第26届希望杯全国数学邀请赛初三第1试试题

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试试题一、选择题（每小题4分，共40分）1.若，则（）（A）-2015（B）-403（C）-1 （D）12.下面有4个判断①互为相反数的两个数的绝对值相等；②如果的绝对值等于，则一定为正数；③点M在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点右侧.若将向左移动5个单位长度，则此点对应的值为-3；④两个数相加，它们的和一定大于其中一个加数.其中，正确判断的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）43.小明带元钱去超市买文具，买铅笔用去了说带钱数的，买橡皮用去余下钱数的，然后他又用剩下的钱数的买了把尺子.这时小明还剩（）（A）元（B）元（C）元（D）元4.已知，是整数，且，则（）（A）-2（B）-1（C）0 （D）1图15.如图1，在△ ABC 中， AB=AC , D 、 E 分别在 AC 、 AB 上，且 BC=BD=DE=AE ，则∠A的度数为（）（A）18°（B）20°（C）26°（D）6.已知，，，为有理数，若，则（）（A）有最小值4（B）有最大值4（C）有最小值8（D）有最大值87.下列判断中正确的是（）（A）在同一平面内如果有两条线段不相交，那么这两条线段就平行.（B）在同一平面内的两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补.（C）等腰△ABC中，如果连接点A和边BC边的中点D，那么AD⊥BC.（D）如果等腰直角三角形的高为10，那么它的面积等于50.8.当=2时，多项式的值是118，则多项式的值为（）（A）-16（B）-7（C）20（D）93图29.如图2，在锐角△ ABC 中，高线 C D 、 B E 相交于点F，若∠ A = 55 °，则∠ BFC 的度数是（）（A）110°（B）125°（C）135°（D）145°10.Consider the sequence 1,2,4,7,11,18,29……，in which each term is the sumof the two previous terms after the first two terms. How many of thefirst 100terms of the this sequence are multiples of 5?Answer:（）（A）10（B）7（C）2（D）0（英汉小词典：sequence 数列；term 项；previous 前面的；multiples 倍数）图3二、A组填空题（每小题4分，共40分）11.已知，则 .12.如图3所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，且: 2:3，则CM的长度为 cm.13.从两个重量分别为12千克和8千克且含铜量的百分比不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起熔炼后得到的两块合金含铜的百分比相等，则所切下的合金的重量是12千克 .14.如图4所示，点O、A、B、C、D、E分别对应数轴上图4相应的坐标 . 则以 O 、 A 、 B 、 C 、 D 、 E 中任意两点为端点的所有线段的长度的和为 .15.王明在早晨六点至七点之间外出晨练，出门和回家的时候，时针与分针的夹角都是110°，则王明晨练的时间为分针.图516.长方形内一点 P 到其中三边的距离分别是3，4，5，而这个长方形的面积不大于100，且到另一边的距离 d 也是整数，则 d 最大为 .17.If ,then the value of is .图6F18.如图5，以等腰直角三角形△ ABC 的直角边为边，向外作等边△ ABD 和△A CE ，则∠ADE= .19.在1，2，……10000个正整数中，含有数字“4”的数的个数是 .20.如图6，在△ABC中，D在BC上且BD:DC= 3:2，E在AB上且AE:EB= 2:1，F在CA的延长线上且AC:AF= 4:3.若△ABC的面积为2015，则△DEF的面积为 .三、B组填空题（每小题4分，共40分）21.根据下表所给信息填空，已知甲车每月行驶400千米，乙车每月行驶350千米.（其中修理费和保养费都按月平均计价）车型50千米耗油量修理费（半年）保养费（一年）油价甲4升540元840元 6.80元/升乙5升720元960元 6.80元/升（1）甲车行驶8个月，花费元；（结果四舍五入保留整数）（2）甲车行驶8个月，乙车行驶7个月，则花费较少的是 .（填：“甲车”或“乙车”）（3）22.如图7（1），在梯形 ABCD 中， BC ∥ AD .将梯形沿中位线 EF 翻折，使上底和下底所在的直线重合，如图7（2），未重合部分（图7（2）阴影）的面积是4.将梯形沿对角线 BD 翻折，使点 C 落在梯形内部的点 CK 处，如图7(3,重合部分（△ B DK ）的面积是8.若梯形的下底 A D=8 ，则梯形的上底 BC = ,图7(3中阴影部分面积为.23.已知三位数，.若:= 3 : 4，则， .24. A、B两地相距13.5km，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，各在A、B 间往返一次，家比乙先回到出发地，两人第一次在C地相遇，第二次在D地相遇，从出发到两人第二次相遇经过的时间为3小时20分针，若C、D两地相距3km.则甲的速度是km/h，乙的速度是km/h.25.有边长都是20厘米的正方形地板砖与正六边形地板砖共25块，总计有110条边.那么其中正六边形地板砖有块.若不准切割地板砖，直接用这些地板砖来铺设正方形的地面，这可铺设的正方形最大面积为平方厘米.。

