北交大概率论第1章总复习
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北交《概率论与数理统计》复习题一一、 填空题1. 题在一次读书活动中,某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本,则选中的书都是科技书的概率为______ 1/15_____. 考核知识:古典概型。
2. 设随机事件A 与B 相互独立,且5.0)(=A P ,3.0)(=B A P ,则=)(B P ___0.4________.考核知识点:事件的独立性。
3. 设A ,B 为随机事件,5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)|(=B A P ,则=)|(A B P __0.64_____.考核知识点:条件概率。
4. 设袋中有2个黑球、3个白球,有放回地连续取2次球,每次取一个,则至少取到一个黑球的概率是____16/25_______.5.考核知识点:古典概型。
6. 设随机变量X 的分布律为:则=≥}1{X P ___0.7________. 考核知识点:离散型随机变量。
7. 设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布,其中20,20:≤≤≤≤y x D .记),(Y X 的概率密度为),(y x f ,则=)1,1(f ____1/4_______. 考核知识点:概率密度函数。
8. 设),(Y X 的分布律为X Y0 1 2 0 0.3 0.1 0.2 10.10.3则==}{Y X P ____0.4_______. 考核知识点:二维离散型随机变量。
9. 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>--=--其他,00,0),1)(1(),(y x e e y x F yx ,则=≤≤}1,1{Y X P ___________.考核知识点:二维连续型随机变量。
10. 设总体X ~)1,(μN ,21,x x 为来自总体X 的一个样本,估计量2112121ˆx x +=μ,2123231ˆx x +=μ,则方差较小的估计量是___________. 考核知识点:估计量的有效性。
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率考点1 随机事件基本概念(★三级考点,选择、填空)1.样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。
2.样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。
3.随机事件:样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A 、B 、C 。
4.任何事件均可表示为样本空间的某个子集。
5.基本事件:一个随机事件只含有一个试验结果。
6.事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A 中的元素。
7.两个特殊事件:1)必然事件:样本空间包含了所有的样本点,且是自身的一个子集,在每次试验中总是发生。
2)不可能事件:不包含任何的样本点,也是样本空间的一个子集,在每次试验中总不发生。
考点2 事件的关系与运算(★三级考点,选择、填空)1.包含关系:“事件A 发生必有事件B 发生”记为A ⊂B ,称A 包含于B 。
A =B ⇔A ⊂B 且B ⊂A.2.和事件:“事件A 与事件B 至少有一个发生”,记作A ⋃B3.积事件:事件A 与事件B 同时发生,记作A ⋂B =ABA 和B 的公共部分4.互斥的事件:即事件A 与事件B 不可能同时发生。
AB =φ5.差事件:A -B 称为A 与B 的差事件,表示事件A 发生而事件B 不发生6.互逆的事件:A ⋃B =Ω,且AB =φ。
B A B A 易见,称为称为A 的对立事A 记作B =-=7.事件的运算交换律:A ⋃B =B ⋃A ,AB =BA结合律:(A ⋃B)⋃C =A ⋃(B ⋃C),(AB)C =A(BC)3、分配律:(A ⋃B)C =(AC)⋃(BC),(AB)⋃C =(A ⋃C)(B ⋃C)4、对偶律:考点3 频率(★三级考点,选择、填空)1.在相同条件下,事件A 在n 次重复试验中发生m 次,则称比值m/n 称为事件A 在n 次试验中发生的频率,记为fn(A)。
考点4 概率的定义与性质(★★二级考点,选择、填空)1.若对随机试验E 所对应的样本空间Ω中的每一事件A ,定义一个实数P(A)与之对应,集合函数P(A)满足条件:(1)非负性:P(A) ≥0;(2)规范性:P(Ω)=1;(3)可列可加性:若事件A 1,A 2,…,两两互斥,即A i A j =φ,(i ≠j),i,j =1,2,…,有P(A 1⋃A 2⋃…)=P(A 1)+P(A 2)+….则称P(A)为事件A 的概率。
北交《概率论与数理统计》复习题一北交《概率论与数理统计》复习题一一、填空题1.已知A 、B 为两事件,( ) 0.6 P A ,( ) 0.1 P B 。
当A 、B 为相互独立事件时,( ) P AB ,( ) P A B。
考核知识点:独立事件2.设1 2, ,nX X X 是取自总体X 的一个样本,则样本均值X。
考核知识点:样本均值3.随机变量X 、Y 相互独立,~ (1,4) X N ,~ (10,0.2) YB ,则( 2 1 ) E X,( ) D X Y。
考核知识点:期望和方差的性质4.设, , A B C 为三个事件,则, , A B C 三事件恰有一个发生可表示为。
考核知识点:概率的性质5. 连续型随机变量X 的概率密度为2 1,0 1( )0 ,其它kx xf x,又知3( )4 E X ,k。
考核知识点:连续型随机变量的概率密度6. 设随机变量X 的分布律为 , 0,1,2,!kP X k a kk,0 为常数,试确定a =。
考核知识点:随机变量的分布率7.设0 ( )x 是标准正态分布的分布函数,已经查表得到0 (1.645)0.95 ,0 (1.96)0.975 。
则0 ( 1.645)。
考核知识点:标准正态分布的性质二、计算题8. 50 个铆钉随机地取来用在10 个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部件用 3 只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少?考核知识点:古典概率9. 设随机变量X 的分布函数为. , 1, 1 , ln, 1 , 0) (e xe x __ F X ,求(1)P (X2), P {0X≤3}, P (2X25);(2)求概率密度 f X (x). 考核知识点:分布函数和概率密度函数10. 在一箱子里装有12 只开关,其中2 只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。
