1.1 因动点产生的相似三角形问题
1. （12年苏州）如图1，已知抛物线2
11(1)44
4
b y x b x =
-
++
（b 是实数且b ＞2）与x 轴
的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
2.（12 年黄冈市中考模拟）如图 1，已知抛物线：1(2)()y x x m m
=-
+- (m ＞0)与 x 轴
交于点 B 、C ，与 y 轴交于点 E ，且点 B 在点 C 的左侧．
（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H ，使得 BH ＋EH 最小，求出点 H 的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F ，使得以点 B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？
若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由．
3.（11 年上海）直线113
y x =-
+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆
时针方向旋转90°后得到△COD ， 抛物线y ＝2ax ＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；
(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由
4（11 年上海）Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1 所示，反比例函数K y x
=
（K ≠ 0)
在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．
（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝
12
时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；
（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标.
5.(10年义乌)如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
6.如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22
=++上．
y m x m x n
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A′，点B 的对应点为B′，若四边形A A′B′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x 轴上找一个点D，使得以点B′、C、D 为顶点的三角形与△ABC 相似.
7.( 09年临沂)如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
8. 如图1，△ABC 中，AB＝5，AC＝3，cos A＝
3
10
．D 为射线BA 上的点（点D 不与点
B 重合），作DE//B
C 交射线CA 于点E.．
(1) 若CE＝x，BD＝y，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的
(2) 当分别以线段BD，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；
(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
9.(12 年扬州)如图1，抛物线2
=++经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是
y ax bx c
抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10.(12临沂) 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