目录第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (3)第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛(第1试) (7)第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (11)第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛(第1试) (15)第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛(第2试) (19)第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (23)第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (27)第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (31)第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (35)第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (40)第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (43)参考答案 (47)第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（ ）A ．8分钟B ．7分钟C ．6分钟D ．5分钟 2．若关于x 的一元二次方程()2320a b x ax b +++=有唯一解，则这个解是（ ）A ．23-B ．32-C ．23D ．323．如图，已知////AD EF BC ，::1:2:4AD EF BC =，则梯形AEFD 与梯形EBCF 的面积之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:34．一个兵乓球队有男队员6人，女队员5人，其中男、女左撇子分别有3人和2人，若从这个球队任意抽取2人，则抽到2个左撇子的概率是（ ）A ．211 B ．511 C ．15D ．251215．已知x ，y 都是负整数，且满足66xy x=-，则y 的最小值为（ ） A ．3- B ．4- C ．5- D ．6-6．已知等腰ABC 中，,30AB AC BAC =∠=︒,AD 为BC 边上的高，P 点在AC 上，E 点在AD 上，若PE EC +的最小值为4，则ABC 的面积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．647．如图，AB 是圆O 的直径，点C 平分AB ，点D 平分AC ，DB 、CA 交于点E ，则DEEB的值（ ）A ．13B ．14 C ．1 D8．已知直线()0y kx k =<与双曲线2y x=-交于点()11A x y ，和()22B x y ，两点，则122138x y x y -的值是（ ） A ．10- B ．5- C ．5 D ．109．用一些棱长是1的小正方体堆成一个立体，下图分别是它的俯视图和主视图，则这个立体的表面积（含下底面面积）的值最小是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．4610．如图，在ABC 中，BAC ∠、BCA ∠的平分线相交于点I ，若35B ∠=，BC AI AC =+，则BAC ∠的度数为（ ）A ．60B ．70C ．80D ．90二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．如图，正六边形的边向外延长一倍，连接端点后又构成一个大的正六边形，则小正六边形与大正六边形的面积之比为 ；12．若对于p 的任意值，抛物线2231y x px p =-++都过一个定点，则这个定点的坐标是 ； 13．如图，正方形ABCD 的边长为 4，E 点在BC 上，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则EC = ；14．在锐角ABC 中，54AB AC ==，，则BC 的取值范围是 ；15．袋中装有大小相同的黑球、白球、红球各2个，规定：取出一个黑球计0分，取出一个白球计1 分，取出一个红球计2分；在抽取这些球的时候，看不到球的颜色.甲先取出3个球，不再放回袋中，然后，乙取出剩余的3个球；取出球的总积分多者获胜.则甲乙成平局的概率为 ；16．不等式21x x a -+-≥对所有实数x 都成立，则 a 的最大值是 ； 17．如图，设M 是ABC 的重心，过M 的直线分别交边AB AC 、于P Q 、 两点，且APm PB=，AQ n QC =，则11m n+= ；18．已知抛物线()20y ax bx c c =++≠与x 轴的交点坐标为()()1,0,3,0-,当25x -≤≤时，y 的最大值为12，则该抛物线的解析式为 ；19．已知平面直角坐标系中有()1,3A ，()3,1B 两点，在x y 、轴上分别找一点C D 、，使四边形的周长最小，则最小周长为 ；20．明明用计算器求代数式()a b c +的值.他依次按出“,,,,,a b c ⨯+=”，显示11；当他依次按“,,,,b c a +⨯=”，显示14 (其中,,a b c 均为正整数).这时他才明白不按括号时，计算器先做乘法再做加法.那么如果他按键正确(该加括号时加括号)时，显示结果应为 ；三、B 组填空题（每小题 8 分，共 40 分）21．已知代数式22 342x xy y x by ---+-能分解为两个关于x y 、的一次式的乘积，则b = 或 ； 22．已知,,x y z 是三个非负实数，满足3252x y z x y z ++=+-=，，若2S x y z =+-，则S 的最大值为 最小值为 ；23．已知()2f x ax bx c =++，若()01f =，并且()()12f x f x x +-=，则()1f = ，()1f -= ，a = ，b = ；24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A C 、分别在轴上，顶点B 在()14,8，点E F 、分别在OA 、 OB 、上.将AEF 沿EF 对折，使点A 落在线段BC 上的点D 处.经过抛物线()2220y ax abx ab c c =-++<顶点P 的每一条直线总平分矩形OABC 的面积.若点P 在线段DE 上，AF 的长为整数，且已知抛物线与线段EF 仅有一个交点，则点F 的坐标是 ，a 的取值范围是 ；25．某种在同一平面内进行传动的机械装置如左图，右图是它的示意图.其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以左右滑动，在Q 滑动的过程 中，连杆PQ 也随之运动，并且PQ 带动连杆OP 绕定点O 摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的O 上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 做 OH l ⊥于点H ，并测得4OH = 分米，3PQ = 分米，2OP = 分米.则点Q 在l 上 允许滑动的最大距离为 分米，点P在O 上的最大移动路线长为 分米；第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．如图1所示，一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，则它们的主视图是（ ）图1 A B C D2．完成一项工作,甲单独做需a 天,乙单独做需b 天,甲乙合作需c 天,则丙单做全部工作所需的天数是（ ）A ．abc ab ac bc -- B ．abc ab ac bc +- C ．ab ac bcabc++ D ．()ab c b a c --3．已知1,0,1x ≠-，则1111x x x x x x -+++-+的值可能是（ ） A ．比3大的数 B ．比3-小的数 C ．1,3±± D ．比3-大,并且比3小的数4．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，两条对角线交于点E .已知ABE 的面积是a ,CDE 的面积是b ，则梯形ABCD 的面积是（ ）A ．22a b +B )a b +C ．2D ．()2a b +5．已知a ,b 是实数，关于x 的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组是（ ）A ．11ax bx >⎧⎨>⎩B ．11ax bx >⎧⎨<⎩C ．11ax bx <⎧⎨>⎩D ．11ax bx <⎧⎨<⎩6．如图，AB BC ⊥，AB BC =，点D 在BC 上，以D 为直角顶点作等腰直角，则当D 从B 运动到C 的过程中，点E 的运动轨迹是（ ）A ．圆弧B ．抛物线C ．线段D ．双曲线7．已知实数1234,,,x x x x 满足条件1231234234134124x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩其中1234a a a a <<<,则1234,,,x x x x 的大小关系是（ ）A ．1234x x x x <<<B ．2314x x x x <<<C ．3214x x x x <<<D ．4321x x x x <<< 8．已知23x ≤≤，则函数()21y x =-的取值范围是（ ）A ．14y ≤≤和916y ≤≤B ．116y ≤≤C ．49y ≤≤D ．19y ≤≤ 9．如图，已知梯形ABCD 中，//AB DC A C αβ∠=∠=，，，则:AD BC 等于（ ）A ．sin :cos αβB ．sin :sin αβC ．sin :sin βαD ．cos :sin αβ10．若关于x 的二次函数221y x mx =-+的图像与端点在()1,1-和()3,4的线段只有一个交点，则m 的取值可能是（ ）A ．52B ．13-C ．12D ．13二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．若两位数除以他的数字和等于7，则这样的两位数有 个. 12．已知21x y -=,则22425x y x y ---+= ；13．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，已知2OB OA OA OC =<，，则,,a b c 满足的关系式是 ；14．如图，已知A B C 、、三点在同一个圆上，并且AB 是圆O 的直径，若点C 到AB 的距离5CD =，则圆O 的面积最小是；15．如图，在边长为1的正方形中，分别以四个顶点为圆心，作半径为1的圆弧，则图中阴影部分的面积是 ；16．如图，在梯形ABCD 中，2//76BA CD AD AB AB CD m BC m ⊥===，，，，，若以BC 为直径的圆与AD 没有公共点，则m 的取值范围是 ；17．设()f x 是关于x 的多项式，()f x 除以()21x +，余式是3；()2f x 除以()32x -，余式是4-，那么，()3f x 除以()242x x --，余式是 ；18．已知实数,a b 满足3a ab b ++=，若m a ab b =-+，则m 的取值范围是 ；19．Tom’s computer has password,which contains only numbers from 0 to 9.If the probability to guess the right password only one time is less than12012，then at least the password has digits. 20．Suppose point ()1,A m - is on the graph of the function 2y x=-，,,,B C D respectively,are point As symmetric points of x -axis,origin,y-axis.Then the area of the quadrilateral ABCD is ；三、B 组填空题（每小题8分，共40分） 21．反比例函数1k y x =和一次函数2y k x b =+的图象交于点2(3,)3M -和点()1,2N -，则1k = ，2k = ，一次函数的图象交x 轴于点 ；22．已知,a b 是实数，且2210a a -=，则a = ，b = ；23．已知,a b 是有理数，1x =是方程20x ax b -+=的一个解，则a 的值是 ，b 的值是 ； 24．如图，已知ABC 中，CD AB ⊥于点D ，26BD AD CD ==，，8cos 9ACD ∠=，BE 是AC 边上的高，则AD = ，BE = ；25．已知点A B Pa=︒，∠=，点M是上的动点，且使ABM为等腰三角形.若45、、是O上不同的三点，APB a则所有符合条件的点M有个，若满足题意的点M有2个，则a=；第二十三届 “希望杯”全国数学邀请赛（第2试）一、 选择题（每小题4分，共40分） 1．若反比例函数k y x =的图像经过点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则k 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．4- D ．42．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列代数式的值恒为正值的是（ ）A ．abcB ．acC ．bcD ．ab3．若存在12x ≤≤，使得2120ax -->，则a 的取值范围是（ ）A ．14a <-B ．34a >C ．1344a -<<D ．14a <-或34a >4．直线k y x k=总是下列哪个函数图像的对称轴？（ ）A ．y k x =B ．ky x=C ．2y kx =D ．y kx = 5．若实数,,a b c 满足2222221,2,3,a b b c c a +=+=+=则ab bc ca ++的最小值为（ ）A ．B ．C ．D 6．如图，双曲线(0)ky k x=>经过Rt AOB ∆的斜边AB 的中点C ,,AF AO ⊥,BF BO ⊥,AF BF 与双曲线分别交于点,D E ,若8,6,OA OB ==则四边形ODFE 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．407．对于实数a ，规定[]a 表示不大于a 的最大整数，如[][]2.12, 1.52,=-=-则方程[][]224x y +=的解在xOy 坐标系中的图像是（ ）A B C D 8．某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计，得到下表：若获利是销售量的二次函数，则该商店获利的最大值是（ ）A ．9万元B ．9.25万元C ．9.5万元D ．10万元9．如图，已知长方形ABCD 的边长32AB AD ==，,点E 在BC 边上，且AE EF ⊥,EF 交CD 于F ,设,BE x FC y ==，则当点E 从点B 运动到点C 时，y 关于x 的函数图像是（ ）A B C D10．若凸n 边形12n A A A 适合以下：（1）1100A ∠=,（2）18,1,2,,1,k k A A k n +∠=∠+=-则n 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．若ABC ∆是半径为1的圆的内接三角形，BC =则A ∠= ； 12．方程11112012201420162018x x x x -=-----的解是x = ； 13．如图，P 是等边ABC ∆内一点，3,4,5,AP BP PC ===则APB ∠= ；14．边长为整数，且周长为2012的等腰三角形有 个.15．已知关于x 的一元二次方程222(1)(1)0x m x m --+-=有两个不相等的实根,αβ，若224,αβ+=则m = ； 16．已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,5),(6,2),(1,2),A B C ----则ABC ∆外接圆半径的长度为 ；17．已知坐标平面xOy ，Rt ABC ∆中的直角顶点是A ，点B 与点O 重合，点C 在坐标轴上，则点C 的坐标是 ；18．已知350,x y z -+=并且230x y z ++=，则2222223323x y z xy yz zx x y z-+++-+-的值等于 ； 19．α和β是方程2210x x --=的两根，2α和2β是20x mx n ++=的两根，点(,)m n 在一次函数(3)y kx n =+-的图像上，则此函数的解析式是 .它的图像与xOy 坐标平面内的坐标轴围成的图形的面积是 ； 20．如图5，在直角梯形ABCD 中，,90,AB CD BAD ADC ∠=∠=∥两条对角线的交点为O ，O 与AD 相切，并与以AD 为直径的O '内切，已知AD 长为h ，则梯形ABCD 的面积是 ；三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．解方程44(2)820x x +--=22．如图所示，已知二次函数28y x bx =-++的图像与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ,且(4,0)B . （1）求二次函数的解析式及其图像的顶点D 的坐标；（2）若点(,0)M p 是x 轴上的一个动点，则当MC MD -取得最大值时，求p 的值；（3）如果点(,)E m n 是二次函数28y x bx =-++的图像上的一个动点，且ABE ∆是钝角三角形，求m 的取值范围.23．