考虑放回抽样。
我们定义随机变量X,Y 如下:若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品, 1, , 0X若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品, 1, , 0Y写出X 和Y 的联合分布律。
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E 表示。
随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。
不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。
必然事件:在试验中必然出现的事情,记为Ω。
样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω.样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集,复合事件—多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)包含关系:若事件 A 发生必然导致事件B 发生,则称B 包含A ,记为A B ⊇或B A ⊆。
相等关系:若A B ⊇且B A ⊆,则称事件A 与事件B 相等,记为A =B 。
事件的和:“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A 与事件B 的和事件。
记为 A ∪B 。
事件的积:称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件,记为A∩ B 或AB 。
事件的差:称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A -B 。
用交并补可以表示为B A B A =-。
互斥事件:如果A ,B 两事件不能同时发生,即AB =Φ,则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时B A ⋃可记为A +B 。
对立事件:称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件(逆事件),记为A 。
对立事件的性质:Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。
事件运算律:设A ,B ,C 为事件,则有 (1)交换律:A ∪B=B ∪A ,AB=BA(2)结合律:A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC(3)分配律:A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC (4)对偶律(摩根律):B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂第二节 事件的概率 概率的公理化体系: (1)非负性:P(A)≥0; (2)规范性:P(Ω)=1(3)可数可加性: ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P概率的性质: (1)P(Φ)=0(2)有限可加性:n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃当AB=Φ时P(A ∪B)=P(A)+P(B) (3))(1)(A P A P -=(4)P(A -B)=P(A)-P(AB)(5)P (A ∪B )=P(A)+P(B)-P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率:设事件A 是Ω的某个区域,它的面积为 μ(A),则向区域Ω上随机投掷一点,该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段,或空间中某个区域表示,则事件A 的概率仍可用上式确定,只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率:在事件B 发生的条件下,事件A 发生的概率称为条件概率,记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式:设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式:设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则∑==)|()()|()()()()|(jj i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P第五节 事件的独立性两个事件的相互独立:若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B),则称A 、B 独立,或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立:对于三个事件A 、B 、C ,若P(AB)= P(A) P(B),P(AC)= P(A)P(C),P(BC)= P(B) P(C),P(ABC)= P(A) P(B)P(C),则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立:对于三个事件A 、B 、C ,若P(AB)= P(A) P(B),P(AC)= P(A)P(C),P(BC)= P(B) P(C),则称A 、B 、C 两两独立独立的性质:若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 均相互独立总结:1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。
概率论与数理统计数学第一章复习第一章概率论的基本概念一、随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验,通常用E或E1,E2…来表示,这三个特点是:1.试验可在相同的条件下重复进行;2.每次试验的可能结果不止一个,但所有的结果是明确可知的;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记做S。
样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点。
三、随机事件1.试验E的样本空间S的子集,即试验满足某些条件的可能结果称为E的随机事件。
在每次试验中,当且仅当事件中的一个样本点出现时,称这个事件发生。
2.由一个样本点组成的单点集称为基本事件,由多于一个样本点组成的集合称复合事件。
