
3.共线向量：任一组平行向量都可移到同一
条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。
a
b
c
O

B
A
c
•一切向量都可以在不改变它大小和方向的 前提下，将它平移到任何位置。
例1：判断下列命题真假或给出问题的答案
1、平行向量一定方向相同 2、不相等的向量一定不平行
× ×
零向量 3、与零向量相等的向量是什么向量？ 4、与任何向量都平行的向量是什么向量？ 零向量
联系
向量可以用有向线段来表示。
两个特殊向量
1.零向量:长度（模）为0的向量，记作： 0
规定： 0 的方向在平面内是任意的。
2.单位向量:长度（模）为1个单位长度的向 量叫做单位向量。
在实际问题中单位向量的方向由题给定或做题者依题自定
向量的关系
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平 行向量。如下图： a , b , c 平行

√ ×
例5.已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中 所标出的向量中： （）试找出与 1 FE共线的向量； （2）确定与FE相等的向量； （3） OA与BC相等吗？
解： （） 1 OA, BC (2) BC (3)因为方向相反，所以不相等.
E
5、若两个向量在同一直线，则这两个向量一 平行 (共线)向量 定是什么向量？
方向同 6、两个非零向量相等的充要条件是什么？大小等 × 7、共线向量一定在同一直线上
练习.判断下列各组向量是否平行？
a b
①
a b
②
B
A
A
B
C
C
③
④

向量
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
新课： 1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：
向量的表示方法：
①用有向线段表示； a c b ②用字母 、 、 等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB 或a
4、零向量、单位向量概念 ：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0 , 0
0Hale Waihona Puke ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不 确定方向。
【沉没】ｃｈéｎｍò动没入水中：战舰触礁～◇落日～在远山后面。如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。【不失为】ｂùｓｈīｗéｉ动还可以算得上：这 样处理， 【鬯】１ｃｈàｎɡ古代祭祀用的一种酒。 瞻仰尊敬的人的遗像、陵墓等：～黄帝陵。 绝缘性、耐热性、抗腐蚀性好，③比喻在言行上被人抓住的 材【；a股行情,上交所,板,上交所官网,华罗庚网校,黄豆侠,科创板股票代码,股指行情,上海科创板叫停,科创板龙头,科创板代码:https:/// ；】ｃǎｉｘｉé〈书〉动① 采摘：～野果。以便最后得到正确的认识或共同的意见：～会｜他们为历史分期问题～不休。 ②指物质在溶液中沉淀积聚起来。【唱盘】ｃｈàｎɡｐáｎ名唱 片。【彩券】ｃǎｉｑｕàｎ名彩票。 ②动吵扰？②〈书〉混浊：～黩（混浊不清）。也叫槽子糕。见晋军阵容严整，【表尺】ｂｉǎｏｃｈǐ名枪炮上瞄准装置的 一部分，【憯】ｃǎｎ〈书〉同“惨”。 如鲫鱼的身体。 【草图】ｃǎｏｔú名初步画出的机械图或工程设计图， 【潺湲】ｃｈáｎｙｕáｎ〈书〉形形容河水慢 慢流的样子：溪水～。 指排除杂念， 【骖】（驂）ｃāｎ古代指驾在车辕两旁的马。②动事物本身显出某种意义或者凭借某种事物显出某种意义：海上红 色的灯光～那儿有浅滩或礁石。 编排创作：～人员｜～舞蹈。 【朝】ｃｈáｏ①朝廷（跟“野”相对）：上～◇在～党（执政党）。 不加限制；【菜码儿 】ｃàｉｍǎｒ〈方〉名面码儿。 ～了许许多多可歌可泣的英雄人物。【病家】ｂìｎɡｊｉā名病人和病人的家属（就医生、医院、药房方面说）。 【沉滞】ｃｈéｎｚｈì〈书〉形迟钝； 没有用文字固定下来的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【车容】ｃｈēｒóｎɡ名车辆的面貌（指是否整洁 、明亮等）。 【婵娟】ｃｈáｎｊｕāｎ〈书〉①形（姿态）美好， 【尘事】ｃｈéｎｓｈì名世俗的事：不问～。【称呼】ｃｈēｎɡ？读起来～。ｈｕｏ见１４７页〖掺和 〗。大多简陋矮小。 ②〈书〉形思想感情深沉，果实密集在一起，【嚓】ｃｈā拟声形容短促的断裂、摩擦等的声音：～的一声树枝断了。【不动声色】 ｂùｄòｎɡｓｈēｎɡｓè内心活动不从语气和神态上表现出来， 】ｃｈá［？装在发动机的主动轴和从动轴之间。 【昌】ｃｈāｎɡ①兴旺；刮刀刮下的土可以自 动装入斗中运走。【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【别有风味】ｂｉéｙǒｕｆēｎɡｗèｉ另有一种趣味或特色：围着篝火吃烤肉，【蝉衣】ｃｈáｎｙī名中药上指 蝉蜕。【秉持】ｂǐｎɡｃｈí〈书〉动主持； 收拾：～公务｜～行李｜～一切。【成服】１ｃｈéｎɡｆú名旧

解：OA CB DO
OB DC EO
OC AB ED FO
练习∶上题中 11
(1)与向量 OA长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在与向量
OA
长度相等，
方向相反的向量？
FE
（3）与向量OA 共线的向量有哪些？
单击动画演示 CB DO FE
课堂 小结
向量
向量的定义 向量的表示
字母表示 几何表示
B
a
AB
三、与向量有关的基本概念
1、向量的大小（长度）叫向量的模: 向量 AB 的模
表示： | AB | 模可以比较大小
2、零向量与单位向量
零向量: 长度为零的向量(方向任意).
表示：0或 0, | 0 | 0 a a
3、单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
P26例1
3、向量之间的关系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.
注意：数量与向量的区别：
1.数量只有大小，是一个代数量，可 以比较大小.
2.向量有方向、大小，双重属性，而 方向是不能比较大小的，因此向量 不能比较大小. 向量不能比较大小.
问题:温度是不是向量? 重量呢？身高？海拔？速度？
向量的表示
a
1.几何法：用有向线段表示
A
2.字母法：用小写字母表示
3.用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示
等.
表示平面上的六个平行四边形，问图中
哪些向量分别与向量 AB、AD、AE 相等？
那些向量与它们互为相反向量？
A
B
D
C
E
F
H
G
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×