给你若干个边长都是1的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，从其中任选两种（个数不限），将它们拼接，要求是：（1）使某边重合；（2）两种图形中的任何一种不得有公共部分.问：（1）用选出的两种图形围成正n 边形，如：用3个正方形和3个正六边形围成一个正三角形ABC （如下图）. 请你再举两例，并作图说明.（2） 对于（1）中的正n 边形，求它的外接圆的半径.第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．若m n 、是方程210x -+=的两个根，则n mm n-的值是（ ）A ．±B ．±C ．±D ．±2．设O 的半径是5，点P 不在O 外，若点O 与P 的距离222OP m m =-+,则m 的取值范围是（ ） A ．1m <-或3m > B ．13m -≤≤ C ．1m ≤- D ．3m ≥3．如图，O 内的点P 在弦AB 上，点C 在圆O 上，PC OP ⊥，若2BP =，6AP =,则CP 的长等于（ ）A ．B ．4C ．D ．4．如图是类似“羊头的”图案，它左右对称，由正方形，等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是，那么标有数字“2”的等腰直角三角形的斜边的长是（ ）A ．4B ．C ．2D ．325．若m n 、()()m n n m +-的差的绝对值最小的整数是（ ） A ．55- B ．56- C ．16- D ．15-6．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，30QON ∠=︒，点A 在OQ 上，240AO = (米)，当火车行驶时，周围200米以内未受到噪音的影响，现有一列火车沿MN 方向意72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计)，那么，A 处受噪音影像的时间为（ ）A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒 7．InABC as shown in fig, ,,AB AC BD EC BE CF ===,if 50A ∠=︒,then the degree of DEF ∠ is （ ）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒8．如图5，2O 的半径是1，正方形ABCD 的边长是6，点2O 是正方形ABCD 的中心，12O O 垂直AD 于P 点，128O O =，若将1O 绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）A ．3次B ．5次C ．6次D ．7次9．如图，在同一个平面直角坐标系内，二次函数()120y ax bx c a =++≠和一次函数()20y dx e d =+≠的图象相交于点(),A m n 和点(),B p q ，当12y y <时，用,m p 表示x 的取值范围，则是（ ）A ．m x p <<B ．x m <C ．x p >D ．x m >10．如图，在正方形ABCD 中，点M N 、分别在边AB BC 、上运动(不与正方形的顶点重合)，2BN AM =，若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似，则这样的点M 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．已知实数,a b 不相等，并且2215,15,a a b b +=+=则2211a b+= ； 12．If 111a m=-, 2111a a =-, 3211a a =-,...,then 2013a in terms of m is；13．如图，在3×2的方格纸上，以某三个格点为顶点的三角形中，等腰三角形共有 个.14．若实数,,x y z 使20x y z ++=和3250x y z ++=成立，并且0z ≠，则2222222457x y z xy x z xz -+--+的值是 ；15, ，则此三角形的面积是 ；16．已知抛物线2(0)y ax bx c c =++≠与x 轴的交点坐标为()1,0-,()3,0,当25x -≤≤时，y 的最大值为12，则该抛物线的解析式为 ；17．如图，直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，10AB =，25BC =，15AD =，以BD 为折痕，将ABD 折起，旋转180°后，点A 到点1A ，则凹五边形1BDCEA 的面积为 ；18．如图，将边长为a 的正方形ABCD 绕其顶点C 顺时针旋转45︒，得四边形A B C D ''''，则图中阴影部分的面积是 ；19．If7，then the value range of real number a is ；20．如图，从边长为5的正方形纸片ABCD 中剪去直角EBF (点E 在边AB 上，点F 在边BC 上)，EB BF +=则五边形AEFCD 的面积的最小值是 ；三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．下图是由若干个棱长为1厘米的正方形堆成的几何体，它的三视图中，面积最大的是 平方厘米，这个几何体的体积是 立方厘米22．如图，在ABC 中，502A AB AC ∠=︒==，，BD 是边AC 上的高，利用此图可求得tan15︒= ；BC = ；23．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点，若凸n 边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其它整点，则n = ；24．如图，直角梯形中， 1.5213////90AB CD AF AD AB EF CD A ====∠=︒，，，，，，分别以AD FE ，所在的直线为x 轴、y 轴建立坐标系(,AD FE 为正方向)若抛物线过点B C 、，并且它的顶点M 在线段EF 上，则a = b = c = ；25．如图，ABC 中，90602B A AB AD ∠=︒∠=︒==，，，点M 在DC 上，以M 为圆心，以DM 为半径的半圆切边BC 于点N ，交MC 于点P ，则DM = 曲边的面积= ；附加题（每小题10分，共20分）1．若()326116f x x x ax =-+-可以被()23g x x =-整除，则a = 当()0f x >时，x 的取值范围是 ；2．有一堆黑，白围棋子，如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子，当黑子被取完或剩下1枚或2枚时，则还剩35枚白子，如果每次取出5枚黑子和7枚白子，当白子被取完或剩下不足7枚时，则还剩下35枚黑子，那么这堆棋子中，原有黑子 枚，白子 枚；第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．如图，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点M 在边DC 上，若AM 平分DMB ∠，则AMD ∠的大小是（ ）A ．75B ．60C ．45D ．302 ）A ．B ．-C ．D ．-3．一个矩形被直线分成面积为,x y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是（ ）A B C D 4．函数31x y x x-=-中，x 的取值范围是（ ） A ．0以外的一切实数 B ．0,1-以外的一切实数 C ．1±以外的一切实数 D ．0,1±以外的一切实数5 ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．代数式25x x -++（ ）A ．有最小值，没有最大值B ．有最大值，没有最小值C ．既有最小值，也有最大值D ．既没有最小值，也没有最大值7．如图，△ABC 中，AB=2，BC=4,CA=3,平行于BC 的直线l 过△ABC 的内心I ,分别交边AB AC 、于点D E 、,则ADE 的周长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．若动点)M x y （，到定点A 324⎛⎫⎪⎝⎭，的距离等于M 到直线54y =的距离，则动点)M x y （，的轨迹（ ）A ．双曲线B ．抛物线C ．双曲线的一支D ．一条直线9．不等式0a 的解是（ ） A ．0a ≠ B ．1a >或1a <- C ．1a >或10a -<< D ．0a >或1a <-10．如图，ABC 中,1,2,90AB AC ABC ==∠=,若BD EF GH 、、都垂直于AC DE FG HI 、、、都垂直于BC ,则阴影HIC 的面积与ABC 的面积的比是（ ）A ．634⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．6324⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C 634⎛⎫⎪⎝⎭D ．62334⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题4分，共40分）112=的根是 ； 12．若正n 边形的一个外角为5︒,则n = ；13．已知关于x 的方程224220x x p p --++=的一个根为p ，则p = ；14．平面直角坐标系内，一只跳蚤停在点()5,0处，它要跳到点()6,0处，它每一跳都是飞越5个长度单位，并且总是跳到整点（坐标都是整数的点），也不从原路返回，那么，当它跳到点()6,0时，至少跳了 次 15．将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值是 ；16．将相同的平行四边形和相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是 ；17．ABC 中，3,5,120AC BC ACB ==∠=,点M 平分AB ,则tan MCA ∠= ，MC = ；18．方程组3322181x y z x y z +=-⎧⎨+=-⎩的正整数解(),,x y z 是 ； 19．ABC 的三条高依次是643AD BE CF ===，，，则cos C = ，ABC 的面积是 ； 20．已知()f x 是一个多项式，若()f x 除以()1x -，余5；若()f x 除以()2x +，余2，则()f x 除以()()12x x -+，得到的余式是 ；三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）已知二次函数24y mx x m =+++的图象在直线2y =-的上方． （1）求m 的取值范围；（2）当2m =时，求此二次函数的图象在x 轴上截得的线段长．22．（本题满分15分）一家商店销售某种计算器，开始按定价（小于200元的整数元）售出，后来按定价的六折售出，当售出200台时，共得款30498元．问：打折前，按定价售出了多少台？23．（本题满分15分）设()0)f x x =>（1）将()f x(a b ，是不同的整数)的形式；（2）求()f x 的最大值及相应的x 的值.第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．以下三角形中，与图1中的三角形相似的是（ ）图1 A B C D2．某商品原价200元，先降价%a ，又提价%a ，售价是182元，则下列关系式中正确的是（ ）A ．()()2001%1%182a a -÷+=B ．()()1821%1%200a a -÷+=C ．()()2001%1%182a a +÷-=D ．()()1821%1%200a a ÷-÷+= 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是下列四个选项中的（ ）主视图 左视图 俯视图A B C D4．若关于x 的一元二次方程()2223560m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值是（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．0 5．方程20142014x x -=-的正整数解有（ ）A ．2013个B ．2014个C ．2015个D ．无穷多个6．在ABC 中，若AC =BC AB =ABC 的面积为（ ）A B ． C ．112D ．67．Given equationx ,then the number of solutions for this equation is （ ）A ．0B ．1C ．2D ．countless8．若()()6xx+=，则x =（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．12±9．如图，AB AC AD DE EC BC ====，，则ABC ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．60︒ 10．如图，设AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，且CD 与AB 相交，若CABOABm SS=-，OABn S=，则（ ）A ．2m n >B ．2m n =C ．2m n <D ．m 与2n 的大小关系无法确定. 二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．若2420y y ++=,则22224y y y =-+ ；12．如图，矩形ABCD 中，60AB =，23BD BC CD =+，则BC = ；13．InABC as shown in Fig.， 40BAC ∠=︒.Both BD and CD are the interior angle bisectors of ABC which intersect atpoint D , BE and CE are exterior angle bisectors of ABC which intersect at point E ,then BDC BEC ∠-∠= °14．有1,2,5,10g g g g 的砝码各2个，从中任取2个放在已经平衡的天平的两端，则天平依然保持平衡的概率P = ；15．如图，将等边ABC 的外接圆对折，使点A 与弧BC 的中点F 重合，折痕与边AB AC 、分别交于点D E 、.若3BC =，则ADE 的面积是 ；16．如图，Rt ABC 中，9021C AC BC ∠=︒==，，，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则AD DB= ；17．在平面直角坐标系中，抛物线C 经过点()()3,87,8A B ，，且与x 轴恰有一个交点，则抛物线C 上纵坐标为32的两个点的距离为 ；18．如图，等边AFG 被线段BC DE ，分割成周长相等的三部分：等边三角形ACB 、梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为123S S S ，，，若263S =，则12S S -= ；19．如图，四边形ABCD 中，90571ABC CDA AD DC AB BC ∠=∠=︒====，，，，则BD = ； 20．正方体骰子的每个面内都写了一个正整数.随意地投掷这样的两个骰子，若朝上的两个面内的数的和为偶数的概率最小为P ，则P = ；三、B 组填空题（每小题8分，共40分.）21．若关于x 的方程()()()()2424x x p p --=--的两个实数根12x x ，是某直角三角形的两条直角边的长，则此直角三角形的面积最大是 ，此时P = ；22．If ,x y and z satisfy the equation x y z ++,then x y z ++= ，and xyz = ；23．若ABC 的三条边长,,a b c 满足2101261b c bc a a +==-+，,则ABC 的周长等于 ，面积等于 ；24．如图，在平面直角坐标系x O y --中，反比例函数()0ky x x=>的图象交矩形OBCD 的边BC 于点E ，交CD 于F 点，且14DF CD =，若四边形OECF 的面积为24，则k = ，OEFS= ；25．在直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是正整数）与x 轴有两个不同的交点()()12,0,,0A x B x .若1x 和2x 都大于1，则abc 的最小值是 ，此时a b c ++= ；第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．If both a and c are real numbers , 2and 3are the two solutions of the equation 2100ax x c -+= for x ,then the value of a c + is （ ）A ．10B ．12C ．14D ．162．如图，在ABC 中，BC CA AB >>，D E F 、、分别是AB BC CA 、、边上的点，//,//DE AC FD CB ，若 :1:2AD DB =，则图中的相似三角形有（ ）对。