3.E和空集?都是E的子集,它们分别称为必然事件和不可能事件。
四、事件间的关系1.若BA?,则称事件B包含事件A,这指的是事件A发生必导致事件B 发生。
若BB?,即A=B,则称事件A与事件B相等。
A?且A2.事件BA ={x | x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。
当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件BA 发生。
3.事件BA ={x | x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。
当且仅当A,B同时发生时,事件BA 也记作AB。
A 发生。
B4.事件A—B=={x | x∈A且x?B}称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生,B不发生时事件A—B发生。
5.若BA =?,则称事件A与事件B是互不相容的,或互斥的。
这指的是事件A与事件B不能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
6.若BA =?,则称事件A与事件B互为逆事件。
又称事件A与事件B互为A =S且B对立事件。
这指的是对每次试验而言,事件A、B中必有一个发生,且仅有一个发生。
A 的对立事件记作A,A=S-A。
五、事件的运算1.交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A2.结合律:(A∪B)∪C =A∪(B∪C),(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=ABC3.分配律:A(B∪C)=AB∪AC, A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)4.德摩根律:A B=A B, AB=A∪B5.吸收律:A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A6.双重否定律:A=A7.排中律:A∪A=Ω,A∩A=?8.差积转换律:A-B=A B六、频率1.在相同的条件下进行的n次试验中,事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数,比值nA /n称为事件A 发生的频率,并记成fn(A)。
第一章随机事件及其概率一、内容提要 (一).随机事件的概率1.随机试验:(i )在相同的条件下可以重复进行;(ii )试验有多种可能结果(iii )所有可能结果可以明确,但试验前不能事先预知哪个结果出现。
记为E2.随机事件:与随机试验结果有关的命题, 简称事件.记为A,B,C……不可能事件和必然事件也视为为随机事件分别记为 φ和Ω.3.基本事件:按照试验的目的和要求所确定的随机试验E 的一个直接可能结果ω称为基本事件或样本点.4.样本空间(基本事件集):试验E 的所有样本点ω构成的集合称为E 的样本空间或基本事件集,记为Ω.即 Ω.={ω}(二).随机事件的关系和运算1.事件的包含: 若事件A 发生必然导致B 发生.则称A 包含于B 记作 A ⊂B.2.事件的相等:对两个事件A,B.若A ⊂B.且B ⊂A.则称A 与B 相等.记作A=B3.事件的并:“事件A 与B 中至少有一个发生”的事件称为A 与B 的并(或和),记作A B 。
“n 个事件中至少有一个发生”的事件称为这个事件的并(或和).记作12....n A A A 简记为1n i i A =4.事件的差: “事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差记作A-B5.事件的交(积): “事件A 与B 都发生” 的事件称为A 与B 的交(积).记作A Bn 个事件12,...n AA A 都发生”的事件称为这个事件的交(或积).记作12...n A A A .6. 事件的互斥(互不相容):事件A 与事件B 不能同时发生,则称互斥.即AB φ=7. 事件的互逆(对立): 事件A 与事件B 必有一个发生,但不能同时发生,则称A 与B 互逆,记作A B =或B A = 即满足A B =Ω AB φ=8.完备事件组:若事件12,,,n A A A 必有一个发生,且12,,,n A A A 两两互不相容,即 12,n A A A =Ω ,且(, 1.2...,,)i j A A i j n i j φ==≠(三).概率的概念1.概率的古典定义:设E 为古典概型,其样本空间Ω包含n 样本点,事件A 含k 样本点,则称k/n 为 事件A 的概率,记作()/P A k n =2.概率的统计定义设在相同条件下重复进行同一试验,n 次试验中事件A 发生的次数为μ,如果随着试验次数的增大,事件A 发生的频率/n μ 仅在某个常数(01)p p << 附近有 微小变化,则称数p 是事件A 的概率, 即()P A p =.3.概率的公理化定义设A 为随机事件, ()P A 为定义在所有随机事件组成的集合上的实函数且满足下列三条公理:公理1 对任一事件A,有0()1P A ≤≤公理2 ()1P Ω= ()0P φ=公理3.对于两两互斥的可数个随机事件12,,,n A A A ..., 有1212(......)()()...()...n n P A A A P A P A P A =++++ 则()P A 称为事件A 的概率.(四).概率的性质1. ()1P Ω= ()0P φ=2. 对任意两个事件A ,B.有()()()()P A B P A P B P AB =+-若AB φ=,则()()()P A B P A P B =+3.对任意事件A,有()1(P A P A =-)4.对任意个事件12,,...,n A A A .有12(...)n P A A A 11()()n i i j i i j n P A P A A =≤<≤=-∑∑+1()i j k i j k n P A A A ≤<<≤∑-...+12(1)(...)n n P A A A -(-1)若i j A A φ= (,1,2...,)i j n i j =≠ 则121(...)()n n i i P A A A P A ==∑5.若B A ⊂,则()()()P A B P A P B -=-,且()()P A P B ≥(五).条件概率、 乘法公式1.条件概率 设A ,B 为随机试验E 的两个事件。
概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点:
1. 随机试验:指具有以下三个特征的试验:可以进行多次独立重复;每次试验只有两个可能结果中的一个发生;每次试验发生的概率相同。
2. 样本空间:随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间,通常用S表示。
3. 事件:样本空间的任意子集称为事件,通常用A、B等大写字母表示。