第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛初三 第1试试题一、选择题（每小题4分，共40分）1、在四个数，，，，5435432中，最大的是（ ）（A ）2 （B ）33 （C ）44 （D ）55 【答案】B【解析】2与33比较：()3622=，()26333=；44与33比较：()312444=，()412333=；55与33比较：()315555=，()515333=；2、函数xky =（k 是非零常数）图像的对称轴是（ ） (A)x kky = （B ）x k y = （C ）kx y -= （D ）kx y = 【答案】A3、无理数32+的小数部分是（ ）（A ）232-+ （B ）324-- （C ）332-+ （D ）[]232-+【答案】C【解析】 1.412≈。

1.733≈4、化简424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n ，结果是（ ）（A ）2n（B ）n （C ）n-2 （D ）n+2 【答案】B 【解析】[]n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ==-++-++=-+++--+++--++-+++=-+++-+-++-+-+-+++44)2()2()2()2(2)22(2)22(2)22(2)22(2)2)(2(2)2)(2(2)2)(2(2)2)(2(25、若关于x 的二次三项式n x mx 322++在实数范围内不能分解因式，则（m.n ）一定在（ ） （A ）第二象限 （B ）第四象限 （C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限 【答案】C【解析】实数范围内不能因式分解，即0322=++n x mx 无解，则0344<⨯-=∆n m31>∴mn 同为正数或者同为负数。

6、如图1，一次函数y=x 与二次函数c bx ax y ++=2的图像相交于点),(),,(2211y x Q y x P 两点，则函数c x b ax y +-+=)1(2的图像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】B【解析】由图可知有两个交点，则x c bx ax =++2有两个解，等价于函数c x b ax y +-+=)1(2与x 轴有两个交点，且由图可知，P ,Q 两点的横坐标为负，则c x b ax y +-+=)1(2与x 轴必在负半轴 7、若正整数c b a ,,满足1111=++cb a ，则这样的正整数组（a,b,c )共有（ ）组 （A ）1 （B ）3 （C ）9 （D ）10 【答案】D【解析】不妨设c b a c b a 11100≤≤<→>≥≥,311,31111c cc c b a c ≤<∴≤++<∴则c 可取的2,3当c=2时有两种情况： ① 1612131=++由轮换对称的结构可知，共6组② 1412141=++同理有三组c=3时，只有1313131=++这1组8、若二次函数c bx ax y ++=2（a,b,c 是常数）的图像如图2所示，对称轴是直线x=-2,则下列说法中不正确的是（ ）（A ）0>abc （B ）0<++c b a （C ）05<+c a （D ）0<+-c b a【答案】D【解析】由图可知，在1-=x 时，函数值在x 轴上半部分9、The radius of cricle O is 52,chord AB perpendicular chord CD at point E,and AE=6,ED=2,then the lengthof EB is( )（A ）5 （B ）2 （C ）52 （D ）4【答案】B【解析】设BC=x,EB=y,由相交弦定理可知，6y=2x ,则x=3y,分别由圆心向两条弦作垂线OM,ON, 则四边形MENO 为矩形，在Rt △ANO 中，222AN ON AE +=,即22)12()23(20-=+-xy 得y=210、关于x 的方程24222-=+-a ax x 有且仅有一个正根，则a 的取值范围是（ ） （A ）a<-12 （B ）24≤a （C ）a<-12或a=24 （D ）a<12【答案】A【解析】方程有且仅有一个正根，即说明不存在两相等的正跟，又开口向上，120242,0)0(-<∴<+<a a f二、A 组填空题11、2007...4321-+++-+++-x x x x x 的最小值是______.【答案】2035152【解析】表示x 到1，-2，3，-4.....2016,-2017各个点之间的距离和，最中间点为1.当x=1时，整体最小将x =1代入即可12、在直角坐标系中，若x,y 都是整数，则称（x,y ）是整点，满足不等式y x y x 4422-≤+的整点的个数是_______. 【答案】25【解析】化简式子：()()82222≤++-y x ，即以)2,2(-为圆心，22为半径的圆内有多少个整数点，画图，数点的数量即可13、方程组⎩⎨⎧==+65xy y x 的解是_______.【答案】⎩⎨⎧-=-=32y x 或者⎩⎨⎧-=-=23y x14、如图3，Rt △ABC 中，153090===∠BC AC C ，，,若以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的长度是______ 【答案】59【解析】设AC 与圆左交点为F ，延长AC 交圆于右点E ，割线定理可知AF AE AB AD ⋅=⋅有勾股定理可得,515=AB 4515515⨯=⋅AD15、在正方形ABCD 中，点M,N 分别在BC ，CD 上，BM =4，DN =6，且MAN BAM ∠=∠,则AN 的长是_______【答案】10【解析】延长AN,DC 交于点E ，由平行可知，E MAN BAM ∠=∠=∠， 则有NE=NA,设NC=x,MC=y ,可得：MC MB NC DN AN DN AD +=+=+，222,代入数据即可得AN=1016、Suppose real numbers a and b satisfy ，0≠ab and 222)3()(10b a b a +=+,then the value of abb a 223+is_________ 【答案】328 【解析】化简式子：06922=+-b ab a 即a b b a 30)3(2=∴=-代入即可17、在△ABC 中，点D 在BC 上，点F 在AB 上，点E 在AC 上，四边形FDEA 是平行四边形，且BC AC AB 23==，，则△ABC 与四边形FDEA 的周长之比是________【答案】34【解析】 四边形FDEA 周长为AC+AB 两条线段长，设BC=2a ,则△ABC 周长为8a,四边形FDEA 周长6a.18、如图2，将面积为2的Rt △ABC 沿直线BC 翻折，再向左平移得到Rt △DCE ，延长AC 交DE 于点M ，则△AME 的面积是__________．【答案】3【解析】由翻折平移可知两三角形全等. 延长CM 使得C M=FM,连接FD,EF , 可证明四边形CEFD 为矩形19、若二次函数2017)1(2---=x y 的图像上有不同的两点A (m,-4036)，B (n,-4036)，则当点C(m+n ，p)在这函数图像上时，p ＝_________. 【答案】2018-【解析】点)4036,(),4036,(--n B m A 在函数图像上，代入即可知，n m ,是方程020182=-+-x x 的两根，则2=+n m ，代入得到2018-=p20、如图5，CD AB DE DC BE CB ACB ⊥===∠,,90，于点Ｍ，ED 的延长线交AC 于点N ，若AN ＝3，NC ＝5，则BC 的长度是＿＿＿＿【答案】52【解析】由同余可知，2240CB ACCBCE NC E A =→=∴∠=∠ 21、若120163,2016201622=--=++x xy y y xy x 则y x -＝_______或_______.【答案】-1或2017【解析】两式相加得：0201720162016222=-+--+y x xy y x化简：02017)(2016)(2=----y x y x22、如图6，在直角坐标系中，边长为1的正△ABC （C 与O 重合）的边BC 在ｘ轴上，顶点A 在第一象限，现在进行以下操作：（１）把△ABC 沿X 轴向右平移一个单位，此时A 变为1A （２）将三角形沿X 轴翻折，此时1A 变为2A （３）将三角形绕点O 旋转180°，此时2A 变为3A （４）将三角形沿Y 轴翻折，此时3A 变为4A （５）将三角形绕点O 旋转180°，此时4A 变为5A按照此规律，重复以上五步，则17A 的坐标是（_______，______）【答案】)23,21(-【解析】)23,23()23,23()23,23()23,23()23,23()23,21(54321--→→-→-→→A A A A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→23,2123,2123,2123,2123,21109876A A A A A 从推导过程可知，10个一循环，则717A A =23、已知-2是三次方程03=++c bx x 的唯一实根，则b 的取值范围是______，c 的取值范围是______ 【答案】,3->b 2>c【解析】因为方程只有-2一个实根，则分解因式之后()()c bx x n mx x x ++=+++322对比系数，左边化简：2,2cn m =-=，且方程02=++n mx x ，化简得：n x n m x m x 2)2()2(23+-+-+ 没有实数根则0244<⨯-=∆c，3)4(2->→+=b b c 24、如图7，在边长为1的正方形ABCD 中，点E 在边AD 上运动（不与A ，D 重合），点A ，G 关于BＥ对称，连接EG 并延长交DC 于点F ，则∆DEF 的周长是_________，_____=∠EBF ．【答案】2，45°【解析】连接BG ，可证三角形全等即可25、设21,x x 是一元二次方程02=++q x p x 的两根，若q 为质数，p ＝17q ＋４是完全平方数，则q＝_________，______1121=+x x ． 【答案】131513-，【解析】q x x p x x =⋅-=+2121,，417+=q p 且为完全平方数，设()()22174172-+=→+==k k q q p k ⎩⎨⎧=-=+∴q k k 2172或⎩⎨⎧=-=+1722k qk 则21,1321==q q （舍）225=∴p 则原方程可化为：013152=++x x。