4. 概率:事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S),其中n(A)表示事件A中元素的个数,n(S)表示样本空间中元素的个数。
5. 概率的性质:对于任意事件A和B,有以下性质:
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容(即A∩B=),则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率:事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率,记为P(B|A),计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
7. 乘法公式:对于任意事件A1,A2,…,An,有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。
8. 全概率公式和贝叶斯公式:全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式,用于计算复杂事件的概率。
其中全概率公式为:
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai),贝叶斯公式为:P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象:1.确定性现象:在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象(偶然现象):在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件:1.实验可以在相同条件写可以重复进行;(可重复性)2.事先的所有可能结果是事先明确可知的;(可观察性)3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
(不确定性)1.1.2样本空间1.样本点:每次随机试验E 的每一个可能的结果,称为随机试验的一个样本点,用w 表示。
2.样本空间:随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件:一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件:试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件:每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件:每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件,用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”,则称事件B 包含事件A ,也称事件A 是B 的子事件,记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和(并⋃)“事件A 与B 中至少有一个事件发生”,这样的事件称为事件A 与B 的和事件,记作B A 。
3.事件的积(交⋂)“事件A 与B 同时发生”,这样的事件称作事件A 与B 的积(或交)事件,记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”,这样的事件称为事件A 与B 的差事件,记作A-B 。
5.事件互不相容(互斥事件)“事件A 与事件B 不能同时发生”,也就是说,AB 是一个不可能事件,即=AB 空集,即此时称事件A 与事件B 是互不相容的(或互斥的)6.对立事件“若A 是一个事件,令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件,或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系:=A A 空集,Ω=A A 对立事件一定是互斥事件;互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计第一章总结1.随机事件在试验的结果中,可能发生也可能不发生的事件成为随机事件,通常用字母A ,B ,C 等表示。
在每次试验的结果中,如果某事件一定发生,则称为必然事件。
相反,如果某事件一定不发生,则称为不可能事件。
2.样本空间随机试验的每一个可能的结果称为样本点,所有样本点组成的集合称为样本空间。
任一随机事件A 都是样本空间的一个子集,必然事件A 就等于样本空间,不可能事件是不包含任何样本点的空集,基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
3.事件的关系及运算(1)事件的包含与相等: (2)事件的和(或并): (3)事件的积(或交): (4)事件的差: (5)互不相容事件: (6)对立事件: (7)事件满足以下运算规律:交换律,结合律,分配率,德摩根定律4.随机事件的频率与概率的定义及性质设随机事件A 在n 次试验中发生了a 次,则a/n 称为随机事件A 发生的频率。
概率的公理化定义:(1) 非负性(2) 规范性(3) 有限可加性(4) 可列可加性概率的重要性质:(1) (2)P (Φ)=0(3)若A 、B 互斥, 则P (A +B )=P (A )+P (B )(4)A ⊂ B ,则 P (B -A )=P (B )-P (A )(5)加法公式:P (A +B )=P (A )+P (B )-P(AB )5.古典概型两个特征:有限性,等可能性。
设在古典概型中,试验的基本事件的总数为N ,随机事件A 包含其中的M 个基本事件,则随机事件A 的概率为:P (A )=M/N(生日模型,抽签模型,分配模型)6. 几何概型两个特征:无限性,等可能性。
(蒙特卡罗法)7. 条件概率与乘法公式A B 或B A⊂⊃ A B A B或+ AB A B 或A B-ΦAB = A A 与()1()P A P A =-条件概率若P(B)>0,乘法公式:P (AB )=P (B )P (A |B )P (A 1A 2…An )= P (A 1) P (A 2|A 1) P (A3| A 1A 2) P (A 4| A 1A 2A 3) …P (An | A 1A 2…An -1)(波利亚罐模型)8. 全概率公式与贝叶斯公式(1) 全概率公式:(全概率公式用来求较复杂事件的概率.)(敏感性问题调查)(2) 贝叶斯公式:(贝叶斯公式用来求后验概率)9.随机事件的独立性两两独立与相互独立的关系:相互独立一定两两独立,两两独立不一定相互独立多个事件相互独立的必要条件:10.伯努利概型若在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件 且每次试验中 我们称这只有两个对立的试验结果的试验为伯努里试验。