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三 第1试试题一、选择题（每小题4分，共40分）1.若n m ,是方程01522=+-x x 的两个根，则n m m n -的值是（ ） （A ）52± （B ）54± （C ）56± （D ）58±2.设⊙O 的半径是5，点P 不在⊙O 外，若点O 与P 的距离|OP|=222+-m m ，则m 的取值范围是（ ）（A ）1-<m 或3>m（B ）31≤≤-m （C ）1-≤m （D ）3≥m3.如图1，⊙O 内的点P 在弦AB 上，点C 在圆O 上，PC ⊥OP ，若BP=2，AP=6，则CP 的长等于（ ）（A ）32 （B ）4 （C ）22 （D ）234.图2是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形，等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是2，那么标有数字“2”的等腰直角三角形斜边的长是（ ）（A ）4 （B ）22 （C ）2 （D ）23 5.若n m ,分别是20的整数部分和小数部分，则与))((m n n m -+的差的绝对值最小的整数是（ ）（A ）-55 （B ）-56 （C ）-16 （D ）-156.如图3，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30ο，点A 在OQ 上，AO=240米，当火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列火车沿MN 方向以72千米/时的速度行驶（火车的长度忽略不计），那么，A 处受噪音影响的时间为（ ）（A ）12秒 （B ）16秒 （C ）20秒 （D ）24秒∆ABC as 7.Inshown in fig.4, AB=AC, BD=EC, BE=CF, if ∠A=50ο,then the degree of ∠DEF is ( )（A ）60ο （B ）65ο （C ）70ο （D ）75ο8.如图5，⊙O 1的半径是1，正方形ABCD 的边长是6，点O 2是正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AD 于P 点，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360ο，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）（A ）3次 （B ）5次 （C ）6次 （D ）7次9.如图6，在同一个坐标系内，二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 和一次函数)0(2≠+=d e dx y 的图象相交于点),(n m A 和点),(q p B ，当21y y <时，用p m ,表示x 的取值范围，则是（ ）（A ）p x m << （B ）m x < （C ）p x > （D ）m x >10.如图7，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边AB 、BC 上运动（不与正方形的顶点重合），且BN=2AM ，若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似，则这样的点M 有（）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11.已知实数b a ,不相等，并且b b a a 51,5122=+=+，则=+2211b a 12.If ,,11,11,1123121Λa a a a m a -=-=-=then 2013a in terms of m is 13.如图8，在23⨯的方格纸上，以某三个格点为顶点的三角形中，等腰三角形共有 个。

第26届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析一、选择题1、【解析】52481002)(222=-=-+=+ab b a b a ，故选D .2、【解析】依题55=--=-c d b a ，，∴2555))((-=⨯-=--=--+c d b a bd ac bc ad ，选D3、【解析】∵2224)1(21-=-+x x x ，∴其平方根为)1(2-±x ；当22)21(1x x --=-时，解得，0=x 或54；当22)21(1x x --=-，即02432=+-x x ，0＜∆，∴无解；故x 值的个数为2，选C .4、【解析】由题得a x -=44，∵x 是正整数，a 为整数，∴0=a ，2，3，故选B .5、【解析】如图，∵︒=∠60DAB ，12=AC ，∴︒=∠30OCP ，6=OC ∴在OPC Rt △中，321==OC OP ，∴124=OP ，故选D .6、【解析】图中的四个小三角形全等，把它们分别补到四个全等的梯形当中，得到四个与阴影部分相同的正方形，∴5151==ABCD S S 正方形阴影，故选D .7、【解析】∵F G C E G B D G A ++++++，，分别被3除都余1，∴G G F C E B D A 2+++++++是3的倍数，即G 228+是3的倍数，22=G ，8，14；∴1或4或7，故选D .8、【解析】③中应为“任一条对角线”，故选A .9、【解析】先安大小顺序排列：1054222，，，，，，不论x 是多少，众数一定是2，且在平均数、中位数及众数三个数中最小，251054222=+++++，k x =+725(k 为正整数)，当4=k 时，3=x ，此时平均数是4，中位数是3，众数是2，满足题意；当5=k 时，10=x ，此时平均数是5，中位数是4，众数是2，不满足题意；当6=k 时，17=x ，此时平均数是6，中位数是4，众数是2，满足题意；因此满足条件的x 可能是3和17，和为20，故选D .10、【解析】除4以外的非质数都是公除数，即20181615141210986，，，，，，，，，，共计10个，故选B .二、A 组填空题11、【解析】01.11001.10210001.1020201.1≈==.12、【解析】依题)2(31ab a b a --=+，∵b a ，都是有理数，∴1+a 和ab a b --2为有理数，若02≠--ab a b ，则)2(3ab a b --为无理数，∴要使等式成立，则满足02=--ab a b ，01=+a ，解得1-=a ，1-=b ，∴2-=+b a .13、【解析】∵1=++c b a ，∴b ac b a a c c b a c b c b a b a a c c b +++++++++++=+++++111633111=+=++++++++=b a c a c b c b a .14、【解析】左边通分425422)(22-+=--++x x x n m x n m ，∴5=+n m ，222=-n m (即1=-n m )，∴515))((22=⨯=-+=-n m n m n m .15、【解析】∵3113512015⨯⨯⨯=，c b a ＜＜＜1，∴31135===c b a ，，，将其代入得原式21411326818135315131331==-=----=.16、【解析】∵两个方程组的解相同，∴⎩⎨⎧=+=+1024823y x y x ，解得⎩⎨⎧==12y x ，将其代入另两个方程得⎩⎨⎧=+=+142102b a b a ，∴2433=+b a ，∴8=+b a .17、【解析】如图，易证DCE ABE ≌△△，∴DE AE =；∵EBC AED C C △△2=，∴262]122)121010[(=÷-⨯++=+DE CD 设x CD =，则x DE -=26，∴在EFD Rt △中有222)26(8)6(x x -=++，解得9=x ，即9=CD ，∴30=AD ，∴251230===BC AD S S EBC AED △△.18、【解析】∵231＜＜，∴4353＜＜-，整数部分为3，小数部分为32335-=--=a ；∵7356＜＜+，∴整数部分为6，小数部分为13635-=-+=b ；∴311-=-a ；312+=+b ，∴231)(31()2)(1(-=+-=+-b a .19、【解析】在AB 上取一点E ，使得AD AE =，连接CE ，则AEC ADC ≌△△，∴9==AE AD ，∴10==CD CE ，∴BCE △是等腰三角形，过C 作BCE △的高CF ，则6=EF ，8=CF ，1569=+=AF ，∴178152222=+=+=CF AF AC .20、【解析】121211+=-=a ，121212-=+=a ，123-=a ，⋯⋯+=124a 故观察得知，122015+=a .三、B 组填空题21、【解析】∵0＞xy ，∴00＞，＞y x 或00＜，＜y x ，∴点)(y x ，位于第一象限或第三象限.22、【解析】依题得0||2=-x ，0||1=-y ，∴2±=x ，1±=y ；又∵x y y x -=-||，∴y x ＜，∴12=-=y x ，或12-=-=y x ，，∴y x +的值等于1-或3-.23、【解析】∵︒=∠=∠60NBC MCA ，∴NB MC ∥，∴︒=∠=∠38MBN CMB ，∴︒=︒+︒=∠+∠=∠983860CMB AMC AMB ；∵MC AC =，︒=∠=∠120MCB ACN ，CB CN =，∴MCB ACN ≌△△，∴︒=︒-︒=∠=∠223860MBC ANC .24、【解析】每一行的最后一个数分别为1，2，3，4…，∴第1-n 行的最后一个数是1-n ，∴第n 行的第一个数为1)1(2+-n ，第5个数为6)1(2+-n ，第5行第5个数为21.25、【解析】本题从竞赛的角度讲，依次取1，2符合要求，答题完毕；如果要讨论证明，那么当1=n 时，1，31+，31+可以构成三角形；当2≥n 时，有)2(21++++n n n n n ＜＜，要围成三角形，需要满足)2(21+++++n n n n n ＞，即12)2(＜+-+n n n ，也即1)1(2＜-+n n ，∵n n ＞2+，∴1)1(2)1(＜＜-+-n n n n ，∴45)21(2＜-n ，又∵2≥n ，∴021＞-n ，∴25210＜＜-n ，∴323541＜＜＜+n ，∴2=n ，综上可知1=n ，2注：或者n 取1，2时成立，3≥n 时，推得两边之和小于第三边，不满足三边关系亦可.。

6 B. 1 12 C.19D. 21 5． If ⎨2x + y = 2m + 1 ,then the range of values of m is ( ).⎪ -1 ≤ x - y <0第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛初三 第 1 试试题一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1．下面是参加 2014 年 WMTC （世界数学团体锦标赛）的部分国家的国旗，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42．已知 a , b , c 满足 a + b + c = 0 ，若 a , b , c 都不等于 0，则值为（ ）bc + ac ab + ac ab + bc+ + 的ab bc acA.-3B.-1C.0D.33．掷 2 次骰子，第一次掷出的点数（骰子落地后，朝上一面的点数）记为a ，第二次掷出的点数记为 b ，则点（ a , b ）在直线 y = 2x 上的概率为（）A.194．直线 y = ax +b ,y =cx +d 在坐标系中的图象如图 所示，则 a , b , c , d 从小到大排列是（ ）yA. c <a <d <bB. d <b <a <c OxC. a <c <d <bD. a <b <c <dy=cx+d y=ax+b⎧ x + 2 y = 4m ⎪⎩图1A. -1 ≤ m < -1 2 B. -1 ≤ m < 12C. 1 2 ≤ m <1D. 1 2<m ≤ 16．已知 4 x 4 + 3x 3 - 2x 2 + 3x + 4 = 0 ，则 x + 1 x的值为（ ）A.5 4 B. -2或 54C.-2D.34D.411．若17．已知点 A (-4, 0), B (2, 0) ．若点 C 在一次函数 y = 1x + 2 的图象上，2且 V ABC 是直角三角形，则点 C 的个数是（ ）EB FCA.1B.2C.3AD图28．如图 2， A BCD 是边长为 2 2 的正方形， A E = 4 ，以 AE 为直径的半圆交 BC 于点 F ，则 BF 的近似值是（ ）A.2.0B.1.9C.1.8D.1.79．已知梯形的四条边的长分别是 2，3，5，6，则这个梯形的面积是（）A. 3 5B.10C.12D .10 或 1210．已知 x , y , z 都是正整数，代数式 x 2 y - y 2 z + z 2 x - x 2 z + y 2 x + z 2 y - 2xyz 的值是质数，则 z x + y 的值是（）A.0B.1C.2D.4二、A 组填空题（每小题 4 分，共 40 分）11==x + 1 y + 2 z + 3，则 x - 2 y + z = ．12．若 ( x - 2 y + 3)2 +x - 5 + 2x - 3 y + z = 0 ，则 x y -z =．13．若 a = 5 + 3 ，则 2a 3 - 11a 2 + 2a + 1 =．14．The lengths of three sides of a triangle arethis triangle is .29 ， 40 ，and 5, respectively . Then the area of15．如图 3，在 V ABC 中， EF ∥BC ， AE 1= ， SBE 2 四边形BCFE= 64 ，则 SV BCE=16．已知关于 x 的一元二次主程 ax 2 + bx + 1 = 0 和 bx 2 + ax + 1 = 0(a ≠ b ) 只有一个公共的实数根 x = c ，则1a + b+ c = ．17．如图 4，以 A 为中心将边长为 a 的等边 V ABC 逆时针旋转 30 o ，得到 V A B ' C ' ，AB ' 与BC 交于 M ， AC 与 B ' C ' 交与 N ，则 V A MN 的面积是．+ 1 ≥ ，则 x - 2 - x + 4 的最大值是 ，E 左18．如图 5，函数 y = - x + b 与 y =1x的图象在第一象限内交于 A ， B 两点，且 V AOB 的面积是 4 3 ，则 b =．19．如图 6，在矩形 ABCD 中， AB =4 ， AD = 2 5 ，点 E 是边 CD 的中点，将V A DE 沿AE 折叠后得到 V A FE ，且点 F 在矩形 ABCD 的内部，将 AF 延长交边 BC 于点 G ，则CG GB= ．20．如图 7，已知 AC = AB ， AD =5 ， DB = 4 , ∠A =2∠E ，则 CD ⋅ DE = .三、B 组填空题（每小题 8 分，共 40 分．）y l5 - 3x 2x + 321．已知3 5最小值是．O A FD G 右 图8B Cx22．如图 8，已知 A (3, 5), B (8, 5), C (8, 0), D (3, 0), E (0, 2), F (3, 2) ，过 D 点作直线 l ，使 l 左侧与右侧面积之比是 3 : 5 ，若 l 的方程是 y = kx + b ，则 k =， b =．23．已知二次函数 y = x 2 - 2 与 x 轴分别交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，则 V ABC 内切圆的半径为，外接圆半径为 ．24 ．如图 9 ，在 V ABC 中， AB = AC ， D 、 E 是 V ABC 内的两点， AD 平分 ∠BAC ，∠BAC =40o ，∠ABE = 10o , ∠D = 30o , BE = 9, DE = 3 ，则 ∠E =, BC =.AE D B图9C25．在 R tV A BC 中，∠B = 90o , AC = 5, AB 、BC 的值分别是抛物线 y = x 2 - 7x + k （ k 是常数）与 x 轴的两个交点的横坐标，则 k =，y = x 2 - 7x + k 的最小值是．。

“希望杯〞数学邀请赛培训题1一．选择题〔以下每题的四个选择支中，仅有一个是正确的〕1．－7的绝对值是〔〕〔A〕－7 〔B〕7 〔C〕－〔D〕2．1999－的值等于〔〕〔A〕－2001 〔B〕1997 〔C〕2001 〔D〕19993．下面有4个命题：①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。

②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。

③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。

④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。

其中正确的命题是：〔〕〔A〕①和②〔B〕②和③〔C〕③和④〔D〕④和①c的同类项是〔〕〔A〕4bc a〔B〕4ca b〔C〕ac b〔D〕ac b5．某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，假设八月份产品要到达六月份的产量，那么八月份的产量比七月份要增加〔〕〔A〕20％〔B〕25％〔C〕80％〔D〕75％6．，，，四个数中，与的差的绝对值最小的数是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7．如果x=―, Y=0.5,那么X―Y―2X的值是( )(A)0 (B) (C)(D) ―8.ax+b=0和mx+n=0关于未知数x的同解方程，那么有〔〕〔A〕a+m>0. 〔B〕mb≥an.〔C〕mb≤an.〔D〕mb=an.9．〔－1〕＋〔－1〕－〔－1〕×〔－1〕÷〔－1〕的结果是〔〕〔A〕－1 〔B〕1 〔C〕0 〔D〕210．以下运算中，错误的选项是〔〕〔A〕2X＋3X＝5X〔B〕2X－3X＝－1〔C〕2X·3X＝6X〔D〕2X÷4X＝11．a<0,化简，得( )(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) －212．计算〔－1〕＋〔－1〕÷|－1|的结果是〔〕〔A〕0 〔B〕1 〔C〕－1 〔D〕213．以下式子中，正确的选项是〔〕〔A〕a·a=a. 〔B〕(x)=x.〔C〕3=9. 〔D〕3b·3c=9bc.14.－|－3|的相反数的负倒数是〔〕〔A〕－〔B〕〔C〕－3 〔D〕315．十月一日亲朋聚会，小明统计大家的平均年龄恰是38岁，老爷爷说，两年前的十月一日也是这些人相聚，那么两年前相聚时大家的平均年龄是〔〕岁。

26届希望杯答案【篇一：第26届希望杯初二第1试试题word版及详细解答】s=txt>初二第1试试题2015年3月15日上午8:30至10：00 一、选择题（每小题4分，共40分）1.若a+b=10,ab=24,则a2+b2的值是（）(a) 48 (b)76 (c)58(d)522.若一次函数y=x+5的图像经过点p(a，b)和q(c,d),则ad+bc-ac-bd的值是（） (a) 9(b)16 (c)25(d)-25 3.已知为的平方根，则满足此关系的x的值得个数是（）(a) 4(b)3 (c)2 (d)14.suppose a is an integer ,solutions to the equationax+5=4x+1 are positive integers.then thenumber of a is( )(a) 2 (b)3(c)4(d)5(d)126.如图1所示，点m,n,p,q分别是边长为1的正方形abcd各边的中点，则阴影部分的面积是（） (a)(b)(c) (d)7.如图2所示，字母a到g分别代表1到7中的一个自然数，若a+g+d,b+g+e,c+g+f分别被3除，都余1，则g是（） (a) 1或4(b) 1或7 (c ) 4或7 (d)1或4或7 8.下列说法：①平行四边形包含矩形、菱形和正方形②平行四边形是中心对称图形③平行四边形的任一条角平分线可把平行四边形分成两个全等的三角形④平行四边形两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形其中正确说法的序号是( )(a) ①②④(b) ①③④(c ) ①②③ (d) ①②③④ 9.有一列数：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整数），若将这列数的平均数、中位数及众数依照大小次序排列，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可能取得值得和是（） (a) 3(b)9(c)17 (d)2010.对于自然数m，如果m能够整除13232223（m-1），那么称m为“公除数”，则4到20（包括4和20）的自然数中，“公除数”的个数是（）(a) 9(b) 10(c ) 11(d) 12二、 a组填空题（每小题4分，共40分） 11.若,,则,则a+b=_____________12.已知a，b都是有理数，且13.已知a+b+c=1.14.已知m，n是实数，且当x2015时，15.设a,b,c都是正整数，且1abc,abc=2015,那么16.若关于x,y的方程组与方程组的解相同，则a+b=___________17.as shown in the fig.3,b and c are points on ad in △aed.ab=cd,eb=ec=10,bc=12. the perimeter of △aed is twice the perimeter of △ebc. then.( s△aed represents the area of △aed, s△ebc represents the area of △ebc) .(英汉小词典；perimeter 周长，area 面积) 18.若19.如图4所示，四边形abcd中，对角线ac平分∠bad, 且ab=21，ad=9，bc=dc=10，则ac=_______ 20.已知三、b组填空题（每小题8分，共40分）21.若xy0,则点(x,y)在直角坐标系中位于第_____象限或第_____象限 22.已知,则x+y的值等于______或_________根据数阵排列的规律，第5行从左向右第5个数位________，第n （n≥3,且n是整数）行从左向右第5个数是_____(用含n的代数式表示)25.长为的三条线段可以构成三角形，则自然数n=_____或________.答案详细解析2015年3月15日上午8:30至10：00 三、选择题（每小题4分，共40分）1.若a+b=10,ab=24,则a2+b2的值是（）(a) 48 (b)76 (c)58(d)52解析：因为（a+b）2=a2+b2+2ab，代入得 102=a2+b2+48，a2+b2=100-48=52这是完全平方公式（a+b）2=a2+b2+2ab 公式得变式应用，把a+b ,a2+b2,ab 看做一个整体，知道其中2个求第三个式子都可以，只要把其中2个值代入即可求得，这是数学的整体思想。

探寻多种解法激活创新思维--一道第26届“希望杯”全国初
中数学邀请赛试题的解法探究
张宁
【期刊名称】《理科考试研究》
【年(卷),期】2022(29)24
【摘要】几何问题是激活学生创新思维,培养学生创新素养不可缺少的课程素材.根据几何图形的结构特征,文章从四个角度出发,给出了第26届“希望杯”全国初中数学邀请赛初三组第二试第8题的19种解法.一是构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解;二是构造相似三角形,利用相似三角形的性质列方程求解;三是构造直角三角形,利用勾股定理列方程求解;四是利用角平分线的性质列方程求解.通过探寻多种解法,能够有效激活学生的创新思维,是培养学生创新素养的有效途径.
【总页数】5页(P12-16)
【作者】张宁
【作者单位】中卫市沙坡头区宣和镇东台学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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